Quelques exercices. 4 Avril 2014

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1 Quelques exercices 4 Avril 04 Exercice Effectuer les divisions euclidiennes de par + + 3, par 3 + +, par + 4. Exercice Dans C[], effectuer les divisions euclidiennes de 3i 5( + i) par + i, par + + i. Exercice 3 Calculer le reste de la division euclidienne du polynôme n + + par le polynôme ( ). Exercice 4 Quels sont les polynômes P C[] tels que P 0 divise P? Exercice 5 Effectuer la division selon les puissances croissantes de : par + + à l ordre. Exercice 6 Effectuer les divisions suivant les puissances croissantes de :. P = par Q =, à l ordre n,. P = + par Q = + à l ordre 5, 3. P = par Q = + 4 à l ordre 5. Exercice 7 Soit A = et B = Effectuer :. La division euclidienne de A par B.. La division suivant les puissances croissantes de A par B à l ordre 4. Exercice 8 Calculer le pgcd de P et Q pour :

2 . P = Q = 3 +. P = Q = P = 5 i i Q = 4 i i + Exercice 9 Montrer que les polynômes P et Q suivants sont premiers entre eux. Trouver U,V K[] tels que UP+VQ=.. P = Q = + +. P = Q = Exercice 0 Soit P K[] tel que les restes des divisions de P par + et valent respectivement et 4. Quel est le reste de la division de P par 4? Exercice Calculer pgcd(p,q) lorsque :. P = 3 et Q = 5 4 +,. P = et Q = Exercice Soit P =( + ) +.. Vérifier que i est racine de P.. En déduire alors la décomposition en produit de facteurs irréductibles de P sur R[] Exercice 3 Trouver un polynôme de degré 5 tel que P()+0 soit divisible par ( + ) 3 et P() 0 soit divisible par ( ) 3. Exercice 4 Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme : En déduire sa factorisation dans C[] et dans R[]. P()= Exercice 5 Factoriser dans R[] :

3 Exercice 6 Déterminer les racines rationnelles de P()= et le factoriser dans R[]. Exercice 7 Résoudre dans C 3 le système : 8 < : x + y + z = x + y + z = xyz = 4 Exercice 8 Soient x, y, z les racines de 3 +. Calculer x 4 + y 4 + z 4. Exercice 9 Équations fonctionnelles Trouver tous les polynômes P C[] tels que P()P( + )+P( )=0. Exercice 0 Soit P = Déterminer la suite de Sturm de P.. Combien a-t-il de racines réelles dans l intervalle ]-6,[? 3. Combien a-t-il de racines réelles positives? de racines réelles négatives? Exercice Soit P = Que peut-on dire sur le nombre de racines de P, en utilisant la règle de Descartes? 350. La suite de Sturm de P est P 0,P,P, , , Déterminer P 0,P et P. 3. Montrer que P(x) > 0 si x et que P(x) < 0 si x apple. Déterminer le nombre de racines réelles (distinctes) de P. Exercice Trouver un polynôme P de degré apple tel que P( )=3, P(0)= et P()= Exercice 3 Trouver un polynôme P de degré minimum tel que P( )=, P(0)=, P()=0 et P()=4 3

4 Exercice 4 Décomposition en éléments simples F = x4 + x 3 + 3x 6x + x 3 x. Exercice 5 Décomposition en éléments simples F = x5 8x 3 + 8x 4x + x 3 (x ). Exercice 6 Décomposition en éléments simples F = 4x6 x 5 + x 4 x 3 + x + x + 3 x(x + ) 3. Exercice 7 (Poly Exercice 3.3) Décomposition en éléments simples : (a) (b) + ( )( )( 3) (c) ( ) 3 ( ) (d) ( 6 ) ( ) 3 (e) 3 ( + ) (f) + + ( ) ( + ) (g) ( ) ( + ) 3 (h) + (( )( )( 3)) (i) (j) ( ) 4 Exercice 8 (Poly Exercice 3.4) Exemples de décomposition en éléments simples de première et de seconde espèces, dans R() : (a) 5 ( + + ) 3 (b) ( ) 3 (c) ( ) 3 ( + 4) (d) ( ) 5 ( + ) (e) (g) 9 ( ) 3 ( + + ) (f) ( )( + ) 3 4( 6 + ) ( ) 3 ( + ) Exercice 9 (Poly Exercice 3.5) Décomposer sur R les fractions rationnelles suivantes : 3 ( + 4 )( + ) 4 et ( + ) 3 ( + + ) 4

5 Exercice 30 (Poly Exercice 3.6) Décomposer sur R, puis sur C, les fractions rationnelles suivantes : ( + )( + 4) et ( + ) 5 5 Exercice 3 (Poly Exercice 3.7) Décomposer sur C, puis sur R, les fractions rationnelles suivantes : n et n+ Exercice 3. Décomposer en éléments simples sur R.. Décomposer Décomposer en éléments simples sur R. en éléments simples sur R. 4. Décomposer ( ) 3 (+) en éléments simples sur R. 5. Décomposer (3 i) 5+3i +i+ en éléments simples sur C. 6. Décomposer (+i) en éléments simples sur C. 7. Décomposer + en éléments simples sur R et sur C Décomposer 5 ++ en éléments simples sur R et sur C Décomposer en éléments simples sur R et sur C. ( +)( +4) 0. Décomposer 3 en éléments simples sur R et sur C. ( +)( +4) Exercice 33 A l aide de décomposition en éléments simples, calculer :. Â n=. Â n= 3. Â n= n(n+). n(n+)(n+). n n 4 +n +. Exercice 34 Division de 3 par +. Effectuer la division suivant les puissances croissantes de 3 par + à l ordre 3.. En déduire une primitive de f : x 7! x3 x 4 (x +). 5

6 : l exercice. A = , B = + + 3, le quotient de A par B est et le reste A = , B = le quotient de A par B est et le reste est A = 4 3, B = + 4, le quotient de A par B est + et le reste 6 9. : l exercice. Le quotient de A par B est + 4i et le reste 8 0i.. Le quotient de A par B est 4 +( 3 4i) + 7i et le reste est 8 6i. : l exercice 4 Ce sont les polynômes de la forme c( a) k, avec a C, k N et c C. : l exercice 3 le reste est égal à (n + ) +( n). : l exercice =( + + )( 3 + )+ 3 ( ). : l exercice 7. Quotient Q = 3 +, reste R =.. Quotient Q = 4, reste R = 5 ( + + ). : l exercice i + : l exercice 9. 7U = + 3, 7V = U = +, 3V = + : l exercice : l exercice. pgcd( 3, )=.. pgcd( , )=. : l exercice. P(i)=(i i + ) + =( i) + = 0.. Comme P est à coefficients réels, i est aussi racine de P. 6

7 : l exercice 3 Soit P un tel polynôme. est racine de P + 0 d ordre au moins trois et donc racine de (P + 0) 0 = P 0 d ordre au moins deux. De même, est racine de P 0 d ordre au moins deux et puisque P 0 est de degré 4, il existe un nombre complexe a tel que P 0 = a( ) ( + ) = a( ) et comme P est une primitive de P 0 on a nécessairement P = a b avec a,b C, a 6= 0. D autre part P + 0 divisible par ( + ) 3 et P 0 est divisible par ( ) 3 ) P( )+0 = 0 et P()+0 = 0 ) P( )= = 0 64 a( 3 64 ) b = 0 et a )+b = = 0 ) a = 75 et b = et P()=0, d où a( )+b 3 Ainsi, P = 75 8 ( )= : l exercice 4 P()= < ( ) 6 = 0, = 0 si 6=, : 6 si =. ( 6 = si 6= 6 si =. 6 Or =, k = e ikp 6 = e ikp 3 avec k {0,,,3,4,5}, ce qui donne 0 =, = e ip 3 = j = j, = e ip 3 = j, 3 = e ip =, 4 = e 4ip 3 = j, 5 = e 5ip 3 = j. Les 5 racines de P sont donc = j, = j, 3 =, 4 = j et 5 = j. La décomposition dans C[] est : P()= 3 ( + j )( j)( + )( j )( + j) Maintenant, pour obtenir la décomposition dans R[], on regroupe les facteurs dont les racines sont conjuguées, : P()= 3 ( + )( j)( j )( + j )( + j) = 3 ( + )( ( j + j ) + 4 j 3 )( + ( j + j ) + 4 j 3 ) = 3 ( + )( + + 4)( + 4) : l exercice = + + p p = p p 3 ( + ). : l exercice 6 ( + )(3 )( ). : l exercice 7 On a = x + y + z = xy+xz+yz xyz d où xy + xz + yz = 4 8 < x + y + z = (x,y,z) solution de S, xy + xz + yz = 4 : xyz = 4, x, y et z sont les trois solutions de l équation = 0, x, y et z sont les trois solutions de l équation ( )( )( + )= 0, (x,y,z) {(,, ),(,,),(,, ),(,,),(,,),(,,)} 7

8 : l exercice 9 Soit c est une racine de P, alors P(c )= P(c)P(c + ) =0, d où c est racine de P. De même P((c ) )= P(c )P(c)=0, d où (c ) est racine de P. Supposons P 6= 0, alors ne peut avoir comme ) Si c /{0,}, alors P a une infinité de racines distinctes à savoir la suite (c k ) kn et donc P = 0. De même si c /{0,}, alors P a une infinité de racines distinctes à savoir la suite ((c ) k ) kn et donc P = 0. ) Si c = 0 ou c = 0, alors c = ou c = et donc P = 0. 3) Il ne reste plus que le cas où c = c = qui entraîne c =, donc P n a qu une seule racine, comme il est scindé, il existe K C et n N tels que P = K( ) n. Alors 0 = P()P( +)+P( )=K( ) n K( +) n +K( )=K ( ) n +K( ) n = K(K +)( ) n on déduit que K = 0 ou K =. Les solutions sont donc P = 0 ou P = ( ) n. : l exercice 8 Pour apple k apple 4, posons S k = x k +y k +z k. On, on a x 3 +x = 0 et donc x 4 +x x = 0, de même on aura y 4 +y y = 0 et z 4 + z z = 0. En additionnant ces trois égalités, on obtient S 4 + S S = 0 et donc x 4 + y 4 + z 4 = S 4 = ((x + y + z) (xy + xz + yz)) + (x + y + z)=( )(.)=8. : l exercice 0 ) La suite de Sturm de P est (P,3x +,8 + 6,). ) On vérifie que 6 et ne sont pas des racines de P; puis on calcule les nombres de changement de signe : v P ( 6)= v(,+,,+)=3 et v P ()=v(+,+,+,+)=0. Par conséquent, P à v P ( 6) v P ()=3 racines réelles. 3) On calcule le nombre de changement de signe en 0 v P (0)=v(,0,+,+)=v(,+,+)=. Comme v P (0) v P () = et v P ( 6) v P (0) =, P a une racine positive située dans ]0,[ et deux racines négatives situées dans ] 6,0[. Remarque : On aurait pu aussi utilisé la règle de Descartes. En effet, v(,6, 6)=, entraîne que P a une racines strictement positive. En appliquant la règle de Descartes à Q(x) =P( ) = , on trouve que P a au plus deux racines strictement négatives, d après ce qui précède et le fait que P(0) = 6 6= 0, P a exactement deux racines strictement négatives. : l exercice ) Le nombre de changement de signe dans la suite des coefficients de P est v(,,3,9,,5)=4, d après la règle de Descartes P a 0, ou 4 racines strictement positives (comptées avec multiplicité). En appliquant la règle de Descartes à Q() =P( ) = , on trouve que P à exactement une racine strictement négative (comptées avec multiplicité). ) La suite de Sturm de P est P 0 = P = P = P 0 = P = ) Si x, on a P(x)=x 5 x 4 + 3x 3 + 9x x + 5 = x 4 (x )+3x 3 + x(9x )+5 > > 0. Si x apple, on a P(x)=x 5 x 4 + 3x 3 + 9x x + 5 =(x 5 x 4 + 9x )+(x 3 x)+(x 3 + 5)=x (x 3 x + 9)+x(x )+(x 3 + 5) apple 4( )+( )(4 )+(.8 + 5) < 0. Le calcul du nombre de changement de signe en et + donne v P ( )=3 et v P ()=. D où v P ( ) v P ()=, donc P a une racine réelle et elle est localisée dans l intervalle ], [. Remarque : v P ( )=v(+,,,,+,+)=, donc la racine réelle de P est dans l intervalle ], [. : l exercice La formule d interpolation de Lagrange nous donne P = 3 ( 0)( ) ( 0)( ) (+)( ) (+)( 0) (0+)(0 ) (+)( 0) = 3 ( 4 3). 8

9 : l exercice 3 La formule d interpolation de Lagrange nous donne P = ( ). ( 0)( )( ) ( 0)( )( ) + (+)( )( ) (0+)(0 )(0 ) + 4 (+)( 0)( ) (+)( 0)( ) = : l exercice 4 La division euclidienne du numérateur par le dénominateur donne : F = x + + F avec F = 4x 6x+ x 3 x. Puis on factorise le dénominateur. Alors le type de décomposition de F est : F = A x + B x + C x. () On obtient alors A en multipliant les deux membres de () par x et en passant à la limite quand x tend vers 0 (A = ). On obtient de même C par multiplication par x et calcul de la limite quand x tend vers (C = ). Enfin on trouve B en identifiant pour une valeur particulière non encore utilisée, par exemple x = ou en multipliant les deux membres de () par x et en passant à la limite pour x! (B = 4). On obtient F = x4 + x 3 + 3x 6x + x 3 x = x + x + 4 x x. : l exercice 5 La division euclidienne donne : F = + F avec F = 4x4 0x 3 + 8x 4x + x 3 (x ) = A x 3 + B x + C x + D (x ) + E x. La méthode de l exercice précédent permet d obtenir facilement A et D par multiplication par x 3 et par (x ), mais il reste encore 3 coefficients à déterminer. On peut effectuer la division suivant les puissances croissantes, à l ordre 3, qui est l exposant du facteur x du numérateur 4x + 8x 0x 3 + 4x 4 par (x ) = x + x : 4x + 8x 0x 3 + 4x 4 =( x + x ) ( x + 3x )+x 3 ( + x). () En divisant les deux membres de () par x 3 (x ), on obtient A, B et C d un seul coup : Ainsi F = x 3 x + 3 x + x (x ). F = x5 8x 3 + 8x 4x + x 3 (x ) = + x 3 x + 3 x (x ) + x. : l exercice 6 La forme de la décomposition en éléments simple de F : F = A x + Bx +C (x + ) 3 + Dx + E (x + ) + Fx+ G x +. (3) On peut utiliser les exercices précédents, pour montrer que A = 3, puis B = et C = (pour ces derniers : multiplication des deux membres de (3) par x +, puis limite quand x tend vers i, avec séparation des parties réelle et imaginaire), puis A Bx+C 3 x+ on fait la soustraction F = F x = F (x +) 3 x = 3x +x+, et par suite la décomposition de F (x +) 3 (x +) donne d où F = 3 (x + ) + x x +. F = 4x6 x 5 + x 4 x 3 + x + x + 3 x(x + ) 3 = 3 x + x + (x + ) (x + ) + x x +. : l exercice 7 9

10 (a) (c) = 8 + 3, (b) + ( )( )( 3) = ( ) 3 ( ) = + + ( ) + 3 ( ) 3 (d) (e) (f) ( 6 ) ( ) 3 = ( ) ( + ) = ( + ) + + ( ) ( + ) = 3 4 ( ) + 4 ( + ) 3 4 ( + ) (g) ( ) ( + ) 3 = 6 ( ) + 8 ( ) 6 ( + ) 4 ( + ) + 4 ( + ) 3 (h) (i) + (( )( )( 3)) = ( ) = 4 ( ) + 4 ( ) ( ) ( 3) + 5 ( 3) ( j) ( ) 4 = ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 4 : l exercice 8 (a) 5 ( + + ) 3 = ( + + ) + ( + + ) 3 (b) ( ) 3 = ( ) ( ) + + ( ) 3 (c) ( ) 3 ( + 4) = + 0 ( ) + 5 ( ) (d) ( ) 5 ( + ) = ( ) ( ) 3 ( ) 4 + ( ) 5 + ( + ) 8 + (e) ( ) 3 ( + + ) = ( ) + 4 ( ) ( + ) + 8 ( + ) (f) (g) 4( 6 + ) ( ) 3 ( + ) = ( ) ( + ) ( )( + ) 3 = ( + ) ( + ) 3 0

11 : l exercice 9 3 ( + 4 )( + ) 4 = + p 8 + p + + p 8 p ( + ) 3 + ( + ) 4 ( + ) 3 ( + + ) = + + ( + ) ( + + ) : l exercice 30 ) la décomposition sur R ( + )( + 4) = et celle sur C ( + )( + 4) = 5i 6 ( i) + + 5i 6 ( + i) ) la décomposition sur R i ( i) + 4 7i ( + i) ( + ) 5 5 = 5 ( )+ 4 5 ( + ) ( + + ) et celle sur C avec a = i 3p ( + ) 5 5 = 5 ( )+ 4 5 ( + ) + a 5 ( j) + ā 5 ( j) : l exercice 3 )La décomposition en éléments simples sur C. On suppose k 6= 0 et on pose w = e ip k. Alors,w,w,...,w k, sont les racines de k, elle sont toutes simples d où la décomposition en éléments simples dans C de F = k = Âk j=0 a j w j et les coefficients a j se calculent par la formule a j = ( k ) 0 = = w j =w j kw j(k ) k Ainsi ) La décomposition en éléments simples sur R. F = k  j=0 k w j w j. i) Si k = n, on a pour j 6= 0 et j 6= n, w j 6= w n j et w j.w n j = w n =, d où le conjugué de w j est alors w n j, et en regroupant les pôles conjugués dans la décomposition en éléménts simples de F dans C on obtient : Remarque : a a + ā ā F = n w 0 w 0 + w n n n w n +  n j= w j w j + wn j w n j (a + ā) a = (a + ā) + a et (a + ā)=re(a). Si a = w j, alors Re(a)=cos( jp k ). w j D où w j + wn j w n j = Re(w j ) Re(w j ) + On en déduit la décomposition en éléments simples de F sur R :. F = n. + n n. + +  j= n. Re(w j ) Re(w j ) + = F = n. + n n. + +  j= n. cos( jp n ) cos( jp n ) +. ii) Si k = n +, on a pour j {,...,n}, w n+ en éléments simples de F sur R : j est le conjugué de w j, on obtient comme dans i), la décomposition

12 F = n n +. + Â j= n +. Re(w j ) Re(w j ) + = n n +. + Â j= n +. cos( jp n+ ) cos( jp n+ ) +. : l exercice = = = = + 3/4 + 3/ + 37/6 ( ) 3 (+) ( ) 3 ( ) 5. (3 i) 5+3i +i+ 6. (+i) = +i = +i i + 3i +i. i (+i) = / + p + + / p + = p 4 i p p + i = / + / = / + / ( +)( +4) = = /6 i + /6 +i 0. 3 ( +)( +4) = 4/ /3 +4 = 3 i i + 3 i /8 5/6 (+) +. /6 i p 4 i p p + + i 3 j + j /6 +i. +i + 7 i i + 7 i +i. p 4 i p + + p i + p 4 i p p. + i 3 j + j, où on a posé de façon standard j = + p 3 i. : l exercice 33 ) ) 4 3) : l exercice =( + )( 3 + ) 4 ( + ).. F(x)=ln p x arctanx + x + 3x 3 x.