EQUATIONS DIFFERENTIELLES

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1 EQUATIONS DIFFERENTIELLES Lorsque l on modélise des phénomènes physiques, on obtient souvent des équations qui contiennent une fonction y que l on cherche à déterminer, ainsi que certaines de ses dérivées. Une telle équation s appelle une équation différentielle. Si l équation contient la dérivée y (n) et pas de dérivée d ordre supérieur, on dit que l équation différentielle est d ordre n. Par exemple, soit g définie sur R par g(x) = e x, l équation différentielle est une équation différentielle du premier ordre. y + gy = g, Remarque. Pour alléger les notations, on écrira plutôt l équation différentielle précédente sous la forme y + e x y = e x, mais c est un abus de notation, car y est une fonction qui dépend aussi de la variable x. Résoudre cette équation différentielle sur un intervalle I ouvert non vide, c est trouver toutes les fonctions y définies (et dérivables) sur I telles que, pour tout x dans I y (x) + e x y(x) = e x. En général on ne donne pas a priori l intervalle I et en cours de résolution peuvent apparaître des valeurs de x qu il faudra éliminer. Si par exemple on ne peut avoir x = 0, il faudra étudier les solutions sur les deux intervalles ] 0, + [ et ], 0 [. Sans autre condition, l ensemble des solutions sur un intervalle I donné dépend d un certain nombre de constantes : si l équation différentielle est d ordre n il y a en général n constantes. Mais dans la modélisation des phénomènes physiques, la fonction y est soumise à des conditions supplémentaires (par exemple pour un phénomène dépendant du temps, la situation au début de l expérience) ces conditions sont appelées conditions initiales. Résoudre une équation différentielle avec conditions initiales c est trouver les solutions de l équation différentielle vérifiant de plus les conditions initiales. Pour une équation d ordre n, il faut en général n conditions initiales pour avoir une solution unique. I. Equations différentielles linéaires : généralités Nous nous intéresserons dans ce cours à une classe particulière d équations différentielles que l on appelle équations différentielles linéaires. Ce sont des équations de la forme a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = g, où a 0, a 1,..., a n, g sont des fonctions définies sur un même intervalle. (Dans la pratique ces fonctions a 0, a 1,..., a n, g sont construites à partir des fonctions usuelles et seront dérivables et nous n introduirons pas de discussion plus générale sur la nature de ces fonctions). De telles équations possèdent un certain nombre de propriétés générales (qui s interpréterons plus tard dans le cadre des espaces vectoriels). Dans ce paragraphe I nous supposons a 0, a 1,...,a n fixés et nous noterons E(g) l équation a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = g, 1

2 de second membre g. A une telle équation on associe l équation dite homogène ou sans second membre E(0) a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = 0. On a alors le principe suivant : Principe de superposition des solutions Si y 1 et y sont solutions respectives des équations E(g 1 ) et E(g ) alors y 1 + y est solution de E(g 1 + g ), et si λ est un nombre réel, E(λy 1 ) est solution de E(λg 1 ). Démonstration. Si l on a et a ny (n) 1 + a n 1y (n 1) a 1y 1 + a 0y 1 = g 1, a ny (n) + a n 1y (n 1) + + a 1y + a 0y = g, alors en sommant, on obtient, puisque (y 1 + y ) (k) = y (k) 1 + y (k), la relation a n(y 1 + y ) (n) + a n 1(y 1 + y ) (n 1) + + a 1(y 1 + y ) + a 0(y 1 + y ) = g 1 + g. De même en multipliant par λ a n(λy 1) (n) + a n 1(λy 1) (n 1) + + a 1(λy 1) + a 0(λy 1) = λg 1, Remarque. Dans les conditions ci-dessus, il en résulte aussi que si µ est un autre nombre réel, la fonction λy 1 + µy est alors solution de l équation E(λg 1 + µg ). Si l on applique ce principe avec g 1 = g = 0 alors les solutions restent dans E(0), et l on obtient alors : Théorème. Si y 1 et y sont deux solutions de l équation E(0) définies sur le même intervalle I, et λ un nombre réel, alors y 1 + y et λy 1 sont des solutions de l équation E(0). On en déduit également le théorème suivant qui relie les solutions des équations E(g) et E(0) : Théorème. On obtient toutes les solutions de l équation E(g) sur un intervalle I, en ajoutant à une solution particulière de l équation avec second membre E(g) une solution quelconque de l équation sans second membre E(0). Démonstration. En effet, si y 1, et y sont solutions de E(g) la différence y 1 y est solution de E(g g) = E(0), et inversement si y 0 est une solution de E(g), et si u est une solution de E(0), alors y 0 + u est solution de E(g + 0) = E(g). Nous allons nous occuper dans la suite de deux cas particuliers d équations différentielles linéaires, pour lesquels on a des méthodes simples permettant de résoudre les équations. II. Equations différentielles linéaires du premier ordre

3 1) Equations de la forme y = g Ce sont les équations différentielles les plus simples. On sait tout d abord que, sur un intervalle I, l équation sans second membre y = 0 admet comme solutions les fonctions constantes y = k. La fonction g étant donnée, (dérivable sur un intervalle I par exemple) une solution particulière de y = g est une primitive y 0 de g. Et donc toutes les solutions de l équations c est-à-dire toutes les primitives de g sur l intervalle I, s obtiennent en ajoutant une constante à une primitive y 0 particulière. Remarque. Il est important de remarquer ici que si l on se place sur une réunion d intervalles, plusieurs constantes interviennent alors. Prenons par exemple l équation y = 1/x. Sur l intervalle ], 0 [, les solutions sont les fonctions y : x ln( x) + k 1, où k 1 est une constante quelconque. Sur l intervalle ] 0, + [, les solutions sont les fonctions où k est une constante quelconque. y : x lnx + k, Donc sur R, une solution y est définie par { ln( x) + k1 si x < 0 y(x) = lnx + k si x > 0 et k 1 et k sont deux constantes quelconques. On voit qu à partir de la solution particulière y 0 : x ln x on obtient sur R une famille de solutions dépendant de deux constantes. Cette remarque est encore valable pour une équation différentielle quelconque, et il ne faut pas oublier ce phénomène lorsque l on écrit que les primitives de x 1/x sont les fonctions x ln x + k. La résolution d une équation différentielle quelconque va consister essentiellement à se ramener au cas particulier de recherche de primitives. Il faut donc bien connaître les primitives des fonctions usuelles. En particulier il est utile de savoir dans la suite que la fonction y /y est la dérivée de ln y. ) Equations de la forme y + by = 0 La fonction b est définie sur un intervalle I. Nous cherchons les solutions de l équation dans I. Nous donnons deux méthodes ici : la première est la méthode pratique couramment utilisée, mais qui introduit des divisions par des quantités qui pourraient s annuler. Nous ferons le calcul sans être rigoureux. La seconde méthode justifiera correctement le résultat obtenu dans la première. Remarque. Dans les calculs suivants on a préféré mettre la variable x partout pour bien différencier les fonctions des constantes. Méthode 1 On écrit l équation y (x) y(x) où B est une primitive de b, et k une constante. = b(x). En intégrant chaque membre on obtient ln y(x) = B(x) + k, On en déduit y(x) = e B(x)+k = e k e B(x). 3

4 La constante e k est positive. En supprimant la valeur absolue du premier membre, on autorise le second membre à être négatif. On en déduit que où K est une constante quelconque. Exemple 1. y + x y = 0 y(x) = Ke B(x), On obtient successivement puis d où et finalement y (x) y(x) = x ln y(x) = x3 3 + k y(x) = e k e x3 /3 y(x) = Ke x3 /3. Méthode Multiplions l équation par la fonction e B où B est une primitive de b. On obtient y (x)e B(x) + b(x)e B(x) y(x) = 0. On constate que le membre de droite est la dérivée de la fonction ye B, en effet Cela signifie donc que soit (ye B ) (x) = y (x)e B(x) + y(x)b (x)e B(x) = y (x)e B(x) + y(x)b(x)e B(x). y(x)e B(x) = K, y(x) = Ke B(x). On peut bien sûr retenir la formule générale de la solution, mais il vaut mieux savoir la retrouver et la première méthode est plus naturelle pour cela. Remarque. Lorsque la fonction b est une constante, alors les solutions de l équation sont définies par y(x) = Ke bx. 3) Equations de la forme ay + by = g On se place sur un intervalle I où les fonctions a, b et g sont définies et où a ne s annule pas. L équation sans second membre se ramène au cas précédent y (x) + b(x) a(x) y(x) = 0. et l on sait donc résoudre cette équation. Les solutions sont définies par y(x) = Ku(x), où u est une fonction que l on sait calculer, (la fonction u vaut e B où B est une primitive de b/a), et K une constante. Deux cas peuvent se produire : 4

5 1 On connaît une solution particulière y 0 de l équation avec second membre, soit parce qu il existe une solution évidente, soit parce qu elle a été déterminée par un autre moyen. Alors les autres solutions sont données par y = y 0 + Ku, où K est une constante quelconque. Exemple. l équation y + x y = x possède une solution évidente définie par y 0 (x) = 1. On a déterminé dans l exemple 1 les solutions de l équation homogène associée. Les solutions sur I = R sont alors données par y(x) = 1 + Ke x3 /3, où K est une constante quelconque. On ne connaît pas de solution particulière. On utilise alors le principe de variation de la constante. Si u est une solution non nulle de l équation homogène, c est-à-dire si a(x)u (x) + b(x)u(x) = 0, on cherche une solution de l équation avec second membre définie par y(x) = K(x)u(x). (On voit que dans les solutions y = Ku de l équation homogène, on suppose maintenant que la constante K est une fonctions K ce qui donne le nom de la méthode). En dérivant y (x) = K (x)u(x) + K(x)u (x), puis en remplaçant dans l équation a(x)y (x) + b(x)y(x) = g(x) on obtient soit Mais le coefficient de K(x) est nul, donc a(x)(k (x)u(x) + K(x)u (x)) + b(x)k(x)u(x) = g(x) a(x)u(x)k (x) + K(x)[a(x)u (x) + b(x)u(x)] = g(x). a(x)u(x)k (x) = g(x). On constate que dans ce calcul les termes contenant K(x) disparaissent nécessairement. On obtient alors K (x) = g(x) a(x)u(x), et il reste à calculer une primitive du membre de droite pour obtenir le résultat. Exemple 3. y + x y = 3e x3 /3. Une solution non nulle de son équation homogène associée est la fonction u défine par u(x) = e x3 /3. Donc on cherche une solution de la forme On dérive Alors et l équation devient y(x) = K(x)e x3 /3. y (x) = K (x)e x3 /3 K(x)x e x3 /3, y (x) + x y(x) = K (x)e x3 /3 K(x)x e x3 /3 + x K(x)e x3 /3 = K (x)e x3 /3, K (x)e x3 /3 = 3e x3 /3, 5

6 soit K (x) = 3 et donc K(x) = 3x + C, où C est une constante. Finalement les solutions de l équation sur I = R sont données par y(x) = (3x + C)e x3 /3. III. Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants Ce sont des équations de la forme ay + by + cy = g, où a, est un nombre réel non nul, b et c sont des nombres réels, et g est une fonction. Par rapport à la situation générale, les coefficients a, b, c de l équation sont des constantes, d où le qualificatif de ces équations. 1) Equation homogène On admettra le résultat suivant : Théorème : Si U 1 et U sont, sur un intervalle I, deux solutions non proportionnelles de l équation homogène ay + by + cy = 0, alors les solutions de cette équation sur I sont données par où K 1 et K sont deux constantes quelconques. y = K 1 U 1 + K U, (Dire que les solutions ne sont pas proportionnelles signifie qu elles ne sont pas nulles et que le quotient U 1 /U n est pas constant). Un choix de fonctions U 1 et U va être précisé ci-dessous. A une telle équation homogène on associe un polynôme, appelé polynôme caractéristique de l équation, défini par P(X) = ax + bx + c, c est un trinôme du second degré qui a pour discriminant le nombre = b 4ac. Le tableau suivant donne un choix de fonctions U 1 et U à connaître. Les fonctions dépendent des racines du trinôme : racines U 1 (x) U (x) > 0 α 1, α e α1x e αx = 0 α e αx xe αx < 0 α 1 = ρ + iσ, α = ρ iσ cos(σx)e ρx sin(σx)e ρx (Il est facile de voir que ces fonctions sont bien des solutions). Remarque. Dans le cas où est négatif, on remarquera que puisque U 1 (x) = Re α1x et U (x) = Ie α1x, e α1x = e (ρ+iσ)x = e ρx e σx = e ρx (cos(σx) + i sin(σx)). Donc, si l on pose C 1 = (K 1 ik )/, les solutions s écrivent y(x) = K 1 Re α1x + K Ie α1x = R(C 1 e α1x ), 6

7 ce que l on peut encore écrire y(x) = C 1 e α1x + C 1 e αx, où C 1 est une constante complexe quelconque. Cette expression a l avantage d avoir la même forme que dans le cas > 0 (avec des fonctions et des constantes complexes cependant). On peut aussi dans ce cas adopter pour les solutions une notation utile en physique. En partant de l expression y(x) = K 1 cos(σx)e ρx + K sin(σx)e ρx. et en notant A = K1 + K, on peut mettre Aeρx en facteur, cela donne ( ) y(x) = Ae ρx K 1 K cos(σx) + sin(σx). K 1 + K K 1 + K Si l on appelle ϕ un angle qui vérifie sin ϕ = K 1 K 1 + K et cosϕ = K K 1 + K, on obtient alors et finalement où A et ϕ sont deux constantes quelconques. y(x) = Ae ρx (cos(σx)sin ϕ + sin(σx)cos ϕ), y(x) = Ae ρx sin(σx + ϕ), Cas particulier. L équation y + ω y = 0 est un cas particulier du cas < 0, puisque = ω, et le polynôme caractéristique a pour racines ±ωi. Les solutions sont donc où y(x) = K 1 cos(ωx) + K sin(ωx), y(x) = Asin(ωx + ϕ). Exemple 4. y + y 3y = 0 a pour solutions sur R les fonctions définies par y(x) = K 1 e x + K e 3x, car le polynôme caractéristique X + X 3 a pour racines 1 et 3. Exemple 5. y 4y + 4y = 0 a pour solutions sur R les fonctions définies par y(x) = K 1 e x + K xe x, car le polynôme caractéristique X 4X + 4 a pour racine double Exemple 6. y y + y = 0 a pour solutions sur R les fonctions définies par y(x) = K 1 e x cosx + K e x sinx, car le polynôme caractéristique X X + a pour racines complexes conjuguées 1 + i et 1 i. ) Equation complète avec second membre particulier. Comme dans le cas des équations différentielle linéaire du premier ordre, on pourra obtenir toutes les solutions de l équation avec second membre si l on en connaît une solution particulière. Or il est possible de déterminer une telle solution par identification lorsque le second membre est de la forme g(x) = e βx Q(x), où Q est un polynôme de degré q. Il existe en effet une solution y 0 de la même forme 7

8 c est-à-dire y 0 (x) = e βx R(x) où R est un polynôme. On peut préciser d avantage : si β est racine de multiplicité k du polynôme caractéristique P, alors R(x) = x k S(x), où S est de degré q, c est-à-dire, en détaillant les différents cas 1 si β n est pas racine du polynôme caractéristique P, alors R = S est de degré q, si β est racine simple de P, alors R(x) = xs(x) où S est de degré q, (donc R est de degré q + 1) 3 si β est racine double de P, alors R(x) = x S(x) où S est de degré q, (donc R est de degré q + ) Cela veut dire que dans chaque cas il y a à déterminer q + 1 coefficients, pour obtenir Q. Exemple 7. y + y 3y = 5xe x. β = n est pas racine du polynôme caractéristique. Il existe une solution particulière y définie par y(x) = e x (λx + µ)e x. On calcule les dérivées de cette fonction, on remplace dans l équation et on identifie : y (x) = e x (λx + µ + λ) et y (x) = e x (4λx + 4µ + 4λ). On en déduit : L identification donne le système { y (x) + y (x) 3y(x) = e x (5λx + 5µ + 6λ) = 5xe x. 5λ = 5 5µ + 6λ = 0 ce qui donne λ = 1 et µ = 6/5, d où la solution particulière définie par ( y(x) = e x x 6 ), 5 et les solutions définies sur R par ( y(x) = K 1 e x + K e 3x + e x x 6 ) 5. Exemple 8. y + y 3y = 8xe x. β = 1 est racine simple du polynôme caractéristique. Il existe une solution particulière de la forme y(x) = (λx +µx)e x. On calcule les dérivées de cette fonction, on remplace dans l équation et on identifie : y (x) = e x (λx + (λ + µ)x + µ) et y (x) = e x (λx + (4λ + µ)x + λ + µ). On en déduit : y (x) + y (x) 3y(x) = e x (8λx + 4µ + λ) = 8xe x. L identification donne le système { 8λ = 8 4µ + λ = 0 ce qui donne λ = 1 et µ = 1/, d où la solution particulière définie par ( y(x) = e x x x ), et les solutions définies sur R par y(x) = K 1 e x + K e 3x + e x ( x x ). Remarque. Ce qui précède est encore vrai si β est une racine complexe. Cela permet par exemple de traiter les seconds membres de la forme g(x) = Q(x)e ξx cos(ζx), ou g(x) = Q(x)e ξx sin(ζx) qui sont respectivement les parties réelle et imaginaire de Q(x)e βx avec β = ξ + iζ. On peut procéder de deux manières : 8

9 1 soit chercher tout d abord une solution avec second membre complexe Q(x)e βx, puis prendre la partie réelle ou imaginaire de cette solution. soit remarquer que cette partie réelle ou imaginaire est de la forme e ξx (R 1 (x)cos(ζx)+r (x)sin(ζx)) où R 1 et R sont des polynômes dont les degrés sont q, q + 1 ou q + selon que β n est pas racine de P ou est racine simple ou double. Exemple 9. y + y 3y = cosx. cosx est la partie réelle de e ix et β = i n est pas racine du polynôme caractéristique. On résoud tout d abord avec le second membre e ix. On cherche une solution de la forme y(x) = λe ix. On a donc d où On en déduit y (x) = λie ix et y (x) = λe ix, y (x) + y (x) 3y(x) = e ix ( 4 + i)λ = e ix. λ = 1 4 i =. 4 + i 0 Une solution particulière de l équation avec second membre cosx est alors obtenue en prenant la partie réelle de celle avec second membre e ix, donc ( ) 4 i y(x) = R e ix = cosx sin x. Si l on ne veut pas utiliser les nombres complexes on peut chercher directement une solution de la forme y(x) = λcos x + µ sinx. On a alors d où y (x) = λsin x + µ cosx et y (x) = λcosx µ sinx, y (x) + y (x) 3y(x) = ( 4λ + µ)cosx + ( 4µ λ)sin x. L identification donne le système { 4λ + µ = 1 λ 4µ = 0 ce qui donne λ = 1/5 et µ = 1/10., Lorsque le second membre est une somme de termes de la forme e βx Q(x) on pourra utiliser le principe de superposition des solutions. Exemple 10. y + y 3y = 8xe x + 5xe x On obtient une solution particulière de l équation en additionnant les solutions particulières obtenues dans les exemples 7 et 8. D où les solutions sur R, ( y(x) = K 1 e x + K e 3x + e x x 6 ) ( + e x x x ). 5 3) Méthode de variation des constantes. Si U 1 et U sont deux solutions non proportionnelles de l équation homogène, on a donc au 1 (x) + bu 1(x) + cu 1 (x) = 0 et au (x) + bu (x) + cu (x) = 0, Et les solutions de l équation sans second membre sont données par y(x) = K 1 U 1 (x) + K U (x), 9

10 où K 1 et K sont des constantes. On cherche une solution de l équation avec second membre de la forme y(x) = K 1 (x)u 1 (x) + K (x)u (x). (On a donc remplacé les constantes K 1 et K figurant dans les solutions de l équation homogène par des fonctions). En dérivant on obtient y (x) = K 1 (x)u 1 (x) + K 1 (x)u 1(x) + K (x)u (x) + K (x)u (x). On impose ici une première relation qui fait disparaître dans y (x) les dérivées K 1 (x) et K (x) : donc puis en dérivant de nouveau, K 1 (x)u 1(x) + K (x)u (x) = 0, y (x) = K 1 (x)u 1 (x) + K (x)u (x), y (x) = K 1 (x)u 1 (x) + K 1 (x)u 1 (x) + K (x)u (x) + K (x)u (x). On en déduit ay (x) + by (x) + cy(x) = a(k 1 (x)u 1 (x) + K 1 (x)u 1 (x) + K (x)u (x) + K (x)u (x)) +b(k 1 (x)u 1(x) + K (x)u (x)) + c(k 1 (x)u 1 (x) + K (x)u (x)) = K 1 (x)u 1 (x) + K (x)u (x) +K 1 (au 1 (x) + bu 1(x) + cu 1 (x)) + K (au (x) + bu (x) + cu (x)). Mais les coefficients de K 1 et de K sont nuls. Il reste donc ay (x) + by (x) + cy(x) = K 1(x)U 1(x) + K (x)u (x) = g(x), On s aperçoit que K 1 (x) et K (x) sont alors solutions du système { K 1 (x)u 1 (x) + K (x)u (x) = 0 K 1(x)U 1(x) + K (x)u (x) = g(x) Il ne reste plus qu à résoudre ce système pour obtenir K 1 et K et à chercher des primitives pour obtenir K 1 et K. Exemple 11. y y = ex e x + 1. Le polynôme caractéristique X 1 a pour racines 1 et 1. On cherche des solutions définies par y(x) = K 1 (x)e x + K (x)e x. Le calcul précédent conduit donc au système K 1 (x)ex + K (x)e x = 0 En résolvant ce système, on trouve K 1 (x)ex K (x)e x = ex e x + 1 K 1(x) = e x (e x + 1) e3x et K (x) = (e x + 1). Comme e x est la dérivée de e x + 1, la fonction K 1 se présente sous la forme u /u avec u > 0, et on obtient immédiatement une primitive en lnu K 1 (x) = 1 ln(ex + 1) + C 1. 10

11 Pour K, on transforme l expression en remarquant que donc d où e x e x + 1 = ex 1 e x e x + 1 = ex e x + 1, K (x) = 1 ) (e x e x + ex e x + 1 K (x) = 1 ( ) e x ex + ln(e x + 1) + C. Finalement, on obtient les solutions de l équation dans R : y(x) = 1 ((e x e x )ln(e x + 1) ex ) C 1 e x + C e x., 11