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1 HPTR 12 Vecters Le programme ontens apacités attendes ommentaires Vecters éfinition de la translation qi transforme n point d plan en n point. Vecter associé. Égalité de dex vecters : = =. oordonnées d n vecter dans n repère. Somme de dex vecters. Prodit d n vecter par n nombre réel. Relation de hasles. Savoir qe = éqivat à est n parallélogramme, éventellement aplati. onnaître les coordonnées (x x ; y y ) d vecter. alcler les coordonnées de la somme de dex vecters dans n repère. Utiliser la notation λ. Établir la colinéarité de dex vecters. onstrire géométriqement la somme de dex vecters. aractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecters. À tot point d plan, on associe, par la translation qi transforme en, l niqe point tel qe [] et [] ont même milie. La somme des dex vecters et v est le vecter associé à la translation résltant de l enchaînement des translations de vecter et de vecter v. Por le vecter de coordonnées (a ; b) dans n repère, le vecter λ est le vecter de coordonnées (λa ; λb) dans le même repère. Le vecter λ ainsi défini est indépendant d repère. Notre point de ve 106 Les notions de translation et de vecters sont novelles. Por aborder ce chapitre, il est nécessaire qe les élèves aient rev les propriétés d parallélogramme (Rappels d collège et ors 3 d chapitre 10) et appris ce q est n repère d plan et comment calcler les coordonnées d milie d n segment et la distance de dex points (ors 1 d chapitre 10). L activité 1 permet d introdire la définition de la translation qi transforme n point en n point, ainsi qe le vecter associé à cette translation. Le tracé d n qadrilatère et de son image par ne translation permet d évoqer (mais ce sera la sele fois dans ce chapitre) la direction, le sens et la longer d n vecter. Les coordonnées d n vecter dans n repère sont rapidement introdites, l objectif étant essentiellement de travailler dans n repère, et d tiliser les vecters por démontrer certaines propriétés d ne figre. L activité 3 permet d introdire la somme de dex vecters ainsi qe la relation de hasles. Le calcl des coordonnées de + v est admis dans le cors et démontré dans l exercice 65. L activité 4 introdit, à l aide d n logiciel de géométrie dynamiqe, la définition d prodit d n vecter par n réel. onformément a programme, le vecter k n est défini qe par ses coordonnées dans n repère. ssi, il ne sera jamais demandé dans ce chapitre de représenter n vecter de la forme k sans avoir a préalable effecté le calcl de ses coordonnées (excepté por les vecters, 2 et 3 ). n ce qi concerne la colinéarité de dex vecters, nos n avons tilisé, ni la proportionnalité des coordonnées, ni la condition de colinéarité, cette dernière n étant q a programme de Première Scientifiqe.

2 Les exercices «Por démarrer» et «Por s entraîner» sont progressifs et conformes à l esprit d programme. Les objectifs sont les sivants : tiliser les vecters por déterminer q n qadrilatère est n parallélogramme, q n point est le milie d n segment ; savoir tiliser la relation de hasles ; dans n repère : calcler les coordonnées d n vecter, d n point défini par ne égalité vectorielle, étdier la colinéarité de dex vecters, déterminer n alignement de points o le parallélisme de dex droites. e nombrex exercices de logiqe sont également proposés. ans les TP ainsi qe les exercices d approfondissement, sont tilisés des repères liés à ne figre (TP2 et exercices 104, 105 et 106) et les propriétés de la mltiplication d n vecter par n réel (TP1 et exercices 101 et 102). Les notions abordées dans le chapitre 12 Translation et vecters Vecters dans n repère Somme de vecters Prodit d n vecter par n nombre réel Vecters colinéaires Parallélisme de droites et alignement de points Réactiver les savoirs Voir manel pages 334 et 335 et le site por les corrigés détaillés. ctivités ctivité 1 es points glissants ette activité a por objectif d introdire la définition d image d n point par ne translation et d amener les élèves à bien faire le rapprochement entre la constrction d n point tel qe dex segments aient le même milie et la constrction d n parallélogramme. Le tracé d qadrilatère, image d qadrilatère par la translation de vecter, permet de visaliser comment on pet tracer l image d ne figre par ne translation. est l occasion d évoqer la direction, le sens et la longer d n vecter. 1. a et b. Voir la figre ci-après. 2. a. On constrit de telle sorte qe soit le milie de [ ]. b. et sont des parallélogrammes. 3. a. Voir la figre ci-après. b. Le milie de [] et le milie de [ ] sont confonds. c. L image de par la translation qi transforme en est le point. 4. ctivité 2 ans n fniclaire ans cette activité, les élèves décovrent la définition de coordonnées d n vecter dans n repère et sont amenés à faire ne conjectre sr la formle permettant de calcler ces coordonnées. L tilisation d n logiciel de géométrie permet de confirmer cette conjectre. Fichiers associés : 12_seconde_activite2.rl (GeoGebraTbe) sr et 12_seconde_activite2.ggb (GeoGebra) sr le manel nmériqe premim. 1. R, S et T sont les images respectives de R, S et T par la translation de vecter O donc RR = O, SS = O, TT = O et par site O = RR = SS = TT. 2. a. a por coordonnées (9 ; 6). b. O a por coordonnées (9 ; 6). 3. a. Le représentant d origine O de RR est O. b. Les coordonnées de RR sont les coordonnées d point, soit (9 ; 6). 4. a. oordonnées O (9 ; 6) RR (9 ; 6) SS (9 ; 6) TT (9 ; 6) d vecter oordonnées (9 ; 6) R (9 ; 9) S (12 ; 9) T (12 ; 8) de l extrémité oordonnées O(0 ; 0) R(0 ; 3) S(3 ; 3) T(3 ; 2) de l origine b. On pet conjectrer qe les coordonnées de sont (x x ; y y ). 5. Ovrir le fichier 12_seconde_activite2. hapitre 12 Vecters ndice 2 de 107

3 Utiliser éplacer. liqer sr le déplacer. 11 8, pis sr le point por R S R (12, 11) S (15, 11) S 3 R (0, 3) S (3, 3) R RR (12, 8) SS (12, 8) O On observe qe les coordonnées de RR sont (x R x R ; y R y R ) et qe celles de SS sont (x S x S ; y S y S ). ela confirme la conjectre faite dans la qestion 4. b. ctivité 3 roisières ax îles d Hyères ette activité permet d introdire la notion de somme de dex vecters ainsi qe la relation de hasles. 1. a. La croisière est : «H vers P, pis P vers». b. Les trois croisières sont : «P vers H, pis H vers» ; «P vers, pis vers» ; «P vers L, pis L vers». 2. a. Le point de départ est L ; le point d arrivée est P. b. Le vecter L + P est égal a vecter LP. 3. a. La somme de vecters est HP + P. b. ette somme est égale a vecter H. 4. PH + H = P P + = P PL + L = P. ctivité Un novea prodit 4 ette activité a por objectif d introdire la définition d prodit d n vecter par n réel à l aide d logiciel GeoGebra. près avoir calclé les coordonnées des vecters +, + +, les élèves pevent constater, à partir des coordonnées des vecters k affichées par le logiciel, qe + + = 3, + = 2 ; = 1 ; = 1 L affichage des coordonnées des vecters k T avec k variant avec n pas de 0,5, permet de faire ne conjectre sr l expression des coordonnées de k en fonction de celles de. Fichiers associés : 12_seconde_activite4.rl (GeoGebraTbe) sr et 12_seconde_activite4.ggb (GeoGebra) sr le manel nmériqe premim. 1. a. + a por coordonnées (6 ; 4). + + a por coordonnées (9 ; 6). b. Voir la figre ci-après. 2. a. a por coordonnées ( 3 ; 2). a por coordonnées ( 6 ; 4). a por coordonnées ( 9 ; 6). b. 3 2 O 3 3. Ovrir le fichier 12_seconde_activite4. a. Utiliser éplacer. liqer sr, pis sr le crser k por li faire prendre les valers 3, 2, 1, 1, 2 et 3. k = 3 (3 ; 2) 3 (9 ; 6) O + + = 3, + = 2 ; = 1 ; = 1 ; = 2 ; = 3. b. éplacer le crser k por li faire prendre des valers de 3 à 3 avec n pas de 0,5. onjectre : les coordonnées de k sont (3k ; 2k). 2 k xercices Por démarrer 1 1. Vrai. et F sont des parallélogrammes donc = et = F, d où = F : l image de par la translation qi transforme en est F. 2. Vrai, car est n parallélogramme. 3. Fax, car F n est pas n parallélogramme. 4. Fax, car n est pas n parallélogramme [] et [N] sont des diamètres d cercle de centre K donc [] et [N] ont por milie le point K. 2. a. L image de est. b. Un vecter égal à N est Vecters égax à :, F et. 2. a. = F b. = c. F = d. F = 108

4 4 1. a. Les coordonnées de sont (4 ; 2). b. Les coordonnées de O sont (4 ; 2). c. Les coordonnées de sont (6 ; 1). 2. Les coordonnées de sont (x x ; y y ). 5 xercice corrigé, voir page 335 d manel. 6 xercice corrigé, voir page 335 d manel Les représentants de sont, F et GH. 2. Les représentants de v sont et KL. 8 w O v 9 a. x = 4 ; y = 3 ; x = 5 et y = 9. x x = 1 ; y y = 6 et (1 ; 6). b. x = 10 ; y = 1 ; x = 0 et y = 6. x x = 10 ; y y = 5 et ( 10 ; 5). c. x = 2 ; y = 1 ; x = 6 et y = 0. x x = 4 ; y y = 1 et (4 ; 1). d. x = 7 ; y = 1 ; x = 2 et y = 1. x x = 9 ; y y = 2 et (9 ; 2). 10 xercice corrigé, voir page 335 d manel K ( 1 ; 2) et KH ( 1 ; 2). K et KH ont les mêmes coordonnées donc ils sont égax. 2. K est le milie d segment [H] Le vecter + v est égal à c v a por coordonnées (5 ; 1). e sont bien les coordonnées d vecter c et O O + v 2 v 2 + v 2 1 v 2 + v v 1 + v 1 15 a. + = b. + = c. + = d. + = 16 xercice corrigé, voir page 335 d manel Fax. Le vecter 2 a por coordonnées (4 ; 6). 2. Vrai, par définition de la colinéarité de dex vecters. v 1 3. Fax. Les vecters 3w et n ont pas les mêmes coordonnées pisqe 3w (18 ; 27) et (2 ; 3). 4. Fax. l n existe pas de réel k tel qe 5 = 2k et 6 = 3k. 18 a. 2 a por coordonnées (8 ; 2). b. 3 a por coordonnées (12 ; 3). c. 0,5 a por coordonnées (2 ; 0,5). d. a por coordonnées ( 4 ; 1). e. 4 a por coordonnées ( 16 ; 4). 19 xercice corrigé, voir page 335 d manel a. 10 = 5 2 b. 15 = k = 5 3. a. 6 = 3 2 b. 12 = Les vecters et w ne sont pas colinéaires a. (2 ( 1) ; 7 1), soit (3 ; 6). b. (1 ; 2). 2. a. 3 (3 ; 6) et (3 ; 6) donc = 3. b. Les points, et sont alignés a. 2 = 0,5 4 b. 16 = a. Les vecters et ne sont pas colinéaires. b. Les droites () et () ne sont pas parallèles. Por s entraîner est le milie de [F] donc = F. est n parallélogramme donc =. 2. a. Les segments [] et [F] ont le même milie donc F est n parallélogramme. b. et F sont des parallélogrammes donc = et = F P est le milie d segment [] donc P = P. 2. a. La droite (N) passe par et N, miliex respectifs des segments [] et [], donc (N) est parallèle à (). b. e même, (NP) est parallèle à (). NP a ses côtés dex à dex parallèles donc NP est n parallélogramme. 3. NP est n parallélogramme donc N = P. après la qestion 1, P = P. onc N = P P = P + P + P = 180 donc P est sr le segment []. e pls, P = P donc P est le milie de []. e même, P est le milie de [F]. Les diagonales d qadrilatère F se copent en ler milie P : F est n parallélogramme. 2. a. F, FP et FP sont des parallélogrammes donc : F =, F = P et F = P. b. P est le milie de [] donc P = P. FP et P sont des parallélogrammes donc P = F et P =. 3. a. Le représentant d origine P de est P. b. Le représentant d origine P de FP est P. 4. a. Le représentant d extrémité P de F est P. b. Le représentant d extrémité P de P est P L image d point P par la translation qi transforme en est le point. hapitre 12 Vecters ndice 2 de 109

5 2. L image d point par la translation de vecter est le point. 3. Le point est l image d point P par la translation de vecter F. 27 xercice résol, voir page 268 d manel a. est le symétriqe de par rapport à donc est le milie de [] et =. b. N est n parallélogramme donc = N. = et = N donc = N. Par conséqent, N est n parallélogramme. 2. a. est n parallélogramme donc =. = N et = donc = N. b. est le milie de [N] a. est n parallélogramme donc =. b. F est n parallélogramme donc = F. = et = F donc = F et F est n parallélogramme. 2. F et sont des parallélogrammes donc F = et =. Par conséqent, F = et est le milie de [F]. 3. Le centre de F est le point d intersection de ses diagonales, c est-à-dire le milie de la diagonale [F] : est le centre de F Q P N 2. NPQ est n parallélogramme donc N = QP. N = QP et N = QP donc N = N : N est le milie de []. 3. NPQ est n parallélogramme donc N = PQ. N = PQ et = PQ donc N = : est le milie de [N] ette proposition est vraie. Si =, alors est n parallélogramme. Par conséqent =. 2. Réciproqe : «Si =, alors =.» ette proposition est fasse. ans n rectangle, = et. 32 Fax. Si est l image de par la translation de vecter, alors =. 33 Vrai. Par propriété. 34 Fax. Si =, alors est n parallélogramme, mais pas. 35 Vrai. Si =, alors est n parallélogramme. onc =. 36 Fax. Lorsqe et sont confonds et qe est distinct de, = et n est pas le milie de [] (2 ; 1), (4 ; 1), ( 1 ; 3), (2 ; 4) et (6 ; 1). 2. a. (4 2 ; 1 1), soit (2 ; 2). ( 1 2 ; 3 1), soit ( 3 ; 2). (2 2 ; 4 1), soit (0 ; 3). (6 2 ; 1 1), soit (4 ; 0). b. On retrove ces coordonnées par lectre graphiqe (2 ; 1), (5 ; 1), (2 ; 0), ( 1 ; 1), (5 ; 3), F (2 ; 3), G ( 1 ; 1) et H ( 1 ; 4). 2. a. (5 2 ; 1 1), soit (3 ; 2). ( 1 2 ; 1 0), soit ( 3 ; 1). F (2 5 ; 3 3), soit F ( 3 ; 0). GH ( 1 ( 1) ; 4 1), soit GH (0 ; 3). b. On retrove ces coordonnées par lectre graphiqe (0 ; 2), (2 ; 3), (2 ; 0), ( 1 ; 1), (1 ; 1), F (3 ; 1), G (5 ; 0) et H (4 ; 2). 2. a. (2 0 ; 3 2), soit (2 ; 1). ( 1 2 ; 1 0), soit ( 3 ; 1). F (3 1 ; 1 1), soit F (2 ; 0). GH (4 5 ; 2 0), soit GH ( 1 ; 2). b. On retrove ces coordonnées par lectre graphiqe. 40 a. b. O O c. d. O O F (11 ; 9) et HG (11 ; 9). onc F = HG et FGH est n parallélogramme. 2. G (16 ; 7) et FK ( 16 ; 7) G FK donc GKF n est pas n parallélogramme. 42 a por coordonnées (6 ; 2) ( 3 ; 2) et ( 3 ; 2). = donc est n parallélogramme. 2. G a por coordonnées (1 ; 3) a. O b. a por coordonnées (1 ; 2). 2. ( 1 ; 1) et ( 1 ; 1). = donc est le milie de []. 45 xercice corrigé, voir page 335 d manel. 46 xercice résol, voir page 270 d manel ² = 52, ² = 13 et ² = 65. ² = ² + ² donc le triangle est rectangle en. 2. a por coordonnées (1 ; 7). 48 Variables x, y, x, y, et sont des réels ntrées Saisir x, y, x, y Traitement prend la valer x - x prend la valer y - y Sorties fficher et 110

6 49 1. Vrai. Por x = 13, = v. 2. Vrai. Por x = 1, v. 3. Fax. Por x = 1, v. 4. Fax. Por x = 13, = v. 50 Fax. a por coordonnées (7 ; 6). 51 Vrai. (7 ; 6) et (7 ; 6). 52 Vrai, car =. 53 T F 1 F 2 L 58 a. + = b. + = c. + = F d. + F = 59 a. + = 0 b. + = F c. + + F = F d. F + + = F 60 xercice résol, voir page 271 d manel. 61 xercice corrigé, voir page 335 d manel v a por coordonnées (3 ; 3). 2. (4 ; 5) et F (6 ; 1) (3 ; 0) et ( 2 ; 4). 2. a por coordonnées ( 2 ; 5) et 2. P et 2. N 56 N 57 + v O N v + w + v O Q P F + F P F + F P ans le cas a, la montgolfière prend de l altitde. ans le cas b. F + F P = 0 : la montgolfière reste à la même altitde. ans le cas c, la montgolfière descend. N O 2. (7 ; 1) et N ( 1 ; 0). 3. N (2 ; 2) et (2 ; 2). N = donc N est n parallélogramme Les coordonnées de sont (x ; y). 2. x N = x + x et y N = y + y. 3. a. ON = O + N. Or O = et N = v donc ON = + v. b. Les coordonnées de + v sont celles d point N donc + v a por coordonnées (x + x ; y + y ). 66 Vrai. + v a por coordonnées (3 + ( 2) ; ), soit (1 ; 6). 67 Vrai. + v + w a por coordonnées : (3 + ( 2) + ( 1) ; ), soit (0 ; 0). 68 Fax. Le point tel qe = + w a por coordonnées : (3 ; 3) a por coordonnées (9 ; 3). 5v a por coordonnées ( 5 ; 10). w a por coordonnées (4 ; 13). 70 (2 ; 4), (3 ; 6), (5 ; 2) et ( 6 ; 8) P (6 ; 2), Q ( 4 ; 2), R ( 6 ; 2) et S (4 ; 2). 2. PQ ( 10 ; 0) et SR ( 10 ; 0). PQ = SR donc PQRS est n parallélogramme (1 ; 8), ( 8 ; 6) et + 2 a por coordonnées ( 17 ; 20). 2. V a por coordonnées ( 14 ; 13). 3. U (16 ; 12) et V (16 ; 12). U = V donc UV est n parallélogramme Par lectre graphiqe, les vecters NP + 3 N et P + 2 N sont égax a vecter nl : lers coordonnées sont (0 ; 0). 2. NP ( 9 ; 3) et N (3 ; 1). NP + 3N a por coordonnées (0 ; 0). P ( 6 ; 2) et N (3 ; 1). P + 2N a por coordonnées (0 ; 0). 74 a. et v ne sont pas colinéaires. b. et v sont colinéaires. hapitre 12 Vecters ndice 2 de 111

7 75 a. et v sont colinéaires. b. et v ne sont pas colinéaires. 76 xercice corrigé, voir page 335 d manel. 77 xercice résol, voir page 272 d manel. 78 a. z = 3 b. z = F (6 1 ; 4 1), soit F (5 ; 3). 2. y = x = Vrai. Le vecter 2 5v a por coordonnées ( ; ), soit (7 ; 2). 82 Vrai. Si 7y = 6, alors w( 3; 6 7) et 7 w =. 83 Fax. Por y = 6, v et w sont colinéaires a. ( 25 ; 5) et (4 ; 1). Les points, et ne sont pas alignés. b. ( 20 ; 40) et (40 ; 80). Les points, et sont alignés. 85 a. ( 14 ; 14) et ( 3 ; 3). Le point appartient à la droite (). b. ( 4 ; 4) et (0 ; 4). Le point n appartient pas à la droite (). 86 a. (2 ; 10) et ( 1 ; 6). Les droites () et () ne sont pas parallèles. b. ( 3 ; 15) et (9 ; 45). Les droites () et () sont parallèles. 87 xercice corrigé, voir page 335 d manel P 13 2 ;13 21 ( 2 ) et R( 2 ; 21 2 ). 2. PR (4 ; 17) et PS( 3 2 ; 13 2 ). PR et PS ne sont pas colinéaires donc S n est pas sr la droite (PR) (5 ; 1) et (7 ; 0). 2. S a por coordonnées (3 ; 1). 3. ( 3 ; 3) et S ( 2 ; 2) et S sont colinéaires donc les droites () et (S) sont parallèles P a por coordonnées ( 2; 3 2). 2. Q (2 ; 9) et R (2 ; 3). 3. PQ ( 0; 15 2 ) ( et PR 0; 9 2). PQ et PR sont colinéaires donc P est sr la droite (QR) Fax. Soit,, et tels qe = 2. et sont colinéaires, mais n est pas n parallélogramme. 2. Vrai. Si est n trapèze de base [], alors () et () sont parallèles. onc les vecters et sont colinéaires. 3. Fax. Soit les points,, et tels qe est n parallélogramme non aplati. Les vecters et sont colinéaires mais les points,, et ne sont pas alignés. 92 Vrai. Si = 3, alors les vecters et sont colinéaires et les points, et sont alignés. 93 Fax, car les vecters OP (5 ; 3) et OQ (3 ; 5) ne sont pas colinéaires. 94 Vrai. Les vecters RS (4 ; 2) et OT ( 2 ; 1) ne sont pas colinéaires : les droites (RS) et (OT) sont sécantes (6 ; 4) et (6 ; 4). = donc est n parallélogramme. 2. N a por coordonnées (0 ; 4). 3. ( 4 ; 2) et N ( 4 ; 2). = N donc est le milie de [N] a por coordonnées ( 1 ; 2). est le milie de []. 2. a. P a por coordonnées (3 ; 4). b. (2 ; 1) et P (2 ; 1). = P donc P est n parallélogramme (3 ; 9) et ( 1 ; 3). Les points, et sont alignés. 2. (3 ; 9) et (6 ; 17). Les droites () et () sont sécantes. Faire le point Voir livre page 335. Les corrigés détaillés sont disponibles sr le site 98 Revoir des points essentiels H F 99 a. (0 ; 5). b. N ( 4 ; 2). c. P (2 ; 8). d. Q ( 3 ; 2). e. R (1 ; 4). Travax pratiqes TP1 La chasse ax trésors Fichiers associés sr le manel nmériqe premim : 12_ seconde_tp1_.ggb (GeoGebra), 12_seconde_TP1_.g2w (Geoplan), 12_seconde_TP1 correction.ggb (GeoGebra), 12_seconde_TP1 correction.g2w (Geoplan), 12_seconde_TP1_.ggb (GeoGebra) et 12_seconde_ TP1_.g2w (Geoplan) ; sr le site : 12_seconde_TP1_.rl (GeoGebraTbe), 12_seconde_ TP1_.g2w (Geoplan), 12_seconde_TP1 correction. g2w (Geoplan), 12_seconde_TP1_.rl (GeoGebraTbe) et 12_seconde_TP1_.g2w (Geoplan) G 112

8 . 1. a., b. et c. vec le logiciel GeoGebra Ovrir le fichier 12_seconde_TP1.ggb o.rl. Utiliser Symétrie centrale. liqer sr, pis sr le point et ensite sr le point. Nommer le point créé en cliqant droit sr ce point et en choisissant Renommer. Utiliser de même Symétrie centrale por constrire les points, et. Utiliser Segment entre dex points. liqer sr, pis sr les extrémités de chacn des segments à créer. vec le logiciel GeoPlan Ovrir le fichier 12_seconde_TP1.g2w. Por créer le point : réer, pis Point pis Point image par pis Symétrie centrale : Symétrie de centre : Points (de départ) : mages de ces points : réer de même les points, et. Por créer les segments [], [], [] et [] : réer, pis Ligne, pis Segment(s) pis éfinis par 2 points : Noms des segments : d. Le point n est pas confond avec le point : ryan ne gagne pas. 2. vec GeoGebra, tiliser éplacer. liqer sr, pis sr le point por le déplacer. vec GeoPlan, cliqer-gache sr le point por le déplacer. K L l paraît impossible de trover ne position de por qe les points et soient confonds. ryan semble se tromper. 3. liqer sr le point L por le déplacer. On pet trover ne position de L, por qe les points et soient confonds. Yasmina a raison. K L 4. liqer sr le point por le déplacer. Qelle qe soit la position de, les points et sont confonds. ryan semble avoir raison. L K. 1. a. est le milie d segment [] donc = 2. b. = 2. c. = + = = = 2KL. 3. = + = 2 + 2KL. 4. a. est confond avec si et selement si = 0 et donc si et selement si 2 + 2KL = 0 : est confond avec si et selement si = LK. b. Une condition nécessaire et sffisante por qe le candidat gagne est qe le qadrilatère KL soit n parallélogramme.. Ovrir le fichier 12_seconde_TP1.ggb (o.rl) o 12_seconde_TP1.g2w. n déplaçant les points,, K, L o, pis le point, on pet observer q il existe à chaqe fois ne position de telle qe et F sont confonds. K F Le je semble donc pls éqitable, pisqe le candidat pet gagner et q il ne semble pas y avoir de position des trésors telle qe le candidat gagne tojors o ne gagne jamais. Remarqe : qels qe soient les points,, K, L et, il existe ne et ne sele position d point telle qe le candidat gagne. n effet, comme F = 2 + 2KL + 2F, les points et F sont confonds si et selement si = LK +. Totefois, certains points pevent être confonds. Par exemple, lorsqe KL est n parallélogramme, le candidat gagne s il part d point et,, et F sont confonds. TP2 es vecters avec GeoGebra Fichier associé sr le manel nmériqe premim : 12_seconde_TP2_correction.ggb (GeoGebra).. 1. a. Utiliser Novea point en cliqant sr por constrire trois points, et non alignés. b. Utiliser Vecter. liqer sr, pis sr le point et ensite sr le point. Utiliser ensite Représentant. liqer sr, pis sr le point et ensite sr le vecter. Por nommer, l extrémité de ce représentant, cliqer droit sr ce point pis choisir Renommer. c. Utiliser Polygone. liqer sr pis sr les points,,, et. Utiliser Point sr Objet. liqer sr, pis sr n point à l intérier d polygone. d. Utiliser Parallèle. liqer sr. liqer sr le point pis sr le segment [], et ensite sr le point pis sr le segment []. e. Utiliser ntersection entre dex objets. liqer sr, pis sr les points concernés. L hapitre 12 Vecters ndice 2 de 113

9 2. a. Utiliser Vecter. liqer sr. liqer sr le point F pis sr le point por constrire F, et ensite sr le point G pis sr le point H por constrire GH. b. Utiliser Représentant. liqer sr, pis sr le point, pis sr le vecter GH. Utiliser Vecter. liqer sr, pis sr le point F et ensite sr l extrémité d représentant d origine de GH constrit précédemment. c. Utiliser éplacer. liqer sr, pis sr le point por le déplacer. Le vecter F + GH semble égal à. 3. a. Utiliser roite passant par dex points. liqer sr. liqer sr les points F et por créer la droite (F), et ensite sr les points G et H por créer la droite (GH). b. Utiliser Pente. liqer sr, pis sr la droite (F) et ensite sr la droite (GH). ans Options, choisir rrondi à 1 décimale. c. éplacer le point comme dans la qestion 2. c. et repérer où doit être le point por qe les pentes soient égales. On conjectre qe est sr le segment []. Por approfondir 100 On pet remplacer la partie grisée par la partie a. = 2 car est le milie de []. = 2 car est le milie de []. b. = + = = = + = 2L + 2K = 2LK = 2 et = 2LK donc = LK. Par conséqent, KL est n parallélogramme. 102 Fichier associé : 12_seconde_ex102.ggb (GeoGebra) sr le manel nmériqe premim. 1. a. onstrire qatre points,, et en tilisant l otil Novea point (icône ). ans la ligne de saisie, écrire : =Vecter[,]-2*Vecter[,] pis : v=vecter[,]+vecter[,]-2*vecter[,] r F H 1 1 a 1 = 1,3 a 2 = 1,3 G. 1. a. (1 ; 0) et (0 ; 1). b. a por coordonnées (1 ; 1). c. F (a ; 0), G (1 ; b), H (a ; 1) et (0 ; b). 2. a F (0 a ; b 0), soit F ( a ; b). b. GH (a 1 ; 1 b) F + GH ( 1 ; 1) c. ( 1 ; 1). onc F + GH =. 3. a. On a : F ( a ; b) et GH (a 1 ; 1 b). Si les vecters non nls F et GH sont colinéaires, alors il existe n réel k tel GH = kf, et donc tel qe a 1 = ka et 1 b = kb. a étant non nl, k = 1 a et 1 b = 1 a a a b. Par conséqent, a ab = b ab, soit a = b. Réciproqement, si a = b : F ( a ; a) et GH (a 1 ; 1 a). GH = 1 a F donc GH et F sont colinéaires. a b. Le point doit se trover sr le segment [] (en étant différent de et ). b. Utiliser éplacer. liqer sr, pis cliqer sr le point por le déplacer. On remarqe qe les vecters 2 et + 2 sont égax. 2. Por tot point, + 2 = + ( + ) 2( + ) = et 2 ont le même rayon donc = = = : le qadrilatère est n losange et par site n parallélogramme. Les diagonales [] et [F] d qadrilatère F se copent en ler milie (car ce sont des diamètres de 1 ) : F est n parallélogramme. e même, GH est n parallélogramme. 2. a. est n parallélogramme donc =. est le milie de [] donc =. où = : est n parallélogramme. b. est le milie de [G] donc = G. = et = G donc = G : G est n parallélogramme. c. et G sont des parallélogrammes donc = et = G. Par conséqent, = G. 3. GH est n parallélogramme donc G = H. = G et G = H donc = H : est le milie de [H]. 4. est sr le cercle 1 de diamètre [] et sr le cercle 2 de diamètre [H] donc = 90 et H = 90. On en dédit qe H = 180 donc est sr le segment [H]. omme () est perpendiclaire à (H), () est la hater d triangle H isse de. 114

10 1 et 2 ayant le même rayon, = H : le triangle H est isocèle en. onc la hater () est également la médiane isse de : est le milie de [H] a. et b. On pet conjectrer qe les droites () et () sont parallèles et qe les points, K et P sont alignés. 2. a. (3 ; 0) et (0 ; 3). b. ( 1 ; 1) et ( 3 ; 3). P = 3 donc et sont colinéaires K et les droites () et () sont parallèles. 1 c. K ( 2 ; 1 2) et P ( 3 2 ; 3 2). K ( ) et P ( ). 1 2 ; ; 3 2 P = 3K donc P et K sont colinéaires et les points, K et P sont alignés a. est n parallélogramme donc =. On pose (x ; y). (1 ; 0) et (x ; y 1) = éqivat à 1 = x et 0 = y 1. onc (1 ; 1). O est le milie de [] donc O ; ( 2 ), soit O ( 2 ; 1 2). b. P 3 ( 2 ) ( ;0, Q 1; 3 2) (, R 1 2 ) ( ;1 et S 0; 1 2). 2. PQ( 1 2 ; 3 2) ( et SR 1 2 ; 3 2). PQ = SR donc PQRS est n parallélogramme. Le milie de la diagonale [PR] a les mêmes coordonnées qe O : le centre de PQRS est O Voir la figre ci-contre. 2. a. = + =. b. est n parallélogramme. 3. = + =. onc est n parallélogramme. 4. = et = donc =. Par conséqent, est le milie de []. 5. = + = + = 2. onc et sont colinéaires et les droites () et () sont parallèles.. 1. a. (1 ; 0) et (0 ; 1) donc + a a por coordonnées (1 ; a). où (1 ; a). b. a por coordonnées (a ; 1). 2. (a 1 ; 1 a) et ( 1 ; 1). (1 a) = donc et sont colinéaires et les droites () et () sont parallèles. 3. a. K a por coordonnées (1 ; 1). b. K (0 ; 1) et (0 ; a). a K = donc K et sont colinéaires et les points, K et sont alignés. K (1 ; 0) et (a ; 0). a K = donc K et sont colinéaires et les points, K et sont alignés. (0 ; a) et (a ; 0) ne sont pas colinéaires donc les droites () et () sont sécantes. K est n point de () et de () donc K est le point d intersection de ces dex droites. 107 Fichiers associés le manel nmériqe premim : 12_ seconde_ex107.ggb (GeoGebra), 12_seconde_ex107.g2w (Geoplan), 12_seconde_ex107_correction.ggb (GeoGebra), 12_seconde_ex107_correction.g2w (Geoplan) ; sr : 12_seconde_ex107.rl (GeoGebraTbe), 12_seconde_ex107.g2w (Geoplan), 12_ seconde_ex107_correction.g2w (Geoplan). 1.Ovrir le fichier 12_seconde_ex107 (GeoGebra o Geoplan). 2. a. et b. vec le logiciel de géométrie dynamiqe. Utiliser ercle (centre-point). liqer sr, pis sr le point O 4 et ensite sr le point. Utiliser ntersection entre dex objets. liqer sr pis sr chacn des points d intersection. Nommer ces points 3 et 4, en cliqant droit sr chacn de ces points, pis sr Renommer. Utiliser Segment entre dex points. liqer sr, pis sr les extrémités de chacn des segments à créer. vec le logiciel Geoplan. réer pis Ligne pis ercle pis éfini par centre et n point : Nom d centre : O4 Point d cercle : Nom d cercle 4. réer pis Point pis ntersection 2 cercles pis exième point. Por 3 : Premier cercle : 3 exième cercle : 4 Point déjà conn : 2 e point d intersection : 3. réer de même 4. réer pis Ligne, pis Segment(s) pis éfinis par 2 points : Noms des segments : a. liqer gache sr les points O 1, O 2, O 3 o O 4 por les déplacer. On conjectre qe est n parallélogramme. b. On pet commencer par placer O 1, O 2, O 3 et O 4 de telle sorte qe O 1 O 2 O 3 O 4 soit n carré. n créant les segments [O 1 O 3 ] et [O 2 O 4 ], on pet conjectrer qe 1 4 = O 2 O 4 et 1 2 = O 1 O 3 et en dédire qe l on pet placer O 1, O 2, O 3 et O 4 de telle sorte qe les segments [O 1 O 3 ] et [O 2 O 4 ] soient perpendiclaires et aient la même longer.. 1. et 1 sont sr 1 donc O 1 = O 1 1. et 1 sont sr 2 donc O 2 = O 2 1. omme 1 et 2 ont le même rayon, O 1 = O 1 1 = O 2 = O 2 1. Le qadrilatère 1 O 2 O 1 est donc n losange et par conséqent n parallélogramme. On démontrerait de même qe 2 O 3 O 2, 3 O 4 O 3 et 4 O 1 O 4 sont des parallélogrammes O 2 O 1 et 2 O 3 O 2 sont des parallélogrammes donc 1 O 1 = O 2 et O 2 = 2 O 3. hapitre 12 Vecters ndice 2 de 115

11 où 1 O 1 = 2 O 3. On démontrerait de même qe O 1 4 = O = 1 O 1 + O 1 4 = 2 O 3 + O 3 3 = 2 3. onc est n parallélogramme = 1 O 1 + O 1 4 = O 2 + O 4 = O 2 O = 1 O 2 + O 2 2 = O 1 + O 3 = O 1 O 3 Le parallélogramme est n carré si et selement si 1 4 = 1 2 et ( 1 4 ) et ( 1 2 ) sont perpendiclaires, et donc si et selement si O 2 O 4 = O 1 O 3 et (O 2 O 4 ) et (O 1 O 3 ) sont perpendiclaires. O 2 1 O 1 O 4 4 onjectre : 6 est confond avec 0, 7 avec 1 Par constrction, et sont des parallélogrammes donc 6 = 4 5 = 3. Or 3 = Par constrction, et sont des parallélogrammes donc 0 = 1 2 = 3. On en dédit qe 3 = = 0 Par conséqent, 6 = 0 donc 6 et 0 sont confonds. Par site, 7 et 1 sont confonds l y a dex enchaînement de translations possibles : de vecters 2 pis 1 o de vecters 1 pis l y a six enchaînements de translations possibles : de vecters 1 pis 2 pis 4 ; de vecters 1 pis 4 pis 2 ; de vecters 2 pis 1 pis 4 ; de vecters 2 pis 4 pis 1 ; de vecters 4 pis 1 pis 2 ; de vecters 4 pis 2 pis O