DÉNOMBREMENT - CORRIGÉ

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1 S-1 DÉNOMBREMENT - CORRIGÉ A1.a On eut rerésenter cette situation à l aide d un diagramme de Venn : Ω rerésente l univers ; card ( Ω ) = 10. Si D rerésente l ensemble des ersonnes qui ne fréquentent qu un seul magasin, on card D = 70. a ( ) Si E rerésente l ensemble des ersonnes qui fréquentent au moins deux magasins card E = 0. différents, on a ( ) 1 Le ourcentage des ersonnes qui ne fréquentent qu un seul magasin est alors ,%. Ω Celui de celles qui fréquentent au moins deux magasins différents est ,%. A B C A.a On eut réaliser un diagramme de Venn. D arès ce dernier, 1 clients n ont commandé ni izza ni âtes à la bolognaise. P 1 B Ω A.a Dans cet exercice, on alique le rincie multilicatif (enser à un arbre). 1 On a 7 = 10 choix ossibles en tout. On a = 60 choix avec einture métallisée. On a 7 = choix avec un moteur Diesel. On a = 0 choix avec einture métallisée et moteur Diesel. On a = choix sans einture métallisée. 6 On a = 1 choix avec un moteur Diesel, et sans einture métallisée. 7 On a = 0 choix sans moteur Diesel, et avec einture métallisée. card A B = card A + card B card A B et les résultats des On utilise la formule ( ) ( ) ( ) ( ) questions, et, soit = 7 choix avec le moteur Diesel ou une einture métal. 9 On a = 0 choix ne comtant ni moteur Diesel, ni einture métallisée. Dans les questions et 9, on eut remarquer que l on a affaire à deux événements contraires, et qu on eut retrouver le résultat de la à artir de celui de la 9 : 10 0 = 7. A.a 1 Il s agit de choisir lettres armi 6. Les réétitions sont ossibles (Albert eut utiliser deux fois la même lettre) et l ordre des lettres est imortant. C est un arrangement avec réétition. On utilise la formule n. Il y en a 6 = Si toutes les lettres sont distinctes, la réétition est imossible. Il s agit donc d un arrangement. Il y en a A 6 = 6 = Le fait d avoir au moins lettres réétées constitue l événement contraire du récédent. Il y en a alors = S-1 - Dénombrement - -

2 A.a On doit chercher le nombre de combinaisons de ersonnes armi 7 (on ne donne as de rôle articulier à chacun des nains) C est donc = = 7 =. On trouve, curieusement, le même résultat qu avec nains. Ceci vient du fait qu à chaque fois que Blanche Neige constitue une équie de, elle constitue aussi une équie de. Il y a donc autant de combinaisons de ersonnes armi 7 que de combinaisons de ersonnes armi 7, 7 7 soit =, ou lus généralement : n n = n A6.a 1 Il s agit de choisir cartes armi. Il n y a as de réétition ossible (cartes distinctes) et l ordre de ces cartes n est as imortant. Il s agit donc d une combinaison Il y en a = = = Si une main contient exactement as, le seul choix ossible est celui de la eme carte et on a ossibilités différentes uisque les as sont déjà choisis. Comme dans le 1, et our les mêmes raisons, il s agit de combinaisons et il en sera de même dans tous les exercices travaillant sur des «mains de cartes». Pour choisir une main de cinq cartes contenant exactement as et rois, on eut d abord considérer qu il faut choisir as armi les ossibles. On eut le faire de = = façons différentes. Puis on choisit les rois armi les ossibles. On eut le faire de = = 6 façons différentes. Pour choisir as et rois, on eut le faire de 6 = façons différentes. On eut écrire ce calcul directement sous la forme : = 6 =. as armi et rois armi Contenir au moins rois signifie contenir ou rois. S il y a rois dans la main, il y a «non-rois» à choisir armi les «non-rois». S il y a rois dans la main, il y a 1 «non-roi» à choisir armi les «non-rois». Le calcul eut alors s écrire : + = = = Contenir au moins un as est le contraire de ne contenir aucun as. Si une main ne contient aucun as, il faut choisir cartes armi les qui ne sont as des as. 7 6 On eut le faire de = = 9 0 façons différentes. Etant donné qu il y a ossibilités au total (voir le 1 ), on a : = mains contenant au moins un as. S-1 - Dénombrement - -

3 A7.a 1 Il s agit de choisir 11 joueurs armi 0. Il n y a as de réétition ossible (chaque joueur ne eut être choisi qu une fois) et la lace de ces joueurs n est as imortante (ils sont olyvalents). Il s agit donc d une combinaison. 0 Il y a = équies différentes. 11 Il faut choisir 10 joueurs de cham armi 17 et 1 gardien armi. 17 Il y a = 19 = équies différentes A.a 1 Le caitaine doit donc choisir ersonnes armi 7, sans réétition ossible et sans tenir comte de 7 l ordre. Il y a donc = sélections ossibles. Si l on considère une sélection avec le Caitaine, il faut choisir ersonnes armi 6, uisque le 6 6 Caitaine est déjà choisi. Il y a donc = = 0 sélections ossibles. Si l on considère une sélection sans le Caitaine, il faut choisir ersonnes armi 6, uisque le 6 6 Caitaine est exclus. Il y a donc = = 1 sélections ossibles. On a alors = = = 7, ce qui est logique, uisqu on retrouve le nombre de sélections ossibles. n A9.a 1 Il faut choisir chambres armi 6, sans réétition ossible mais en tenant comte de l ordre (chaque chambre est attribuée à un coule articulier). Il y a donc A 6 = 6 = 60 choix ossibles. Il s agit de savoir de combien de façons différentes on eut ermuter trois ersonnes sur trois ostes différents. Il s agit du nombre de ermutations de ersonnes et il y en a! = 6 De même, il y a! = 10 quintés ossibles. A10.a 1 Il s agit de choisir lettres armi (donc = et n = ) en tenant comte de l ordre et avec réétition ossible (et même indisensable) des lettres. C est un arrangement avec réétition. On utilise la formule n. Il y en a = 1. Si les deux remiers feux sont rouges, on a un trajet du tye «RR..». Il faut donc choisir lettres armi, et comme récédemment, c est un arrangement avec réétition. Il y a = 9 trajets. S-1 - Dénombrement - 6 -

4 Ici, il est lus simle de considérer l événement contraire : «l automobiliste ne s arrête as». Cela n arrive que our 1 trajet : VVVV. Comme il y a 1 trajets en tout, il y a 0 trajets our lesquels l automobiliste s arrête au moins une fois. A11.a Il s agit de choisir laces armi 6 our la lettre D, les laces restant libres étant alors attribuées aux lettres H (ou l inverse). L ordre du choix de ces laces n a as d imortance et on ne eut as choisir deux fois la même lace : il 6 6 s agit donc d une combinaison et il y a = = 0 mots ossibles. Alication : une trajectoires allant de A vers B en suivant le quadrillage est une succession de 6 trajets, vers la droite (D) et vers le haut (H). Chaque trajet eut être modélisé ar un «mot» de 6 lettres, avec «D» et «H». D arès la question récédente, il y a donc 0 trajets ossibles. A1.a 1 Tirage successif avec remise : Le mot successif indique que l'ordre dans lequel les cartes sont tirées intervient. L'exression avec remise signifie que la carte tirée est remise dans le jeu avant le tirage suivant. Il y a donc ossibilité de réétition du tirage de la même carte lusieurs fois. Le nombre de résultats ossibles est alors = 76. Tirage successif sans remise : Ici aussi, l'ordre dans lequel les cartes sont tirées intervient. L'exression sans remise signifie que la carte tirée n'est as remise dans le jeu. Il n'y a donc as de réétition ossible du tirage de la même carte. Le nombre de résultats ossibles est alors A = 1 0 = c) Tirage simultané : Ici, l'ordre n'intervient as et il n'y a as de ossibilité de réétition.. Le nombre de tirages ossibles est donc le nombre de combinaisons de cartes armi. 1 0 C'est donc : = = 960. A1.a 1 Il s agit de choisir «boîtes armi» (donc = et n = ) en tenant comte de l ordre (uisque les craies sont de couleurs différentes) et avec réétition ossible (on eut choisir fois la même boîte). C est un arrangement avec réétition. On utilise la formule n. Il y en a =. Maintenant, on a = et n =. Il y a = solutions. Les conditions sont toujours les mêmes, mais il faut choisir «boîtes armi». Il y a = 1 solutions. On a maintenant choix our la bleue et la rouge ensembles, uis choix our chacune des autres couleurs, soit = solutions. A1.a Il s agit de choisir «9 marques armi» (croix ou as croix) en tenant comte de la lace et avec 9 réétition ossible. C est un arrangement avec réétition. On utilise la formule n. Il y en a = 1. S-1 - Dénombrement - 7 -

5 A1.a 1 Il s agit de choisir éléhants armi 16. L ordre du choix n a as d imortance et on ne eut as choisir deux fois le même éléhant. 16 Il s agit donc d une combinaison et il y a = 1 70 groues ossibles our le remier voyage. Une fois qu un groue est formé our le remier voyage, celui du second voyage est constitué également. On a donc 1 70 réartitions différentes des éléhants entre les deux voyages. Les laces étant numérotées, il s agit maintenant d un arrangement. Il y a A 16 = groues ossibles our le remier voyage si les laces sont numérotées. Il s agit de savoir de combien de façons on eut lacer les 16 éléhants sur 16 laces. 1 C est donc le nombre de ermutations de 16 éléments, soit 16!, A16.a 1 Le nombre de comités de ersonnes est le nombre de combinaisons de ersonnes armi 1. 1 Il y en a = 9. n Comme récédemment, on doit avoir = ( n 1) 1. Comme =, il vient : n( n 1) = 1 n( n 1) = 1 = 70 n n 70 = 0. Le discriminant de cette équation du second degré est ( ) ( ) = = Les deux solutions sont alors n1 = = = 6 et n = = 7. Il y a donc 7 étudiants dans ce groue. A17.a 1 Il s agit du nombre de ermutations de éléments, soit! = circuits différents. Si un circuit commence ar Blois, il reste trois sites à réartir sur trois laces. Comme récédemment, il y en a! = 6. Il est lus simle de chercher le nombre de circuits où les visites de Langeais et de Blois se suivent immédiatement. Il y en 1, 6 avec Langeais en remière lace, et 6 avec Blois en remière lace. On a donc 1 = 1 circuits où les visites de Langeais et de Blois ne se suivent as immédiatement. A1.a Il faut choisir mains armi, ces mains devant être différentes et chaque main ayant un rôle articulier. Le nombre de façons de monter une mayonnaise est donc le nombre d arrangements de éléments armi, soit A = =. S-1 - Dénombrement - -