Théorèmes d échange de limites

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1 Théorèmes d échange de limites ) Convergence uniforme et limites Théorème de continuité our les suites de fonctions. Pour E et F deux esaces vectoriels normés, on considère une suite d alications f n : A F où A est une artie de E. Sif n converge uniformément sur A vers une alication f : A F et si les f n sont toutes continues en un oint a U, f est continue en a. Théorème de continuité our les séries de fonctions. Pour E et F deux esaces vectoriels normés, on considère une suite d alications u n : A F où A est une artie de E. Silasérie n u n converge uniformément sur A et si les u n sont toutes continues en un oint a U, la fonction somme u n est continue en a. Plus généralement, la limite uniforme d une suite de fonctions continues (ou la somme uniforme d une série de fonctions continues) est continue. On eut remarquer également, quand A est un intervalle de R, que la continuité des f n ou u n sur A et la convergence uniforme sur tout segment [a, ] A suffit à assurer la continuité de la limite sur A. Exemle : la fonction Zeta de Riemann, définie ar ζ(x) =, est continue sur ], [. Eneffet,si nx n= a>, la série de Riemann converge normalement, donc uniformément, sur [a, [ : x a, n x n a et n n a converge. Comme les alications x sont continues sur [a, [, ζ est continue sur [a, [. Enfin,a étant un nx réel quelconque >, ζ est continue sur ], [. l faut ien remarquer que la continuité de ζ asse de [a, [ à ], [, mais que ce n est as le cas de la convergence uniforme. Quand une série de fonction ose un rolème en un oint (comme ici en ), il faut en général s éloigner du oint our avoir convergence uniforme. Ce résultat eut se généraliser : Théorème de la doule limite our une suite de fonctions. On suose que U est une artie d un esace vectoriel normé E et que les alications f n sont définies sur U, à valeurs dans C (ou lus généralement dans un esace vectoriel normé comlet). Si a est un oint adhérent à U (on ourra aussi choisir a = ou a = si U est une artie non majorée ou non minorée de R) etsi: la suite (f n ) converge uniformément sur U vers une fonction f ; our tout n, f n (x) ossède une limite n quand x tend vers a alors la suite ( n ) ossède une limite quand n tend vers l infini et f(x) x a lim x a lim f n(x) n = lim lim f n(x). n x a. On eut donc écrire :

2 Théorème de la doule limite our une série de fonctions. On suose que U est une artie d un esace vectoriel normé E et que les alications u n sont définies sur U, à valeurs dans C (ou lus généralement dans un esace vectoriel normé comlet). Si a est un oint adhérent à U (on ourra aussi choisir a = ou a = si U est une artie non majorée ou non minorée de R) etsi: la série n u n converge uniformément sur U ; our tout n, u n (x) ossède une limite α n quand x tend vers a alors la série n α n converge et lim x a u n (x) x a u n (x) = α n. On eut donc écrire : lim u n(x). x a Exemle 2 : la fonction ζ de Riemann tend vers quand x tend vers l infini. En effet, en osant U =[2, [ et u n (x) =/n x our n et x U, la série de terme général u n (x) converge normalement (et donc uniformément) sur U et u n (x) tend vers (ou si n =) quand x tend vers : on en déduit que ζ(x) = n= n x n. Le même théorème ermet de rouver que la série de Riemann ne converge as uniformément sur ], [. Dans le cas contraire, comme u n (x) tend vers /n quand x tend vers, le théorème rouverait la convergence de la série harmonique. 2) Convergence uniforme et dérivation Théorème de dérivation de la limite d une suite de fonctions. Soit un intervalle et F un esace vectoriel normé de dimension finie. Si (f n ) n, f et ϕ sont des alications définies sur et à valeurs dans F vérifiant : chaque f n est de classe C sur ; la suite (f n ) converge simlement vers f ; la suite (fn) converge uniformément sur tout [a, ] vers ϕ, alors f est de classe C sur et f = ϕ : lim f n = lim f n. n n Théorème de dérivation de la somme d une série de fonctions. Soit un intervalle et F un esace vectoriel normé de dimension finie. Si (u n ) n est une suite d alications définies sur et à valeurs dans F vérifiant : chaque u n est de classe C sur ; la série n u n converge simlement sur ; la série n u n converge uniformément sur tout [a, ], alors la fonction u n est de classe C sur et u n = Exemle 3 : ar récurrence, on montre facilement que la fonction ζ de Riemann est de classe C,avec: x>, k N, ζ (k) (x) = n= u n. ( ) k lnk n n x.

3 Théorèmes d échange intégrale - limite ) Convergence uniforme Attention : ce théorème ne s alique que sur des intervalles d intégration ornés. Théorème our des suites de fonctions. Si les alications f n : [a, ] C sont continues ar morceaux et convergent uniformément, quand n tend vers l infini, vers une alication f : [a, ] C continue ar morceaux, alors a f n (x)dx n a f(x)dx. Théorème our des séries de fonctions. Si les u n : [a, ] C sont continues et si la série n u n converge uniformément sur [a, ], alors Remarques : a u n (x) dx = a u n (x)dx dans la version "série", on n a as de rolème d existence des intégrales car toutes les fonctions sont continues sur le segment [a, ] (la somme infinie est une limite uniforme de fonctions continues) ; on eut étendre ce résultat à un intervalle orné mais non fermé : on doit alors s assurer que les fonctions f n et f (ou u n et u n) sont sommales sur l intervalle. Exemle 4 : ce théorème est articulièrement ien adaté aux séries entières. Ainsi, il ermet d otenir, our x ], [ : ln( + x + x 2 ) = x = = = = = x +2t +t + t 2 dt j 2 j 2 t + j dt jt x x Exemle 5 : on eut également écrire, avec f(z) = j 2 (j 2 t) n + j(jt) n dt j 2(n+) + j n+ t n dt j 2(n+) + j n+ x n+ n + dt α n n + xn+ avec α n = 2 si n 2[3] sinon a n z n somme d une série entière de rayon R> : r ],R[, k N, 2π 2π f(re iθ )e ikθ dθ = 2π 2π = = a k r k a n r n 2π a n r n e i(n k)θ dθ 2π e i(n k)θ dθ

4 2) Théorème de convergence dominée L intervalle d intégration est ici un intervalle quelconque et le théorème s énonce lus naturellement en terme de suites de fonctions. Théorème de convergence dominée our des suites de fonctions. Soit un intervalle quelconque. On considère une suite d alications f n : C et une alication f : C telles que : les f n et f sont continues ar morceaux sur ; f n converge simlement vers f sur ; il existe une fonction ϕ : R + continue ar morceaux et sommale sur telle que : n N, x, f n (x) ϕ(x) Alors les fonctions f n et f sont sommales sur et (hyothèse de domination) f n (x)dx n f(x)dx. Théorème de convergence dominée our les séries de fonctions. Soit un intervalle quelconque. On considère une suite d alications u n : C telle que : les u n sont continues ar morceaux sur ; la série n u n converge simlement sur et sa somme S est continue ar morceaux ; il existe une fonction ϕ : R + continue ar morceaux et sommale sur telle que : n n N, x, u k (x) ϕ(x) (hyothèse de domination) k= Alors les fonctions u n et S sont sommales sur, la série de terme général u n (x)dx converge et u n (x) dx = u n (x)dx. Exemle 6 : si (λ n ) n est une suite de réels strictement ositifs qui convergent vers l infini, alors ( ) n e λnx dx = Pour otenir ce résultat, on note =], [ et f n (x) = λ n n ( ) k e λnk our n N et x>. On a alors : la suite f n converge simlement vers une limite f car, our x>, e λnx décroît vers quand n tend vers l infini (théorème des séries alternées) ; les f n sont clairement continues sur ; our a>, la convergence des f n est uniforme sur [a, [ : x a, n N, ( ) k e λ kx e λn+x e λn+a k=n+ et ce majorant ne déend as de x et tend vers quand n tend vers l infini ; on en déduit que f est continue sur [a, [ our tout a>, donc que f est continue sur ; enfin, on a une domination évidente : où ϕ est continue et sommale sur. k= x >, n N, f n (x) e λx = ϕ(x)

5 Ceci rouve l égalité demandée. On remarquera en assant que le théorème rouve aussi que les exressions utilisées dans cette formules ont ien un sens : la fontion f est sommale sur, la série de terme général ( ) n, est convergente et l intégrale de f sur est égale à la somme de la série. λ n Exemle 7 : soit f(z) = que la série entière F (z) = n=a a n z n la somme d une série entière de rayon non nul R. On montre facilement a n n! zn est de rayon infini. On a alors, our tout z C tel que z <R: F (zx) e x dx = f(z). En effet, fixons un réel ρ comris strictement entre z et R. Comme ρ<r, la série de terme général a n ρ n est convergente, donc il existe M tel que a n ρ n M our tout n. On a alors, en osant =[, [ et n a k g n (x) = k! (zx)k e x : k= la suite g n converge simlement vers la fonction g : x F (zx)e x our x ; les g n et g sont clairement continues sur ; on a une nouvelle fois une domination évidente, our x et n N : g n (x) n k= a k k! ( z x) k e x k= M k! où ϕ est continue et sommale sur car z ρ >. 3) Théorème de sommation terme à terme k z x e x = Me x ρ z ρ = ϕ(x) L intervalle d intégration est une nouvelle fois quelconque mais le théorème s énonce uniquement en terme de séries de fonctions. Théorème de sommation terme à terme. Soit un intervalle quelconque et (u n ) n une suite d alications définies sur et à valeurs dans C telles que : les u n sont continues ar morceaux et sommales sur ; la série n u n converge simlement sur et sa somme S est continue ar morceaux sur ; la série u n (x) dx est convergente. n Alors la fonction S est sommale sur et u n (x) dx = u n (x)dx. Exemle 8 : on eut rerendre l exercice récédent. On fixe z tel que z < R et on ose u n (x) = a n n! (zx)n e x our tout n N et our tout x. Les u n sont clairement continues et sommales sur =[, [ et la somme de la série est l alication x F (zx), qui est continue sur. Comme u n (x) dx = a n z n est le terme général d une série convergente, le théorème de sommation terme à terme s alique et on retrouve l égalité F (zx) e x dx = f(z).

6 4) ntégrale déendant d un aramètre Théorème de continuité. Soit A un artie d un evn de dimension finie, un intervalle quelconque et f : A C tels que : our tout x A, t f(x, t) est continue ar morceaux sur ; our tout t, x f(x, t) est continue sur A ; il existe une alication ϕ : R + continue ar morceaux et sommale sur telle que (x, t) A, f(x, t) ϕ(t) Alors la fonction F : x f(x, t)dt est définie et continue sur A : a A, lim f(x, t)dt = lim f(x, t) dt. x a x a Exemle 9 : la fonction F : (x, y) cos(tx + t 2 y) +t 2 dt est définie et continue sur R 2. Théorème de dérivailité. Soient A et deux intervalles quelconques et f : A C tels que : our tout x A, t f(x, t) est continue ar morceaux et sommale sur ; our tout t, x f(x, t) est de classe C sur A ; our tout x A, t f (x, t) est continue ar morceaux sur ; x il existe une alication ψ : R + continue ar morceaux et sommale sur telle que (x, t) A, f (x, t) x ψ(t) Alors la fonction F : x f(x, t)dt est définie et de classe C sur A avec : Exemle : la fonction Γ:x a A, F (a) = f(x, t) =e t t x Γ (x) = Γ 2 (x) = f (x, t)dt. x e t t x dt est de classe C sur ], [. En effet, notons our t> et x>, e t t x dt our tout x> e t t x dt our tout x> Pour A =[a, [ ], [ et =], ], le théorème s alique avec la domination : t ], ], x a, f (x, t) x ln t ta e t. On en déduit que Γ est de classe C sur chaque [a, [, donc sur ], [, avec x >, Γ (x) = ln te t t x dt.

7 De même, le théorème s alique our A =],] ], [ et =[, [ avec la domination : t, x ],], f (x, t) x ln t t e t. et Γ 2 est de classe C sur chaque ],], donc sur ], [, avec x >, Γ 2(x) = ln te t t x dt. La fonction Γ est ainsi de classe C sur ], [, avec x >, Γ (x) = ln te t t x dt. En utilisant les dominations k N, t ], ], x a, k f (x, t) xk ln t k t a e t k N, t, x ],], k f (x, t) xk ln t k t e t une récurrence élémentaire montre ensuite que Γ est de classe C sur ], [ avec k, x >, Γ (x) = (ln t) k e t t x dt.

8 Théorèmes d échange de sommes infinies (Fuini discret) Si (u,q ),q N est une famille de nomres comlexes indexée ar N 2 telle que : our tout N, lasérie u,q est asolument convergente ; q la série u,q est convergente ; q= alors u,q = u,q, toutes les séries intervenant dans cette égalité étant asolument = q= convergentes. q= = Exemle : soit f : z = a z la somme d une série entière de rayon R>. Fixons z comlexe tel que z <R. On a alors, our h comlexe tel que h <R z : f(z + h) = a (z + h) = a z q q h q = = où nous avons osé α,q = a q alors facilement : = q= = α,q z q h q si q et α,q =sinon. Le théorème de Fuini s alique our N, lasérie q α,q est asolument convergente (c est en fait une somme finie) ; q= our tout N, q= α,q = q= d une série convergente, uisque z + h <R. Nous ouvons donc écrire : f(z + h) = α,q = q= = a z q q h q = a ( z + h ) et ceci est le terme général q= a q =q z q h q = q= a q =q z q q ce qui rouve que f est déveloale en série entière au voisinage de z, et que le déveloement otenu est valide sur le disque de centre z et de rayon R z (qui est le rayon maximal ermettant au disque de rester contenu dans le disque de définition de f). On remarquera que l on retrouve la série de Taylor (formelle) de f en z,uisque: q N, q = f (q) (z ). q! Exemle 2 : soit f : z = h q a z la somme d une série entière de rayon R>. L alication g : z f(z + z 2 ) est alors définie et déveloale en série entière au voisinage de. En effet, notons r la racine strictement ositive de l équation X + X 2 = R (ar convention r = si R =). Fixons alors z tel que z <r. Nous avons : g(z) = = a z ( + z) = = a z +n = n Comme dans l exemle récédent, nous avons : 2 = q= a z q q

9 our N, lasérie our tout N, 2 q= 2 q= a z q est convergente (c est une somme finie) ; q a z q = a q z ( + z ). Comme z ( + z ) <r( + r) =R, cette quantité est le terme général d une série convergente. Nous ouvons donc écrire, en notant la fonction artie entière suérieure : q g(z) = a z q = a q q= N q 2 q= =q/2 z q q

10 Théorèmes d échange intégrale - intégrale (Fuini continu) ) ntégrale d une fonction continue sur un avé Si f : [a, ] [c, d] C est continue, alors : d f(x, y)dx dy = d a c c a f(x, y)dy dx et cette valeur commune est, ar définition, l intégrale doule de f f(x, y)dx dy. [a,] [c,d] sur [a, ] [c, d], notée 2) ntégrale d une fonction continue sur un roduit d intervalles Soient et J deux intervalles et f : J C continue. si f est à valeurs réelles ositives, on dit que f est sommale sur J s il existe un réel M tel que : [a, ] [c, d] J, f(x, y)dx dy M Si f est sommale sur J, on définit alors : f(x, y)dx dy = J su [a,] [c,d] J [a,] [c,d] [a,] [c,d] f(x, y)dx dy si f est à valeurs réelles, on dit que f est sommale sur J si f + et f le sont et on ose alors : f(x, y)dx dy = f + (x, y)dx dy f (x, y)dx dy J J si f est à valeurs comlexes, on dit que f est sommale sur J si Re(f) et m(f) le sont, ce qui revient à dire que f est sommale sur J, et on ose alors : f(x, y)dx dy = Re(f(x, y)) dx dy + i m(f(x, y)) dx dy J J J J Soient et J deux intervalles et f : J C continue et sommale sur J. Si l on a : our tout x, la fonction y f(x, y) est sommale sur J ; la fonction x f(x, y)dy est continue ar morceaux et sommale sur ; alors J J f(x, y)dy dx = J f(x, y)dx dy.

11 3) Théorème de Fuini Soient et J deux intervalles et f : J C continue. Si l on a : f est continue et sommale sur J ; our tout x, la fonction y f(x, y) est sommale sur J ; la fonction x f(x, y)dy est continue ar morceaux et sommale sur ; J our tout y J, la fonction x f(x, y) est sommale sur ; la fonction y f(x, y)dx est continue ar morceaux et sommale sur J ; alors J f(x, y)dy dx = J f(x, y)dx dy.