Exercices - Calcul d intégrales : corrigé. Intégration par parties - Changements de variable

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1 Intégration par parties - Changements de variable Eercice - Changements de variables - Niveau - L/Math Sup -. La fonction t t est une bijection de classe C de, 4] sur, ]. On peut donc poser u t. Lorsque t, u et lorsque t 4, u vaut. De plus, on a et On en déit que t t u t t u 4 t dt t u u dt u. u u u ( u) u u ]. La fonction e réalise une bijection de, ] sur e, e ]. Effectuons le changement de variables u e dans l intégrale, de sorte que e d. Il vient e e + e d + u ln + u ] ( ) + e e e ln. + e e Eercice - Changements de variables - Niveau - L/Math Sup -. La fonction ln réalise une bijection de, e] sur, ]. On pose donc u ln de sorte que d. De plus, lorsque vaut, u vaut et lorsque vaut e, u vaut. On trouve donc e (ln ) n d u n n +.. La fonction à intégrer est définie et continue sur ], +. On se limite donc à calculer l intégrale recherchée pour >. La fonction t e t est une bijection de, ] sur e, e ]. Posant u e t, on a d où e t e t dt ( ) ( ) e e F () e u + 4 arctan e arctan.

2 Eercice - Changements de variables - Recherche de primitives - L/Math Sup - est définie et continue sur ], +, intervalle sur lequel on cherche. La fonction ln à calculer une primitive. Pour cela, on fait le changement de variables u ln, de sorte que d et on trouve ln d u u + C (ln ) + C.. La fonction cos( ) est définie et continue sur ], +, intervalle sur lequel on cherche à calculer une primitive. Pour cela, on effectue le changement de variables u, de sorte que u ou encore d u. On trouve alors cos( )d u cos(u) u sin u] sin(u) u sin u + cos u + C (on a aussi effectué une intégration par parties). sin( ) + cos( ) + C Eercice 4 - Intégration par parties - Niveau - L/Math Sup -. La fonction arctan étant continue sur R, elle admet une primitive sur cet intervalle. On intègre par parties en posant : de sorte que u() arctan u () + v () v() arctan tdt arctan +. La primitive que l on doit encore rechercher est de la forme g /g, et donc arctan tdt arctan ln( + ).. La fonction (ln ) étant continue sur ], +, elle admet des primitives sur cet intervalle. On se restreint à cet intervalle et on intègre par parties en posant : u() (ln ) u () ln v () v()

3 de sorte que (ln t) dt (ln ) ln tdt. Une primitive de ln étant ln (résultat qui se retrouve en intégrant par parties), on trouve finalement qu une primitive de (ln ) est (ln ) ln +.. On va intégrer par parties deu fois. On travaille sur l intervalle ], +, là où la fonction est bien définie et continue. On pose alors : u() sin(ln ) u () cos(ln ) v () v() de sorte que sin(ln )d sin(ln ) cos(ln ). On intègre une deuième fois par parties en posant u () cos(ln ) u () sin(ln ) v () v () de sorte que cos(ln )d cos(ln ) + sin(ln ). En mettant tout cela ensemble, on trouve sin(ln )d sin(ln ) cos(ln ) sin(ln ) soit sin(ln ) ( sin(ln ) cos(ln ) ). Eercice 5 - Intégration par parties - Niveau - L/Math Sup -. On intègre par parties, en posant u () et v() (arctan ). On a v () arctan() +, et ceci nous incite à considérer comme primitive de u la fonction u() ( + ), ce qui va simplifier les calculs. On obtient alors I ( + )(arctan ) ] arctan. On calcule la dernière intégrale en réalisant à nouveau une intégration par parties, et on trouve : I π 6 arctan ] + + d π 6 π 4 + ln( + ) ] π 6 π 4 + ln.

4 . La fonction f : ln est continue sur ], ], et elle tend vers en. On peut donc ( +) la prolonger par continuité à, ] en posant f(), ce qui donne un sens à J. Pour calculer cette intégrale, on va intégrer par parties entre a > et, pour ne pas être gêné par les problèmes en. On pose donc J(a) a ce qui donne De plus, de sorte que a On obtient donc que ln ( +), puis : u() (ln ) v () ( +) u () v() ( +) J(a) ln ] ( + + ) a ( + ) + a d ( + ). d ( + ) ln ] ln( + ) a ln ln(a) + ln( + a ). J(a) ln a (a + ) ln 4 ln a + 4 ln( + a ). Reste à faire tendre a vers. Pour cela, on factorise par ln a, et on trouve J(a) a ln(a) (a + ) ln ln( + a ). Comme a ln(a) tend vers lorsque a tend vers, de même que ln( + a ), on conclut finalement que J ln 4. Eercice 6 - Une suite d intégrales - L/Math Sup - Pour (n, p) N N, l application n (ln ) p est définie et continue sur ], ]. De plus, les théorèmes de comparaison usuels entraînent que cette fonction se prolonge par continuité en (remarquons l importance de n > ). Ceci justifie l eistence de I n,p. Pour calculer I n,p, nous allons réaliser une intégration par parties. On la réalise entre a > et, pour prendre garde au fait que la fonction logarithme n est pas définie en. On remarque aussi que I n, n+, et donc il suffit de traiter le cas p >. On pose donc puis I n,p (a) u() (ln ) p u () p(ln )p a n (ln ) p d v () n v() n+ n+. 4

5 On trouve alors, I n,p (a) n+ (ln ) p] n + a p n (ln ) p d an+ n + a n + On passe à la limite en faisant tendre a vers, et on trouve : On trouve alors I n,p I n,p p n + I n,p. p n + I n,p. ( p) ( (p )) ( ) (n + ) (n + ) (n + ) I n, ( )p p! (n + ) p n + ( )p p! (n + ) p+. Eercice 7 - Une autre suite d intégrales - L/Math Sup - On pose, pour (α, β, n, m) R N, I m,n β α (t α) m (t β) n dt. On intègre par parties pour obtenir une relation entre I m,n et I m,n+, et on trouve m (t β)n+ I m,n (t α) n + m n + I m,n+. D autre part, pour tout p N, on a I,p β Une récurrence immédiate donne alors α ] β α (t α) p dt m β (t α) m (t β) n+ dt n + α (α β)p+. p + I m,n ( ) m+ m(m )... (α β) m+n+ (n + )(n + )... (n + m) m + n +. En particulier, l intégrale recherché vaut I n,n, c est-à-dire I n,n ( ) n+ n! (α β) n+ (n + )... (n) n + n+ (α β)n+ ( ) (n + ) ( n). n Fractions rationnelles Eercice 8 - Fractions rationelles - Niveau - L/Math Sup - 5

6 . On commence par faire apparaître au numérateur la dérivée dénominateur On intègre alors. Pour la première partie, c est facile, car : ln + +. Pour la seconde, on se ramène à écrire le dénominateur sous la forme X + ω, ce qui ( ) nécessite en plus un changement de variables. Ici, on a soit, avec le changement de variables u + /, d + + u + ( ) arctan ( ) u ( ) + arctan. Finalement, une primitive de la fonction recherchée est ln ( ) + arctan.. C est plus facile, car le numérateur est une constante. On écrit simplement que +4+5 ( + ) + et la méthode précédente donne d arctan( + ) On commence par effectuer la division euclidienne numérateur par le dénominateur. On trouve que + ( )( + + ) + + d où Une primitive est donc la fonction + ln On sait que la fraction rationnelle peut s écrire ( + ) a + + b ( + ). Par identification (par eemple...), on trouve que a et b. Une primitive de la fonction est donc ln Eercice 9 - Fractions rationelles - Niveau - L/Math Sup - 6

7 . Le dénominateur se factorise en ( )( + + ). On cherche alors à écrire a + b + c + +. Par identification (par eemple...) on trouve a /, b / et c /, soit On cherche alors à faire apparaître la dérivée de + + pour faciliter l intégration, et on trouve Pour intégrer le dernier terme, on écrit + + ( + ) + ( ce qui donne finalement qu une primitive de la fonction est ln 6 ln + + ( ) + arctan.. C est assez difficile si on ne pense pas à faire un changement de variables. On peut en effet poser u, et ( 4) d (u 4) (u 4) ( 4). Eercice - Grande puissance - L/Math Sup - Une intégration par parties donne Or, I n ( + ) n ] + n ( + ) n+ Regroupant les termes, on trouve Sachant que I π 4, on trouve ) ( d + ) n+ n + n + ( + ) n+ ( d. + ) n+ ( + ) n+ d I n I n+. ni n+ (n )I n + n I n+ n n I n + n n+. I π et I π + 4. Avec la fonction eponentielle 7

8 Eercice - Fonction eponentielle - Niveau - Math Sup/L -. La fonction cosh est continue sur R (le dénominateur ne s annule pas). Une primitive est par eemple la fonction F définie par cosh t dt e t + e t dt. On calcule cette intégrale à l aide changement de variables u e t (la fonction t e t est une bijection de classe C de, ] sur, e ], de bijection réciproque u ln u). On en déit que F () e + u arctan(u) ] e arctan(e ) π.. On réalise là-aussi le changement de variables u e, e d soit d /u et on trouve : + e d u( + u) ( u ) + u ( ) u ln + C + u ( e ) ln + e + C.. On peut intégrer par parties, ou rechercher une primitive de la même forme, c est-à-dire une fonction F : e (a + b + c + d). On a alors F () e ( a + (a + b) + (b + c) + (c + d) ). Par identification, on trouve que F est une primitive de e ( + + ) lorsque a, a + b, b + c 5 et c + d, soit a, b, c 5 et d 4. Les primitives sont donc les fonctions e ( + 5 4) + C. Eercice - Fonction eponentielle - Niveau - Math Sup/L -. On pose u e, de sorte que cosh cosh + e d u u + u + u + 4u (u + ) 4 u + + u 4 (u + ) u 4 ln( + u) 4 + u + C e 4 ln( + e ) 4 + e + C. 8

9 . Le changement de variables le plus malin ici est u sinh, de sorte que d cosh d cosh cosh On en déit : cosh ( + sinh ) d ( + u )( + u) u/ + / u + + u 4 u u. / + u u + + ln + u 4 ln(u + ) + arctan(u) + ln + u + C ln(cosh ) + arctan(sinh ) + ln + sinh + C. Eercice - Eponentielle et trigonométrique - Math Sup/L -. I est égal à Re(J) avec J π e (+i) (on a posé cos Re(e i )). En intégrant par parties, on trouve e (+i) ] π J π e (+i) d + i + i π e π + i + i π e (+i) d. On fait une deuième intégration par parties pour calculer cette dernière intégrale, et on trouve ] π e e (+i) (+i) π d π e (+i) d + i + i πeπ + i ( + i) e (+i)] π πeπ + i + i ( eπ ). Regroupant tous les termes, et multipliant par la quantité conjuguée au dénominateur, on trouve : soit J π e π i iπe π + i ( eπ ), I + π e π.. On commence par linéariser sin et on trouve J π ( ) cos() e d e π π e cos(). 9

10 On calcule alors la dernière intégrale en utilisant les complees. On trouve π ( π ) e cos()d Re e (i ) d ( ] ) π Re i e(i ) ( ) Re 5 (i + )( e π ) 5 ( e π ). Finalement, on trouve J 5 ( e π ). Fonctions trigonométriques Eercice 4 - Puissances et proits - L/Math Sup -. On a sin 5 5 i ( e i e i sin(5) 6 ) 5 i (e 5i e 5i 5e i + 5e i + e i e i) 5 sin() sin(). 8 Une primitive de la fonction recherchée est donc la fonction cos(5) cos() 48 5 cos(). 8. On écrit, pour éviter le calcul d un proit, cos 4 sin cos 4 cos 6. Or, cos 4 ( e i + e i ) 4 ) (e i4 4 + e i4 + 4e i + 4e i + 6 De même, on trouve ( cos(4) + 8 cos() + 6). 4 cos 6 6 ( cos(6) + cos(4) + cos() + ). On a donc cos 4 cos 6 cos(6) 6 cos(4) + cos()

11 Une primitive de la fonction étudiée est donc la fonction 9 sin(6) 64 sin(4) + 64 sin() On commence par linéariser cos en ( cos() + cos() ) /4. Avec la formule cos p cos q ( ) cos(p + q) + cos(p q) on trouve finalement cos() cos ( ) + cos(6) + cos(4) + cos() d sin(6) 48 + sin(4) + sin() 6 + C. Eercice 5 - Intégrale trigonométrique - Niveau - L/Math Sup -. On pose u cos t, de sorte que dt cos u. Il vient sin dt (sin t) sin tdt ( u ). De plus, pour t, u et pour t π/4, u /. L intégrale est donc égale à soit I u / + u + / / u + I + + π arctan( /).. Là aussi, le meilleur changement de variables est u cos, de sorte que sin d. Pour le faire apparaitre dans l intégrale, on écrit : π/ π/ d π/ sin sin cos d π/ u / / ( u u + ] ln u / u + ln. ). C est encore le même changement de variables qui est le meilleur! π/ ( + cos() ) tan() / u + u u + ln u ] / + ln.

12 Eercice 6 - Intégrale trigonométrique - Niveau - Math Sup/L -. On pose w() tan cos + sin d et on remarque que w( ) w(). Ceci nous conit, par les règles de Bioche, au changement de variables t cos. Il vient dt sin d et donc I dt t( t + t ). On décompose la fraction rationnelle en éléments simples en remarquant que t( t + t ) t(t )(t + ) t + 6(t ) + (t + ). On en déit I ln t + 6 ln( t) + ln(t + ] ) (il faut prendre garde que t est négatif sur l intervalle considéré). On trouve alors : I 6 ln( ) + ln( + ) ln( ) 6 ln ln( ). Ceci peut encore se simplifier, mais c est sans grand intérêt.... Aucune des règles de Bioche ne s applique, et on est conit à poser u tan(/), de sorte que d + u. L intégrale devient π/ d + sin + u + u +u u + u + ( u + ) / + 4 arctan u + ] π. Eercice 7 - Intégrale trigonométrique - Niveau - L/Math Sup -

13 . La fonction cos(/) sin(/) est continue sur ], π], et elle se prolonge par continuité en en posant f() (on a f() /9). On commence par effectuer le changement de variables t /6, de sorte que, notant I l intégrale, I π/6 soit encore, après simplification : cos(t) π/6 sin t 6dt sin(t) sin t 4 sin t dt, π/6 sin t I 4 cos t dt. On effectue alors le changement de variables u cos t, de sorte que sin tdt, et I / 4u 6 dv v. Écrivant v v v+, puis intégrant, on trouve ] I ln + v ( ) + v ln.. La règle de Bioche nous dit que le changement de variables approprié est u cos. Pour le faire apparaitre, on écrit d sin + sin On obtient, notant J l intégrale, d sin ( + cos ) sin d ( cos )( + cos ). J / ( u)( + u)( + u). On décompose la fraction rationnelle obtenue en éléments simples : On peut alors finir le calcul de J : ( u)( + u)( + u) /6 u / + u + 4/ + u. J 6 ln u ln + u + ln + u ] / ln + ln. 6 Intégrales abéliennes Eercice 8 - Intégrales abéliennes - Niveau - Math Sup/L -

14 . La fonction est définie et continue sur, + \{ }. Le calcul sera donc valable sur les intervalles, et ], +. On effectue le changement de variables u +, puisque la fonction + est bijective et C sur ], +, de sorte que + d d u. On en déit : d + d u u ( ) u ( ln u u ) + C ln C.. La fonction est définie sur ],, et on effectue le changement de variables sin u, avec u π/, π/], de sorte que d cos u. On trouve : d ( ) cos u cos u cos u cos u tan(u) + C sin u cos u + C + C.. On pose u +, de sorte que u + u et d 4u ( u ). On en déit + d 4u ( u ) ( u + (u ) u + + (u + ) ) + ln u ln + u + C u u ln ln C Eercice 9 - Intégrale abélienne - Niveau - Math Sup/L - On commence par écrire le trinome sous forme canonique : I + 5d ( ) + 4d. On trouve un terme de la forme u +, pour ( ) 4u. Ceci nous incite à poser u sh(t), soit encore sht. En posant α Argsh(/), on obtient I α ( + sht) cht chtdt α 4ch t + 8 α sh(t)ch (t)dt. 4

15 Utilisant ch (t) + ch(t), on obtient I t + sh(t) ] α + 8 ] α ch t α + sh(α) + 8 ch α 8. Ceci peut encore se simplifier en eprimant sh(α) en fonction de sh(α) et ch(α), ie sh(α) sh(α)ch(α), et en remarquant que ch α sh α. On obtient finalement I α