Analyse du chauffage périodique dans un cylindre poreux vertical

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1 Analyse du chauffage péiodique dans un cylinde poeux vetical Djamel Eddine Ameziani, Khedidja Bouhadef, Rachid Bennace To cite this vesion: Djamel Eddine Ameziani, Khedidja Bouhadef, Rachid Bennace. Analyse du chauffage péiodique dans un cylinde poeux vetical. Jean-Jacques BEZIAN. JITH 7, Aug 7, Albi, Fance. ENSTIMAC, 5p., 7. <hal-54397> HAL Id: hal Submitted on 9 Aug 7 HAL is a multi-disciplinay open access achive fo the deposit and dissemination of scientific eseach documents, whethe they ae published o not. The documents may come fom teaching and eseach institutions in Fance o aboad, o fom public o pivate eseach centes. L achive ouvete pluidisciplinaie HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau echeche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de echeche fançais ou étanges, des laboatoies publics ou pivés.

2 3èmes Jounées Intenationales de Themique ANALYSE DU CHAUFFAGE PERIODIQUE DANS UN CYLINDRE POREU VERTICAL Djamel Eddine AMEZIANI,, Khedidja BOUHADEF, Rachid BENNACER Faculté de Génie Mécanique et Génie des Pocédés. USTHB. ALGERIA. Laboatoie LEEVAM. Univesité de Cegy Pontoise. FRANCE. Résumé : L étude consiste en la modélisation numéique du tansfet de chaleu pa convection natuelle à taves un cylinde de stockage de gains disposé veticalement, ouvet à ses extémités, et empli d un milieu poeux. La paoi du cylinde est potée à une tempéatue imposée vaiant d une manièe sinusoïdale dans le temps alos que le fluide est aspié pa le bas avec une tempéatue constante Le modèle d'écoulement de Dacy, sans établissement à la sotie de cylinde, a été employé pou modélise note poblème. Dans le cas de tempéatue de paoi constante, deux types d écoulements, avec et sans le eciculation, ont été obtenus selon les nombes de Rayleigh (Ra), le appot de fome et la popiété themophysique du milieu poeux (Bi).La compaaison ente tempéatue sinusoïdale et constante monte qu il ya une similitude pou les faibles valeus de Ra et A. Mots clés : Convection natuelle, chauffage péiodique, cylinde, poeux.. INTRODUCTION Il existe une imposante littéatue elative aux phénomènes themoconvectifs instationnaies ésultants de conditions de chauffage constantes ou vaiables. La evue de ces tavaux indique claiement que la plupat des études dans ce domaine potent su des écoulements convectifs avec des conditions de chauffage pemanentes, ce qui n est le cas de la plupat des applications patiques. Pou le cas de la convection natuelle tansitoie induite pa des conditions de chauffage vaiant dans le temps, il existe elativement peu de tavaux dans la littéatue. Pami les contibutions, On peut cite deux catégoies : 4. Celles qui considèent des vaiations linéaies ou des conditions busques du chauffage. 5. Celles qui s intéessent aux conditions de chauffage péiodiques, en milieux fluides ou en milieux Poeux. La evue de la bibliogaphie a monté que peux de tavaux ce sont intéessés au chauffage péiodique dans un milieu poeux et aucun tavail ne s est intéessé à la simulation des défilements des jounées ou des années dans les silos de stockage..formulation MATHEMATIQUE On se popose dans note tavail d étudie le tansfet de chaleu instationnaie dû à des gadients péiodiques de chaleu dans un silo de stockage ganulaie (Figue ). L étude consiste en la modélisation du tansfet de chaleu pa convection natuelle à taves un cylinde de stockage de gains, de hauteu H et de ayon R, disposé veticalement, ouvet à ses deux extémités, et empli d un milieu poeux. La paoi du cylinde est potée à une tempéatue imposée vaiant d une manièe sinusoïdale dans le temps (T p ) (Figue ), alos que le fluide est aspié pa le bas avec une tempéatue constante (T ). Albi, Fance du 8 au 3 Août 7

3 3èmes Jounées Intenationales de Themique Heated wall Outlet U> T max T min T h A a t +/4t t +/t t H Poous Medium Gg T C t +3/4 T t R Inlet R U< Figue : Domaine d étude Real Evolution Figue : Excitation de la paoi chaude L'analyse est faite en temes de paamètes adimensionnels qui taduisent d une manièe convenables et avec succès l ensemble des effets influençant les tanspots. À cet effet, l adimensionnement des équations égissant les tansfets est effectué su la base des définitions suivantes (équation ) intoduisant les vaiables adimensionnelles (équation ): L ef = H ; T ef = Th - Tc ; µ α P ef f = K ; H ef = α f x, U, V T - Tc P - Pamb t x, = ; U, V = ; T = ; P = ; T P L ef U ef ef t () ef t = () Les équations de tanspot, espectivement de continuité, de mouvement et d énegie, s écivent comme suit:. Equations de consevation P P + = Ra x x U = Ra T V x σ + U + V = R + t x x t ef ; (3) = (4 a,b) k (5) Où Ra epésente le nombe de Rayleigh de filtation (pafois appelé nombe de Rayleigh- Dacy) défini comme g. β. T ef ν. α.k H conductivités et des capacités caloifiques. f, Rk et σ sont espectivement les appots de. Conditions initiales et aux fontièes (Champs dynamique&themique) Initialement (à t ), On assume que la pession et la tempéatue dans le cylinde sont unifomes, égales à la pession et tempéatue ambiantes. à t P ( x,,) = T ( x,,) = (6) à t >, le fluide ente et sot du cylinde à la même pession (pession ambiante). Pa conséquent, à x= et x=: P(,,t ) = (7) P(,,t ) = En aison de la symétie à l axe ( = ) et de la suface latéale impeméable du cylinde, il en ésulte: = ( x,,t ) ; T = ( x,o,t ) (8) Albi, Fance du 8 au 3 Août 7

4 3èmes Jounées Intenationales de Themique où A étant le appot de fome R A =. H La vaiation sinusoïdale de la tempéatue et l impeméabilité de la paoi sont écites : = ( x,a,t ) π τ T ( x,a,t ) = + A sin t (9) Où A et τ sont espectivement l amplitude adimensionnelle a T ef et la péiode de la vaiation sinusoïdale de la tempéatue de paoi a = ( T max Tmin ) / (Fig.). Pou considée l inteaction des tansfets à la sotie du cylinde, on intoduit la condition suivante: Si U> (fluide entant) = x (,,t ) -Bi T(, et T(,,t) = = x (,,t ) + Bi et T(,,t) = Où Bi h H k eff, t) T(,, t) Si U< (fluide sotant) Si U< (fluide entant) Si U> (fluide sotant) = : epésente le nombe de Biot elative au milieu poeux..3 Coefficients du tansfet de chaleu Le tansfet de chaleu est epésente en temes du nombe de Nusselt local défini; Nu = Nu(x) = = A Le nombe de Nusselt moyen le long du cylinde et su la péiode considéée comme: () () Nu m = Nu( t ) = Nu( x,t ) dx NU T = Nu( t) dt (, 3) 3. RESULTATS τ τ Nous avons pésenté les ésultats des simulations numéiques en temes de champs de vitesses, de pession et de tempéatue. Des coubes montant l'évolution des nombes de Nusselt moyennés pou les deux cas de la vaiation constante et sinusoïdale de la tempéatue de la paoi sont également pésentées. Dans ce tavail, tous les calculs ont été exécutés pou une péiode adimensionnelle τ day =,. Rk=. La figue 3 illuste les champs de la tempéatue et de vitesses pou difféents nombes de Rayleigh-Dacy, et pou un nombe de Biot et un appot de fome espectivement Bi=., A=. L'évolution des isothemes monte une similitude avec le cas du chauffage d'une plaque plane dans un milieu poeux semi-infini. Les isothemes indiquent que la tempéatue est popagée de la paoi chauffée ves le cente du cylinde, céant des gadients themiques significatifs dans la diection veticale. Le module de la vitesse longitudinale diminue en se déplaçant de la paoi chauffée ves le cente, où les foces themiques de flottabilité sont faibles. Les illustations du champ de vecteus de vitesses montent que pou des valeus faibles du nombe de Rayleigh, l'écoulement est ascendant dans la totalité du domaine. L'appovisionnement en fluide du cylinde est complètement fait pa l'entée (Ra=,5). Losque le nombe de Rayleigh augmente, la couche limite se essee, poduisant une éduction de gadients themiques au cœu du cylinde poeux. Dans ce cas-ci, les valeus de la vitesse pès des paois augmentent, le flux de fluide dans le cylinde est alimenté à pati de l entée et patiellement à pati de la suface supéieue du cylinde poeux. Ceci peut ête Albi, Fance du 8 au 3 Août 7 3

5 3èmes Jounées Intenationales de Themique expliqué, pa le fait que quand le nombe de Rayleigh augmente, l'écoulement paiétal est accentué, le fluide au cœu du cylinde themiquement au epos (Ra=), alimente l'écoulement coissant pès de la paoi chauffée conduit pa le gadient de pession. Notez que les ésultats sont en bon accod avec ceux de Bennasallah et al. [], qui ont étudié la validité de l'équilibe themique dans un cylinde poeux soumis à un flux constant. Ra= Vmax=.44 Ra= Vmax= Ra=5 Vmax= Ra= Vmax= Figue 3: Champs de Tempéatue et de vitesses pou difféents nombes de Rayleigh, Bi=,, A=, A=. L'aspiation du fluide supéieu est fotement dépendante à la coissance de la couche limite. L'épaisseu de la couche limite su la paoi chauffée augmente avec la diminution du appot de fome et du nombe de Rayleigh. Quand cette épaisseu à la sotie atteint le ayon du cylinde, l'appovisionnement du fluide ne peut pas pénéte le poeux. La figue 4 donne une limite linéaie de l'aspiation supéieue pou les faibles valeus du nombe de Biot. Pou obteni les caactéistiques du tansfet themique instationnaie de l'écoulement, on epésente la vaiation du tansfet de chaleu instationnaie nomalisé à la valeu du tansfet de chaleu dans le cas à une tempéatue constante (Nu T -Nu m /Nu m )su la figue 6 pou les nombes d'un Biot (Bi=,). D'abod, le nombe de Nusselt moyen (Nu m ), est illusté su la figue 5 fonction des nombes de Rayleigh et de Biot. Cette évolution indique claiement l'augmentation du coefficient de tansfet themique avec le nombe de Rayleigh, pobablement due à l'accentuation des gadients themiques pès de la paoi chauffée pou les valeus élevées de Rayleigh. Notez que le tansfet themique augmente avec le nombe de Biot seulement pou des valeus éduites du nombe de Rayleigh. Tandis que, cette dépendance dispaaît pou des nombes élevés de Rayleigh. A note que la coube est en bon accod avec la limite de l'analyse aux odes de gandeus qui donne Nu Ra ½. (Nu=,595 Ra ½, dans note poblème). (Voi Bennace et al. []). La figue 6 démonte l'effet de l'amplitude sans dimensions su le facteu d augmentation des tansfets themiques (Nu T - Nu m /Nu m ), pou difféentes valeus des nombes de Rayleigh et pou un nombe de Biot Bi=, et une amplitude adimensionnelle τ day=,. Pou des valeus élevées du nombe de Rayleigh, le facteu d augmentation des tansfets themique va de la valeu limite unitaie à un gain maximum (9,5%) quand Albi, Fance du 8 au 3 Août 7 4

6 3èmes Jounées Intenationales de Themique l'amplitude adimensionnelle est égale à,99. Pou de basses amplitudes adimensionnelle, (A<,5), même les nombes de Rayleigh élevés donnent la similitude ente la tempéatue de chauffage constante et le chauffage dépendant de temps (moins de 5 % de difféence). A= A Bi=. Bi=. Bi=. Bi=. Bi=. Bi=. Unstable Natual Convection Total Nusselt Numbe Nu 5 5 Bi=. Bi= Bi= Bi=, Chimney Natual Convection Zone Ra Nu=.595 (Ra) / Rayleigh Numbe Ra Figue 4: Effet du appot de fome su l appaence de l aspiation supéieue. Figue 5: Evolution du nombe de Nusselt moyen fonction du nombe de Rayleigh. CONCLUSION Le poblème instationnaie du tansfet de chaleu pa la convection natuelle dans un cylinde vetical ouvet à ses deux extémités, empli d un milieu poeux satué, et chauffé avec une tempéatue latéale dépendante du temps, était l objet de ce tavail. Les ésultats dynamiques montent deux types d écoulements, avec et sans eciculation du fluide, qui dépendent du nombe de Rayleigh de filtation, du nombe de Biot et du appot de fome du cylinde. Les ésultats numéiques montent également que le nombe de Nusselt moyen dépend du paamète de Biot, seulement pou des faibles valeus des nombes de Rayleigh. Pou des valeus élevées des nombes de Rayleigh l'effet du nombe de Biot su le tansfet themique devient insignifiant. La compaaison ente les simulations obtenues avec la fomulation à tempéatue constante, et la vaiation tempoelle sinusoïdale de celle-ci, démonte une gande équivalence pou le cas des basses amplitudes adimensionnelles (A<,5) où la difféence est inféieue à 5%., Amplitude adimensionnelle A,8,6,4, , Nombe de Rayleigh Ra Figue 6: Influence de l amplitude des oscillations su l augmentation de l échange de chaleu. Réféences [] Bennasallah, S., Amaa, T., Du Peuty, M.A, Convection natuelle instationnaie dans un cylinde empli de gains ouvet à ses extémités et dont la paoi est chauffée pa un flux de chaleu constant: validité de l hypothèse de l équilibe themique local, 997, Int. J. Heat Mass Tansfe, Vol. 4, pp [] Bennace R., Tobbal A., Beji H., Vasseu P., Double diffusive convection in a vetical enclosue filled with anisotopic poous media,,int. J. Them. Sci. 4, 3 4. Albi, Fance du 8 au 3 Août 7 5