Banque PT, 2000, Math I-A Partie I

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1 Banque PT,, Math I-A Partie I.) La fonction G de P = (;) R ; > ª dans R de nie par : G(;) = arctan composee de fonctions de classe C.On calcule (;) = (;) = et donc : G(;) =. La fonction G est harmonique sur P. est de classe C sur P, comme = (;) = ( ) (;) =.) Si ' est une application de classe C sur R, alors, par composition, F : (;) > ' F est harmonique sur P si et seulement si : 8(;) P; F (;) = ' (;) = µ ' (;) = ' µ F (;) 3 ' ( ) est de classe C sur P ; donc µ 4 ' µ et donc F (;) = 3 ' µ µ µ ' 4 on pose t = qui est surjective de P sur R et donc F est harmonique sur P si et seulement si : 8t R; t' (t) ( t )' (t) = C'est une equation di erentielle lineaire resoluble d'inconnue ' (t) on prend les primitives 9 R; 8t R; ' (t) = e ln(t) = t 9( ;¹) R ; 8t R; '(t) = arctant ¹ 3.) L'application µ de R dans R de nie par t > arctant arctan est impaire, ainsi que l'application sgn, on se limite µa t R. µ est derivable sur cet intervalle et µ (t) = t =t =t =. µ est constante or µ() = ¼= pour tout reel t non nul, arctan t arctan = sgn(t) ¼ = jzjcos(arg(z)) 4.) Si z = i, (;) P : on a. Comme (;) P, on a > donc Arg(z) ];¼[ = jzj sin(arg(z)) ² Si >, alors Arg(z) ]; ¼ [ et = tan( Arg(z)), donc Arg(z) = arctan = ¼ arctan = ¼ G(;). ² Si <, alors Arg(z) ] ¼ ;¼[ et = tan( Arg(z)) = tan( Arg(z) ¼), avec Arg(z) ¼ ] ¼ ; [ donc Arg(z) ¼ = arctan, d'oµu Arg(z) = ¼ arctan = ¼ ¼ arctan ² Si =, alors Arg(z) = ¼, et G(;) = = ¼ ¼ = ¼ G(;). 8(;) P; G(;) = ¼ Arg( i ) 5.) ² Si >, alors lim! arctan ² Si <, alors lim! arctan = ¼ car tend vers. = ¼ car tend vers. ² Si =, alors G(;) =, et lim! G(;) = g() = ¼ si > si = ¼ si <

2 Z convergence de l'integrale impropre g(t) ( t) dt :On pose µ t > g(t) ( t) et on montre l'integrabilite de µ sur R : ² g est continue par morceau sur R, et comme (;) P on a > donc t > ( t) est continue strictement podsitive.donc la fonction µ est continue par morceau sur R. ² t jµ(t)j! t! ¼ limite ne donc µ est integrable sur R ² De m^eme µ est integrable sur R Calcul : ² pour X > on a : Z X g(t) ( t) dt = ¼ L'integrale Z X Z ( t ) ² Si X tend vers : R µ(t)dt = ¼ ¼ arctan de m^eme Z µ(t) dt = ¼ G(;) g(t) ( t) dt converge dt = ¼ h i X t arctan = ¼ = ¼ G(;) h arctan( X ) arctan i 8(;) P; Z g(t) ( t) dt = ¼ G(;) Partie II.) La conique n'est pas de nie si = ou =. Notons la C. ² si <, on a < et < la conique est vide. ² Si >,on a > et > la conique est l'ellipse de centre O d'ae focal O car >,; son equation est de la forme =, avec a = p, et b = p.la distance focale c veri e c = a b =, donc c =, et les foers a b sont les points (; ) et (; ). ² Si < <, > et < la conique est une hperbole de centre O, d'ae focal O; son equation est de la forme a b =, avec a = p, et b = p.la distance focale c veri e c = a b =, donc c =, et les foers sont les m^emes. Les coniques de la famille F ont m^emes foers (; ) et (; ).) ( ; ) P etant donne, avec 6=, la fonction à : > est de nie sur R n f; g, et est somme de fonctions decroissantes strictement sur chaque intervalle] ; [, ]; [, ou ]; [.à est donc decroissante strictement sur chaque intervalle. ² Sur ]; [ on a lim (Ã) =, lim (Ã) =, et à est continue strictement monotone. La restriction de à µa ]; [ est bijective de ]; [ sur R ² de m^eme la restriction µa ]; [ est bijective de ]; [ sur ] ; [ La conique C de la famille F passe par M ( ; ) P, avec 6=, si et seulement on a Ã( ) = (avec ]; [[]; [);par bijection monotone on a donc deu solutions (et seulement ), l'une dans ]; [ et l'autre dans ]; [. Pour tout point ( ; ) P, avec 6=, il passe eactement une ellipse et une hperbole de la famille F. L'equation Ã( ) = equivaut µa ( ) = ; on a donc =, =

3 Si =, alors une conique de la famille F passe par le point (; ) si et seulement si il eiste un reel de ]; [[]; [ veri ant = soit = >. Pour tout point (; ) P, il passe une conique et une seule de la famille F et c'est une ellipse. 3.) Soit M ( ; ) P, avec 6=, et C, C les coniques de F passant par M. La tangente en M µa C est orthogonal au vecteur gradient vecteurs 4 ( µ et µ µ en faisant le produit scalaire : ) = 4 4 = gr^ace au relations precedentes.. Il su±t donc de prouver l'orthogonalite des deu = 4 Les tangentes en un point commun µa deu coniques de F sont orthogonales 4.) La fonction : (u;v) > ch u cosv est de classe C sur (u;v) = chu cosv = (u;v) = chu cosv = donc 8(u;v) R ; (u;v) =, et la fonction est harmonique sur R. De m^eme, la fonction : (u;v) > sh u sinv est de classe C sur R, = u est harmonique sur R. Les fonctions et sont harmoniques sur R 4 = 4 =, donc = ; la fonction La matrice jacobienne de H est donne par les derivees partielles sh ucosv chu sin (u;v) = chu sin v shu cos v D'ou le jacobien : J (u;v) = sh u cos v ch u sin v = sh u sin v sh v sin v = sh u sin v On a donc J (u;v) = () shu = et sin v = () u = et v = [¼]: 5.) Le jacobien de H s'annule au points (;k¼); k Z ² Image par H de la droite u = u : il s'agit de la courbe d'equation = chu cos v = shu sin v ; v R: { si u 6=, on reconna^t une ellipse de centre O, d'equation cartesienne ch u sh u = soit ch u ch u = ; l'ellipse en question est donc C ch u. = cos v { si u =, la courbe s'ecrit ; v R; et on reconna^t le segment d'etremites (; ) et (; ), c'est-µadire les foers communs.. = = cosv ch u ² Image par H de la droite v = v : il s'agit de la courbe d'equation = sinv sh u ; u R: { si v 6= [¼=], on reconna^t une branche d'hperbole d'equation cartesienne cos v sin v = soit cos v cos v = ; l'hperbole en question est donc C cos v ; la branche parcourue est celle situee dans le demi-plan oµu a le signe de cosv remarque :contrairement µa ce que laisse penser le sujet nous n'obtenons pas l'hperbole entiµere. ² = cos v chu { si v = [¼], la courbe s'ecrit = u R (avec sin v = ). On obtient les demi-droites [F) (cas sin v = ) et ( F ] (cas sin v = ). { si v = ¼ [¼], la courbe s'ecrit = = sinv sh u ; u R et on obtient l'ae des ordonnees en entier. 3

4 ² Recherche des images reciproques par H des coniques C, et des aes O, O : Soit C la conique d'equation = ( ]; [[]; [). n o H (C ) = (u;v) R ch ; u cos v sh u sin v =. { Si >, soit u =argch p. On cherche les couples (u;v) tels que ch u cos v ch u sh u sin v sh =, ch u cos v u ch sh u sin v u sh = cos v sin v u µ ch µ u sh, ch cos u v u sh sin v = u La fonction u > ch u cos ch u v sh u sin v est paire et strictement croissante sur R sh u.elle admet donc au plus une racine. Or u = u est racine evidente donc u = u, et tout reel v convient. On obtient donc deu droites. si >, H (C ) = (u;v) R ; u = argch( p ); v R ª { Si ]; [, alors soit v = arccos p. et on cherche les couples (u;v) tels que ch u cos v cos v sh u sin v sin =, ch u cos v v cos v µ cos v, cos v sh u sin v sin = ch u sh u v µ sin ch v u sin sh u = v cos On peut alors etudier v > v cos v ch sin u v sin v sh u sur [;¼=] de derivee strictement negative. Donc on a une seule racine sur [;¼=], v = v. Sur R on a donc sin v = sin v et cos v = cosv soit v = arccos p [¼], ou v = ¼ arccos p [¼] et tout reel u convient.on obtient une in nite de droites. si >, H (C ) = (u;v) R ; v = arccos( p ); u R ª [ (u;v) R ; v = ¼ arccos( p ); u R ª { H ( O) = (u;v) R ; sh u sinv = ª = (u;v) R ; u = ou v = [¼] ª.Ce sont les deu aes de coordonnees { H ( O) = (u;v) R ; ch u cosv = ª = (u;v) R ; v = ¼ [¼]ª.C'est une in nite de droites. ² Montrons que la restriction de H µa ]; [ ];¼[ est une bijection de ]; [ ];¼[ sur P 8( ; ) P; 9!(u ;v ) ]; [ ];¼[;H(u ;v ) = ( ; ) { si 6=, alors par ( ; ) il passe eactement une ellipse C et une hperbole C de la famille F ( > et < < ). D'aprµes l'etude precedente, il eiste un unique reel strictement positif u > tel que l'image reciproque H (C ) soit la droite d'equation u = u. De m^eme, il eiste un unique reel v de ];¼[ tel que l'image reciproque H (K ) de la branche K de C contenant ( ; ) soit la droite d'equation v = v : c'est v = arccos p si >, et v = ¼ arccos p si <. Donc, H ( ; ) = H (C \ K ) = H (C ) \ H (K ) = f(u ;v )g ch u cos v = { si =, alors le sstµeme d'inconnues (u;v) ]; [ ];¼[ : equivaut µa shu sin v = la restriction de H µa ]; [ ];¼[ est une bijection de ]; [ ];¼[ sur P v = ¼= u = argsh( ) 6) En supposant que f est de classe C sur R, f ±H est alors de classe C sur R, et on a successivement (le theorµeme de Schwarz s'applique) : (u;v) = shu (H(u;v)) ch u sin (H(u;v)) 4

5 @ f ± (u;v) = chu (H (u;v)) sh ucos (H (u;v)) sh ucosv ch usin (H(u;v)) sh usin (H(u;v)) ch usin v sh u cos (H (u;v)) ch u sin f ± (u;v) = ch u cosv (H(u;v)) sh u (H(u;v)) et de m^eme : soit sh u cos (H(u;v)) ch u sin (H(u;v)) sh u chu sinv cos (H(u;v)) ± H (u;v) = ch u sinv (H(u;v)) sh u @ f (u;v) = chu (H(u;v)) ch u sin (H(u;v)) ch u sinv sh u (H(u;v)) sh u sin (H(u;v)) shu cosv ( ch f ± (u;v) = ch u cos v (H(u;v)) (H(u;v)) d'oµu (H (u;v)) sh u cos (H(u;v)) ch u sin (H(u;v)) sh u cos (H(u;v)) sh u chu sinv cos (H(u;v)) (f ± H)(u;v) = J(u;v) f (H (u;v)) Si f est harmonique sur P, alors par composition, f ± H est de classe C sur ]; [ ];¼[, et le calcul precedent montre qu'alors (f ± H) = sur ]; [ ];¼[. Donc : Si f est harmonique sur P, la fonction f ±H est harmonique sur ]; [ ];¼[ Partie III Dans toute cette partie l'hpothµese r < b assure que P et donc que f (a r cos µ;b r sin µ) est bien de ni, continu..) ² Dans l'integrale R R f (u;v)dudv, on fait le changement de variables de ni, en passant en polaire de centre (a;b) : = a cos µ = b sin µ Le jacobien est, et le disque ferme de centre (a;b) et de raon r est obtenu pour On a donc f (u;v)dudv = d µz ¼ f (a cos µ;b sin µ)ddµ) = ¼ r µ ¼. m(a;b;) d: ² En emploant la formule de Green-Riemann avec P Q et D =, on obtient : R R f (u;v)dudv = R (u;v) (u;v) dv oµu r est le cercle de centre (a;b) de raon r parcouru dans le sens direct; u = a r cos µ en parametrant le cercle par v = b r sinµ ; µ [; ¼], l'orientation etant celle des µ croissants, on obtient f (u;v)dudv = Z ¼ µ (a r cosµ;b r sin µ)( r sinµ) (a r cosµ;b r sin µ)(r 5

6 Donc : f (u;v)dudv = r Z ¼ µ (a r cosµ;b r sinµ) cosµ (a r cosµ;b r sinµ) sin On doit prouver la continuite d'une integrale µa paramµetre. ² 8µ [; ¼], r > f(a r cosµ;b r sin µ) est continue sur [;b[ (car (a r cos µ;b r sinµ) P ) ² 8r [;b[, µ > f (a r cosµ;b r sin µ) est continue sur [; ¼], donc integrable sure ce segment ² on a domination sur tout segment [;R] [;b[: f est continue sur le compact B(;R) P, donc bornee sur ce compact 8 (r;µ) : [;R] [; ¼] jf (a r cosµ;b r sin µ)j kfk fonction constante donc integrable sur le segment. r > m(a;b;r) est continue sur [;b[ 3.) En emploant le resultat du III.), M(a;b;r) = R r r m(a;b;) d,or R r m(a;b;) d est une primitive. ² L'application > m(a;b;) est continue sur [;b[, donc, par primitive d'une fonction continue, l'application r > m(a;b;)d est de classe C, sur [;b[. Et donc r >M(a;b;r) = r m(a;b;)d est continue sur ];b[. ² Etude de la continuite en : M(a;b;r) f (a;b) = µ r m(a;b;)d r f (a;b) = µ r (m(a;b;) f (a;b))d L'application > m(a;b;) est continue en, et m(a;b;) = f (a;b), donc : M (a;b;r) f (a;b) = µ (m(a;b;) m(a;b; )d r On ecrit la continuite en 8" > ; 9 > ; ) jm(a;b;) m(a;b; )j " Il en resulte : r ) jm(a;b;r) f (a;b)j r " d = " et donc r > M(a;b;r) est continue en 4.) On doit prouver la derivabilite d'une integrale µa paramµetre, que l'on sait ^etre continue. (ar cos µ;br sin µ) On a = (a r cosµ;b r sin µ) cos µ (a r cosµ;b r sin µ) r f etant C on a : ² r f(ar cos µ;br sinµ) continue sur [;b[ ² µ > (ar cos µ;br sinµ) continue sur [; ¼] donc integrable sur ce segment ² On a domination sur tout segment [;R] [;b[: par continuite sur le compact B(;R) on a domination par une constante (idem III..) L'application r > m(a;b;r) est de classe C sur [;b[. En particulier, r > m(a;b;r) est derivable sur ];b[. Sa derivee s'obtient par la rµegle de Leibniz, et on a 8r ];b[; (a;b;r) = R f (a r cosµ;b r sin µ) cosµ (a r cos µ;b r sinµ) sinµ Gr^ace au III ± ), on a encore : 8r m (a;b;r) = ¼ r l'hpothµese r > ne sert que pour le calcul de la derivee, pas pour la classe 5 On a prouve au III 3.) que l'application r > R r m(a;b;) d par quotient par une fonction C non nulle. On calcule (derivation d'un produit et d'une primitive) : R R f (u;v)dudv m(a;b;)d est de classe C sur ];b[ donc aussi r > M (a;b;r) = r 6

7 @M (a;b;r) = 4 r 3 m(a;b;) d r (r m(a;b;r)) = r Partie IV (m(a;b;r) M (a;b;r)).) RSiR f est harmonique sur P, elle est de classe C sur P, et d'aprµes le III 4.), pour tout r de ];b[, ¼ r f (u;v)dudv =. La fonction r > m(a;b;r) est donc constante sur ];b[, et, par continuite, sur [;b[. Comme m(a;b; ) = f (a;b), on a : 8r [;b[; m(a;b;r) = f (a;b). si f est harmonique sur P, alors f veri e la propriete de moenne circulaire sur (a;b;r) =.) Si f veri e la propriete de moenne circulaire sur P, elle est de classe C sur P, et d'aprµes le III.), f (u;v)dudv = ¼ m(a;b;) d = ¼ f (a;b) d = ¼ r f(a;b) d'oµu M(a;b;r) = f (a;b). Si f possµede la propriete de moenne circulaire sur P, elle possµede la propriete de moenne spatiale sur P 3.) Si f veri e la propriete de moenne spatiale sur P, elle est de classe C sur P, 8r ];b[; (a;b;r) =. En utilisant le III 5), il en resulte que pour tout r de ];b[, m(a;b;r) = M (a;b;r) = f (a;b), donc f veri e la propriete de moenne circulaire sur P. Si f possµede la propriete de moenne spatiale sur P, elle possµede la propriete de moenne circulaire sur P 4 Montrons que si f veri e la propriete de moenne spatiale sur P, il en va de m^eme pour.on va passer gr^ace µa precedente par la moenne circulaire : On doit donc montrer : à 8(a;b) P;8r ];b[;f (a;b) = Z! b f (a r cosµ;b r sin µ)dµ ¼ a à =) 8(a;b) P;8r (a;b) = Z! b (a r cosµ;b r sin µ)dµ C'est donc un problµeme de derivation sous le signe R,par rapport µa la variable a : ² a (a r cosµ;b r sin µ est continue ² µ f (a r cosµ;b r sinµ) est continue donc integrable sur le segment [; ¼] (toujours car comme r < b on dans P ) ² On prend [A;B] R ; par continuite de(a;µ) (a r cosµ;b r sin µ) sur le compact (a;µ) [A;B] [; ¼] la fonction est domine par une constante integrable sur le segment [; ¼]. On peut appliquer la formule de (a;b) = Z (a r cos µ;b r sinµ) dµ possµede les proprietes de moenne circulaire et spaciale sur P On procµede de m^eme pour demontrer possµede la propriete de moenne spatiale sur P en prenant [A;B] R et en derivant par rapport µa b. Si f veri e la propriete de moenne spatiale sur P, il en va de m^eme pour ses derivees partielles d'ordre En iterant cette propriete, on montre veri ent aussi la propriete de moenne spatiale sur P. Par linearite f la veri e aussi. Si f veri e la propriete de moenne spatiale sur P, il en va de m^eme pour 5.) Si f veri e la propriete de moenne circulaire sur P, alors pour tout (a;b) de P, et tout r de ];b[, (a;b;r) =. D'aprµes le III 4:), cela implique R R f (u;v)dudv=. D'aprµes larquestion R precedente, f veri e R la propriete de moenne spatiale sur P, donc pour tout (a;b) de P, et tout r de ];b[, ¼ r f (u;v)dudv = ¼ r RD r f (a;b)dudv = f (a;b). On a donc : pour tout (a;b) de P, f (a;b) =, et f est harmonique sur P. f est harmonique ssi f veri e la propriete de moenne circulaire ssi f veri e la propriete de moenne spaciale. a 7