RELATIONS TRIGONOMETRIQUE DANS UN TRIANGLE RECTANGLE

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1 RELATIONS TRIGONOMETRIQUE DANS UN TRIANGLE RECTANGLE Le triangle A est rectangle en A. C hypoténuse côté opposé à l'angle A B côté adjacent à l'angle A est un triangle donc : B + A + B = 80. A est un triangle rectangle en A : - l angle B est un angle droit : B = les angles aigus A et B sont complémentaires : A + B = les angles A et B sont des angles aigus : A < 90 et B < 90. I / Cosinus d un angle aigu Définition Notation - Définition : Dans un triangle rectangle le cosinus d un angle aigu est égal au rapport de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l hypoténuse : longueur du côté adjacent à cet angle - Notation : Cosinus est noté : cos - Exemple : Soit A un triangle rectangle en A.

2 Considérons l angle aigu A : Considérons l angle aigu B : - Remarques : longueur du côté adjacent àl ' angle A cos A = = longueur du côté adjacent àl ' angle B cos B = = Le cosinus d un angle aigu est un nombre toujours compris entre 0 et car l hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle. Le cosinus d un angle aigu est un nombre positif sans unité. Pour calculer le cosinus d un angle aigu, il faut exprimer les deux longueurs dans la même unité. II / Sinus d un angle aigu Définition Notation - Définition : Dans un triangle rectangle le sinus d un angle aigu est égal au rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur de l hypoténuse : longueur du côté opposé àcet angle - Notation : Sinus est noté : sin - Exemple : Soit A un triangle rectangle en A. Considérons l angle aigu A : Considérons l angle aigu B : - Remarques : longueur du côté opposé àl ' angle A sin A = = longueur du côté opposé àl ' angle B sin B = = Le sinus d un angle aigu est un nombre toujours compris entre 0 et car l hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle. Le sinus d un angle aigu est un nombre positif sans unité. Pour calculer le sinus d un angle aigu, il faut exprimer les deux longueurs dans la même unité. III / Tangente d un angle aigu Définition Notation - Définition : Dans un triangle rectangle la tangente d un angle aigu est égale au rapport de la longueur du côté opposé à cet angle

3 sur la longueur du côté adjacent à cet angle : longueur du côté opposé àcet angle longueur du côté adjacent à cet angle - Notation : Tangente est notée : tan - Exemple : Soit A un triangle rectangle en A. Considérons l angle aigu A : Considérons l angle aigu B : - Remarque : longueur du côté opposé àl ' angle A tan A = = longueur du côté adjacent àl ' anglea longueur du côté opposé àl ' angle B tan B = = longueur du côté adjacent àl ' angleb La tangente d un angle aigu est un nombre positif sans unité. Pour calculer la tangente d un angle aigu, il faut exprimer les deux longueurs dans la même unité. Dans un triangle rectangle la tangente d un angle aigu est égale aussi au rapport du sinus de cet angle sur son cosinu. Si on note x la mesure en degré d un angle aigu alors : sin x tan x = cos x Justification : Soit A un triangle rectangle en A. sin A longueur du côté opposé à l ' anglea = = = = = tan A cos A longueur du côté adjacent àl ' angle A IV / Relation entre le cosinus et le sinus d un même angle aigu Propriété : On note x la mesure en degré d un angle aigu. On a : cos x + sin x = Justification : A est un triangle rectangle en A. Considérons l angle aigu A. On note : A = x cos x sin x = et ( cos x) = et ( sin x) = = = =

4 + + = + = ( cos x) ( sin x) A est un triangle rectangle en A donc d après le théorème de Pythagore, on a : ( cos x) ( sin x) ( ) cos x est noté : + = + = + = cos x et ( sin x ) est noté :. = sin x. + =. On a : cos x + sin x = V / Cosinus et sinus de deux angles complémentaires Propriété : Lorsque deux angles sont complémentaires, le cosinus de l un est égal au sinus de l autre. Exemples : - A est un triangle rectangle en A. Les angles A et B sont des angles aigus complémentaires ( A + B = 90 ) donc : cos A = sin B et sin A = cos B Justification : A est un triangle rectangle en A. cos A = et sin B = donc : cos A = sin B. cos B = et sin A = donc : cos B = sin A. - sin 0 = cos 60 car : = cos 45 = sin 45 car : = sin 8 = cos 5 car : 8 +5 = 90. VI / Sinus, cosinus et tangente d un angle de mesure 0, 45 ou 60 sin x cos x tan x

5 Procédés mnémotechniques permettant de retrouver les valeurs exactes des cosinus, sinus, tangentes des angles de 0, 45 ou 60 : - On trace un tableau de 4 lignes et 4 colonnes. La ère ligne du tableau est la ligne des trois valeurs remarquables de l angle x - on écrit ces valeurs dans l ordre croissant 0 ; 45 ; 60. La ème ligne du tableau est la ligne des sinus - on écrit de la gauche vers la droite les nombres ; ; : sin x - On met chaque nombre sous un radical : sin x - On divise chaque nombre par et on obtient ainsi les valeurs exactes des sinus des angles remarquables 0 ; 45 ; 60. sin x = La ème ligne du tableau est la ligne des cosinus - On écrit de la gauche vers la droite les nombres ; ; : cos x

6 - On met chaque nombre sous un radical : cos x - On divise chaque nombre par et on obtient ainsi les valeurs exactes des cosinus des angles remarquables 0 ; 45 ; 60. cos x = Remarque : On peut remplir la ligne des cosinus en utilisant la propriété des angles complémentaires : lorsque deux angles sont complémentaires, le cosinus de l un est égal au sinus de l autre. cos 0 = sin60. cos 45 = sin 45. cos 60 = sin 0. La 4 ème ligne du tableau est la ligne des tangentes sin x - On calcule : tan x =. cos x sin 0 tan0 = = = = = = cos0 sin 45 tan 45 = = = cos45 sin 60 tan 60 = = = = cos60 On obtient ainsi les valeurs exactes des tangentes des angles remarquables 0 ; 45 ; 60. tan x

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