Accroissements et dérivées

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1 Aides matématiques 3 page / Il ne s agit pas d un cours de matématiques mais d aides pour comprendre comment les matématiques, leurs notions, leurs résultats et leurs notations sont utilisés avec succès depuis des années en pysique. Accroissements et dérivées Nous ne considérons que des fonctions réelles de variables réelles. Après avoir introduit les notions d accroissement- et de variation en Pysique- puis celle de tau d accroissement, nous définissons la dérivée d une fonction d une variable. Nous continuons en décrivant les utilisations de la dérivée : coefficient directeur de la tangente, étude des variations d une fonction ainsi que les relations entre dérivée seconde et concavité. Ensuite viennent les propriétés des dérivées, un formulaire pour les fonctions usuelles et de multiples eemples,. Enfin nous définissons les dérivées partielles d une fonction de deu variables et en donnons quelques eemples. A. Accroissement d une fonction d une variable Etudier les variations d une fonction c est établir quand elle est croissante ou au contraire décroissante et de combien. L étude des fonctions conduit donc naturellement à celle de leurs accroissements.. Définition d un accroissement Considérons une fonction : f : y f ( ) Un accroissement de la variable est la différence de deu valeurs de la variable et est noté Δ. Cet accroissement est algébrique (il peut être positif ou négatif). Il est aussi appelé variation en pysique dans le cas d une évolution temporelle. L accroissement correspondant du résultat est noté Δy. y f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). Définition du tau d accroissement Le tau d accroissement de la fonction est le rapport des accroissements de la variable et du résultat : y f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Les tableau en vert donnent des eemples, en violet des propriétés ou règles générales et ceu en bleu concernent des fonctions usuelles. Les eemples sont ceu de l Aide matématique Am Fonctions. Cette aide fournit aussi les domaines de définition des fonctions.

2 Aides matématiques 3 page / 3. Eemples On considère deu carrés de côtés c = m et c = 5 m. Accroissement Tau d accroissement Côté c c c (5 ) m 3 m Périmètre p p 4c 4c 4(5 ) m m 4 c Aire A A c c (5 ) m m 7m c L étude des tau d accroissement conduit à la notion de dérivée. B. Dérivée d une fonction d une seule variable. Définition, eistence La dérivée d une fonction en est la limite du tau d accroissement lorsque tend vers : y ' lim f ( ) f ( ) Cette limite n eiste pas toujours, la fonction n est alors pas dérivable. Nous ne considérerons que des fonctions dérivables. Lorsque cette limite eiste sur un intervalle de valeurs de la variable, cela définit sur cet intervalle une fonction dérivée : f ': y' f '( ) On peut définir la dérivée de la dérivée et la calculer lorsqu elle eiste. Elle s appelle dérivée seconde et se note f (). Et ainsi de suite.. Autres écritures On peut écrire différemment les tau d accroissement et la dérivée : y ' f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) y ' lim Ces deu formes d écriture epriment la même idée que la toute première, celle de la dérivation.

3 Aides matématiques 3 page 3/ 3. Eemples On considère un carré de côté c. Périmètre Aire Dérivée en c p ' A' f ( c ) f ( c) lim 4( c ) 4c lim 4 f ( c ) f ( c) lim ( c ) c ( c ) lim lim lim( c ) c Fonction dérivée Dans ce calcul, la valeur de c n importe pas donc la fonction dérivée s écrit : f ': c p' f '( c) 4 Dans ce calcul, la valeur de c n importe pas donc la fonction dérivée s écrit : f ': c A' f '( c) c Reprenons maintenant l eemple cinématique. La vitesse est la dérivée de la cote z ; l accélération est la dérivée de la vitesse (et donc la dérivée seconde de la cote z) : Fonction z en m, t en s f t z f t t t : ( ).9,8 3 Dérivée v en m.s - f ': t v f '( t) 9,8 t Dérivée seconde a en m.s - f '': t a f ''( t) 9,8 Pour effectuer ces deu derniers calculs, il faut avoir en mémoire le formulaire de dérivation. Voir paragrape D. C. Utilisation des dérivées. Interprétation grapique de la dérivée Nous considérons la représentation grapique de la fonction qui à la variable fait correspondre la valeur y = f(). Sur la figure ci-après c est la courbe noire. Nous traçons ensuite la sécante M M en bleu. Le coefficient directeur de cette droite est égal au tau d accroissement de la fonction. Ensuite nous faisons tendre l accroissement Δ = vers. L accroissement Δy tend vers lui aussi. Grapiquement le point M se déplace sur la courbe en se rapprocant du point M. La sécante (M M) tend à devenir la tangente (M T) représentée en violet. Le coefficient directeur de la sécante tend vers celui de la tangente. En d autres termes le tau d accroissement de la fonction tend vers le coefficient directeur de la tangente qui est donc égal à la dérivée. Considérons un point P quelconque appartenant à la tangente. En tenant compte du fait que le point M appartient aussi à cette tangente, les coordonnées (X, Y) de P vérifient donc :

4 Aides matématiques 3 page 4/ Y y X X Y f '( ) Y y f '( )( X ). Propriétés des représentations grapiques des fonctions et dérivées L étude des zéros et du signe de la dérivée d une fonction permet de déterminer les variations de cette fonction. Lorsque la dérivée est strictement positive sur l intervalle [a ; b], la fonction est monotone croissante sur le même intervalle. De même, lorsque la dérivée est strictement négative, la fonction est monotone décroissante. Lorsque la dérivée est nulle, la tangente est orizontale ; la fonction passe par un etremum (maimum ou minimum local) ou possède un point d infleion. Voir figure ci-après. Les tableau ci-après récapitulent l influence des signes de la dérivée et de la dérivée seconde sur le comportement d une fonction et l aspect de sa courbe représentative. Dérivée Positive Négative Nulle Fonction Croissante Décroissante Maimum, minimum ou point d infleion Tangente Montante Descendante Horizontale

5 Aides matématiques 3 page 5/ La dérivée première est nulle et la dérivée seconde Est positive Est négative S annule en cangeant de signe Concavité Vers le aut Vers le bas Fonction Possède un minimum Possède un maimum Point d infleion à tangente orizontale Décrivons et commentons les différents cas de la figure ci-dessus : Cas a. La dérivée est positive, la fonction est monotone croissante. Si on trace une tangente à la courbe représentative, son coefficient directeur est positif : La tangente est «montante». Cas b. La dérivée est positive, la fonction est monotone croissante. Mais la courbe représentative possède un point d infleion, point où la courbe traverse sa tangente. La concavité de la courbe est tournée vers les ordonnées positives- «vers le aut»- jusqu au point d infleion. Puis la concavité de la courbe est tournée vers les ordonnées négatives- «vers le bas». Nous allons voir grapiquement que la dérivée seconde s annule au point d infleion en cangeant de signe : Sur la figure la dérivée seconde est d abord positive. Pour voir cela il suffit de tracer la tangente et d observer l évolution de son coefficient directeur quand on parcourt la courbe. Jusqu au point d infleion, il est croissant- la tangente est de plus en plus «montante». En d autres termes la dérivée est croissante donc la dérivée seconde est positive. Puis elle est négative (le coefficient directeur de la tangente est décroissant). Elle s est annulée au point d infleion.

6 Aides matématiques 3 page 6/ Cas c. La dérivée est négative, la fonction est monotone décroissante. Si on trace une tangente à la courbe représentative, son coefficient directeur est négatif : La tangente est «descendante». Cas d. La dérivée est négative, la fonction est monotone décroissante. Mais la courbe représentative possède un point d infleion, point où la courbe traverse sa tangente. La concavité de la courbe est tournée vers les ordonnées positives- «vers le aut» jusqu au point d infleion. Puis la concavité de la courbe est tournée vers les ordonnées négatives- «vers le bas». Sur la figure la dérivée seconde est d abord positive. Pour voir cela il suffit de tracer la tangente et d observer l évolution de son coefficient directeur quand on parcourt la courbe. Notons qu il est négatif. Jusqu au point d infleion, il est croissant- la tangente est de moins en moins «descendante». En d autres termes la dérivée est croissante donc la dérivée seconde est positive. Puis elle est négative (la tangente est de plus en plus descendante, le coefficient directeur de la tangente est décroissant). Elle s est annulée au point d infleion. Cas e. La courbe représentative possède une tangente parallèle à l ae des abscisses- «orizontale». La fonction possède un maimum. La concavité est tournée «vers le bas». La tangente est d abord de moins en moins montante puis de plus en plus descendante. En d autres termes le coefficient directeur de la tangente (notons qu il est d abord positif puis négatif) est décroissant : La dérivée seconde est négative. Cas f. La courbe représentative possède une tangente «orizontale». La fonction possède un minimum. La concavité est tournée «vers le aut». La tangente est d abord de moins en moins descendante puis de plus en plus montante. En d autres termes le coefficient directeur de la tangente (notons qu il est d abord négatif puis positif) est croissant : La dérivée seconde est positive. Cas g. La courbe représentative possède un point d infleion à tangente «orizontale». La tangente est d abord de moins en moins montante puis de plus en plus. Le coefficient directeur de la tangente (notons qu il est positif) est d abord décroissant puis croissant. En d autres termes la dérivée seconde est d abord négative puis positive. La concavité de la courbe est d abord tournée «vers le bas», puis «vers le aut». Au point d infleion la dérivée seconde s est annulée en cangeant de signe. Une fonction décroissante avec un point d infleion à tangente orizontale se traite de façon semblable. De plus la dérivée seconde peut aussi s annuler sans canger de signe. Penser à la fonction f()=a 4 en =. On retrouve alors les possibilités de minimum ou de maimum local. D. Formulaire, propriétés et multiples eemples de dérivées Attention à respecter les domaines de définition des fonctions et de leurs dérivées. Voir Am Fonctions. D abord les dérivées de quelques fonctions usuelles :

7 Aides matématiques 3 page 7/ Fonction f() Dérivée f () Fonction f() Dérivée f () Cavec Cconstante avec ln avec c s argc e e s c args t argt c cos sin arccos sin cos arcsin tan tan cos arctan Puis quelques propriétés générales : multiplication par une constante (C), addition (+) puis multiplication () de deu fonctions, quotient en /f (/), fonction composée (o) : Propriété Fonction f() Dérivée f () C C u( ) C u '( ) + u( ) v( ) u '( ) v'( ) u( ) v( ) u'( ) v( ) u( ) v'( ) / u ( ) O ( ) u'( ) u ( ) g g '( u) '( ) avec u ( ) En combinant les propriétés générales de la dérivation et la connaissance des dérivées usuelles, on obtient d autres propriétés et d autres dérivées.

8 Aides matématiques 3 page 8/ Propriétés Fonction f() Dérivée f () C et + A u( ) B v( ) A u '( ) B v'( ) /et u ( ) u ( ). v( ) v( ) o sin( a b) u '( ) v( ) u( ) v'( ) v ( ) cos( a b) a acos( a b) o a a e ( ) e a a e a o a e ln a ln (ln a) e a (ln a) a o ln u ( ) u'( ) u'( ) u( ) u( ) o u ( ) n n nu ( ) u '( ) Enfin quelques eemples numériques : Fonction f() Dérivée f () Commentaires 3 Fonction constante 3 3 Puissance entière Puissance non entière 3 4 sin cos Somme et multiplication par C 3 4 sin 3sin 4sin(3 ) 3 sin 4 cos Multiplication Quotient (3cos )( ) (3sin )(4 ) 3( ) cos sin ( ) ( ) 4cos(3 ) 3 cos(3 ) Fonction composée 4 5 e 3 ln( ) 4.5 e e Fonction composée Fonction composée 3 5 ( ) ( ) 6 3 ( ) Fonction composée

9 Aides matématiques 3 page 9/ Remarque sur la dérivation des fonctions réciproques 3. Considérons une fonction f et sa fonction réciproque f -. Elles sont telles que : f y f f y f y : ( ) et : ( ) f f ( ) et f f ( y) y Les dérivées s écrivent : y f '( ) lim et f '( y) lim yy f '( ) Par eemple, considérons la fonction sinus et sa fonction réciproque : f : y sin et f : y arcsin y Les dérivées s écrivent : f ': y ' cos f ': y ' cos sin y Récrivons la fonction réciproque et sa dérivée en redonnant au variables leurs rôles abituels : g : y arcsin et g ': y ' E. Dérivées partielles. Définition Considérons une fonction de deu variables et y : z = f(, y). Si nous imposons à y d être constant, le résultat z n est plus fonction que de. La dérivée de cette fonction, appelée dérivée partielle par rapport à, se note avec des (prononcer «d rond»). La dérivée partielle par rapport à y se calcule en fiant. f : (, y) z f (, y) f f f ' (, y) (, y) f ' y(, y) (, y) y 3 Voir Am Fonctions, à la fin du paragrape C. «Remarque sur les fonctions réciproques».

10 Aides matématiques 3 page /. Eemples Eemple Volume d un cylindre f f (, y) (, y) 3 y f :(, y) z f (, y) 3y f f f :( A, ) V f ( A, ) A ( A, ) ( A, ) A A Volume d une mole de gaz parfait nrt f : ( p, T ) V f ( p, T ) p 8,34 T p avec n mol f nrt 8,34 T ( pt, ) p p p f nr 8,34 ( pt, ) T p p Le calcul des dérivées partielles s effectuent en fait comme celui des dérivées.