CHAPITRE 1 ALGÈBRE DE BASE

Transcription

1 CHAPITRE 1 ALGÈBRE DE BASE 1-1 ENSEMBLES, ALGÈBRE ET PROPRIÉTÉS DE BASE Un ensemble est une collection d'objets nommés éléments ou membres de l'ensemble. Un ensemble est décrit pr l liste de ses éléments (on dit qu'il est décrit en extension) ou à l'ide d'une règle qui détermine ses éléments (on dit qu'il est décrit en compréhension). On utilise des ccoldes pour délimiter les éléments d'un ensemble. Exemple L'ensemble A= {1,, 5, 7} est décrit en extension et contient 4 éléments. L'ensemble B= {les nombres pirs de 1 à 10} est décrit en compréhension et contient 5 éléments. Un ensemble peut être fini ou infini. Un ensemble qui ne contient ucun élément est ppelé ensemble vide et est noté. Une vrible est un symbole qui représente un élément quelconque provennt d'un ensemble de référence. Le symbole " " signifie "pprtient à" ou "est un élément de". Le symbole " " signifie "tel que" et est utilisé lorsqu'on veut décrire un ensemble en compréhension. Exemple Avec l'ensemble A de l'exemple précédent, l'expression "x A" signifie que l vrible x peut prendre l'une des 4 vleurs de cet ensemble. Une constnte est un symbole représentnt un élément unique. Si chque élément de l'ensemble A est élément ussi de l'ensemble B, on dit que "A est un sous-ensemble de B" ou que "A est inclus dns B" et on écrit A B. Exemple 1-1. Si X={0, 1, 2,, 4}, lors C={x x X et x 1>0} désigne l'ensemble des vleurs de X qui stisfont à l condition x 1>0, ce qui revient à l'ensemble C={2,, 4}. On constte ici que C X, donc C est un sous-ensemble de X. Soit U un ensemble de référence. On l'ppelle le référentiel ou l'ensemble universel. Soit A et B deux sous-ensembles de U. On peut définir les opértions de bse suivntes: L'union de A et B est l'ensemble noté A B défini pr A B = {x x A ou x B} L'intersection de A et B est l'ensemble noté A B défini pr A B = {x x A et x B}

2 pge I.2 chpitre 1 : lgèbre de bse Le complément de A est l'ensemble noté A C défini pr A C = {x x U et x A} Exemple U = {1, 2,,, 10} Soit A = {2,, 4, 5, 6, 7} et B = {4, 6, 8} A B = {2,, 4, 5, 6, 7, 8} A B = {4, 6} A C = {1, 8, 9, 10} et B C = {1, 2,, 5, 7, 9, 10} Les nombres réels: L'ensemble des nombres réels est le référentiel le plus utilisé en mthémtiques et en sciences. Vous trouverez ci-dessous un schém représentnt les principux ensembles de nombres que l'on rencontre en mthémtiques. Nombres nturels {1, 2,,...} Zéro Négtifs des nombres nturels {-1, -2, -,...} Entiers Frctions non-entières {1/2,-/5,...} Nombres rtionnels Nombres irrtionnels { 2, π,...} Nombres réels On remrque que = = L droite réelle: Les nombres réels sont souvent représentés grphiquement comme l'ensemble des points constitunt l droite réelle. Nombres réels négtifs Nombres réels positifs Coordonnée Origine Direction positive

3 chpitre 1 : lgèbre de bse pge I. On définit sur deux opértions de bse, l'ddition notée "+" et l multipliction notée " ". (Lorsqu'on désigne l multipliction de 2 éléments, on note indifféremment b ou bien b.) Prmi les propriétés fondmentles des nombres réels on retrouve: des propriétés d'ssocitivité: x + ( y + z ) = ( x + y ) + z et x( yz ) = ( xy )z ; des propriétés de commuttivité: x + y = y + x et xy = yx ; des éléments neutres: 0 + x = x et (1)x = x ; des éléments inverses: x est l'inverse dditif ou l'opposé de x et, si x 0, 1/x est l'inverse multiplictif ou tout simplement l'inverse de x ; une propriété de distributivité: x( y + z ) = xy + xz. L soustrction est définie pr b = + ( b) et l division pr /b = (1/b). L division pr 0 n'est jmis permise. Des propriétés dditionnelles concernnt les négtifs: 1. ( ) = 2. ( )b = (b) = ( b) = b. ( )( b) = b 4. ( 1) = 5. b = b = b b 0 6. b = b = b = b b 0 Exemple ) 6 (x+4) = 6 x 4 = 2 x b) (2x+y) (4 x) = 2x (4 x) + y (4 x) = 8x 2x 2 + 4y xy c) Effectuons une mise en évidence dns l'expression x + 2y 4bx 8by: x + 2y 4bx 8by = (x+2y) 4b(x+2y) = (x+2y) ( 4b) Les propriétés de zéro: = 0 2. b = 0 si et seulement si = 0 ou b = 0. Exemple (x+5) (2x 4) = 0 ssi x+5 = 0 donc x = 5 ou 2x 4 = 0 donc x = 2.

4 pge I.4 chpitre 1 : lgèbre de bse Les propriétés des frctions (l division pr zéro étnt exclue): 1. b = c d si et seulement si d = bc 2. k kb = b. b c d = c 4. bd b c d = b d c 5. b + c b = + c 6. b b c b = c b 7. b + c d+ bc = d bd Exemple x+ + x = 2(2x+) + (x 5) 4 = 4x+6+x 5 4 = 5x+1 4 Remrque: Les règles d'ssocitivité et de commuttivité sont très importntes cr elles crctérisent les opértions impliquées. Pr exemple 6 6, i.e. l soustrction n'est ps commuttive; de même l'écriture b c est mbiguë cr b ( ) c ( b c). Il fut donc être prudent et être conscient du fit qu'il existe une priorité dns l'ordre des opértions en mthémtiques. Pr exemple, l'expression est équivlente à 6+(4 2) et non à (6+4) 2. Si vous désirez l deuxième expression, il fut bsolument introduire des prenthèses et écrire (6+4) 2. De fçon semblble, donne 1 comme réponse. Si vous désirez voir 9 comme réponse, vous devez utiliser des prenthèses (5 2) 2. L'ordre de priorité des opértions est le suivnt (du plus importnt u moins importnt): les exposnts ( x ou x y ) l multipliction et l division l'ddition et l soustrction. En cs de doute, utilisez plus de prenthèses! En effet, 5 (2) 2 est équivlent à ou bien à 5 (2 2 ). Lorsqu'on écrit xy 5, il doit être clir qu'il s'git de (xy) LES EXPOSANTS ENTIERS Nous vous rppelons les définitions suivntes: n = (n fois le fcteur ), pour n un entier positif, 0 = 1 ( 0); n = 1/ -n, pour n un entier négtif ( 0). 0 0 n'est ps défini.

5 chpitre 1 : lgèbre de bse pge I.5 Propriétés des exposnts entiers (l division pr 0 est exclue) 1. m n = m+n 2. (m ) n = mn. (b)m = m b m m 4. = m m b b m 5. n = m n 1 = n m Des propriétés supplémentires sur les exposnts (l division pr 0 est exclue) 1. (m b n ) p = mp b np 2. m p b n = mp b np. 4. n = b n b n bm = b m n Exemple ) x2 +4x x 2 = x2 x 2 + 4x x 2 = x b) = = = = = c) 2 b c 1 2 = ( ) 2 bc 2 = 1 2 bc 2 1 = 4 b 2 c 2 À l'occsion, il fut svoir mnipuler plusieurs des propriétés vues à dte pour simplifier une expression. Exemple Exprimez x x 1 2 sous s forme l plus simple. 1 x x x 1 x 1 1 x 2 = x 1 1 x 2 = x 2 1 x x 2 1 x 2 = x2 1 x x 2 x 2 1 = x 1- LES EXPOSANTS RATIONNELS Vous connissez tous l notion de rcine crrée b et l rcine cubique b. On peut générliser: est l rcine nième de b si n = b, où n est une entier positif. et on note = n b ou bien = b 1/n. Si n est impir, b possède une seule nième rcine réelle. Si n est pir et b > 0, b possède deux rcines nièmes réelles et l nième rcine positive est ppelée l nième rcine principle. Pr exemple, il existe 2

6 pge I.6 chpitre 1 : lgèbre de bse nombres réels b tels que b 2 =9 ( et ); l rcine crrée principle de 9 est s rcine positive: 9 =. Si n est pir et b <0, b ne possède ps de rcine nième réelle. On peut définir l vleur bsolue d'un nombre réel de l fçon suivnte: Si x, lors x = { x si x 0 x si x < 0 Lorsqu'on veut simplifier l'expression x 2 en ppliqunt les propriétés ci-dessus, on ur x 2 = (x 2 ) 1/2 = x si x est positif. Si x est un nombre réel quelconque, x 2 = { x si x 0 x si x < 0 D'où le résultt: x 2 = x. Pr contre, si on suppose x 0, on peut écrire x 2 = x. Les exposnts rtionnels et les rdicux sont reliés pr les formules: b m/n = (b m ) 1/n = n b m = (b 1/n ) m n = ( b) m et b -m/n = 1 b m/n Propriétés des rdicux (x > 0, y > 0): n 1. x n = x 2. n n xy = x n y. x n = y n x n y Un rdicl est sous forme simplifiée si: 1. L'expression sous le rdicl (le rdicnd) ne contient ucun fcteur à une puissnce plus grnde ou égle à l'indice du rdicl. 2. Le seul fcteur commun d'une puissnce du rdicnd et de l'indice est 1.. Le dénominteur ne contient ucun rdicl. 4. Aucune frction n'pprît sous un rdicl. Exemple 1-.1 ) = 1/2 1/ = 1/2 1/ = 1/6 = 6 b) = (5 2 ) 1/ + (25 4 ) 1/6 = 5 1/ 2/ + (5 2 ) 1/6 4/6 = 5 1/ 2/ + 5 1/ 2/ = 2(5 1/ 2/ ) = 2 5 2

7 chpitre 1 : lgèbre de bse pge I.7 c) x 2 y = [(x 2 y) 1/2 1/2 ] = (x 2 1/4 y) = x 2/4 y 1/4 = x 1/2 y 1/4 Attention! 2 + b b 2 et donc 2 + b 2 + b. 2 b 2 b Pour terminer, on peut se demnder si (pour > 0) x existe pour tout x. En effet, que se psse-t-il si x est irrtionnel? Que vut 2 π? L question est intéressnte cr π ne peut s'exprimer comme un nombre frctionnire. Pourtnt votre clcultrice vous dir que 2 π = 8, Nous verrons u chpitre 5 comment votre clcultrice fit pour clculer cette vleur; nous verrons ussi que x existe bel et bien pour tout x (vec > 0) 1-4 LA NOTATION SCIENTIFIQUE Commençons pr clrifier ce qu'on entend pr "chiffres significtifs". Le nombre chiffres significtifs cr les 6 derniers zéros peuvent se résumer à un seul renseignement. De fçon semblble, 0, chiffres significtifs, les 4 zéros près l virgule décimle se résumnt à un seul renseignement. Il serit intéressnt de pouvoir exprimer des nombres très grnds ou très proches de 0 en évitnt l'écriture inutile de zéros. C'est ce que permet l nottion scientifique: Un nombre est exprimé vec l nottion scientifique s'il est exprimé sous l forme 10 n, vec 1 <10, où n est un entier. Avec cette nottion, les deux nombres plus hut deviennent 1, 10 8 et 1, Les clcultrices fonctionnent (à l'interne) en nottion scientifique mlgré le fit qu'elles ffichent, en générl, les résultts en nottion clssique. Fites l'exercice suivnt vec votre clcultrice: divisez 1 pr ; vous devriez voir ffiché 0, , réponse qui n' que 5 chiffres significtifs. Demndez mintennt à votre clcultrice d'fficher le résultt ffiché en nottion scientifique (vec 9 chiffres significtifs). Vous devriez voir une touche nommée SCI. Vous urez lors 1, Votre clcultrice fficher nécessirement en nottion scientifique le résultt r de tout clcul qui n'est ps dns l'intervlle <r< Exemple Simplifiez l'expression suivnte (sns clcultrice):

8 pge I.8 chpitre 1 : lgèbre de bse , = 2, , = 4, , = 102 = EXERCICES *1. Pour A = {1, 2,, 4, 5}, B = {1, 2, 4} et C = {4, 1, 2}, dites si l'énoncé est vri ou fux: (A) A (B) 5 C (C) B A (D) B A (E) B C (F) A B 2. Remplcez le point d'interrogtion pr l'expression ppropriée qui illustre l propriété indiquée des nombres réels: (A) Commuttivité ( ): x(y + z) =? (B) Associtivité (+): 2 + (x + y) =? (C) Distributivité: (2 + )x =? Dns les problèmes -6, effectuez les opértions et simplifiez. *. 5x 2 x[4 (x 2)] 4. (m 5n)(m + 5n) 5. (2x + y) (x 4y) 6. (2 b)2 Simplifiez les expressions dns les problèmes 7-12, et exprimez vos réponses en n'utilisnt que des exposnts positifs. (Toutes les vribles sont considérées positives) *7. 6(xy ) 5 *8. 9u 8 v 6 u 4 v 8 9. ( )( 10 ) 10. (x - y 2 ) u 5/ u 2/ 12. (94 b 2 ) 1/2 1. Réécrire en utilisnt les rdicux : x 2/5 14. Réécrire en utilisnt des exposnts frctionnires : ( xy) 2 Simplifiez les expressions dns les problèmes x x 5 y 4 *16. 2x 2 y 5 18x y b y Réécrire en extension:

9 chpitre 1 : lgèbre de bse pge I.9 {x x est un entier impir et entre 4 et 2} *20. Indiquez si les énoncé suivnts sont vri(v) ou fux (F) : 21. Donnez un exemple de nombre entier qui ne soit ps un nombre nturel. (A) Un entier est un nombre rtionnel et un nombre réel. (B) Un nombre irrtionnel une représenttion décimle périodique. Dns les problèmes 22-26, effectuez et simplifiez 22. (2x y) (2x + y) (2x y) 2 2. (m2 + 2mn n 2 )(m 2 2mn n 2 ) *24. 5(x + h) 2 7(x + h) (5x 2 7x) *25. 2x{(x 2 + 2)(x ) x[x x( x)]} 26. (x 2y) Dns les problèmes 27-2, effectuez et simplifiez; donnez les réponses en n'utilisnt que des exposnts positifs u u 2 v o 2 u 5 u x 2 y 8x 4 y 1/ 1/2 /2 0. ( 1/ b 1/4 )( 9 1/ b ) 1. ( x 1/2 + y 1/2 ) 2 2. ( x 1/2 y 1/2 )( 2x 1/2 + y 1/2 ). Trnsformez cette expression en nottion scientifique 0, ( )( 0,000002) Evluez les expressions dns 4-41 à l'ide de l clcultrice vec 4 chiffres significtifs.

10 pge I.10 chpitre 1 : lgèbre de bse 4. ( 20410) 0, , ( ) 5. 0, ( 60,9) 7. 82,458/ 8. ( 0, ) 2/ , /2 1/2 2 1/ + 1/ Dns les problèmes 42-47, effectuez et simplifiez x 6 x 7 y x 6 y 12 2x 2 4x y 2 8x x 4 *47. ( 2 x 5 y )( x + y ) *48. Réécrivez 0, sous forme de frction simplifiée. Est-ce que ce nombre est un rtionnel ou un irrtionnel? 49. SiM ={ 4,,2} et N = {,0,2},trouvez: (A) M N (B) M N

11 chpitre 1 : lgèbre de bse pge I.11 CHAPITRE 1 - RÉPONSES 1. (A) Vri (B) Vri (C) Fux 2. (A) ( y + z)x (D) Vri (E) Fux (F) Fux (B) ( 2 + x) + y (C) 2x + x. 14x 2 0x 4. 9m 2 25n x2 5xy 4y b + 9b x5 y u 4 v x 6 y u 7/ b 1. 5 x ( xy) 2/ 15. x 2 y x 2 y 16. 6x 2 y xy 17. 2b y 19. {, 1, 1 } 20. (A) V (B) F et - sont deux exemples prmi tnt d'utres xy 2y2 2. m 4 6m 2 n 2 + n xh + 5h 2 7h 25. 2x 4x x 26. x 6x 2 y + 12xy 2 8y x 2 2y /6 b 1/2

12 pge I.12 chpitre 1 : lgèbre de bse 1. x + 2x1/2 y 1/2 + y 2. 6x + 7x1/2 y 1/2 y , , , , , , , x 2 y 2 5 x 2 y 4. x 2x x y 2 2x 45. y 2x 2 y 46. 2x x xy 5y ; rtionnel 49. (A) 4,, 0, 2 { } (B), 2 { }