I. Se repérer sur le cercle trigonométrique (2 nde )

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1 ère S FCHE n Trigonométrie. Se repérer sur le cercle trigonométrique ( nde ) L idée + d n enroule la droite d autour d un cercle de centre et de rayon comme ci-dessus. A chaque point d abscisse sur la droite d correspond alors un seul point () tel que la longueur de l arc de cercle c soit égale à. n peut enrouler la droite dans deu sens différents. Le sens contraire des aiguilles d une montre est appelé sens direct. n appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon gradué par l enroulement de la droite d dans le sens direct. Comme il est de rayon, le périmètre d un cercle trigonométrique est. EXERCCE TPE Placer un point sur le cercle trigonométrique Placer sur le cercle trigonométrique les points J, A,, C et D repérés respectivement par les réels : ; ; ; 7 et. J C A D - propriété Comme un «tour» de cercle trigonométrique mesure, pour tout entier k, les points () et (+k) sont confondus. k représente k tours entiers du cercle trigonométrique

2 . esurer un angle en radian Sur le cercle trigonométrique, le point tel que la longueur de l arc de cercle c soit égale à permet de définir le radian comme la mesure de l angle a ainsi obtenu. Autrement dit La mesure en radian d un angle a correspond à la longueur de l arc de cercle associé c. Propriété La mesure d un angle ainsi défini en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés. EXERCCE TPE Conversion degrés / radians. Convertir en degrés.. Convertir 0 en radians. l suffit de représenter la situation de proportionnalité... Radians Degrés = 7 Radians 0 80 = 7 Degrés 80 0 Valeurs remarquables (à savoir) Radians Degrés La mesure principale d un angle en radians est sa mesure dans l intervalle ] ; ]. EXERCCE TPE Trouver la mesure principale d un angle Déterminer la mesure principale des angles de mesures respectives et 7. n calcule une valeur approchée de la fraction : 7 9,,7 n en déduit un encadrement de la mesure de l angle : 9 < 7 < 0 < < 7 n soustrait ou ajoute un nombre pair de tours pour obtenir < 0 ou 0 : < n calcule alors la mesure principale de l angle : 0 = 0 = = + 8 = n note parfois : [] ou encore mod() «modulo»

3 . Angles orientés de vecteurs v Soit u et v deu vecteurs non nuls. Le couple ( u ; v ) est appelé angle orienté de vecteurs. u En représentant ces deu vecteurs depuis le point, centre du cercle trigonométrique, la mesure de l angle orienté ( u ; v ) est défini comme la longueur de l arc c orienté dans le sens direct. Propriétés Cette définition permet de relier la mesure d un angle orienté de vecteurs au mesures d angles en radians comme eposé précédemment. n a en particulier les premières propriétés suivantes : La mesure principale d un angle orienté ( u ; v ) est celle comprise dans l intervalle ] ; ]. ( u ; u ) 0 [] (angle angle nul) ( u ; u ) ( u ; u ) [] (angle plat) ( u ; v ) ( u ; v ) [] (opposés par le sommet) ( v ; u ) ( u ; v ) [] (sens contraire) ( u ; v ) ( u ; v ) + [] (supplémentaires) Si k et k sont de même signe, alors (k u ; k v ) ( u ; v ) [] Propriétés géométriques u et v sont des vecteurs colinéaires si, et seulement si, ( u ; v ) 0 mod () () si, et seulement si, ( u ; v ) = mod nterception d une corde ( A ; ) ( A ; ) ( PA ; P ) + [] ( A ; ) ( A ; ) [] A P RELAT DE CHASLES (admise) ( u ; w) ( u ; v ) + ( v ; w) [] EXERCCE TPE 4 Une situation géométrique n considère un triangle AC tel que A = 7 cm ; ( A ; AC) = et ( CA ; C ) = 7. Déterminer la mesure principale de l angle orienté ( A ; C ), puis construire le triangle AC. ( A ; C ) = ( A ; AC) + ( AC ; C ) d après la relation de Chasles = ( A ; AC ) + + ( CA ; C ) = = ( A ; C ) = = n introduit n ce introduit vecteur pour ce vecteur pouvoir à cause utiliser des les données du du problème 7 4 mod() A 7 cm C 4

4 V. Cosinus et sinus : définitions et propriétés Dans ce paragraphe, on munit le plan d un repère (; i, j ) : - orthonormé, c'est-à-dire dont les aes sont perpendiculaires et où i et j indiquent une même unité ; - direct, c'est-à-dire tel que ( i, j ) = + Soit un réel et le point associé sur le cercle trigonométrique. le cosinus de, noté cos, est l abscisse du point ; le sinus de, noté sin, est l ordonnée du point ; Cette définition est cohérente avec celle donnée au collège qui reste valable. En effet, notons X et les points situés respectivement sur les aes des abscisses et des ordonnées correspondant au point. Avec la définition du collège, on a : cos X a = X = X = X = cos. sin X a = = = = sin. sin j i X cos Propriétés Pour tout réel et pour tout entier k W : cos cos ( +k ) = cos k = k tours Théorème de Pythagore dans le triangle X sin sin ( +k ) = sin (cos ) + (sin ) = Valeurs remarquables (à savoir) 0 cos 4 0 J ( ) ( 4 ) ( ) sin 0 preuves : Pour 4, le triangle X est isocèle en X d où : cos 0 4 = sin 4. Par ailleurs, on sait que (cos 4 ) + (sin 4 ) =, soit ( cos 4 ) =. Enfin comme cos 4 > 0, on a donc : cos 4 = = = = et donc aussi sin 4 = Pour, le triangle est équilatéral (puisque = et que a = 0 ). n sait alors que le point X, pied de la hauteur issu de est le milieu de [A], donc cos = Comme (cos ) + (sin ) =, on a alors ( ) + (sin ) =, calculs d où sin = ±. Etant donné que [ 0 ; ], sin 0. n a donc finalement : sin = + Pour, même raisonnement que pour, à partir du triangle équilatéral J

5 V. Angles associés dans le cercle trigonométrique Propriétés (à savoir) cos ( ) = cos sin ( ) = sin Angles associés cos ( ) = cos sin ( ) = sin cos ( + ) = cos sin ( + ) = sin Pour n importe quelle mesure de l angle! + X cos ( ) = sin cos ( + ) = sin + sin ( ) = cos sin ( + ) = cos preuves : En utilisant symétries aiales et centrales dans le cercle trigonométrique EXERCCE TPE Déterminer le cosinus et le sinus d angles associés. Déterminer les valeurs de sin ( 4 ) ; cos ( ) et sin ( 4 ).. a. ontrer qu il eiste un nombre réel θ tel que cos(θ) = 0,8 et sin(θ) = 0,. b. Déterminer les valeurs eactes de sin ( θ ) et cos ( + θ ).. sin ( 4 ) = sin 4 = cos ( ) = cos ( ) = cos = ; sin ( 4 ) = sin ( + ) = sin =. a. Pour qu il eiste un tel nombre réel θ, il suffit de vérifier que ( 0,8 ; 0,) soit bien un point du cercle trigonométrique : = (cos θ) + (sin θ) = ( 0,8) + 0, = 0,4 + 0, =. l eiste donc un tel nombre réel θ b. sin ( θ ) = cos θ = 0,8 et cos ( + θ ) = sin θ = 0, EXERCCE TPE Résoudre une équation du type cos = cos a Résoudre dans l équation cos =. n sait que cos =. Autrement dit, l équation à résoudre est cos = cos. A partir du cercle trigonométrique et de la relation cos ( ) = cos, on peut conclure que les solutions de l équation cos = cos sont : soit = + k avec k W soit = + p avec p W. n note : S = + p avec p W, + k avec k W Cette équation a donc une infinité de solutions dans mais n a que deu solutions dans l intervalle ] ; ] (mesures principales ).