Intégrales curvilignes et de surfaces
|
|
- Salomé Girard
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Intégrales curvilignes et de surfaces Fabrice Dodu FORMATION CONTINUE : DUT+3 DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES : INSA TOULOUSE 2-21 Version 1.
2 Sommaire I Le cours 6 1 Intégrales curvilignes Notions sur les arcs paramétrés Définition Premières définitions et propriétés Arcs orientés Points particuliers et tangente Longueur d un arc Circulation d un champ de vecteurs Définition Calcul pratique Champ dérivant d un potentiel Formule de Green-Riemann Sommaire Entrées canoniques 2 Documents Exemples
3 2 Intégrales de surfaces Notions sur les surfaces paramétrés Définition Définition : plan tangent Aire d une surface non plane Flux d un champ de vecteurs Flux et intégrale de surface Théorèmes intégraux Théorème de Stokes Théorème d Ostrogradski II Les annexes 39 A Les exemples 4 A.1 Exemples du chapitre A.1.1 Arc paramétré dans le plan A.1.2 Arc paramétré dans le plan A.1.3 Arc paramétré dans l espace A.1.4 Orientation et tangente A.1.5 Circulation d un champ de IR A.2 Exemples du chapitre A.2.1 La sphère A.2.2 Le parapluie de Whitney Sommaire Entrées canoniques 3 Documents Exemples
4 A.2.3 Equation cartésienne d une surface A.2.4 Equation cartésienne du plan tangent B Les exercices 51 B.1 du chapitre B.1.1 Points simples et multiples B.1.2 Périmètre du cercle B.1.3 Longueur d un arc défini par une équation cartésienne y = f (x) B.1.4 Travail sur une demi-ellipse B.1.5 Travail sur une helice B.1.6 Travail d un champ dérivant d un potentiel B.1.7 Exercice : premier bilan B.1.8 Calcul d aire d une surface plane B.1.9 Exercice : second bilan B.2 du chapitre B.2.1 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne B.2.2 Aire d un cylindre B.2.3 Flux à travers une surface B.2.4 Exercice : premier bilan B.2.5 Application à la formule de Stokes B.2.6 Application à la formule d Ostrogradski B.2.7 Exercice difficile : pour le plaisir Sommaire Entrées canoniques 4 Documents Exemples
5 C Les documents 7 C.1 Documents du chapitre C.1.1 Masse d un fil C.1.2 Rappels de calcul vectoriel C.2 Documents du chapitre C.2.1 Règle du tire-bouchon de Maxwell Sommaire Entrées canoniques 5 Documents Exemples
6 Première partie Le cours Sommaire Entrées canoniques 6 Documents Exemples
7 Afin de simplifier la compréhension du cours, nous ne considèrerons que des espaces vectoriels normés E réels de dimension 2 ou 3, supposés munis de leur structure affine naturelle. Ainsi les éléments de E seront appelés vecteurs s ils sont considérés comme des éléments de l espace vectoriel E, et points s ils sont considéres comme des éléments de l espace affine E. Notation. On notera indifféremment x = (x 1,, x n ) ou x = Si x, y E alors n a) x y = x i y i = x 1 y 1 + x n y n. b) x = i=1 x x2 n. c) si n = 3, x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). x 1. x n un vecteur x E (n=2 ou 3). Sommaire Entrées canoniques 7 Documents Exemples
8 chapitre suivant 1 Intégrales curvilignes 1.1 Notions sur les arcs paramétrés Circulation d un champ de vecteurs Sommaire Entrées canoniques 8 Documents Exemples
9 chapitre section suivante 1.1 Notions sur les arcs paramétrés Définition Premières définitions et propriétés Arcs orientés Points particuliers et tangente Longueur d un arc Sommaire Entrées canoniques 9 Documents Exemples
10 section grain suivant Définition notion clé : Arc paramétré Exemples : exemple A.1.1 exemple A.1.2 exemple A.1.3 Définition 1. Soit E un espace vectoriel normé (e.v.n.) de dimension 2 ou 3. Soit I un intervalle de IR non vide et non réduit à un point. { Un arc paramétré γ de classe C k est une application de classe C k I E de I dans E notée γ. t γ (t) γ (t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)) (resp. γ (t) = (γ 1 (t), γ 2 (t), γ 3 (t))) est un arc paramétré de IR 2 (resp. IR 3 ). γ (I) est appelé support de l arc paramétré. Sommaire Entrées canoniques 1 Documents Exemples
11 section grain précédent grain suivant Premières définitions et propriétés notion clé : Points et arcs : exercice B.1.1 Définition 2. m est appelé point simple de γ (I) si il existe un unique t m I tel que m = γ (t m ). Un point multiple est un point qui n est pas simple. Définition 3. Un arc est dit simple si tous les points sont simples (i.e. si γ est injective). Définition 4. Un arc est dit fermé si γ (a) = γ(b). Définition 5. Un arc fermé est dit fermé simple si I est de la forme [a, b] ( fermé borné), γ (a) = γ(b) et la restriction de γ à l intervalle [a, b[ est injective. Sommaire Entrées canoniques 11 Documents Exemples
12 section grain précédent grain suivant Arcs orientés notion clé : Arcs équivalents Dans les exemples A.1.1 et A.1.2, les supports des deux arcs paramétrés sont les mêmes. Mathématique, on traduit ce constat par la définition suivante Définition 6. Soient (I, γ) et (J, δ) deux arcs paramétrés. On dit que les deux arcs sont C k équivalents si i) γ et δ sont de classe C k. ii) Il existe une bijection θ : I J de classe C k ainsi que sa réciproque telle que γ = δ θ. θ est appelé changement de paramètre. Remarque 1.1. θ est donc nécessairement strictement monotone car est bijectif. Définition 7. On appelle arc géométrique de classe C k l ensemble des arcs paramétrés C k équivalents. On le note Γ. Les représentants de Γ sont appelés arcs paramétrés admissibles (ou représentations admissibles). Définition 8. Soit Γ un arc géométrique de classe C k k 1. Sommaire Entrées canoniques 12 Documents Exemples
13 Soit (γ 1, γ 2 ) Γ 2 donc il existe θ tel que γ 1 = γ 2 θ donc γ 1 (t) = γ 2 (θ (t)) θ (t). On dit que γ 1 et γ 2 sont de même sens (ou positivement C k équivalents) si θ (t) >, et de sens contraire (ou non-positivement C k équivalents) si θ (t) <. On note Γ + = {(I, γ) Γ tel que γ est positivement C k équivalent}. On note Γ = {(I, γ) Γ tel que γ est non-positivement C k équivalent}. Remarque 1.2. θ étant strictement monotone, il suffit de vérifier le signe de θ pour un point quelconque de I. Lemme 1.1. Pour qu un arc géométrique admette deux orientations, il suffit qu il possède au moins deux points simples. Sommaire Entrées canoniques 13 Documents Exemples
14 section grain précédent grain suivant Points particuliers et tangente notion clé : Régulier, stationnaire, tangente Exemples : exemple A.1.4 Définition 9. Soit γ une paramétrisation de Γ arc géométrique de classe C k, (k ). i) Un point simple m = γ(t m ) de γ(i) est dit régulier si γ (t). L arc γ est régulier si tous ces points simples sont réguliers. ii) Un point simple m = γ(t m ) de γ(i) est dit stationnaire si γ (t) =. Remarque 1.3. Ces définitions sont indépendantes du choix de la paramétrisation. Définition 1. On appelle tangente au point m la droite passant par m et de vecteur directeur γ (t m ). Définition 11. Soit (I, γ) un arc régulier. On appelle vecteur tangent unitaire la quantité T(t) = T(t) est dirigé dans le sens de l orientation de l arc (I, γ). γ(t) γ (t). Sommaire Entrées canoniques 14 Documents Exemples
15 section grain précédent Longueur d un arc notion clé : Longueur d un arc : exercice B.1.2 exercice B.1.3 Documents : document C.1.1 Définition 12. Soit (I, γ) un arc paramétré de classe C k, (k 1). On appelle longueur de l arc γ, le réel positif noté L γ défini par L γ (I) = γ (t) dt (1.1) I En particulier, si (I, γ) est un arc paramétré de IR 2 alors (γ L γ (I) = 1 (t)) 2 ( + γ 2 (t) ) 2 dt De même, si (I, γ) est un arc paramétré de IR 3 alors (γ L γ (I) = 1 (t)) 2 ( + γ 2 (t) ) 2 ( + γ 3 (t) ) 2 dt I I Sommaire Entrées canoniques 15 Documents Exemples
16 chapitre section précédente 1.2 Circulation d un champ de vecteurs Définition Calcul pratique Champ dérivant d un potentiel Formule de Green-Riemann Sommaire Entrées canoniques 16 Documents Exemples
17 section grain suivant Définition Exemples : exemple A.1.5 Documents : document C.1.2 notion clé : Champ de vecteurs et circulation Définition 13. Soit A E ; espace affine réel de dimension fini attaché à un espace vectoriel E. Un champ de vecteurs sur A est une application de A dans E. Remarque 1.4. l application (x, y) IR 2 ( sin(x) cos(y), x 2) est un champ de vecteurs de IR 2. Définition 14. Soient V un champ de vecteur continu sur A et (I = [a, b], γ) un arc paramétré de classe C k tel que γ ([a, b]) A. On appelle circulation ou (travail) de V relative à γ, le réel défini par b a V (γ (t)) γ (t) dt (1.2) Sommaire Entrées canoniques 17 Documents Exemples
18 section grain précédent grain suivant Calcul pratique notion clé : Calcul du travail d un champ de force : exercice B.1.4 exercice B.1.5 Point de vue physique Soient A = γ(a), B = γ(b) deux points de IR 3 et V(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteur. γ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Alors b a V (γ (t)) γ (t) dt est le travail total produit par le champ de force V lorsque une particule se déplace du point A au point B le long de la trajectoire paramétrée par γ et ce travail est noté Rappel : W AB (V) = W BA (V) W AB (V) = b a V (γ (t)) γ (t) dt = AB Pdx + Qdy + Rdz Méthodologie : calculer le travail de V le long du segment curviligne AB (donc orienté). 1. a) Déterminer une paramétrisation ([a, b], γ) de l arc orienté. Sommaire Entrées canoniques 18 Documents Exemples
19 b) Vérifier si cette paramétrisation est compatible avec l orientation imposée par l énoncé. c) Si la paramétrisation est compatible avec l orientation alors W AB (V) = b d) Si la paramétrisation n est pas compatible alors a V (γ (t)) γ (t) dt (1.3) W AB (V) = e) Calculer une intégrale simple. b a V (γ (t)) γ (t) dt (1.4) 2. En utilisant la seconde formule, il suffit simplement d intégrer la forme différentielle ω = Pdx + Qdy + Rdz Sommaire Entrées canoniques 19 Documents Exemples
20 section grain précédent grain suivant Champ dérivant d un potentiel notion clé : Potentiel et travail : exercice B.1.6 exercice B.1.7 Définition 15. Soit U un champ de vecteur continûment dérivable. On dit que U dérive d un potentiel f si U = f. Remarque 1.5. Si U dérive d un potentiel alors rot U = rot ( f ) = d après le document C.1.2. Théorème 1.1. Soit U un champ de vecteur dérivant d un potentiel f. Alors, on a : W AB (U) = f (B) f (A) Démonstration. ( ) On suppose que la paramétrisation [a, b], γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) est compatible avec l orientation du segment curviligne AB. Comme U = f, on a d après la formule (1.3), Sommaire Entrées canoniques 2 Documents Exemples
21 U (γ(t)) γ (t) = f ( ) x(t), y(t), z(t) x (t) + f x y (x(t), y(t), z(t)) y (t) + f z (x(t), y(t), z(t)) z (t) = df ( ) x(t), y(t), z(t) dt Donc on obtient b W (U) AB = df ( ) x(t), y(t), z(t) dt a dt = f (x(b), y(b), z(b)) f (x(a), y(a), z(a)) = f (B) f (A) (1.5) Remarque 1.6. i) Si U dérive d un potentiel alors son travail ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A vers B. ii) Si la courbe est fermée alors son travail est nul (car A = B). Sommaire Entrées canoniques 21 Documents Exemples
22 section grain précédent Formule de Green-Riemann notion clé : Green-Riemann, Calcul d aire : exercice B.1.8 exercice B.1.9 La formule de Green-Riemann permet de ramener, dans certains cas, une intégrale double en une intégrale curviligne sur la courbe qui délimite le domaine d intégration. D Figure 1.1 Domaine D et sa frontière orientée Γ + Théorème 1.2. Soit D une partie de IR 2 limitée par Γ + un arc géométrique simple fermé orienté dans le sens direct (figure 1.1). Soient P et Q deux fonctions de classe C 1 sur D. Sommaire Entrées canoniques 22 Documents Exemples
23 Alors, on a D ( Q x ) P (x, y) (x, y) dxdy = Pdx + Qdy (1.6) y Γ + Lemme 1.2. Soit D un domaine de IR 2. Aire de D = dxdy (1.7) D = x dy (1.8) Γ + = y dx (1.9) Γ + = 1 x dy y dx (1.1) 2 Γ + Démonstration. On obtient ces résultats en posant P(x, y) = y, Q(x, y) = ou P(x, y) =, Q(x, y) = x dans la formule (1.6). Sommaire Entrées canoniques 23 Documents Exemples
24 chapitre précédent 2 Intégrales de surfaces 2.1 Notions sur les surfaces paramétrés Flux d un champ de vecteurs Théorèmes intégraux Sommaire Entrées canoniques 24 Documents Exemples
25 chapitre section suivante 2.1 Notions sur les surfaces paramétrés Définition Définition : plan tangent Aire d une surface non plane Sommaire Entrées canoniques 25 Documents Exemples
26 section grain suivant Définition notion clé : Nappe et surface Exemples : exemple A.2.1 exemple A.2.2 exemple A.2.3 E est un espace affine de dimension 3 attaché à l espace vectoriel E. On identifie E à E par le choix d une origine. De la même manière que pour les arcs paramétrés, on définit la notion de nappe paramétrée comme suit Définition 16. Soit D un domaine (i.e. on peut mesure son aire qui est supposée finie) de IR 2. Une nappe paramétrée de classe C k (k ) de E est une application de classe C k : Φ : D E. On appelle surface l image par Φ de D et notée Σ = Φ(D). Sommaire Entrées canoniques 26 Documents Exemples
27 section grain précédent grain suivant Définition : plan tangent Exemples : exemple A.2.4 : exercice B.2.1 Documents : document C.2.1 notion clé : Plan tangent et vecteur normal Définition 17. Soit Σ une surface définie par une paramétrisation Φ : D E différentiable en (u, v ). x = Φ 1 (u, v) Φ(u, v) = y = Φ 2 (u, v) z = Φ 3 (u, v) Φ 1 u (u Φ 1, v ) v (u, v ) Si les vecteurs Φ 2 u (u, v ) et Φ 2 v (u, v ) sont linéairement indépendants, Φ 3 u (u Φ 3, v ) v (u, v ) alors il existe un plan P M tangent à la surface Σ en M = Φ(u, v ) qui est caractérisé par P M = { M E, P = Φ(u, v ) + Φ u (u, v ) (u u ) + Φ } v (u, v ) (v u ) Sommaire Entrées canoniques 27 Documents Exemples
28 Remarque 2.1. P est paramétré par le développement d ordre 1 de Φ en (u, v ). Définition 18. (Avec les notations de la définition 17). La normale à la surface au point M est la droite affine passant par ce point et perpendiculaire au plan tangent. Un vecteur directeur est N = Un vecteur directeur unitaire est Φ 1 u Φ 2 u Φ 3 u n = N N Φ 1 v Φ 2 v Φ 3 v (2.1) (2.2) Remarque 2.2. a) De la même manière que pour la tangente d un arc géométrique, il existe deux vecteurs normaux à une surface N(u, v) et N(u, v). b) L orientation de la surface est déterminée par un champ continu de normales qui induisent ainsi une face pour la surface. Un paramétrage de la surface sera Sommaire Entrées canoniques 28 Documents Exemples
29 compatible avec l orientation si la normale qu il génère coïncide avec le choix de la normale fixant l orientation. Pour une surface fermée, on considére le champ de normales sortant. (Voir Document C.2.1). Sommaire Entrées canoniques 29 Documents Exemples
30 section grain précédent Aire d une surface non plane notion clé : Aire d une surface non plane : exercice B.2.2 On a vu (formule (1.7)) que si la surface D est plane (par exemple dans le plan xoy) alors son aire est définie par Aire de D = dxdy (2.3) D Soit maintenant une surface Σ (non plane) alors son aire est donnée par le théorème suivant Théorème 2.1. Soit Σ une surface non plane définie par une paramétrisation Φ différentiable Φ : IR 3. Notons T u et T v les vecteurs définis par T u (u, v) = Φ 1 (u, v) u Φ 2 (u, v) u Φ 3 (u, v) u et T v (u, v) = Φ 1 (u, v) v Φ 2 (u, v) v Φ 3 (u, v) v Sommaire Entrées canoniques 3 Documents Exemples
31 Alors l aire de Σ vaut Aire de Σ = T u (u, v) T v (u, v) dudv (2.4) Sommaire Entrées canoniques 31 Documents Exemples
32 chapitre section précédente section suivante 2.2 Flux d un champ de vecteurs Flux et intégrale de surface Sommaire Entrées canoniques 32 Documents Exemples
33 section Flux et intégrale de surface : exercice B.2.3 exercice B.2.4 notion clé : Flux, intégrale de surface Le flux d un champ de vecteurs à travers une surface est fondamental dans diverses domaines. Pour différencier un flux rentrant d un flux sortant, l orientation de la surface Σ est fondamentale. Définition 19. Soient Σ + une surface orienté régulière et Φ une paramétrisation de Σ = Φ ( ). Soit V un champ de vecteurs de IR 3 continu. On appelle flux du champ V à travers Σ +, le nombre noté V dσ et défini par Σ + Σ + V dσ = où n est le champ de normale unitaire défini en (2.2). V (Φ(x, y)) n(x, y) dx dy (2.5) Lemme 2.1. Soit Σ une surface définie par l équation {z = f (x, y), (x, y) D} où f est différentiable. Sommaire Entrées canoniques 33 Documents Exemples
34 Alors le flux de V à travers Σ + est V dσ = ε Σ + ( V (x, y, f (x, y)) f ) (x, y), f (x, y), 1 dxdy(2.6) D x y où ε = 1 si le vecteur normal est orienté vers les z croissants, ε = 1 sinon. Sommaire Entrées canoniques 34 Documents Exemples
35 chapitre section précédente 2.3 Théorèmes intégraux Théorème de Stokes Théorème d Ostrogradski Sommaire Entrées canoniques 35 Documents Exemples
36 section grain suivant Théorème de Stokes notion clé : Stokes : exercice B.2.5 Théorème 2.2. Soient Σ + une surface orientée par le choix d un champ de normales et Γ + le bord fermé de Σ +, orienté de manière cohérente avec Σ + (règle du tire-bouchon de Maxwell (figure 2.1). Soit V un champ de vecteurs de IR 3 continument différentiable, de composantes respectives V 1, V 2 et V 3. Alors le flux du rotationnel de V à travers la surface Σ + est égal à la circulation de V le long de l arc Γ + i.e rot V dσ = V 1 dx + V 2 dy + V 3 dz (2.7) Σ + Γ + Sommaire Entrées canoniques 36 Documents Exemples
37 section grain précédent Théorème d Ostrogradski notion clé : Ostrogradski, volume : exercice B.2.6 exercice B.2.7 Théorème 2.3. Soit V un domaine de IR 3 limité par une surface fermée Σ + orientée vers l extérieur de V. Soit V un champ de vecteurs de classe C 1. Alors l intégrale de la divergence de V dans V est égale au flux de V à travers la surface Σ + i.e. V div V dxdydz = Σ + V dσ (2.8) Lemme 2.2. (Avec les notations précédentes) Volume(V) = dxdydz = V Σ + zdxdy Sommaire Entrées canoniques 37 Documents Exemples
38 Γ Γ+ Figure 2.1 Régle du tire-bouchon de Maxwell Sommaire Entrées canoniques 38 Documents Exemples
39 Deuxième partie Les annexes Sommaire Entrées canoniques 39 Documents Exemples
40 Annexe A Les exemples Table des exemples A.1 : Exemples du chapitre Exemple A.1.1 : Arc paramétré dans le plan Exemple A.1.2 : Arc paramétré dans le plan Exemple A.1.3 : Arc paramétré dans l espace Exemple A.1.4 : Orientation et tangente Exemple A.1.5 : Circulation d un champ de IR A.2 : Exemples du chapitre Exemple A.2.1 : La sphère Sommaire Entrées canoniques 4 Documents Exemples
41 Exemple A.2.2 : Le parapluie de Whitney Exemple A.2.3 : Equation cartésienne d une surface Exemple A.2.4 : Equation cartésienne du plan tangent Sommaire Entrées canoniques 41 Documents Exemples
42 précédent suivant A.1 Exemples du chapitre 1 Exemple A.1.1 Arc paramétré dans le plan I = [ π 2, π 2 ], γ(t) = (sin (t), cos (t)) Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 42 Documents Exemples
43 précédent suivant Exemple A.1.2 Arc paramétré dans le plan I = [ 1, 1], γ (t) = (t, ) 1 t Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 43 Documents Exemples
44 précédent suivant Exemple A.1.3 Arc paramétré dans l espace I = [, 4π], γ (t) = (cos (t), sin (t), 2t) Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 44 Documents Exemples
45 précédent suivant Exemple A.1.4 Orientation et tangente Suivant le choix de l orientation de l arc, on obtient deux vecteurs tangents de sens opposé. Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 45 Documents Exemples
46 précédent suivant Exemple A.1.5 Circulation d un champ de IR 3 Soit V(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteur de IR 3. Soit (I = [a, b], γ) un arc paramétré par γ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Alors la circulation de V relative à γ est b a V (γ (t)) γ (t) dt = = b a b a V (x(t), y(t), z(t)) (x (t), y (t), z (t) ) dt ( ) P (x(t), y(t), z(t)) x (t) + Q (x(t), y(t), z(t)) y (t) + R (x(t), y(t), z(t)) z (t) dt Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 46 Documents Exemples
47 précédent suivant A.2 Exemples du chapitre 2 Exemple A.2.1 La sphère D = {(u, v), < u < π, < v < 2π} avec Φ (u, v) = x = a sin(u) cos(v) y = a sin(u) sin(v) z = a cos(u) Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 47 Documents Exemples
48 précédent suivant Exemple A.2.2 Le parapluie de Whitney D = [ 1, 1] 2 avec Φ (u, v) = x = uv y = u z = v Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 48 Documents Exemples
49 précédent suivant Exemple A.2.3 D = [ 5, 5] 2 avec Φ (u, v) = Equation cartésienne d une surface x = x y = y z = f (x, y) où f (x, y) = x + y 2 sin(x) Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 49 Documents Exemples
50 précédent suivant Exemple A.2.4 Equation cartésienne du plan tangent Notons f, g et h les coordonnées de Φ dans un repère affine fixé de E. Alors l équation cartésienne de P dans ce repère est x f (u, v ) y g(u, v ) z h(u, v ) f u (u g, v ) u (u h, v ) u (u, v ) f v (u g, v ) v (u h, v ) v (u, v ) = Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 5 Documents Exemples
51 Annexe B Les exercices Table des exercices B.1 : du chapitre Exercice B.1.1 : Points simples et multiples Exercice B.1.2 : Périmètre du cercle Exercice B.1.3 : Longueur d un arc défini par une équation cartésienne y = f (x) Exercice B.1.4 : Travail sur une demi-ellipse Exercice B.1.5 : Travail sur une helice Exercice B.1.6 : Travail d un champ dérivant d un potentiel Exercice B.1.7 : Exercice : premier bilan Sommaire Entrées canoniques 51 Documents Exemples
52 Exercice B.1.8 : Calcul d aire d une surface plane Exercice B.1.9 : Exercice : second bilan B.2 : du chapitre Exercice B.2.1 : Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne Exercice B.2.2 : Aire d un cylindre Exercice B.2.3 : Flux à travers une surface Exercice B.2.4 : Exercice : premier bilan Exercice B.2.5 : Application à la formule de Stokes Exercice B.2.6 : Application à la formule d Ostrogradski Exercice B.2.7 : Exercice difficile : pour le plaisir Sommaire Entrées canoniques 52 Documents Exemples
53 précédent suivant B.1 du chapitre 1 Exercice B.1.1 Points simples et multiples Tracer les arcs paramétrés suivants, quels sont les points multiples (si ils existent)? a) ([, 2π], γ) où γ (t) = (cos(t), sin (t)). b) ([, 4π], γ) où γ (t) = ( cos(t), sin (t)). c) ([, + [, γ) où γ (t) = ( t, t 2). Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 53 Documents Exemples
54 précédent suivant Exercice B.1.2 Périmètre du cercle Calculer le périmètre d un cercle de centre l origine et de rayon R. Retour au grain Solution : à regarder en dernier!! Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Entrées canoniques 54 Documents Exemples
55 précédent suivant Exercice B.1.3 Longueur d un arc défini par une équation cartésienne y = f (x) Calculer la longueur du segment curviligne d équation y = f (x) entre les abscisses x a et x b. ( x Application : calculer la longueur de l arc de chainette d équation y = ach pour x [, a]. a) Solution : à regarder en dernier!! Aide 1 Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 55 Documents Exemples
56 précédent suivant Exercice B.1.4 Travail sur une demi-ellipse Calculer le travail du champ de force V(x, y) = ( y 2, x 2) le long de la demi-ellipse supérieure orientée Γ + 1. la formule b a V (γ(t)) γ (t) dt. 2. la formule Γ + Pdx + Qdy. b a Retour au grain Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Entrées canoniques 56 Documents Exemples
57 précédent suivant Exercice B.1.5 Travail sur une helice Soit le champ de vecteur V(x, y, z) = ( x + z, y 2, x ). Calculer le travail de V sur l arc orienté AB de l hélice dont la paramétrisation est x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t), z(t) = at avec A = (R,, ), B = (R,, 2πa). On utilisera la formule AB Pdx + Qdy + Rdz z y x Retour au grain Solution Sommaire Entrées canoniques 57 Documents Exemples
58 précédent suivant Exercice B.1.6 Travail d un champ dérivant d un potentiel Soit V un champ de vecteurs de IR 3 de composantes respectives P(x, y, z) = xy, Q(x, y, z) = αx 2 + z, R(x, y, z) = y. 1. Calculez la divergence de V. 2. A quelle condition V dérive-t-il d un potentiel? 3. Calculer le gradient de la fonction f définie par f (x, y, z) = yx2 2 + yz + C (C étant une constante arbitraire). 4. En déduire le travail de V le long du segment orienté OA où O = (,, ) et A = (1, 1, 1). Retour au grain Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Question 4 Aide 1 Sommaire Entrées canoniques 58 Documents Exemples
59 précédent suivant Exercice B.1.7 Exercice : premier bilan On considère une particule qui se deplace dans le champ de force V(x, y) = (x ay, 3y 2x)). 1. Calculer le travail reçu par la particule en fonction de a. a) si elle se déplace sur le segment rectiligne OA avec O = (, ), A = (2, 4). b) si elle se déplace de O à A en suivant le trajet OA A où A est la projection de A sur l axe des abscisses. c) si elle se déplace de O à A en suivant le trajet OA A où A est la projection de A sur l axe des ordonnées. Conclusion? 2. Calculer en fonction de a le travail de la particule qui parcours une fois, dans le sens trigonométrique le périmètre du cercle de centre O et de rayon Pour quelle valeur de a le champ de force V dérive-t-il d un potentiel f? Déterminer V(x, y). Que peut-on dire alors des travaux calculés précédemment? Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 59 Documents Exemples
60 précédent suivant Exercice B.1.8 Calcul d aire d une surface plane Calculez l aire D délimitée par l ellipse Γ + d équation x(t) = a cos(t), y(t) = b sin(t) en utilisant a) x dy. Γ + b) y dx. Γ + Retour au grain Solution Sommaire Entrées canoniques 6 Documents Exemples
61 précédent suivant Exercice B.1.9 Exercice : second bilan Soit V le champ de vecteurs de IR 2 de composantes respectives notées P(x, y) = yx 2 et Q(x, y) = xy 2. On définit D = { (x, y) IR 2, x 2 + y 2 2y < }. Notons Γ + le bord de D orienté dans le sens trigonométrique. a) faire une figure représentant D. b) calculer Pdx + Qdy. Γ + ( ) Q P c) calculer (x, y) (x, y) dxdy D x y d) Conclusion. Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 61 Documents Exemples
62 précédent suivant B.2 du chapitre 2 Exercice B.2.1 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne En vous inspirant de l exemple A.2.4, déterminer l équation cartésienne du plan tangent P à la surface Σ si celle-ci x est définie par la paramétrisation suivante Φ(x, y) = y f (x, y). Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 62 Documents Exemples
63 précédent suivant Exercice B.2.2 Aire d un cylindre Soit Σ la surface définie par { (x, y, z) IR 3 ; x 2 + y 2 2ax =, < z < h }. a) Representer Σ. b) Calculer son aire. Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 63 Documents Exemples
64 précédent suivant Exercice B.2.3 Flux à travers une surface ) Soit V le champ de vecteurs de IR 3 défini par V(x, y, z) = (xz, z, z2 2. Soit Σ la surface définie par l équation z = x 2 + y 2, z 1, un champ de vecteurs normaux étant orientée vers les z croissants. a) Représenter Σ et son orientation. b) Calculer le flux du champ V à travers la surface orientée. Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 64 Documents Exemples
65 précédent suivant Exercice B.2.4 Exercice : premier bilan Calculer le flux du champ vectoriel V(x, y, z) = (y, x, y + z) à travers le triangle Σ = {2x + y + z = 2, x, y, z } ; la normale étant orientée vers les z croissants. Retour au grain Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Aide 5 Sommaire Entrées canoniques 65 Documents Exemples
66 précédent suivant Exercice B.2.5 Application à la formule de Stokes Soit Σ + le cône d équation z = 1 x 2 + y 2, z > orienté vers le haut. Soit le champ vectoriel de IR 3 défini par V(x, y, z) = ( y, x, 1 + x + y) 1. Calculer le flux du rotationnel de V à travers Σ Retrouver le résultat en appliquant la formule de Stokes. Retour au grain Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 2 Aide 1 Aide 2 Sommaire Entrées canoniques 66 Documents Exemples
67 précédent suivant Exercice B.2.6 Application à la formule d Ostrogradski Calculer le flux du champ de vecteurs de IR 3 défini par V(x, y, z) = (,, z) à travers la sphère d équation x 2 + y 2 + z 2 = 1. Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 67 Documents Exemples
68 précédent suivant Exercice B.2.7 Exercice difficile : pour le plaisir... Théorème B.1. (Avec les notations du théorème 2.2). Si Σ est une surface fermée, alors on a On va vérifier ce théoreme sur le cas suivant. Σ + rot V dσ = Soient le cône Σ 1 paramétrisé par Φ 1 : (θ, z) [, 2π] [, 1] x = z cos(θ) y = z sin(θ) z = z dans le sens trigonométrique. a) Tracer Σ 1. b) Déterminer une normale de Σ 1 + et vérifier si celle-ci correspond avec l orientation de Γ 1 + c) Soit V le champ de vecteur défini par V(x, y, z) = (yz, xz, ). Déterminer sa circulation le long de Γ 1 + et le flux de rot V à travers Σ 1 +. d) Soit Σ 2 la surface paramétrée par Φ 2 : (θ, ρ) [, 2π] [, 1] x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) z = 1 Déterminer une normale de Σ 2 + et vérifier si celle-ci correspond avec l orientation de Γ 1 +. et Γ 1 + son bord orienté Sommaire Entrées canoniques 68 Documents Exemples.
69 e) Soit Σ la surface fermée définie par Σ = Σ 1 Σ 2. D après le théorème précédent, le flux du rotationnel de V à travers cette surface est nul. Tracer Σ et vérifier par le calcul. Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 69 Documents Exemples
70 Annexe C Les documents Table des documents C.1 : Documents du chapitre Document C.1.1 : Masse d un fil Document C.1.2 : Rappels de calcul vectoriel C.2 : Documents du chapitre Document C.2.1 : Règle du tire-bouchon de Maxwell Sommaire Entrées canoniques 7 Documents Exemples
71 précédent suivant C.1 Documents du chapitre 1 Document C.1.1 Masse d un fil Cours : Longueur d un arc La masse d un fil (de section constante) de longueur l et de masse linéique ρ (masse par unité de longueur) vaut m = ρl. Malheureusement, si le fil n est pas de section constante alors la masse linéique ρ n est plus contante et est une fonction d un paramètre t. Notons (I, γ) un arc géométrique dont le support γ (I) modélise notre fil, alors on admettra que m = ρ(t) γ (t) dt I Sommaire Entrées canoniques 71 Documents Exemples
72 précédent suivant Document C.1.2 Rappels de calcul vectoriel Cours : Champ de vecteurs et circulation Potentiel et travail Dans toute la suite, on supposera que Ω est un ouvert de l espace affine euclidien de dimension n = 3. Définition 2. Soit f une fonction de Ω dans IR différentiable. On appelle gradient de f, le champ de vecteur noté f et défini par f = ( f x i ) n i=1 Définition 21. Soit V un champ de vecteur de IR 3 dont les composantes P, Q, R sont des applications différentiables dans Ω. On appelle rotationnel de V, le champ de vecteur noté rot V et défini par R y (x, y, z) Q z (x, y, z) rot V(x, y, z) = P z (x, y, z) R x (x, y, z) Q P x (x, y, z) x (x, y, z) Si V est un champ de vecteur de IR 2, on définit son rotationnel par Sommaire Entrées canoniques 72 Documents Exemples
73 rot V(x, y) = Q x P (x, y) x (x, y). Définition 22. Soit V un champ de vecteur de IR 3 dont les composantes P, Q, R sont des applications différentiables dans Ω. On appelle divergence de V, la fonction noté div V et défini par div V(x, y, z) = P x (x, y, z) + Q y PETIT FORMULAIRE R (x, y, z) + (x, y, z) z (C.1) Soient c une constante, f, g deux fonctions différentiables sur Ω, U et V deux champs de vecteurs continument différentiables sur Ω. Alors, on a : i) (cf ) = c f. ii) (f + g) = f + g. iii) (fg) = f g + g f. iv) rot (cu) = c rot U. v) rot (U + V) = rot U + rot V. vi) div (cu) = c div U. vii) div (U + V) = div U + div V. Sommaire Entrées canoniques 73 Documents Exemples
74 viii) div (V) = V = rot U. ix) rot (V) = V = f. Sommaire Entrées canoniques 74 Documents Exemples
75 précédent suivant C.2 Documents du chapitre 2 Document C.2.1 Règle du tire-bouchon de Maxwell Cours : Plan tangent et vecteur normal Le sens de C est le sens de progression du tire bouchon de Maxwell dont le manche subirait la petite rotation qui amène A sur B. C B A Sommaire Entrées canoniques 75 Documents Exemples
76 Si le contour est orienté comme ci-dessous, alors n a le sens de progression du tire bouchon de Maxwell dont le manche tournerait dans le sens choisi. N Sommaire Entrées canoniques 76 Documents Exemples
77 Entrées canoniques Le gras indique un grain où le concept est défini ; l italique indique un renvoi à un exercice ou un exemple, le gras italique à un document, et le romain à un grain où le concept est mentionné. A Aire d une surface non plane Arc paramétré Arcs équivalents C Calcul du travail d un champ de force Champ de vecteurs et circulation , 72 F Flux, intégrale de surface G Green-Riemann, Calcul d aire L Longueur d un arc , 71 N Nappe et surface O Ostrogradski, volume P Plan tangent et vecteur normal , 75 Points et arcs Potentiel et travail , 72 R Régulier, stationnaire, tangente S Stokes Sommaire Entrées canoniques 77 Documents Exemples
78 Solution de l exercice B.1.1 L arc paramétré de l exercice B.1.1 est a) un cercle de centre et de rayon 1 parcouru une fois donc (1, ) est un point multiple. C est un arc fermé b) un cercle de centre (1,2) et de rayon 1 2 multiples. parcouru deux fois donc tous les points sont
79 c) un parabole d équation y = t 2, t > qui est un arc simple Retour à l exercice
80 Solution de l exercice B une paramétrisation possible est t [, 2π], γ(t) = (R cos(t), R sin(t)). γ( t) = ( R sin(t)) 2 + (R cos(t)) 2 2. = R 2 = R 3. L γ ([, 2π]) = 2π R dt = 2πR Retour à l exercice
81 Aide 1, Exercice B.1.2 Etape 1 : on détermine une paramétrisation du cercle. Retour à l exercice
82 Aide 2, Exercice B.1.2 Etape 2 : on calcule γ( t). Retour à l exercice
83 Aide 3, Exercice B.1.2 Etape 3 : on applique la formule générale (1.1). Retour à l exercice
84 Solution de l exercice B.1.3 Une paramétrisation possible est : t [x a, x b ], γ(t) = (t, f (t)). On calcule γ (t) = (1) 2 + (f (t)) 2 et la longueur est donc xb 1 + (f (t)) 2 dt x a ( x Application : f (x) = ach. a) a ( x ) 2dx L γ ([, a]) = 1 + sh a a ( x = ach dx a) = ash (1) Retour à l exercice
85 Aide 1, Exercice B.1.3 Paramétrer ce segment curviligne et appliquer la formule générale (1.1). Retour à l exercice
86 Aide 1, question 1, Exercice B.1.4 Une paramétrisation de l ellipse (complète) est t [, 2π], γ(t) = (a cos(t), b sin(t)) Retour à l exercice
87 Aide 2, question 1, Exercice B.1.4 Une paramétrisation de la demi-ellipse est t [, π], γ(t) = (a cos(t), b sin(t)). En t =, on est au point (a, ) et en t = π, on se trouve au point ( a, ), la paramétrisation est donc compatible avec l orientation de l énoncé. Calculez V(γ(t)) γ (t). Rappel si X = (X 1, X 2 ) et Y = (Y 1, Y 2 ) sont des vecteurs de IR 2 alors X Y est un scalaire qui vaut X Y = X 1 Y 1 + X 2 Y 2 Retour à l exercice
88 Aide 3, question 1, Exercice B.1.4 On a : γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)). V (γ 1 (t), γ 2 (t)) = V (a cos(t), b sin(t)) = ( b 2 sin(t) 2, a 2 cos(t) 2). γ (t) = ( γ 1 (t), γ 2 (t)) = ( a sin(t), b cos(t)). Par définition du produit scalaire entre les vecteurs V et γ, on obtient ( V (γ(t)) γ (t)) = b 2 sin(t) 2, a 2 cos(t) 2) ( a sin(t), b cos(t)) = ab 2 sin(t) 3 + a 2 b cos(t) 3 (C.2) Il reste à intégrer cette dernière expression entre et π. Utilisez les formules de Moivre pour linéariser sin(t) 3 et cos(t) 3. Formules de Moivre
89 sin(t) = e it e it 2i cos(t) = eit + e it ( 2 e it ) n = e nit Retour à l exercice
90 Aide 4, question 1, Exercice B.1.4 On va linéariser sin(t) 3 en utilisant les formules de Moivre : ( e sin(t) 3 it e it ) 3 = 2i = 1 (e 3it 3e 2it e it + 3e it e 2it e 3it) 8i [( = 1 e 3it e 3it) ( 3e it 3e it) ] 4 2i = 1 4 (sin(3t) 3 sin(t)) En faisant de même pour cos(t) 3, on obtient : cos(t) 3 = 1 (cos(3t) + 3 cos(t)) 4
91 π On obtient finalement V (γ(t)) γ (t) dt = π = ab2 4 = 4ab2 3 [ ab 2( 4 ( [ cos(3t) ) sin(3t) 3 sin(t) 3 ] π [ + 3 cos(t) + a2 b ( cos(3t) + 3 cos(t)) ] dt 4 ] π ) + a2 b ( [ ] sin(3t) π 4 3 [ + 3 sin(t) ] π ) Retour à l exercice
92 Aide 1, question 2, Exercice B.1.4 On a vu à la précédente question qu une paramétrisation admissible de Γ + est t [, π], γ(t) = (a cos(t), b sin(t)). Donc chaque point M d abscisse x et d ordonnée y parcourt cet arc. Exprimez x et y en fonction de t, puis déterminez la différentielle dx et dy. Retour à l exercice
93 Aide 2, question 2, Exercice B.1.4 On a : x(t) = a cos(t), y(t) = b sin(t). Leurs différentielles respectives sont donc dx = a sin(t)dt dy = b cos(t)dt Calculer Γ + Pdx + Qdy où P (resp. Q) désigne la première (resp. seconde) composante du champ V. Retour à l exercice
94 On a : P(x, y) = y 2 et Q(x, y) = x 2. Γ + Pdx + Qdy = Aide 3, question 2, Exercice B.1.4 = y 2 dx + x 2 dy Γ + ( ) a(b sin(t)) 2 sin(t) + (a cos(t)) 2 b cos(t) dt π On retrouve bien sûr la même intégrale que précédemment. Retour à l exercice
95 Solution de l exercice B.1.5 La paramétrisation est γ(t) = (R cos(t), R sin(t), at) avec t [, 2π] et est bien compatible avec l orientation (γ() = A et γ(2π) = B). On a : dx = R sin(t)dt, dy = R cos(t)dt, dz = a dt et on obtient W AB (V) = 2π = ar [ ] (R cos(t) + at) ( R sin(t)) + R 2 sin(t) 2 R cos(t) + (R cos(t)) a dt 2π t sin(t) dt On intègre par parties b a f (t)g (t) dt = [f (t)g(t)] b a b a f (t)g(t) dt en posant f (t) = t et g (t) = sin(t). On obtient donc W (V) = 2πaR AB Retour à l exercice
96 On applique la formule (C.1) et on obtient Aide 1, question 1, Exercice B.1.6 div V(x, y, z) = y Retour à l exercice
97 Aide 1, question 2, Exercice B.1.6 V dérive d un potentiel si et seulement si rot V =. Retour à l exercice
98 Aide 2, question 2, Exercice B.1.6 rot V(x, y, z) = (,, x(2α 1)) Donc rot V = = α = 1 2. Pour α = 1, il existe une fonction g telle que V = g. 2 Retour à l exercice
99 Donc on a f = V Aide 1, question 3, Exercice B.1.6 f (x, y, z) = ) (yx, z + x2 2, y Retour à l exercice
100 Aide 1, question 4, Exercice B.1.6 Comme V dérive du potentiel f, d après la relation (1.5) son travail le long d un arc orienté OA vaut W OA (V) = f (A) f (O) = 3 2 Retour à l exercice
101 Solution de l exercice B.1.7 A A O A 1. a) on choisit une paramétrisation du segment OA, par exemple t [, 2], γ(t) = (t, 2t). Comme cette paramétrisation est compatible avec l orientation (de O vers A) alors on applique la formule (1.3) et on a W (V) = OA Calculons V (γ(t)) γ (t). 2 V (γ(t)) γ (t) dt.
102 V (γ(t)) = V (γ 1 (t), γ 2 (t)) = V (t, 2t) = (t 2at, 3 2t 2t) V (γ(t)) γ (t) = (t 2at) (1) + (3 2t 2t) (2) = t 2at + 8t = 9t 2at Il ne reste plus qu à intégrer une fonction (en la variable t) élémentaire. W OA (V) = 2 = 18 4a (9t 2at) dt b) On calcul le travail sur l arc orienté paramétrisations des arcs OA et A A. Un paramétrage de l arc OA compatible est t [, 2], le long de OA est donc OA A = OA A A. On doit donc déterminer les γ(t) = (t, ). Le travail de V
103 W OA (V) = = = = V (t, ) (1, ) dt (t, 2t) (1, ) dt On fait de même sur l arc A A avec la paramétrisation suivante (qui est compatible avec l orientation de l arc) t [, 4], γ(t) = (2, t). W A A (V) = = = t dt V (2, t) (, 1) dt 3t 4 dt Donc le travail total de V pour aller de O à A puis à A vaut
104 W (V) = W OA A OA (V) + W A (V) A = = 1 Remarque importante. On aurait pu choisir pour paramétrer l arc orienté A A la paramétrisation suivante t [ 4, ], α(t) = (2, t) mais dans ce cas cette paramétrisation n est pas compatible avec l orientation de l arc A A (on va de α( 4) = A à α() = A ). Il suffit d appliquer alors la formule (1.4). On obtient donc W A A (V) = = 4 4 = ( 8) = 8 V (2, t) (, 1) dt (3t + 4) dt Quelque soit la paramétrisation que vous choisissez, vérifier toujours si celle-ci est compatible avec l orientation imposé par l exercice. c) on fait de même en trouvant deux paramétrisations des arcs OA et A A.
105 arc OA paramétré par t [, 4], γ(t) = (, t). W (V) = 24 OA arc A A paramétré par t [, 2], γ(t) = (t, 4). W (V) = 2 8a A A Le travail total vaut donc W (V) = 26 8a OA A Conclusion : le travail pour aller de O à A dépend du chemin suivi donc le champ de force V ne dérive pas en général d un potentiel (remarque 1.6). 2. une paramétrisation du cercle orienté de centre O = (, ) et de rayon 2 est t [, 2π], γ(t) = (2 cos(t), 2 sin(t)) Rappels : cos(t) 2 dt = 1 2 (t + cos(t) sin(t)) + C. sin(t) 2 dt = 1 2 (t cos(t) sin(t)) + C.
106 cos(t) sin(t) dt = 1 2 sin(t)2 + C. W Cercle+ (V) = = 2π 2π = 4a 2π V (2 cos(t), 2 sin(t)) ( 2 sin(t), 2 cos(t)) dt ( ) 4a sin(t) 2 8 cos(t) sin(t) cos(t) dt 2π sin(t) 2 dt 8 [ = 2a t cos(t) sin(t) = 4π (a 2) 3. Deux méthodes possibles : ] 2π 2π cos(t) 2 dt + 8 [ 4 t + cos(t) sin(t) ] 2π sin(t) cos(t) dt [ + 4 sin(t) 2] 2π (a) Si V dérive d un potentiel alors son travail est indépendant du chemin suivant et donc W (V) = W OA A OA (V) A 26 8a = 1 a = 2
107 (b) Le rotationnel d un champ V(x, y) = (V 1 (x, y), V 2 (x, y) de IR 2 est rot V = V 2 x (x, y) V 1 (x, y) y De plus V dérive d un potentiel si rot V = (Formule C.1.2). Calculons rot V = 2 a et donc a = 2. Dire que pour a = 2, V dérive d un potentiel f équivaut à V 1 (x, y) = V 2 (x, y) = f (x, y) x f (x, y) y Calculons f. { x 2y = f 3y 2x = x f y (x, y) (1) (x, y) (2) Intégrons (1) par rapport à x (y considéré comme une constante). f (x, y) = x2 2 2xy + g(y) où g(y) est une fonction en y. Intégrons (2) par rapport à y (x considéré comme une constante).
108 f (x, y) = 3y2 2 donc on obtient x2 2 Donc 2xy + h(x) où h(x) est une fonction en x. 3y2 2xy + g(y) = 2 2xy + h(x) c est-à-dire { g(y) = 3y2 h(x) = f (x, y) = x2 3y2 2xy C Conclusion : si V dérive d un potentiel, on a vu que son travail est indépendant du chemin (question 1) et si le chemin est fermé (cas du cercle) alors son travail est nul (remarque 1.6). On peut vérifier ce résultat numériquement avec W Cercle+ (V) = 4π (a 2) = a = 2. 2 x2 2 Retour à l exercice
109 Solution de l exercice B.1.8 a) x dy = Γ + 2π = a b a cos(t) (b cos(t) dt) 2π cos(t) 2 dt [ t + cos(t) sin(t) = a b 2 = a bπ ] 2π
110 b) 2π y dx = Γ + = a b 2π b sin(t) ( a sin(t) dt) sin(t) 2 dt [ t cos(t) sin(t) = a b 2 = a bπ ] 2π Retour à l exercice
111 Solution de l exercice B.1.9 a) x 2 + y 2 2y = x 2 + (y 1) 2 1 =. On reconnait l équation d un cercle de centre A(, 1) et de rayon 1. D est donc le disque de centre A et de rayon 1 privé de sa frontière b) Une paramétrisation admissible de Γ + est donc t [, 2π], x(t) = cos(t), y(t) = 1 + sin(t). On obtient alors dx = sin(t) dt dy = cos(t) dt
112 Pdx + Qdy = Γ + = = = 2π 2π 2π ( ) (1 + sin(t)) cos(t) 2 sin(t) + cos(t) 2 (1 + sin(t)) 2 dt ( ) cos(t) 2 (1 + sin(t)) (1 + 2 sin(t)) dt cos 2 (t) dt + 2π ] 2π 3 cos 2 (t) sin(t) dt + [ t + cos(t) sin(t) [ ] 2π + cos 3 (t) 2 [ cos(t) sin(t) + t 2 sin(t) cos 3 (t) + 3 ] 2π 2π 2 cos 2 (t) sin 2 (t) dt = π + + π 2 = 3π 2 c) { On passe en coordonnée polaire et on obtient x = ρ cos(θ) où (ρ, θ) = [, 1] [, 2π]. y = 1 + ρ sin(θ)
113 On rappelle que le jacobien est J (ρ, θ) = cos(θ) ρ sin(θ) sin(θ) ρ cos(θ) = ρ Après calcul, on obtient Q P x (x, y) y (x, y) = x2 + y 2 Notons f (x, y) = x 2 + y 2 alors on a (voir Cours Intégrales Doubles) D f (x, y)dxdy = f (ρ cos(θ), 1 + ρ sin(θ)) J(ρ, θ) dρdθ
114 f (ρ cos(θ), 1 + ρ sin(θ)) J(ρ, θ) dρdθ = = = = 1 2π 1 2π 1 1 = 2π ( ρ 2 cos 2 (θ) + (1 + ρ sin(θ)) 2) ρd ( ) ρ 3 + ρ + 2ρ 2 sin(θ) dρdθ ( 2π (1 + ρ) + 2ρ 2 [ cos(θ)] 2π ( 2π ρ + ρ 3) dρ ( ) 4 ) dθ = 3π 2 d) Le résultat était bien sûr attendu. C est la formule de Green-Riemann (formule 1.6). Retour à l exercice
115 Solution de l exercice B.2.1 En supposant que f est différentiable en (x, y ), le plan tangent admet l équation cartésienne : x x y y z z f 1 x (x, y ) = h 1 y (x, y ) soit en développant z f (x, y ) = (x x ) f x (x, y ) + (y y ) f y (x, y ) Retour à l exercice
116 Solution de l exercice B.2.2 a) x 2 + y 2 ax = (x a) 2 + y 2 a 2. Σ est le cylindre dont la base (dans le plan xoy) est le cercle de centre A(a, ) de rayon a et de hauteur h. Ainsi, en coordonnée polaire, on obtient comme paramétrisation z y 2x Figure C.1 a = 2, h = 5
117 Φ(u, v) = x = a (cos(u) + 1) y = a sin(u) z = v b) On applique la formule (2.4) : a sin(u) T u (u, v) = a cos(u) Ainsi on obtient : aire de Σ = et T v (u, v) = = = 2π h 2π h 2π h = 2π a h où (u, v) [, 2pi] [, h] 1. T u (u, v) T v (u, v) dudv (a cos(u)) 2 + ( a sin(u)) 2 dudv a dudv Retour à l exercice
118 Solution de l exercice B.2.3 z y x On applique la formule ( (2.6) avec ε = 1) et f (x, y) = x 2 + y 2. V(x, y, f (x, y)) f x (x, y), f y (x, y), 1 = 2x 2 (x 2 + y 2 ) 2y(x 2 + y 2 ) (x2 +y 2 ) 2 2 { x = ρ cos(θ) On passe en coordonnée polaire avec (ρ, θ) [, 1] [, 2π]. y = ρ sin(θ)
119 Σ + V dσ = = = 1 2π 1 2π 2π ( 2ρ 4 cos(θ) 2 2ρ 3 sin(θ) ρ4 2 ( 2ρ 5 cos(θ) 2 2ρ 4 sin(θ) ρ5 2 ( 1 3 cos(θ)3 2 5 sin(θ) 1 ) dρdθ 12 ) ρ dρdθ ) dρdθ = π 2 Retour à l exercice
120 Aide 1, Exercice B.2.4 z y x Paramétrer la surface Φ(x, y) = x y?? où?? est... Retour à l exercice
121 Φ(x, y) = x y 2 2x y Aide 2, Exercice B.2.4 Calculer une normale (formule (2.1)) induite par cette paramétrisation et vérifié si sa directeur coïncide avec l orientation imposée par l énoncé. Retour à l exercice
122 Aide 3, Exercice B.2.4 N(x, y) = (1,, 2) (, 1, 1) = (2, 1, 1) Sa directeur est compatible avec l orientation de Σ. On normalise n(x, y) = 1 N(x, y). 6 1 Il ne reste plus qu à calculer (y, x, 2 2x) (2, 1, 1) dx dy 6 Σ + Retour à l exercice
123 Aide 4, Exercice B.2.4 On va fixé la première variable x qui d après le dessin va de x = à x = 1. Exprimer y en fonction de x (i.e. déterminer l équation de la droite du plan xoy passant par le point (1, ) et le point (, 2). Retour à l exercice
124 Aide 5, Exercice B.2.4 Quand x parcourt l intervalle [, 1], y parcourt l intervalle [, 2 2x]. Σ + V dσ = = = = = x (2y + x + 2 2x) dxdy [ y 2 + (2 x)y ] 2 2x dx ( (2 2x) 2 + (2 x)(2 2x) ( ) 6x x dx ) dx Retour à l exercice
125 Aide 1, question 1, Exercice B.2.5 Appliquer la formule (2.5) ou la formule (2.6), donc il faut 1. Déterminer une paramétrisation du cône Φ telle que cône= Φ(D). 2. Calculer un vecteur normal unitaire. 3. Calculer l intégrale sur le domaine D. Retour à l exercice
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailRepérage d un point - Vitesse et
PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailChafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1
Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCalcul des intégrales multiples. Abdesselam BOUARICH Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences de Beni Mellal
Calcul des intégrales multiples Abdesselam BOUARICH Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences de Beni Mellal 1 8 6 4 2 2 4 6 8 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 Table des matières 1 Intégrales doubles
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailMichel Henry Nicolas Delorme
Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailErratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2
Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailVision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007
Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................
Plus en détailChapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide
Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailPlan du cours : électricité 1
Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailDeux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
UNIVERSITÉ DE POITIERS Parcours Renforcé Première Année 2009/2010 Paul Broussous Fonctions de plusieurs variables Seconde version corrigée Table des matières 1. Un peu de topologie. 1.1. Distance euclidienne,
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailTD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE
TD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE Exercice en classe EXERCICE 1 : La fibre à gradient d indice On considère la propagation d une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailC est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position OM est constant et il est égal au
1 2 C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position est constant et il est égal au rayon du cercle. = 3 A- ouvement circulaire non uniforme
Plus en détailExercices et corrigés Mathématique générale Version β
Université libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailComment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.
Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailChapitre. Chapitre 12. Fonctions de plusieurs variables. 1. Fonctions à valeurs réelles. 1.1 Définition. 1.2 Calcul de dérivées partielles
1 Chapitre Chapitre 1. Fonctions e plusieurs variables La TI-Nspire CAS permet e manipuler très simplement les onctions e plusieurs variables. Nous allons voir ans ce chapitre comment procéer, et éinir
Plus en détailDu Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détailLicence de Mathématiques 3
Faculté des sciences et techniques Département de mathématiques 2004-2005 Licence de Mathématiques 3 M62 : Fonctions réelles de plusieurs variables Laurent Guillopé www.math.sciences.univ-nantes.fr/~guillope/m62/
Plus en détailThéorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann
Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détail