Géométrie vectorielle

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1 I) Vecteurs ans l'espace : Géométrie vectorielle a) notion e vecteur ans l'espace : On repren la éfinition u vecteur ans le plan en l'étenant à l'espace. éfinition : Soit un couple ( ; ) e points e l'espace. Le vecteur est le vecteur e la translation qui transforme en. Si, le vecteur a : - pour irection celle e la roite () - pour sens celui e vers - pour longueur (norme) la istance. On écrit =. Si =, est le vecteur nul. On écrit = 0 = CD = éfinition : - égalité e vecteurs - Soient eux vecteurs non nuls = CD équivaut à «DC est un parallélogramme» on peut noter le vecteur par une lettre comme sans préciser ni origine, ni extrémité. Dans ce cas, on ira que et CD sont es représentants e. propriété : Les opérations sur les vecteurs e l'espace et les règles e calcul (y compris la relation e Chasles) sont les mêmes que celles établies avec les vecteurs u plan. b ) vecteurs colinéaires : D C a une infinité e représentants! éfinition : On repren la éfinition e la colinéarité e eux vecteurs ans le plan en l'étenant à l'espace. Deux vecteurs e l'espace et CD sont colinéaires si et seulement si les roites () et (CD) sont parallèles. D propriété : Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que = k C par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur! propriété : Trois points istincts,, C sont alignés si et seulement si il existe un nombre réel k tel que C = k cela revient à montrer que C et sont colinéaires! 1

2 c ) vecteurs coplanaires : éfinition : Des vecteurs sont coplanaires si et seulement si les représentants obtenus à partir 'un même point O quelconque ont leurs extrémités contenues ans un même plan. eux vecteurs sont toujours coplanaires (attention, ce n'est pas toujours le cas pour eux roites!) O C II) Caractérisation vectorielle 'une roite e l'espace :,, sont coplanaires. = O, = O, = OC, et,, C sont ans un même plan. propriété : Soient et eux points istincts e l'espace. Un point M appartient à la roite () si et seulement si il existe un nombre réel k tel que M = k M Comme ans le plan, on peut éfinir une roite par un point et un vecteur irecteur. est nommé vecteur irecteur e la roite. On peut noter cette roite ( ; ). propriété : Deux roites sont parallèles si et seulement si elles ont es vecteurs irecteurs colinéaires. III) Caractérisation vectorielle 'un plan e l'espace : propriété : Soient,, C trois points non alignés. yc Le plan (C) est constitué e tous les points M éfinis par : C M M = x + yc (x et y sont es nombres réels quelconques) émonstration x Dans le plan (C), et C ne sont pas colinéaires. Donc, ( ; ; ) C est un repère u plan. Par suite, pour tout point M u plan (C) il existe eux nombres réels x et y tels que M = x + yc réciproquement, nous allons montrer qu'un point M e l'espace vérifiant M = x + yc est un point u plan. Etant onné que ( ; ; ) C est un repère e (C), il existe N, un point u plan (C), tel que N = x + yc. Donc, N = M et M = N. Par suite, M est un point u plan (C) vocabulaire : Un plan peut onc être éfini par un point et eux vecteurs non colinéaires et. On peut alors noter sous la forme ( ;, ). On it que et sont es vecteurs irecteurs u plan.

3 propriété : Soient les vecteurs,, tels que et ne soient pas colinéaires.,, sont coplanaires si, et seulement si, il existe es nombres réels a et b tels que = a + b émonstration Soient les vecteurs,, tels que et ne soient pas colinéaires. Soit un point quelconque e l'espace et, C, D tels que =, C =, D =. Etant onné que et ne sont pas colinéaires,,, C, ne sont pas alignés et éfinissent le plan (C).,, sont coplanaires si et seulement si,, C, D sont coplanaires ce qui revient à ire que D appartient au plan (C). Donc, (voir propriété précéente), il existe es réels a et b tels que D = a + bc. Par suite, = a + b. conséquences : 4 points,, C, D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs, C, D sont coplanaires. une roite e vecteur irecteur est parallèle à un plan e vecteurs irecteurs et si et seulement si,, sont coplanaires. propriété : Deux plans et ' ayant eux vecteurs irecteurs en commun sont parallèles. ' émonstration Soient eux plans et ' ayant les mêmes vecteurs irecteurs et. Soient un point e et un point e '. Les eux roites sécantes e passant par et e vecteurs irecteurs respectifs et sont parallèles aux eux roites sécantes e ' passant par et e vecteurs irecteurs respectifs et. Par suite, les plans et ' sont parallèles. 3

4 une application : la émonstration u théorème u toit rappel e la propriété : Si eux plans sécants 1 et sont sécants suivant une roite et si 1 et sont eux roites parallèles incluses respectivement ans 1 et, alors est parallèle aux roites 1 et émonstration - exigible - Soit un vecteur irecteur e 1 et e. Soit un vecteur irecteur e. Soient (, 1 ) et (, ) eux couples e vecteurs irecteurs respectivement es plans 1 et. 1 et sont parallèles par éfinition! 'après la première es eux propriétés précéentes! est contenue ans 1 onc il existe eux réels a 1 et b 1 tels que = a 1 + b 1 1 est contenue ans onc il existe eux réels a et b tels que = a + b Par suite, a 1 + b 1 1 = a + b et (a 1 a ) = b b 1 1 Supposons que a 1 a : b b 1 On aurait alors = a 1 a a 1 a 1 ce qui revienrait à ire que, 1, sont coplanaires. Or, c'est impossible car les plans 1 et sont sécants. Donc a 1 = a Il écoule e ce qui précèe que a 1 + b 1 1 = a + b onc b 1 1 = b Or, 1 et ne sont pas colinéaires onc b 1 = b = 0 Par suite, = a 1 et il en résulte que 1 et sont parallèles. eux roites ayant es vecteurs irecteurs colinéaires sont parallèles! IV) Repérage ans l'espace : a) écomposition 'un vecteur suivant trois vecteurs non coplanaires : propriété : Soient trois vecteurs,, non coplanaires e l'espace. Pour tout vecteur, V il existe un unique triplet ( a; b ; c) e nombres réels tel que : V = a + b + c 4

5 émonstration existence e a, b, c Soient trois vecteurs,, non coplanaires e l'espace. Soit un point e l'espace. Soit V un vecteur e l'espace. Soit le plan éfini par ( ;, ). Soit le point M tel que = V M. Soit la roite contenant M et e vecteur irecteur. et ne sont pas parallèles puisque,, ne sont pas coplanaires. Soit M' le point 'intersection e et. contient M' onc il existe eux nombres réels a et b tels que M' = a + b De plus, M = M' + M'M. Or, M'M et sont colinéaires onc il existe un réel c tel que M'M = c Par suite, = V M = a + b + c a c V b M' M unicité e a, b, c Supposons qu'il existe eux triplets e réels (a, b, c) et (a', b', c') tels que V = a + b + c = a' + b' + c' Supposons que c c', on aurait = a a' b b' +, or c'est impossible puisque c' c c' c,, ne sont pas coplanaires. Donc c=c'. Il en écoule que a + b = a' + b'. Par suite, a = a' et b= b' puisque et ne sont pas colinéaires. b) repère e l'espace - cooronnées : éfinition : Un repère e l'espace (O ; i, j, k ) est formé 'un point O et 'un triplet ( i, j, k ) e vecteurs non coplanaires. O est l'origine u repère ( i, j, k ) est appelé base e vecteurs e l'espace. propriété : (O ; i, j, k ) est un repère e l'espace. Pour tout point M e l'espace, il existe un unique triplet e réels (x ; y ; z) tel que : OM = x i + y j + zk (x ; y ; z) sont les cooronnées e M ans le repère (O ; i, j, k ) x est l'abscisse e M, y est l'oronnée e m, z est la cote e M émonstration i, j, k ne sont pas colinéaires onc, 'après la propriété précéente, OM se écompose e façon unique à l'aie es trois vecteurs. 5

6 propriété (conséquence e la précéente) : (O ; i, j, k ) est un repère e l'espace. Pour tout vecteur, il existe un point M tel que OM =. De la même façon que nous le faisions ans le plan, on éfinira les cooronnées e ans l'espace comme étant celles e M. On peut onc affirmer : Pour tout vecteur e l'espace, il existe un unique triplet e réels (x ; y ; z) tel que : = x i + y j + zk (x ; y ; z) sont les cooronnées e. On note (x ; y ; z) ou règles e calculs avec les cooronnées : Soient (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') Le vecteur + a pour cooronnées (x + x' ; y + y' ; z + z') 6 x y z Pour tout réel k, le vecteur k a pour cooronnées (kx ; ky ; kz) Soient les points (x ; y ; z ) et (x ; y ; z ) a pour cooronnées (x x ; y y ; z z ) Soient les points (x ; y ; z ) et (x ; y ; z ) Le milieu I u segment [] a pour cooronnées x + x, y + y, z + z V) Représentation paramétrique 'une roite : rappel : nous avons vu au paragraphe II qu'un point M appartient à la roite passant par et e vecteur irecteur non nul si, et seulement si, il existe un nombre réel k tel que M = k propriété : (O ; i, j, k ) est un repère e l'espace. Soit une roite éfinie par un point (x ; y ; z ) et un vecteur irecteur (a ; b ; c) On appelle représentation paramétrique e la roite le système : x = x + ka y = y + kb z = z + kc avec k La roite est l'ensemble es points M(x ; y ; z) vérifiant le système ci-essus. émonstration Si M(x ; y ; z) est un point e, il existe un réel k tel que M = k. On trauit l'égalité en utilisant les cooronnées : x x a y y = k b z z c 'où x x = ka y y = kb z z = kc k est le paramètre corresponant au point M! et, par suite, on a le résultat, x = x + ka y = y + kb z = z + kc De la même façon, on peut éfinir la représentation paramétrique 'un plan éfini par un point (x ;y ;z ) et vecteurs non colinéaires (a,b,c) et (a',b',c'). On écrit alors qu'un point M appartient au plan si M = k + t et on obtient le système : x = x + ka + ta y = y + kb + tb z = z + kc + tc avec k et t