Résolution d équations

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1 Résolution d équations Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Quelques rappels Définition Première propriétés Équations du premier degré Résolutions graphiques Développement, factorisation Identités remarquables Développement Factorisation Méthodes classiques de résolution d équations Équations produit Équation de type x 2 a Équations quotient Table des figures 1 Équations de la forme f (x) k Équations de la forme f (x) g (x) Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 QUELQUES RAPPELS 1 Quelques rappels 1.1 Définition Première propriétés Définition : Résoudre une équation, c est déterminer l ensemble de toutes ses solutions. Deux équations équivalentes sont deux équations ayant le même ensemble solution. Propriété : 1. Si l on ajoute ou on retranche le même nombre au deux membres d une équation, on ne change pas l ensemble solution. 2. Si l on multiplie ou on divise les deux membres de l équation par un même nombre non nul, on ne change pas l ensemble solution. 1.2 Équations du premier degré 1. En utilisant la propriété 1, regrouper les termes en «x» dans le premier membre et les autres dans le second membre. 2. En utilisant la propriété 2, déterminer x. 3. Conclure. 1. Résolution de 2x x Résolution de 3 (2x + 5) 2 (5x 2) (4x 1) 2x 22 x S {11} 3 (2x + 5) 2 (5x 2) (4x 1) 6x x 4 4x + 1 6x x 3 6x 6x Impossible donc S 3. Résolution de 10 (x + 1) 3 (x + 8) 6 (2x + 1) 5 (x + 4) 10 (x + 1) 3 (x + 8) 6 (2x + 1) 5 (x + 4) 10x x 24 12x + 6 5x 20 7x 14 7x Toujours vrai donc S R Exercices : 13, 14, 17, 18, 20, 21 page , 93, 96, 97, 98 page [Modulo] 1 Équations du premier degré. 2 Mise en équation. 2

3 1.3 Résolutions graphiques 1 QUELQUES RAPPELS 1.3 Résolutions graphiques Méthode 1 : Résolution graphique d équation f (x) k (voir figure 1) Soit f une fonction et k un nombre réel. On note C la courbe représentative de f dans un repère et D k la droite d équation y k (parallèle à l axe des abscisses). Les solutions de l équation f (x) k sont les abscisses des points d intersection entre C et D k. Fig. 1 Équations de la forme f (x) k Méthode 2 : Résolution graphique d équation f (x) g (x) (voir figure 2) Soit f et g deux fonctions. On note C f la courbe représentative de f dans un repère et C g la courbe représentative de f dans le même repère. Les solutions de l équation f (x) g (x) sont les abscisses des points d intersection entre C f et C g. Fig. 2 Équations de la forme f (x) g (x) Exercices : 5, 6, 7, 9, 10 page 150 et 11 page [Modulo] Module : Méthodes de résolution approchée d équations : Dichotomie et balayage (sur feuille polycopiée) 3 Résolution graphiques d équations. 3

4 2 DÉVELOPPEMENT, FACTORISATION 2 Développement, factorisation 2.1 Identités remarquables Théorème : Soient a et b deux réels. Alors : Carré d une somme : (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 Carré d une différence : (a b) 2 a 2 2ab + b 2 Différence de deux carrés : (a + b) (a b) a 2 b 2 Remarque : Il est essentiel de connaître parfaitement ces identités remarquables, et dans les deux sens! 2.2 Développement Définition : Développer, c est transformer un produit en somme (x 3) 2x 6 2. (x 3) (3 2x) 3x 2x x 2x 2 + 9x 9 3. (2x 1) 2 (2x) 2 2 2x x 2 4x + 1 Exercices : 101, 102, 103 page 35 4 [Modulo] 2.3 Factorisation Définition : Factoriser, c est transformer une somme en produit. Activité : Module 3 page 20 5 [Modulo] Pour factoriser, on peut : mettre en évidence un facteur commun ; utiliser des identités remarquables ; combiner les deux méthodes précédentes pour des cas plus complexes. Utilisation d un facteur commun 1. 15x x 3 5x x 2 5x 5x 2 (3 + 5x) 2. (3x 2) 4 (3x 2) (5x + 1) (3x 2) 1 4(3x 2) (5x + 1) (3x 2) [1 4 (5x + 1)] (3x 2) (1 20x 4) (3x 2) ( 20x 3) 3. (5x + 6) (x + 2)+x (10x + 12) 5x 6 (5x + 6) (x + 2)+2x(5x + 6) (5x + 6) (5x + 6) [(x + 2) + 2x 1] (5x + 6) (3x + 1) Utilisation d une identité remarquable 1. 4x 2 9 (2x) (2x 3) (2x + 3) 2. 9x 2 2x (3x)2 2 3x ( ) 1 2 ( ) 3 3x (2x 5) 2 (3 + 5x) 2 [(2x 5) + (3 + 5x)] [(2x 5) (3 + 5x)] (2x x) (2x 5 3 5x) (7x 2) ( 3x 8) 4. 16x 2 7 (4x) 2 ( 7 ) 2 ( 4x ) ( 7 4x + ) (x 5) 2 25 (1 x) (x 5) (1 x) 2 [2 (x 5)] 2 [5 (1 x)] 2 (2x 10) 2 (5 5x) 2 ( 3x 5) (7x 15) Combiner les deux méthodes 4 Développements. 5 Factorisation. 4

5 3 MÉTHODES CLASSIQUES DE RÉSOLUTION D ÉQUATIONS 1. 2x 3 18x 2x x 2 2x 9 2x ( x 2 9 ) 2x ( x 2 3 2) 2x (x + 3) (x 3) 2. 4x (x + 1) (6x 9) (2x) (x + 1) (6x 9) (2x 3) (2x + 3) + (x + 1) (6x 9) (2x 3) (2x + 3) + 3 (x + 1) (2x 3) (2x 3) [(2x + 3) + 3 (x + 1)] (2x 3) (5x + 6) Exercices : 104, 105, 107 page 35 6 [Modulo] 3 Méthodes classiques de résolution d équations 3.1 Équations produit Théorème 1 : Un produit de facteurs est nul si et seulement si un au moins des facteurs est nul. 1. Résoudre (3x + 1) (x 5) 0. 3x ou x 5 0 x 1 3 x 5 S { 1 3 ; 5} 2. Résoudre x 2 4x + 3 x Se ramener à P (x) 0. (Tout regrouper dans le premier membre) 2. Factoriser P (x). (Pour se ramener à un produit nul) 3. Employer le Théorème 1 et conclure. x 2 4x + 3 x + 3 x 2 4x + 3 x 3 0 x 2 5x 0 x (x 5) 0 x 0 ou x 5 0 S {0 ; 5} Exercices : 22, 23 page , 27, 28, 30, 35, 27 page page page 159 ; 128 page 160 et 135 page [Modulo] x Équation de type x 2 a Propriété : Si a > 0, l équation x 2 a admet deux solutions : x a et x a Si a < 0, l équation x 2 a n admet aucune solution. Remarque : L équation x 2 0 admet comme unique solution x 0. Exercices : 43, 44, 46, 48 page [Modulo] 6 Factorisations. 7 Produit nul. 8 Équations se ramenant à un produit nul. 9 Une équation bicarrée. 10 Applications et géométrie et aux fonctions. 11 Équations comportant des carrés ou des racines carrés. 5

6 3.3 Équations quotient 3 MÉTHODES CLASSIQUES DE RÉSOLUTION D ÉQUATIONS 3.3 Équations quotient Théorème 2 : Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul. 1. Résoudre 3x+1 x 5 0. Il faut que x 5 0, c est-à-dire x 5. On se ramène alors en utilisant le Théorème 2 à 3x + 1 0, soit x 1 3. La valeur obtenue étant différente de la valeur interdite 5, on a S { 1 3}. 2. Résoudre x 2 8 (x 2)(x 3) 1 x 3 1 x 2. Il faut que x 2 0 et x 3 0, c est-à-dire x 2 et x 3. 1 x x 3 1 x 2 x 2 x 3 (x 2) (x 3) x 2 x En utilisant le Théorème 2, on se ramène à : x (x 3) (x + 3) 0 x 3 0 ou x x 3 ou x 3 Or, 3 est une valeur interdite. Cette valeur n est donc pas valable. On obtient S { 3}. 1. Exclure les valeurs interdites. (celles qui annulent le dénominateur) 2. Tout réduire au même dénominateur. 3. Se ramener à un quotient nul. (en regroupant tous les termes dans le premier membre) 4. Résoudre l équation «numérateur0» en utilisant si nécessaire la méthode du Vérifier que les valeurs obtenues ne soient pas des valeurs interdites, qu il faudrait alors exclure de l ensemble des solutions. Remarque : Dans certains cas, on peut rendre les calculs plus faciles en utilisant les «produits en croix» lorsque deux fractions sont égales (voir exemple). Exemple : Résoudre l équation x x+1 x 1 x+2. Il faut que x et x + 2 0, c est-à-dire x 1 et x 2. 6

7 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES En utilisant les produits en croix, on obtient : x (x + 2) (x 1) (x + 1) x (x + 2) (x 1) (x + 1) 0 x 2 + 2x ( x 2 1 ) 0 x 2 + 2x x x x 1 2 Cette valeur étant différente des valeurs interdites 1 et 2, on obtient S { 1 2}. Exercices : 38, 40, 42 page page [Modulo] Références [Modulo] Modulo, Seconde, Édition 2004 (Didier). 2, 3, 4, 5, 7 12 Équations quotient. 13 Utilisation en géométrie. 7