FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

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1 FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées et opérations 3 5. Dérivées et opérations Dérivée d une fonction composée Dérivée de u Dérivée de u n, n Z Dérivée de x v(ax+ b) Dérivée de x f [g (x)] Les fonctions sinus et cosinus 5 6. Propriétés Étude des fonctions sinus et cosinus QCM 7 8 EXERCICES : Les exercices de base 8 9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) 0

2 Dérivée en un point Définition. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R et a I. f (x) f (a) On dit que la fonction f est dérivable en a lorsque admet une limite finie quand x tend vers x a a. Cette limite est notée f (a), c est le nombre dérivé de f en a. On note : f f (x) f (a) f (a+ h) f (a) (a)= lim = lim x a x a h 0 h Définition. Soit I un intervalle et f une fonction dérivable en a I. La tangente à la courbe représentative de f au point A d abscisse a est la droite passant par A de coefficient directeur f (a). Elle admet pour équation y = f (a)(x a)+ f (a) Continuité et dérivabilité Propriétés. admis Si f est dérivable en un réel a, alors f est continue en a. 3 Attention la réciproque est fausse. Exemple : x x est continue sur R mais x x n est pas dérivable en 0. 3 Fonction dérivée Définition 3. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R. On dit que f est dérivable sur I lorsqu elle est dérivable en tout point de I. Dérivées usuelles Fonction f définie par : Fonction f définie par : Intervalles de validité f (x)=k f (x)=0 ] ;+ [ f (x)=x n,n N f (x)=nx n ] ;+ [ f (x)= x f (x)= x n = x n, n N f (x)= x f (x)= nx n = n f (x)= x f (x)= x x n+ ] ;0[ et ]0;+ [ ] ;0[ et ]0;+ [ ]0; + [ Ph Depresle : Notes de cours Page sur

3 Remarque : Pour p Z, si f (x)= x p, alors f (x)= px p 8 Exemple : Soit f : x x +. Cette fonction est définie sur R et sa dérivée est f (x)=x. Une équation de la tangente à C f au point d abscisse 3 est y = f (3)(x 3)+ f (3) On a f (3)=0 et f (3)=6 soit y = 6(x 3)+0 soit y = 6x y = x4 + y = 6x Sens de variation d une fonction dérivable Théorème. (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f est strictement positive sur I sauf en un nombre fini de points où elle peut s annuler, alors f est strictement croissante sur I. Si f est strictement négative sur I sauf en un nombre fini de points où elle peut s annuler, alors f est strictement décroissante sur I. 5 Dérivées et opérations 5. Dérivées et opérations Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel. fonction f fonction dérivée f dérivabilité somme f = u+ v f = u + v dérivable sur l intervalle I. produit f = k.u f = k.u f = u.v f = u.v+ u.v dérivable sur l intervalle I. quotient f = v f = u v f = v v f = u v uv v 5. Dérivée d une fonction composée 5.. Dérivée de u dérivable en tout réel x de l intervalle I où v(x) est non nul. Théorème. Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors u : x u(x) est dérivable sur I et sa dérivée est ( u ) = u u. Ph Depresle : Notes de cours Page 3 sur

4 Exemple : Soit f : x x + comme u : x x + est strictement positif et dérivable sur R, alors f est dérivable sur R et on a : f x (x)= x + = x x + ( car u (x)=x). 5.. Dérivée de u n, n Z Théorème 3. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I alors si n N, u n : x [u(x)] n est dérivable sur I. si n Z et si u ne s annule pas sur I alors u n est dérivable sur I. et dans tous les cas (u n ) = nu u n. Exemples : Soit f : x (x + x+ ) 7. f est dérivable sur R et f (x)=7(x+ )(x + x+ ) 6. Soit g : x 3 (4x+ ). g est dérivable sur ] ; 4 [ ] 4 ;+ [. g (x)=3(4x+ ) et g (x)=3 ( ) 4 (4x+ ) 3 = Dérivée de x v(ax+ b) (4x+ ) 3 Théorème 4. Soit x 0 R, tel que v dérivable en ax 0 +b, alors la fonction h : x v(ax+b) est dérivable x 0 et sa dérivée en x 0 est h (x 0 )=a v (ax 0 + b). ( ) Exemple : Soit f : x sin Sa dérivée est f (x)=cos x+ π 4 ( x+ π 4 sur R. ) 5.4 Dérivée de x f [g (x)] Soit I g J f R x g (x) f (g (x)) } on compose les fonctions f et g Théorème 5. Si g est dérivable en x 0 et f est dérivable en g (x 0 ) alors la fonction h : x f [g (x)] est dérivable en x 0 et on a h (x 0 )= g (x 0 ) f [g (x 0 )]. Remarque : On retrouve comme cas particuliers les dérivées de u u un et : x v(ax+ b) Résumé : Ainsi, pour n Z, fonction dérivée f = u n f = nu u n f = u f = u u fonction dérivée f = u f = u u Ph Depresle : Notes de cours Page 4 sur

5 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation 6 Les fonctions sinus et cosinus 6. Propriétés Rappel ( : On se place dans un repère orthonormé direct O ; i, ) j du plan. Soit C le cercle trigonométrique de centre O. Si x est un réel, et si M est le point de C associé à x, (x est alors une mesure en radian de l angle orienté ( i, OM )) ( alors cos x et sin x sont les coordonnées de M dans le repère O ; i, ) j. M(cos x;sin x) et OM ( x y ) sin x O M cos x x A Propriétés. Les fonctions cos : x cos x et sin : x sin x sont définies sur R et sont périodiques de période π : x R, cos(x+ π)= cos x et sin(x+ π)=sin x. La fonction cos : x cos x est paire sur R et la fonction sin : x sin x est impaire sur R : x R, cos( x)= cos x et sin( x)= sin x. Les fonctions cos et sin sont continues et dérivables sur R et on a : x R, cos x = sin x et sin x= cos x sin x cos x On a lim = et lim = 0 x 0 x x 0 x 6. Étude des fonctions sinus et cosinus La fonction cosinus D abord sur [0;π] en utilisant le cercle trigonométrique : π x 0 π cos x = sin x fonction f = cos u f = sinu dérivée f = u sinu f = u cos u cos x 3 3 et on complète par parité sur [ π;0]. (symétrie d axe O y) Puis par périodicité, la courbe est invariante par la translation de vecteur π i. La representation graphique de la fonction cos est donc : Ph Depresle : Notes de cours Page 5 sur

6 π i La fonction sinus π x 0 π sin x= cos x + 0 sin x 0 et on complète par imparité sur [ π;0]. (symétrie de centre O) Puis par périodicité, la courbe est invariante par la translation de vecteur π i. La representation graphique de la fonction sin est donc : π i Ph Depresle : Notes de cours Page 6 sur

7 7 QCM Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant :. La dérivée de la fonction f est la fonction g. (a) f (x)= x x+ et g (x)= x (x+ ). (b) f (x)= x et g (x)= x. (c) f (x)= x n et g (x)= n xn+, où n est un entier naturel strictement positif. (d) f = u n et g = nu n, où n est un entier naturel strictement positif et u une fonction dérivable sur R.. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus en 0 est : (a) y = 0. (b) y = x (c) y = cos x. 3. La fonction f est paire si et seulement si f est impaire. Solution :. (a) FAUX. Pour tout réel x, f (x+ ) (x ) (x)= (x+ ) = (x+ ). ( (b) FAUX. Pour tout réel x non nul, f (x)= x ) x 4 = x 3. En fait c est la fonction f qui est la dérivée de g! (c) VRAI Pour tout réel x non nul, f (x)= x n, donc f (x)= nx n = n (d) FAUX. f = nu u n. x n+.. L équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus en 0 est y = cos 0(x 0)+sin 0+= x. La bonne réponse est b. En particulier c est fausse : la fonction cosinus est la dérivée de la fonction sinus. 3. Si f est une fonction paire, pour tout réel x, f ( x)= f (x). Donc f ( x)= f (x) (dérivée d une fonction composée). La fonction f est est impaire. On a montré que si f est une fonction paire, alors sa dérivée f est impaire. Mais la réciproque est fausse : Posons pour tout réel x, f (x)=x 3 +. La fonction f n est pas impaire. Mais pour tout réel x, f (x)=3x, f est une fonction paire. Donc c est FAUX. Ph Depresle : Notes de cours Page 7 sur

8 8 EXERCICES : Les exercices de base Exercice Soit f la fonction définie sur R par f (x)= x et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal. A est un point d abscisse a non nulle de C et est la tangente en A à C. On note B le point d intersection de et de l axe des abscisses.. Trouver, en fonction de a, une équation de.. Trouver l abscisse de B. Exercice Soit f la fonction définie sur R par f (x)= 3x + ax+ b x. + Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de f admette comme tangente au point d abscisse 0 la droite (T ) d équation y = 4x + 3. Exercice 3 Le plan est muni d un repère orthonormal (O; #» ı, #» j ). On considère une fonction f dérivable sur l intervalle [ 3 ; ]. On dispose des informations suivantes : f (0)=. la dérivée f de la fonction f admet la courbe représentative C ci -dessous. j O i C Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.. La représentation graphique de la fonction f admet une tangente horizontale sur [ 3;0].. La fonction f est croissante sur l intervalle [ ; ]. 3. Pour tout réel x de l intervalle [ 3 ; ], f (x). 4. Soit C la courbe représentative de la fonction f. La tangente à la courbe C au point d abscisse 0 passe par le point de coordonnées ( ; 0). Exercice 4 On pose tan(x)= sin x (fonction tangente). cos x. Quel est l ensemble de définition de la fonction tangente?. Montrer que la fonction tangente admet π comme période et est impaire. 3. Étudier ses variations et ses branches infinies, tracer sa courbe représentative C dans un repère orthonormé du plan. Ph Depresle : Notes de cours Page 8 sur

9 Exercice 5 f est la fonction définie sur ],+ [ par : f (x)=. Démontrer que pour tout x> : x x. En déduire la limite de f en+. x+ sin x x. f (x) x+ x. Exercice 6 Étudier les variations de la fonction f définie sur R par f (x) = x + cos x. En déduire que l équation f (x) = a une unique solution, en donner un encadrement d amplitude 0 près. Ph Depresle : Notes de cours Page 9 sur

10 9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) Exercice :. Une équation de est : y = f (a)(x a)+ f (a)=a(x a)+ a.. B appartient à et a une ordonnée nulle. Son abscisse vérifie a(x B a)+ a = 0, donc x B = a a = a. Exercice : f est dérivable sur R et f (x)= (6x+ a)(x + ) x(3x + ax+ b) (x + ) = ax + (6 b)x+ a (x + ) f (0)=b et f (0)=a, l équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 0 est y = f (0)(x 0)+ f (0)= ax+ b. Pour que cette tangente soit la droite (T ) il faut et il suffit que a= 4 et b= 3. Exercice 3 :. VRAI. La fonction f s annule en -. Donc C admet une tangente horizontale au point d abscisse -.. VRAI. f est positive sur [;], donc f est croissante sur [;]. 3. FAUX. Le tableau de variations de f est : x 3 0 f 0 + f f étant strictement croissante sur [; ], on a f () < f (0). Or f (0)=. D après le théorème des valeurs intermédiaires il existe a dans [;] tel que f (a)<. 4. VRAI. L équation de la tangente à C au point d abscisse 0 est y = f (0)(x 0)+ f (0)= x. Le point de coordonnées (,0) appartient bien à cette droite. Exercice 4 :. La fonction tangente est définie lorsque cos(x) est différent de 0, donc pour tout réel différent de π + kπ, où k est un entier relatif.. Pour tout réel x appartenant à l ensemble de définition de cette fonction : sin(x+ π) tan(x+ π)= cos(x+ π) = sin x cos x = tan(x) tan( x)= sin( x) cos( x) = sin x cos x = tan(x). [ [ Il suffit d étudier la fonction sur 0; π. Ph Depresle : Notes de cours Page 0 sur

11 3. Pour tout entier relatif k, tan est dérivable sur ] π + kπ; π + kπ [ et pour tout x de appartenant à cet intervalle : tan cos x cos x sin x( sin x) (x)= cos = x cos x car cos x+ sin x=. La dérivée de la fonction tan est positive, cette fonction est strictement croissante sur tous les intervalles où elle est définie. Quand x tend vers π par valeurs inférieurs, sin x tend vers et cos x tend vers 0. La fonction cos étant [ [ positive sur 0; π, tan x tend vers+ : La droite d équation x= π est asymptote verticale à la courbe représentative de le fonction tan π i π π 3π y = tan x Exercice 5 :. Pour x > on a : sin x. Donc x x+ sin x x+. Comme x est positif : x x+ f (x) x x.. Posons g (x)= x et h(x)= x+ x x. x x lim g (x)= lim = et lim h(x)= lim x + x + x x + x + x =. C h C f C g #» j 0 #» ı f est comprise entre les fonctions g et h qui tendent vers quand x tend vers+. Le théorème de l encadrement nous permet d affirmer que f converge et que sa limite est en +. Exercice 6 : Ph Depresle : Notes de cours Page sur

12 f est dérivable sur R et f (x)= sin x. Si x est un réel différent de π + kπ où k est un entier relatif, sin x<. Donc sin x> 0. f est strictement positive, sauf aux réels π + kπ où elle s annule. f est donc strictement croissante sur R. Pour tout réel x : cos x donc x f (x) x+. La fonction f est minorée par la fonction x x qui tend vers+ quand x tend vers+. Donc elle tend vers+. La fonction f est majorée par la fonction x x+ qui tend vers quand x tend vers. Donc elle tend vers. y = x+ x + + f (x) j 0 i y = x+ cos(x) y = x f est continue, strictement croissante sur R. L image de R par f est R. D après le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement croissante, il existe un unique réel α tel que f (α) =. Or f ()= +cos(),58 et f (3)=3+cos(3),0, donc <α<3. A l aide de la calculatrice, on obtient : α ],98;,99[. Ph Depresle : Notes de cours Page sur