II. Exercices a revoir.

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1 I. Programme.. Anneau des sous-ensembles d un ensemble. σ-anneau. Semi-anneau. 2. Mesure sur un anneau. Mesures σ-additives. 3. Mesures sur R (en bijection avec les fonctions monotones). Mesures atomiques. Mesure de Cantor. 4. Extension de la mesure. Mesure extérieure. Théorème de Lebesgue : La famille des ensembles mesurables forme un σ-anneau sur lequel la mesure extérieure est σ-additive. 5. Mesure de Lebesgue sur R et R n. 6. Produit de mesures. L image réciproque d une mesure. 7. Mesures préservées par des applications x Nx et x {x}. 8. Convergences simple, uniforme, presque partout et en mesure. 9. Relations entre les convergences : Théorème : Convergence presque partout sur un ensemble de mesure finie implique la convergence en mesure. Contre-exemple de la réciproque. Théorème d Egorov : Convergence presque partout sur un ensemble de mesure finie implique la convergence uniforme en dehors d un sousensemble de mesure aussi petite que l on veut. Théorème : Convergence en mesure implique la convergence presque partout d une suite partielle.. Fonctions mesurables.. Théorème : Fonctions mesurables forment une algèbre stable par rapport à la ite simple. 2. Fonctions simples sommables. Intégrale de Lebesgue des fonctions simples. Extension de l intégrale sur les fonctions mesurables. 3. Définition de l espace L (X, µ). 4. Convergences des intégrales : Théorème : Convergence simple implique convergence de l intégrale sur un ensemble de mesure finie. Théorème (Lebesgue) (Convergence bornée) : Si la suite est bornée en module par une fonction sommable, alors la ite est echangeable avec l intégrale. Théorème (B.Lévy) (Convergence monotone). Si la suite des fonctions sommables est monotone croissante alors : soit la ite n est pas sommable et l intégrale tends vers +, soit la ite et l intégrale sont échangeables. (d) Théorème (Lemme de Fatou) : Si les intégrales des éléments d une suite des fonctions sommables sont bornées, alors la ite presque partout est sommable (si elle existe).

2 5. Théorème (Fubini) : Pour une fonction sommable sur un produit de deux ensembles mesurées l intégrale sur un des ensembles est définie presque partout. L intégrale sur le produit est égale aux intégrales itérées. Pour les fonctions non-negatives l existence d une intégrale itérée implique la sommabilité. 6. Intégrales gaussiennes. Décomposition des intégrales des exp(f/h) en séries. 7. Convolution des fonctions sur R. Commutativité et associativité de la convolution. 8. Transformation de Fourier. Formule pour la transformation inverse. Transformées de Fourier des fonctions e ax2, (x 2 + a 2 ), e x. 9. Formule de Plancherel. 2. Transformée de Fourier de la convolution de deux fonctions. 2. Formule de sommation de Poisson. Calcul de ζ(2) et l équation fonctionnelle pour la fonction θ. II. Exercices a revoir.. Montrer, que les espaces métriques suivants ne sont pas complets et construire leurs complétions : la droite R munie de la distance d(x, y) = arctan x arctan y. la droite R munie de la distance d(x, y) = e x e y. 2. Soit µ une mesure sur la droite reélle. On définira la fonction F µ : R R par F µ (t) = µ([, t[) si t > si t = µ([t, [) si t < Est-ce que la mesure correspondante à la fonction F (x) = x est σ-additive? Est-ce que la mesure correspondante à la fonction F (x) = x est σ-additive? 3. Soit µ la mesure standard sur l intervalle [, [ et soit f : [, [ [, [ l application définie par f(x) = {Nx}, où N est un entier et {} désigne la partie fractionnelle. Trouver l image de la mesure µ. 4. Soit µ la mesure sur l intervalle [, [ définie par µ([α, β]) = ln +α +β. soit f : [, [ [, [ l application définie par f(x) = {x } si x et f() =. Trouver l image de la mesure µ. 5. Etudier la convergence uniforme presque partout de la suite des fonctions sur R : f n (x) = nx n 2 +x Numérotons tous les nombres rationnels de l intervalle [, ] et écrivons le k-ème nombre sous forme d une fraction irréductible p k q k. Etudier la convergence. 2

3 presque partout en mesure de Lebesgue de la suite des fonctions f n (x) = exp( (p k xq k ) 2 ). 7. Soit f n m(x) = cos n (2πm!x). Etudier la convergence et calculer la ite Calculer la ite f m(x). n m m f n m(x). 8. Calculer l intégrale de Lebesgue sur l intervalle ], [ de fonctions x + x + 2. e x. Echelle de Cantor. (d) Peigne de Dirichlet. 9. Calculer les intégrales dµ, où µ est la mesure de Cantor.. Etudier la convergence des intégrales b a x α dx, où a, b R {± } sin x x dx. sin 2 x x 2 dx. xdµ, x 2 dµ x (d) + x r cos 2 x dx.. Etudier la convergence et calculer les ites des suites ( cos x n) n dx. dx x n + 2. nxe nx2 dx. 3

4 (d) e n sin2 x f(x)dx, où f L (R). sin x 2 n (e) + x 2 dx. sin x (f) x n + sin x dx. 2. Démontrer l existence de la ite n ln( + e nf(x) )dx pour toute fonction f L ([, ]). Calculer cette ite pour la fonction f(x) = cos 2πx. 3. Trouver la ite où f L (R). f(x)e ixy dx y R 4. Étudier la convergence des intégrales et des intégrales itérées. (d) e xy sin x sin y dxdy x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dxdy xy (x 2 + y 2 ) 2 dxdy En déduire la valeur de l intégrale 5. Calculer l intégrale e x2 y 2 dxdy e x2 dx. dx dy ( + y)( + x 2 y). 4

5 En déduire les valeurs des intégrales ln x dx et x2 ln x x 2 dx 6. Soit Calculer A i j une matrice n n symétrique définie positive. Calculer les intégrales R n e R n x a x b e R n x a x b x c x d e P ij aijxixj dx dx n P ij aijxixj dx dx n P ij aijxixj dx dx n 7. Calculer le développement ité à l ordre 3 en h de f(x) = 8. Calculer les convolutions de e ax2 et e bx2 x 2 + a 2 et x 2 + b 2 9. Calculer la ite + 4xy + 3y 2 + x 2 y 2 + y 4 e 2x2 h dxdy f g h, h où g h = h /2 e x2 /h et f est une fonction continue bornée. 2. Calculer les transformations de Fourier de χ [,] x 2 + a 2 e ax2 /2 (d) cosh (x) 2. Calculer la somme infinie ζ(2) = i= n 2. 5

6 22. Soit f une fonction non-négative sommable sur R et telle que R f(x)dx =, R xf(x)dx =, R x2 f(x)dx = b <. Calculer la ite où f [n] = f f f (n fois). n f [n] ( (n)x), 6