Séquence 3. Fonctions - Nombre dérivé. Sommaire. Pré-requis Fonctions de référence Nombre dérivé Synthèse de la séquence Exercices d approfondissement

Transcription

1 Séquence 3 Fonctions - Nombre dérivé Sommaire Pré-requis Fonctions de référence Nombre dérivé Synthèse de la séquence Exercices d approfondissement Séquence 3 MA

2 Pré-requis A Fonction affine f : x a x+ b Dans le plan muni d un repère, une fonction affine est représentée par une droite d équation y = ax + b a A savoir yb y = A xb xa b est l ordonnée à l origine. a < 0, f est décroissante y D 4 b A 4a B O x a > 0, f est croissante y D O B x A 5a b 5 cas particulier a = 0 b O droite parallèle à (0x). Séquence 3 MA 3

3 B Fonction carré, fonction inverse Fonction «carré» f : x x A savoir Dans le plan muni d un repère, la fonction «carré» est définie par f( x)= x où x est un nombre réel. La fonction «carré» est : f est définie sur R Variation y 4 3 y = x x 0 f (x) 0 La courbe est une parabole symétrique par rapport à l axe des ordonnées. 0 x 4 Séquence 3 MA

4 Fonction «inverse» f : x x A savoir R ] ; O[ ]O ; + [ La fonction «inverse» est : ; O[. f est définie sur R f est impaire : f ( x) = f (x) [ y Variation y = x x 0 f (x) 0 x La courbe est une hyperbole symétrique par rapport à l origine O du repère. asymptotes Rappel Diviser par le nombre A c est multiplier par l inverse de A. Attention : On ne peut pas dire que le fonction «inverse» est décroissante sur R car R n est pas un intervalle. Séquence 3 MA 5

5 C Fonctions : définition plus générale Fonction Exemple Alban et Dimitri jouent ensemble. Lorsque Dimitri dit, Alban répond «0». Lorsque Dimitri dit «3», Alban répond «45». Question : Que répondra Alban lorsque Dimitri dira 5? Voici une indication supplémentaire : Lorsque Dimitri dit «x», Alban répond «5 x». dira «5» quer en quoi le jeu consiste précisément, la manière la plus concise est : x 5x. Le lien (noté par la flèche) entre les nombres de Dimitri et ceux d Alban est une fonction. Si on appelle f cette fonction (cette flèche) on peut écrire son nom sur la flèche : x f 5 x. De manière imagée, on peut retenir que la fonction est la flèche. Cette écriture définie entièrement la fonction (le lien entre les nombres). Une autre manière de définir cette fonction f est d écrire f( x) = 5x. Ainsi 0 s écritf ( ) = 0 et se lit «f de est égal à 0». A savoir Une fonction est une façon de relier un nombre réel x à un autre nombre réel y f( x) Cf f(x) M x 6 Séquence 3 MA

6 Antécédent Les nombres d Alban sont les images des nombres de Dimitri. Les nombres de Dimitri sont les antécédents des nombres d Alban. Dans l exemple précédent, 45 est l image de 3 par la fonction f. 3 est un antécédent de 45 par la fonction f. 3 est un (autre) antécédent de 45 par la fonction f. Attention : il ne faut pas confondre : Calculer f( a) (on cherche l image du nombre a par la fonction f ) Résoudre f( x)= a (on cherche les antécédents du nombre a par la fonction f ). A savoir Ecrire que y = f( x) signifie que y est l image de x par la fonction f. x est un antécédent de y par la fonction f. Variations La fonction f est croissante a b lorsque pour tous les réels x et x a b tels que x x, on af( x) f( x). Autrement dit, lorsque les réels x et x et leur images f( x ) etf( x ) sont rangés dans le même ordre. Séquence 3 MA 7

7 Cf f(x ) M f(x ) f(x ) f(x ) M x x x x La fonction f est décroissante a b lorsque pour tous les réels x et x a b tels que x x, on a f( x) f( x). Autrement dit, lorsque les réels x et x et leur imagesf( x ) etf( x ) sont rangés dans l ordre contraire. f(x ) M f(x ) f(x ) f(x ) L Cf x x x x 8 Séquence 3 MA

8 D Ensemble de définition Dans l exemple précédent, Dimitri peut dire n importe quel nombre réel x, Alban pourra toujours répondre en donnant l image f( x) du nombre de Dimitri par la fonction f. Ceci tient au fait que le calcul de 5x est toujours possible (sous entendu, pour tous les nombres réels x). Dans un tel cas, on dira que l ensemble de définition de la fonction f est R et on notera D f = R. x Notons g la fonction définie par gx ( ) = +. x Cherchons son ensemble de définition D g 3. Le calcul de x + n est pas possible lorsque x 3= 0 puisque zéro est un x 3 x 3. Donc D g = Séquence 3 MA 9

9 Fonctions A de référence Activités Le côté sachant l Aire ne doit pas utiliser la calculatrice. Combien mesure la diagonale d d un rectangle de largeur l = 3 cm et de longueurl = 4 cm? l ,9 3,3 L ,6 3 d Le nombre d peut-il être négatif? d puis la compléter à l aide de la touche. de la calculatrice. d? d ne peut-on pas l affirmer? Examiner les affichages obtenus après les deux séquences de touches de la 3 x Affichage obtenu : 3, x Affichage obtenu : Comme 7 = 89, on peut écrire 89 = 7. De la même façon, 6 5, = 4, 5 donc 4, 5 = 6, 5. 0 Séquence 3 MA

10 Mais par contre, il n existe pas de nombre décimal (ayant un nombre fini de déci- d à mettre dans la dernière colonne du tableau s écrit 3. Compléter les phrases : La racine carrée d un nombre positif a est le nombre le est a. Le nombre a est le nombre dont le est a. a dont Monsieur Puissance-trois Puissance-trois, celui-ci ne peut s empêcher de multiplier ce nombre par son carré puis d annoncer le résultat. Puissance-trois. Compléter le tableau. Nombre de Sara 0 5, 7 5, 0, 3 0, , 03, 5, 7, 5 0 Réponse de M. Puissance-trois Comment doit être le nombre de Sara pour que la réponse donnée par M. Puissance-trois. soit un nombre positif?. soit un nombre négatif? 3. soit égal à zéro? M. Puissance-trois a répondu 89, 6 lorsque Sara lui a donné le nombre A (qu elle garde secret). Que doit changer Sara pour que M. Puissance-trois lui réponde 89, 6? Chacun leur tour, Benjamin et Maxime donnent un nombre à M. Puissancetrois. Le nombre de Benjamin est toujours inférieur à celui de Maxime. Des deux réponses de M. Puissance-trois, quel sera le nombre le plus grand, la réponse donnée à Benjamin ou la réponse donnée à Maxime? Deux nombres et leurs cubes sont rangés dans... B Cours Fonction Racine carrée f : x x a admet deux nombres opposés r r tels que r = a. Parmi ces deux nombres r r, on choisit de noter a celui qui est positif (c est-à-dire supérieur ou égal à zéro). De Séquence 3 MA

11 Propriétés Définition f est définie sur + par f( x) = x. a) Variations Propriété La fonction racine carrée est croissante 0; +. x 0 x 0 Démonstration A< B B A>0. Soit a et b 0 a b. a b, soit encore à montrer que b a 0. b a sous une autre forme. Pour cela, on multiplie b a par son expression conjuguée, c est-à-dire par b + a b a b a ( b) ( a) b a puisque ( b) = b étant donné ( )( + ) = = ( )( + ) =. que b 0 (de même pour ( a ) b a b a b a b + a, on a montré que b a = b a. b + a b a 0, autrement dit que b a b + a mais ceci est clair puisque b a 0 (d après le choix 0 a b ) et b + a 0 (une racine Conclusion : 0 a b alors a b ce qui signifie bien que la fonction x x +. Séquence 3 MA

12 Logique Montrer que les inégalités 3 5 et 4 5 ne suffit pas à dé- 35 f n est pas croissante 5 par exemple, il suffit de montrer quef( ) > f( 4), par exemple. C est la méthode du contre-exemple. b) Représentation graphique Propriété Ci-dessus, la courbe de la fonction «racine carrée». Elle est située au-dessus de l axe des abscisses. Elle n est définie que pour des abscisses positives. Fonction Cube f : x x 3 Définition f est définie sur R parf( x) = x x x = x 3. a) Variations Propriété Deux nombres et leur cube sont rangés dans le même ordre autrement dit : 3 3 Si a b alors a b. Séquence 3 MA 3

13 Une autre façon de dire la même chose est : Propriété La fonction «cube» est croissante sur R x x 3 Remarque Une démonstration de cette propriété est proposée à l exercice d approfondissement II. b) Représentation graphique Propriété La courbe de la fonction «cube» est symétrique par rapport à l origine du repère y = x Séquence 3 MA

14 C Exercices d apprentissage Exercice VRAI / FAUX Répondre en justifiant. a) 09, = 03, Vrai Faux b), 09 = 4, 7 Vrai Faux c) Un cube est toujours positif Vrai Faux d) L image de tout nombre réel a par la fonction «carré» puis par la fonction «racine carrée» redonne a. Vrai Faux e) Le résultat sera le même, quelque soit l ordre dans lequel on applique les fonctions «carré» et «racine carrée», à partir d un nombre réel a. Vrai Faux f) Pour tout nombre réel x, on a x = x. Vrai Faux ( ) = g) Pour tout x +, on a x x. Vrai Faux h) Une fonction constante est une fonction qui n est ni croissante ni décroissante Vrai Faux i) Une fonction qui n est ni croissante ni décroissante est une fonction constante Vrai Faux Exercice Quelle(s) proposition(s) en implique(nt) une autre? (justifier) (P) : «3 5 et 4 5» (P) : «la fonction x x (P4) : «la racine carrée d un nombre strictement négatif n existe pas» (P5) : «la fonction «racine carrée» est définie sur +» (P6) : «la fonction «racine carrée» prend ses images dans +» Exercice 3 Exercice 4 Un ballon de basket a un rayon compris entre 3,8cm et 4,5cm. Donner un encadrement au cm 3 3. Un grand bol ayant la forme d une demi-sphère de diamètre 5 cm est rempli à raz rique, eux aussi) de diamètre 0 cm. Combien de petits bols suffit-il de prendre? Séquence 3 MA 5

15 Exercice 5 A l aide de la courbe d équation y = x résoudre : a) x = b) x = 7 c) x 3 d) x = 0 e) x = f) x 4 Exercice 6 A quelle condition le calcul de x + = 5. A quelle condition le calcul de x = 5. A quelle condition le calcul de x = 5. x + est possible? Résoudre graphiquement x est possible? Résoudre graphiquement x est possible? Résoudre graphiquement Exercice 7 3 Résoudre graphiquement l inéquation x + x 5x 6 0 a) ( x + )( x )( x + 3 ) b) 6 Séquence 3 MA

16 3 Nombre dérivé A Activités Notion (intuitive) de limite er cas Considérons la fonction f définie sur + parf( x) = + 5 x. Dans un repère, sa courbe C f 0 4 près) x 4 45, 48, 49, 5 50, 5, 55, 56, 57, f( x) Compléter : «La limite de f( x) lorsque x écrit lim f( x) = x 5». e cas x x Considérons la fonction f définie sur 0 + par f( x) =. x La fonction f teur de f( x) lorsque x =? 0 3 près) x 0 0, 05, 07, 09, 095, 099, 0,,, f( x) Tracer sa courbe C f dans un repère à l aide d un logiciel de géométrie dyna- x s écrit sqrt(x). Séquence 3 MA 7

17 C f dont les abscisses sont proches (de plus f( x) lorsque x se rapproche de en restant différent de? x?) x = ordonnée lorsque son abscisse s approche de. Le choix «Arrondi > 5 - Remarque La démonstration de ce résultat pourra se faire à l issue de la séquence 6. Nombre dérivé : approche graphique Dans un repère, on considère la courbe C f de la fonction f définie par f( x) = x a) près Point m (d abscisse x) m 3 m m m 0 m 05, m 09, m, m 5, m m 3 m 4 x , 09,, 5, 3 4 f ( x) b. Dans un repère, tracer C f et placer les points m précédents. a) Placer le point M de C f, d abscisse. b) Pour chacun des points m du tableau précédent, tracer les droites (Mm) (on les appelle des «sécantes» car elles coupent toutes la courbe C f ). c) Calculer (à 0 près) les coefficients directeurs de chaque droite (Mm) et Droite (Mm) Coefficient directeur ( Mm 3 ) ( Mm ) ( Mm ) ( Mm 0 ) ( Mm 05, ) ( Mm 09, ) ( Mm, ) ( Mm 5, ) ( Mm ) ( Mm 3 ) ( Mm 4 ) 8 Séquence 3 MA

18 a) Effacer les sécantes précédentes (pour alléger le graphique) puis tracer, le plus finement possible, une droite passant par le point M, en faisant en C f que le point M et lui seul. (on dira que la droite est tangente à la courbe C f au point M). b) Déterminer graphiquement (ou à l aide du logiciel) son coefficient directeur et le comparer à celui des sécantes ( Mm 09, ) et ( Mm, ). Approche historique A la fin du 8 ème siècle, Denis Diderot et Jean Le Rond d Alembert font éditer leur L extrait qui suit est la traduction de la définition d un «Triangle différentiel» R M T m p P a) Comment se dirait aujourd hui la phrase «Pp sera la différentielle de l abscisse»? b) Réécrire le texte dans un langage actuel sans en changer le sens. Dans l encyclopédie, quelle est la définition adoptée implicitement pour la tangente à une courbe? Expliquer à quoi fait référence le «triangle différentiel». Séquence 3 MA 9

19 B Cours Au départ, on a besoin d une fonction f. d un nombre réel. h se rapproche de zéro, fa ( + h) fa ( ) plus le nombre h f a et on note f ( a) la Définition du nombre dérivé Définition fa ( + h) fa ( ) Quand la limite de existe lorsque h h dit que la fonction f est dérivable en a et on note f ( a) cette limite. Le nombre f ( a) s appelle le nombre dérivé de f en a. fa+ h fa f ( a) = lim ( ) ( ). h 0 h Exemple Attention : Pour affecter à f( x) l expression x, on ne doit pas utiliser le signe = mais le symbole d affectation := f( x)= x et a = 08, fa ( + h) fa ( ) Calculons pour h 0. h Ce calcul est facilité grâce au logiciel de calcul formel XCAS. Voici ce qu on obtient : a on doit écrire a := 0.8 (le point est le séparateur décimal). fa ( + h) fa ( ) = 6, + h. h 0 Séquence 3 MA

20 Si h 6, + h 6, + 0 fa conclut que lim ( + h ) fa ( ) = 6., h 0 h Finalement, la fonction f f ( 08, ) = 6,. Interprétation graphique du nombre dérivé C f la représentation graphique de f dans un repère ( J,, ). y = f (a)x +,5 T f (a) C f f(a) A,5 J O I a Propriétés Si f f ( a) est le coefficient directeur de la tangente à C f au point Aa; fa ( ). ( ) Exemple l exemple précédent : f( x)= x et a = 08,. Le résultat f ( 08, ) = 6, signifie que la (droite) tangente à la parabole au point (sur la parabole) d abscisse 0,8 a un coefficient directeur égal à,6. Nous tenons ici une illustration Séquence 3 MA

21 ,8,6,4, y = x y =,6 x 0,6,8,6,4,,6 J 0,8 0,8 = 0,64 0,6 A 0,4 0, 0,4 0, 0 O O 0 0, I 0,4 0,6 0,8,,4,6,8 0, Equation de la tangente à la courbe d une fonction Déterminons l équation réduite y = mx + p de la tangente (c est une droite) à la courbe C f de la fonction f au point A d abscisse a donc m et p. Le coefficient directeur m de la tangente à la courbe de la fonction f est égal à f ( a). L équation est donc y = f'( a) x + p. p. Les coordonnées du point A sont a f( a )) puisque A est situé sur C f. Comme la tangente (c est une droite) à la courbe de la fonction f passe par le point A fa ( ) = f'( a) a+ p. D où, p = f( a) a f'( a). Finalement, l équation de la Séquence 3 MA

22 tangente est y = f'( a) x + f( a) f'( a) a. A savoir y f( a) = f'( a)( x a) la droite dont c est l équation passe bien par A (lorsqu on fait x = a et y = f( a) 0= 0) et que son coefficient directeur (c est le coefficient de x) est bienf'( a). C Exercices d apprentissage Exercice h est toujours un nombre positif Vrai h peut être égal à zéro Vrai Faux Faux Vrai Faux Exercice f en a dans chacun des cas : f( x)= x 3x + a = 3. f( x)= x a = 7. 3 f( x)= x + x + a =. f ( x x )= x a =. Exercice 3 Voici la courbe C de la fonction f. Les tangentes aux points d abscisses 05 4sont tracées en noir. Séquence 3 MA 3

23 ,5 0,5 0 0,5,5,5 3 3,5 4 Liref( 0) f 5, ) f 3 0 f. Donner une équation des tangentes à C aux points d abscisses Préciser celles qui sont parallèles? Justifier. Exercice 4 f définie parf( x) = x +3. Montrer que f ( + h ) f ( ) =. h h f en a =. Exercice 5 de fabrication de x 3 Cx ( ) = 9x 70x x. a. b. e coût marginal, la dépense occasionnée par la fabrication d une Cm ( x). Cm ( x ) = Cx ( + ) Cx ( ). C m ( )? Calculer C ( ) puis comparer C '( ) et C m ( ). Dans la suite, on admet que C ( x) = x 40x Séquence 3 MA

24 À x Cx ( ) Cx ( + ) Cm ( x ) 999 C ( x) Ecart C ( x) Cm ( x) Ecart relatif C ( x) Cm ( x) Cm ( x) 0,036 Séquence 3 MA 5

25 4 Synthèse de la séquence Fonction «racine carrée» Propriétés La fonction racine carrée est définie et croissante 0; +. Un nombre positif a étant donné, dire que r est la racine carrée de a signifie que r est le nombre positif dont le carré est égal à a. En résumé, r = a r = a r 0 Fonction «cube» Propriété La fonction «cube» est croissante sur R Nombre dérivé A savoir f et un nombre a. fa Si la limite lim ( + h ) fa ( ) existe on l appelle f en h 0 h a et on le note f ( a). f a. Si f a, le f ( a). est le coefficient directeur de la tangente à C f au point Aa fa ). ( ) Une équation de la tangente à C f au point Aa fa ) y f( a) = f ( a)( x a). ( ) est donc : 6 Séquence 3 MA

26 5 Exercices d approfondissement Exercice I Une fonction mystérieuse 6 3 à la calculatrice a fait une faute de 6 03,. obtenir une erreur) il demande à sa calculatrice le calcul de 6 05,, décide d étudier plus finement la fonction f définie parf( x) = x X 0 0, f( x) Conjecturer à partir du tableau précédent, l ensemble de définition de la fonction f. tion f g. la fonction h définie par 05, hx ( ) = f( x) gx ( ) = x gx ( ). Tracer la courbe de la fonction h. Quelle conjecture peut-on faire? Proposez une g. Quel(s) intérêt(s) a cette définition? Exercice II Démonstration de la croissance de la fonction «cube». Dans cet exercice, on souhaite donner une démonstration de la croissance de la fonction cube. Pour cela, on se base uniquement sur le fait que le produit de deux nombres positifs est positif. ( y x)( x + xy + y ) Soit deux nombres réels x et y tels que x y. 3 3 x y. a) Pourquoi suffit-il de montrer que x + xy + y 0? b) gauche, au milieu ou à droite des nombres x et y. er cas : supposons que 0 x y. Montrer que dans ce cas x + xy + y 0. Séquence 3 MA 7

27 Exercice III 4 3 e cas : supposons que x 0 y. Simplifier ( x + y) xy puis montrer que dans ce cas x + xy + y 0. 3 e cas : supposons que x y 0. En se ramenant au er cas, démontrer qu on a encore, dans ce cas, x + xy + y 0. A La courbe précédente est celle d une fonction f 05 5,. La droite de couleur est tangente à la courbe aux points d abscisses et 0, coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées 0 ) et passe par le point A 6 3 ). Déterminer par le calcul f ( ), puis f ( 0 ). f. a) f ( x) = 0. b) f ( x) =. c) f ( x) = 0,. d) f ( x) = 5. Résoudre graphiquement l équation f ( x) f ( ) = 0. Exercice IV f définie pour x + par 3 f( x) = x x x +. 8 Séquence 3 MA

28 a) x 0 0,5 0,8 0,9 0,99,0,,,5,8 f( x) x b) Tracer la courbe de la fonction f a) Montrer que si l on pose h= x alors f ( + h ) f ( ) f( x) =. h x b) Quand x h? f en x = a fa ( + h) fa ( ) admette une limite lorsque h h restant différent h de zéro. Quel est l intérêt de cette précaution? (justifier à l aide de la fonction f ) Exercice V - C f de la fonction f. Les tangentes aux points d abscisse sont tracées en couleur Parmi les tangentes tracées, quelles sont celles de coefficient directeur négatif? positif? a) lequel). En ce point, que dire du signe du coefficient directeur de la tangente? b) 3, la fonction f est-elle croissante? décroissante? et la courbe C f «monte» autrement dit la fonction f est et les tangentes ont toutes un coefficient directeur Séquence 3 MA 9

29 Exercice VI Un mobile se déplace sur un axe ). seconde) est xt () = t t+. Son abscisse (en mètre) à l instant t (en Quelle est l abscisse de ce mobile à l instantt =? a) Quelle est la distance parcourue entre les instantst = ett = 7? b) Quel est le temps écoulé entre ces deux instants? t = ett = 7 est définie distance parcourue par Vitesse moyenne = temps écoulé c) t = et t = 7? Pour chaque instant t on écrit h= t. a) Que représente h? x( + h) x( ) f( h) =. h b) fh ( ) pour h = 5? Exercice VII Calculer lim fh ( ) puis donner la signification physique de ce résultat. h 0 x x + x + et x + 3. x + 3 x + x + x par les trois autres réunies. Montrer que x est solution de l équation f( x)= 0 où f( x) = x 6x 9. A l aide de la calculatrice, tracer la courbe de la fonction f et déterminer gra- x possible(s) Séquence 3 MA