CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

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1 CICUIT LC SÉI N ÉIM SINUSOÏDAL FOCÉ I ÉTUD D LA TNSION AUX BONS D LA ÉSISTANC I Calcl de la fonction de transfert On étdie la tension ax bornes de la résistance d n circit LC série Un BF délivre ne tension sinsoïdale v () t cos m ( t) On chercher vs () t en régime sinsoïdal forcé Méthode de résoltion des exercices en régime sinsoïdal forcé : edessiner le circit en indiqant les amplitdes et impédances complexes Simplifier le circit en tilisant les lois d association série, parallèle Écrire vs () t sos la forme : v () t S cos S m ( t+ ϕ ) On cherche à exprimer V en fonction de V On tilisera les S résltats d contin : diviser de tension, diviser de corant, loi des mailles, loi des nœds en termes de potentiel o théorème de Millman On pet écrire n diviser de tension : V V D où la fonction de transfert : S + + jl jc H( j) (eq) V e + j L C v V I i C jc L jl v S I Forme canoniqe Il existe plsiers formes canoniqes possibles (voir chapitre sr les filtres) On cherche à identifier à : H H( j) (eq) + j Por identifier les éqations () et (), il fat transformer l éqation por faire apparaître le terme + j ( ) On divise par a nmérater et a dénominater : H( j) L + j C H L L Identification : D où ; et H LC C On va donc étdier par la site la fonction de transfert H( j) + j La plsation rédite est définie par On a donc : H( j) + j Circit LC série égime sinsoïdal forcé (3-) Page sr 8 JN Bery

2 V H( j ) V S cos ( ) ( ϕ) exp( ϕ) v t V m m v S cos t+ V S j S m S m Sm H( j ) V rapport des amplitdes (appelé gain et noté ) m ( H j ) ( ) ( V) arg ( ) arg arg ϕ déphasage de v S par rapport à v e I3 Étde d gain en fonction de la plsation rédite Le gain est défini par H( j) On se contente sovent de trois points particliers : + est maximm si le dénominater est minimm, c est à dire por, c'est à dire, soit, max qelqe soit j si, H ( j) donc j j si, H( j) donc j ( ) est maximm por, c est à dire por On dit q il y a résonance en tension ax bornes de la résistance o résonance en intensité emarqe : il y a tojors résonance en intensité (par rapport à ) contrairement à la résonance en tension ax bornes d condensater (voir paragraphe sivant) Interprétation : 5 5 Les signax dont les plsations s éloignent de ont des amplitdes de pls en faibles Les signax de plsations voisines de ont des amplitdes importantes : on a n filtre passe-bande La corbe admet ne tangente à l origine qi n est pas horizontale Il n est pas tile de dériver car la fonction est simple à étdier Mais attention ax conclsions trop hâtives Dans le dote, il fat miex dériver and on demande l allre d ne corbe dans n problème, il fat respecter les tangentes ax points particliers Circit LC série égime sinsoïdal forcé (3-) Page sr 8 JN Bery

3 On pet définir la bande passante à 3 db On a dex plsations et por lesqelles H max H( j ) H( j ) La bande passante est : On cherche et tels qe : D où : max ( ) ( ) + Il fat résodre l éqation : + Étde de 4 4 > 4 Le discriminant vat + + ± + 4 Une sele soltion est physiqement acceptable ( > ) D où Étde de > 4 + Le discriminant vat + + ± + 4 Une sele soltion est physiqement acceptable ( > ) D où + + On en dédit donc qe : 4 emarqe : Ce résltat est à connaître Si le facter de qalité est grand, la bande passante est petite, le circit est sélectif La larger de la bande passante por n passe-bande est : n fréqence, on a f n plsations rédites, on a : Le circit est d atant pls sélectif (bande passante étroite) qe le facter de qalité est grand (résistance petite) Les corbes tracées précédemment confirment bien le résltat f max max Circit LC série égime sinsoïdal forcé (3-) Page 3 sr 8 JN Bery

4 Circit LC série égime sinsoïdal forcé (3-) Page 4 sr 8 JN Bery

5 I4 Étde d déphasage de la sortie par rapport à l entrée Le déphasage de la sortie par rapport à l entrée est : ϕ arg ( H( j) ) arg + j a) Étde simplifiée d déphasage j π Si, H ( j), donc ϕ j j π Si, H( j) doncϕ j( ) Si, H( j ), donc ϕ b) Étde complète Por déterminer ϕ, l expression de tan ϕ ne sffit pas, l angle ne serait déterminé q à π près Il fat donc préciser cos ϕ o sin ϕ tan ( ϕ ) π π cos( ϕ ) cos ϕ >, donc ϕ, + L étde de la dérivée de ϕ par rapport à se fait pls facilement en dérivant tan ϕ d( tanϕ ) dϕ d < d cos ϕ d ϕ < d La fonction ϕ est donc décroissante π si << ( << ), ϕ π si >> ( >> ), ϕ ϕ Interprétation : on a n sat de phase de π qi se fait ator de Il est d atant pls rapide qe le facter de qalité est grand (résistance petite) Si <, la sortie est en avance de phase sr l entrée Si >, la sortie est en retard de phase sr l entrée Circit LC série égime sinsoïdal forcé (3-) Page 5 sr 8 JN Bery

6 II ÉTUD D LA TNSION AUX BONS DU CONDNSATU II Calcl de la fonction de transfert On étdie la tension ax bornes de la résistance d n circit LC série Un BF délivre ne tension sinsoïdale v () t cos m ( t) On chercher vs () t en régime sinsoïdal forcé On reconnaît n diviser de tension jc H( j) + jl + jc II Forme canoniqe Il existe plsiers formes canoniqes possibles (voir chapitre sr les filtres) On cherche à identifier à : H H( j) (eq) j + Por identifier les éqations () et (), il fat transformer l éqation por faire apparaître le terme + j ( ) On mltiplie par jc a nmérater et a dénominater : H( j) LC + jc H Identification : D où ; et H LC LC C C La plsation rédite est définie par : H( j) + j v V I i L C jl jc v S V H( j ) V S cos ( ) ( ϕ) exp( ϕ) v t V m m v S cos t+ V S j S m S m Sm H( j ) V rapport des amplitdes (appelé gain et noté ) m ( H j ) ( ) ( V) arg ( ) arg arg ϕ déphasage de v S par rapport à v e II3 Étde d gain H( j) + + ( ) ( ) Por étdier en fonction de, il fat étdier le signe de la dérivée 3 d + d ( ) ( ) 3 d + ( ) ( ) d d o d + Circit LC série égime sinsoïdal forcé (3-) Page 6 sr 8 JN Bery

7 d o d Ceci n est possible qe si On a donc dex cas : Si : d d est tojors décroissante (), () et si, Si > : d d s annle por et passe par n maximm por max + 4 > max b g si >> > résonance 4 < Interprétation : On a ne résonance en tension si > La plsation rédite de résonance est infériere à donc < Si est très grand (en pratiqe 3 max > 5), alors, soit et Ce résltat se généralise si ( ) ( ) s appelle assi le facter de srtension Il fat prendre des précations en TP pisq on pet avoir ne tension spériere à la tension de claqage d condensater! La corbe présente ne tangente horizontale en Si >, on pet définir la bande passante à 3 db On a dex plsations et por lesqelles max ( ) ( ) La bande passante est : On pet montrer qe si >>, Le circit est d atant pls sélectif (bande passante étroite) qe le facter de qalité est grand (résistance petite) Por, on a n maximm pe contrasté : résonance floe alors qe très grand devant, on a ne résonance aige 3 /(4 )/ Cela revient à négliger / devant Circit LC série égime sinsoïdal forcé (3-) Page 7 sr 8 JN Bery

8 II4 Étde de la phase de la sortie par rapport à l entrée La fonction de transfert est : H( j) + j H j + j Le déphasage de la sortie par rapport à l entrée est : ϕ arg ( ( ) ) arg ( ) a) Étde simplifiée d déphasage Si, H( j), donc ϕ Si, H( j) doncϕ π o π Comment conclre? La partie réelle d dénominater π La partie imaginaire d dénominater L argment d dénominater est compris entre et π Comme ϕ est l opposé de l argment d dénominater, on a ϕ π Si, H( j ), donc ϕ b)étde complète tanϕ et sinϕ sin ϕ <, donc ϕ [ π,] + ( ) Por étdier la dérivée de ϕ par rapport à, il est pls simple de dériver tan ϕ d( tanϕ ) dϕ ( ) + ( + ) dϕ < < d cos ϕ d ( ) ( ) d La fonction est donc décroissante si <<, ϕ si, ϕ π ϕ π, ) >> (et non pas π car [ ] ,5 ϕ On a tojors ϕ <, la tension de sortie est donc tojors en retard de phase par rapport à la tension d entrée Circit LC série égime sinsoïdal forcé (3-) Page 8 sr 8 JN Bery