Exo7. Courbes planes. 1 Courbes d équation y = f (x) 2 Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes. Fiche de Léa Blanc-Centi.

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1 Eo7 Courbes planes Fiche de Léa Blanc-Centi. Courbes d équation = f () Eercice Représenter les courbes d équation cartésienne = f (), donner l équation de leur tangente au point d abscisse = et la position de la courbe par rapport à cette tangente, pour :. f () = sin + cos. f () = + ln( + e ) Correction Vidéo [698] Eercice. Donner une paramétrisation ((t),(t)) de la courbe d équation = en précisant le domaine de variation du paramètre t.. Montrer que le support de la courbe paramétrée par { (t) = cost + 3 (t) = sint (t R) ne peut pas être décrit par une équation de la forme = f (). 3. Montrer que le support de la courbe paramétrée par { (t) = cos t (t) = sin 4 t + 4sin t + 4 (t R) est le graphe d une fonction f que l on précisera, ainsi que son domaine de définition. Correction Vidéo [698] Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes Eercice 3 Étudier et tracer les courbes paramétrées suivantes : { (t) = cos. 3 t (t) = sin 3 (L astroïde) t { (t) = t tht. (t) = cht

2 3. Correction { (t) = t sint (t) = cost Vidéo (La ccloïde) [6983] Eercice 4 Soit C la courbe plane paramétrée par { (t) = t lnt (t) = lnt t (t ];+ [). Comparer les points de paramètres t et /t, en déduire un domaine d étude de C.. Représenter C. Correction Vidéo [6984] Eercice 5 Montrer que la courbe paramétrée (t) = t t (t) = t t possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. Correction Vidéo [6985] Eercice 6 Montrer que la courbe paramétrée (t) = t t + admet un unique point singulier, et tracer l allure de la courbe au voisinage de ce point. (t) = 4t 3 t + Indication Correction Vidéo [6986] Eercice 7 On considère la courbe paramétrée définie par (t) = t + 4 t (t) = t t+. Dresser le tableau de variations conjointes de et.. Calculer les tangentes horizontales, verticales et les asmptotes. 3. Trouver le point singulier de la courbe, étudier son tpe et écrire l équation de la tangente à la courbe en ces points. 4. Tracer la courbe. Correction Vidéo [6987] Eercice 8 Trouver les droites à la fois tangentes et orthogonales à la courbe { (t) = 3t (t) = 4t 3 Correction Vidéo [6988]

3 3 Courbes en polaires Eercice 9 Étudier les courbes d équations polaires suivantes :. r(θ) = pour θ ], π tan(θ) 4 [. r(θ) = sin θ cosθ pour θ ] π, π [ (La cissoïde droite) 3. r(θ) = cos(θ) (La lemniscate de Bernoulli) Correction Vidéo [6989] Eercice On considère les courbes C et C (des limaçons de Pascal) respectivement données en polaires par r (θ) = + cosθ r (θ) = 3 + cosθ Pour i =,, on note N i (θ) la droite orthogonale au point M i (θ) C i. Vérifier que pour tout θ [π], les droites N (θ) et N (θ) sont sécantes, en un point P(θ). Déterminer le lieu du point P quand θ varie. Indication Correction Vidéo [699] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7.emath.fr 3

4 Indication pour l eercice 6 Un point M(t) est singulier si (t) = et (t) =. Indication pour l eercice Utiliser le repère de Frenet ( u θ, v θ ). 4

5 Correction de l eercice. Pour f () = sin + cos, le domaine de définition de f est R, et f est de classe C. On remarque que f est π-périodique et paire, il suffit donc de faire l étude de f sur l intervalle [;π]. Variations de f Pour [;π], f () = sincos sin = sin(cos ) et donc f () = si et seulement si {; π 3 ;π}. Comme sin > si ];π[, pour étudier le signe de f (), il suffit d étudier le signe de (cos ), et on obtient π 3 π f () f Tangentes horizontales Le graphe de f possède une tangente horizontale là où f s annule, c est-à-dire au points de coordonnées (,), ( π 3, 5 4 ) et (π, ). En particulier, la tangente au point d abscisse est horizontale et a pour équation =. Pour déterminer la position de la courbe par rapport à sa tangente en ce point, on étudie le signe de f () pour proche de : f () = sin + cos = cos + cos = cos( cos) Cette epression est positive au voisinage de (et même > pour proche de ). La courbe est donc au-dessus de sa tangente. Points particuliers Le graphe de f coupe l ae des abscisses entre et π en un unique point, qu on détermine en résolvant f () = cos + cos = X X = (X = cos) ce qui donne deu solutions pour X, mais une seule dans [ ;] : X = 5 et donc = arccos( 5 ). Le graphe de f est obtenu sur [ π;π] par smétrie par rapport à l ae des ordonnées, puis sur R par π-périodicité. π π 3 = sin + cos. Pour f () = + ln( + e ), le domaine de définition de f est R et f est de classe C. Variations de f Comme f () = + e +e, pour tout, f () >. En particulier f est strictement croissante sur R. Allure du graphe en + On a f () + et + f () = + ln( e (e + ) ) 5 = + + ln(e + ) +

6 puis f () = ln(e + ) +. Ainsi le graphe de f a en + une asmptote, d équation + =, et reste au-dessus de cette asmptote. Allure du graphe en On a f () et f () = + ln( + e ) puis f () = ln(+e ) +. Ainsi le graphe de f a en une asmptote, d équation =, et reste au-dessus de cette asmptote. Tangente au point d abscisse L équation de la tangente au graphe de f au point d abscisse, et la position du graphe par rapport à cette tangente, peuvent être obtenues simultanément à partir du développement limité de f en. Pour l équation de la tangente, un développement limité à l ordre suffit, mais pour avoir la position il faut pousser le développement limité à l ordre (ou à l ordre 3 si le terme d ordre est nul, ou plus encore...) : ( f () = + ln( + e ) = + ln ) + o( ) ( = + ln + ln + + ) 4 + o( ) ( = + ln + + ) 4 ( + ) 4 + o( ) = ln o( ) L équation de la tangente au point d abscisse (donnée par le DL à l ordre ) est donc = ln + 3 De plus, f () ( ln + 3 ) = 8 + o( ) = 8 ( + o()) où o() est un terme qui tend vers quand. Ainsi ( + o()) a le même signe que pour proche de, et f () ( ln + 3 ) est positif au voisinage de : la courbe reste localement au-dessus de sa tangente. = + ln( + e ) = = ln + 3 ln = Correction de l eercice. Pour transformer une équation cartésienne = f () en paramétrisation, il suffit de poser = t et = f (t), en faisant décrire au paramètre t le domaine de définition de f. Ici, f () = est bien 6

7 définie pour les R tels que i.e. [ 4; ]. On obtient donc la paramétrisation suivante : { (t) = t (t) = t (t [ 4;]) 3t + 4 ce qui signifie (,) C { [ 4;] = { (t) = t t [ 4;] (t) = t 3t + 4 où C est la courbe étudiée. = S il est toujours possible de représenter le graphe d une fonction comme une courbe paramétrée, la réciproque n est pas vraie. Ici, la courbe considérée est le cercle de raon centré au point (3,). Ce n est donc pas un graphe de fonction, puisque plusieurs points de la courbe ont la même abscisse : connaître ne donne pas! Par eemple, pour t = ± π, on obtient les deu points de la courbe (3, ) et (3,+). (3, +) (cost + 3,sint) 3 (3, ) 3. On constate, en utilisant la formule sin t = cos t = (t), que (t) = sin 4 t + 4sin t + 4 = ( (t)) + 4( (t)) + 4 = (t) (t) + = ((t) ) Ainsi les points (,) de la courbe vérifient l équation = ( ). De plus, lorsque le paramètre t décrit R, (t) = cos t décrit l intervalle [ ; ]. Finalement, { (t) = cos (,) C t R t (t) = sin 4 t + 4sin t + 4 { [ ; ] = ( ) 7

8 et la courbe est donc le graphe de la fonction f : [ ; ] R ( ) = ( ) Correction de l eercice 3. Les epressions (t) = cos 3 t et (t) = sin 3 t sont bien définies pour tout t R. Réduction de l intervalle d étude Les fonctions et étant π-périodiques, il suffit de restreindre l étude à un intervalle de longueur π pour obtenir l intégralité du support de la courbe. La fonction est paire, la fonction est impaire : on fait donc l étude sur [;π], puis la courbe complète sera obtenue par smétrie par rapport à l ae (O). On constate que (π t) = (t) et que (π t) = (t), par conséquent les points M( π t) et M( π + t) sont smétriques par rapport à l ae (O) : on restreint donc l étude à [; π ], puis on complète par smétrie par rapport à (O). Finalement, on fait l étude sur [; π ] puis on complète en utilisant successivement les smétries par rapport à (O) et (O). Tableau de variations conjointes Les fonctions et sont de classe C. Soit t [; π ] : (t) = cos 3 t (t) = sin 3 t (t) = 3sint cos t (t) = 3cost sin t (t) < t ]; π [ (t) = t {; π } (t) > t ]; π [ (t) = t {; π } π t (t) (t) + Cela signifie que lorsque t varie de à π la courbe va vers la gauche (car (t) décroît) en montant (car (t) croît) du point (,) à (,). 8

9 Points particuliers M( π 6 ) = ( 3 3 8, ) ( 8 = (.64...,.5) ; la tangente est dirigée par ( π 6 ), ( π 6 )) = ( 9 8, 3 ) 3 8 = (.5,.64...). M( π 4 ) = ( 4, ) ( 4 = (.35...,.35...) ; la tangente est dirigée par ( π 4 ), ( π 4 )) = ( 3 4, 3 ) 4 = (.6...,.6...). M( π 3 ) = ( 8, 3 ) ( 3 8 = (.5,.64...) ; la tangente est dirigée par ( π 3 ), ( π 3 )) = ( 3 3 8, 9 8) = (.64...,.5). Étude des points singuliers Le point M(t) est singulier si (t) = (t) =, ce qui est le cas dans le domaine d étude [; π ] uniquement pour t = et t = π. Pour déterminer la tangente au point M() (de coordonnées cartésiennes (,)), on étudie la limite en de (t) () (t) () = sin3 t cos 3 t Or sin 3 t t 3 et cos 3 t = ( t + o(t )) 3 3 t, donc le quotient est équivalent à 3 t et tend vers en. Ainsi, C admet au point M() une tangente, de pente nulle c est-à-dire horizontale. M( π ) M( π 3 ) M( π 4 ) M( π 6 ) M(). Les epressions (t) = t tht et (t) = cht sont bien définies pour tout t R. Réduction du domaine d étude Comme est impaire et paire, on restreint l étude à R + puis on complète par smétrie par rapport à l ae (O). Tableau de variations conjointes Les fonctions et sont de classe C. Pour t R + : (t) = t tht (t) = cht (t) = th t (t) = sht ch t (t) > t > (t) < t > (t) = t = (t) = t = 9

10 t + (t) + + (t) Cela signifie que le courbe va vers la droite et vers le bas lorsque t va de à +. Étude des points singuliers (t) () Le seul point singulier est M(), or (t) () = cht t cht sht et et par conséquent (t) () cht t cht sht = t / + o(t ) t( +t / + o(t )) (t +t 3 /6 + o(t 3 )) (t) () t + t / t 3 /3. Ainsi C possède une tangente verticale au point M() de coordonnées cartésiennes (,). Étude des branches infinies Comme (t) + et (t), l ae des abscisses est asmptote à C. t + t + M() 3. Les epressions (t) = t sint et (t) = cost sont bien définies pour t R. Réduction du domaine d étude On remarque que (t + π) = π + (t) et (t + π) = (t) : le point M(t + π) se déduit de M(t) par translation de vecteur π i. Il suffit donc d étudier la courbe sur l intervalle [ π;π]. La fonction étant impaire et paire, on restreint l étude à [;π] puis on complète par smétrie par rapport à l ae (O). Finalement, on fait l étude sur [; π] puis on complète en utilisant successivement la smétrie par rapport à (O), puis des translations successives de vecteur π i. Tableau de variations conjointes Les fonctions et sont de classe C. Soit t [;π] : (t) = t sint (t) = cost (t) > t > (t) = t = (t) = cost (t) = sint (t) > < t < π (t) = t {;π} t π (t) + π (t) +

11 La courbe va vers la droite en montant lorsque t varie de à π. Étude des points singuliers Le point M(), qui est l origine, est singulier. Pour étudier l eistence d une tangente en ce point, on considère (t) () (t) () = cost t / t sint t 3 /6 et donc (t) () point M(). (t) () t + +. Par conséquent, la courbe possède une tangente de pente verticale au M( π) M(π) M() M(π) Correction de l eercice 4. Soit t > : ( t ) = t ln( t ) = (t) ( t ) = t ln( t ) = (t) et par conséquent, le point M( t ) est le smétrique de M(t) par rapport à la droite d équation =. On restreint l étude à l intervalle ]; ], puis on obtiendra l intégralité de la courbe par smétrie par rapport à la seconde bissectrice.. Les fonctions et sont de classe C sur ];]. Tableau de variations conjointes Pour t ];] : (t) = t lnt (t) = + lnt (t) = lnt t (t) = lnt t (t) > t > /e (t) > (t) = t = /e (t) puisque e < < e. On obtient donc le tableau suivant : t /e (t) + /e e (t) + + e + Il n a pas de point singulier. Étude des branches infinies Comme (t) et (t), l ae des ordonnées est asmptote à C. t + t +

12 M(/e) Correction de l eercice 5 Les epressions (t) = et (t) = t t t t sont bien définies, et de classe C en dehors de t = et t = ±. Le domaine de définition est donc D =] ; [ ] ;[ ];[ ];+ [ La courbe possède un point double si elle se recoupe : on cherche donc deu paramètres t,t D tels que t t et M = M(t ) = M(t ), i.e. t t = t t t t = t t { t t = t t t (t ) t (t ) = { (t t )(t +t ) = (t t )(t t + ) = { t +t Comme on cherche t t, le sstème obtenu est équivalent à =, autrement dit à un sstème du t t = tpe somme-produit : cela signifie que t et t doivent être les deu racines (distinctes) de X X, c est-àdire ± 5 (qui sont bien dans D). On a donc un seul point double, c est ( + ) ( 5 ) 5 M = M de coordonnées cartésiennes (,). Pour déterminer les tangentes en ce point, on calcule le vecteur dérivé : (t) = t (t t) V (t) = (t) = t (t ) En remplaçant, on obtient V (t ) = ( ) ( ) (t ) 5 = (t ) 5 5 et V (t ) = ( ) ( (t ) ) 5 = (t ) 5+ 5 Les deu tangentes à la courbe au point de coordonnées (, ) sont donc dirigées respectivement par les vecteurs V (t ) et V (t ), dont on vérifie en faisant le produit scalaire V V = (t ) (t ) + (t ) (t ) = qu ils sont orthogonau.

13 M Correction de l eercice 6 Les fonctions et sont de classe C sur R. Un point M(t) de la courbe est singulier si (t) = (t) =, or (t) = 4(t +) t(4t 3) = (t 3t ) (t +) (t +) (t) = (t +) t(t ) = (t t ) (t +) (t +) { t Ainsi M(t) est singulier si et seulement si 3t = t. Ce sstème admet une unique solution t =, t = correspondant au point M() de coordonnées (, ). Le vecteur dérivé est nul au point M() ; pour obtenir l allure de la courbe au voisinage de ce point, il faut donc effectuer un développement limité à un ordre assez grand pour trouver deu termes non constants non nuls. Ici l ordre 3 suffira, on pose t = + h pour simplifier (ainsi t proche de devient h proche de ) : 4( + h) 3 ( + h) = ( + h) + = 5 + 4h 5 + 4h + h = 5 h + 4h+h 5 = ( ( ) ( )) 4h + h 4h + h 5 h + o 5 5 = 5 h ( 45 ) h + o(h) = 5 h h3 + o(h 3 ) ( + h) ( + h) = ( + h) + = 3 + h 6 + 4h + h = h + 4h+h 6 = ( ( ) ( )) 4h + h 4h + h h + o 6 6 = h ( 3 ) h + o(h) = h + 8 h3 + o(h 3 ) 3

14 On a donc le développement limité vectoriel suivant : ) + M( + h) = ( ( 5 ) ( 4 ) h + 5 h 3 + o(h 3 ) 8 ( ) () On vérifie que le terme constant du développement limité correspond bien à et que le terme linéaire, () ( qui vaut ) () h, est nul. Les coefficients de h () et h 3 sont des vecteurs non nuls, M() est donc un point de rebroussement de première espèce (p =, q = 3). La tangente est dirigée par le premier vecteur non nul, coefficient de h k (avec k ), donc ici le coefficient de h ; ainsi la tangente en M() est dirigée par ( 5 ). M() Correction de l eercice 7 Les epressions (t) = t + 4 t et (t) = t t+ sont bien définies pour t D = R \ { ;}.. Les fonctions et sont de classe C sur D. Soit t D : (t) = t + 4 t (t) = t t+ (t) = 4 (t) = t 3 3 (t+) (t) > t > (t) > t + > 3 (t) = t { ;} (t) = t { 4;} t > ou t < 4 t 4 + (t) (t) + +. Le tableau de variations conjointes indique : t = 4 : tangente horizontale, au point de coordonnées ( 5, 3 ) ; t = : tangente verticale, au point de coordonnées ( 4, 5 3 ) ; 4

15 t = : une asmptote verticale, d équation = 5 ; t = : une asmptote horizontale, d équation = 5 ; t = : il a un point singulier en (4, 3 ) (voir après). Il reste à étudier le comportement quand t ± : (t) (t) = t3 + 6t + 6t 3(t 3 +t + 4t + 4) t ± 3 puis (t) 3(t). La courbe a donc pour asmptote, quand t et quand t +, la même t ± droite d équation = On constate sur le tableau de variation qu il n a qu un seul point singulier, correspondant au paramètre t =. Pour connaître l allure de la courbe au voisinage du point M(), on fait un développement limité de et au voisinage de t =. Comme ici et sont de classe C et d epressions assez simples, on peut directement appliquer la formule de Talor-Young : { (t) = () + () (t ) + () (t ) + 6 () (t ) 3 + o((t ) 3 ) (t) = () + () (t ) + () (t ) + 6 () (t ) 3 + o((t ) 3 ) On sait déjà que () = 4, () = 3 et () = () =. De plus (t) = 8, (t) = 4 et (t) = t 3 t 4 6, (t) = 8, ce qui donne (t+) 3 (t+) 4 M(t) = ( 4 3 ) ( ) + (t ) + 9 ( ) 4 (t ) 3 + o((t ) 3 ) 7 C est un point de rebroussement de première espèce. L équation (sous forme paramétrée) de la tangente T M() s obtient en tronquant le développement limité : ( ) T M() λ R, ( ) ( ) 4 = 3 En éliminant le paramètre λ, on récupère une équation cartésienne + ( 9 T M() : = ( 4) = ) λ 5

16 = 5 = 5 M() = 3 + M( 4) M( ) Correction de l eercice 8. Commençons par trouver le vecteur tangent à la courbe au point M(t). Les fonctions et sont de classe C sur R, et ( (t) = ) 6t, (t) = t. Si t, le vecteur tangent à la courbe au point M(t) est donc le 6 vecteur dérivé. Si t =, le vecteur dérivé est nul et il faut dériver encore une fois pour obtenir t ( un vecteur non nul ) ( ) () 6 =, qui est donc un vecteur directeur de la tangente au point M(). () Finalement, pour tout t, la tangente au point M(t) est dirigée par le vecteur ( ) 6 V = t. Une droite D est tangente à C s il eiste t R tel que M(t) D et V (t) soit un vecteur directeur de D. Une droite D est orthogonale à C s il eiste t R tel que M(t ) D et V (t ) soit un vecteur orthogonal à la droite D. 3. On cherche donc à quelle condition V (t) et V (t ) sont orthogonau : V (t) V (t ) = tt = tt = 4 ce qui eclut le paramètre t =. 4. Soit donc t, et T (t) la tangente à C en M(t) : T (t) = { M(t) + λ V (t) λ R } = {( ) λ R, En éliminant λ, on trouve que T (t) a pour équation cartésienne = 4t 3 + t( 3t ) = t t 3 = 3t + 6λ = 4t 3 + λt } 6

17 5. On sait déjà que T (t) et T ( 4t ) sont perpendiculaires. Il reste à voir si T (t) coupe bien C au point M( 4t ) : ( M ) ( T (t) 4 ) 3 ( = t 3 ) t 3 4t 4t 4t 3t 6 6t = X = t et X X 3 = L étude des variations du polnôme X X 3 montre qu il admet 4 comme racine (double), il se factorise donc sous la forme X X 3 = (X + 4 ) (X ) et sa seule racine positive est : ( M ) { T (t) X = t et X 4t 4 ; } t = t = ± 6. Ainsi T ( ) et T ( ) sont les seules droites à la fois tangentes et orthogonales à C : La droite T ( ) : = est tangente au point M( ) et orthogonale au point M( /(4 )). La droite T ( ) : = + est tangente au point M( ) et orthogonale au point M(/(4 )). M(+ ) M( /(4 )) M(/(4 )) M( ) Correction de l eercice 9. L epression r(θ) = est bien définie sur D =], π tan(θ) 4 [ (il faut tan(θ) bien défini et strictement positif). Passages par l origine Puisque r ne s annule pas, la courbe ne passe pas par l origine. Mais elle admet l origine pour point limite : r(θ) +. θ π 4 7

18 Variations et signe de la fonction r La fonction r est strictement décroissante, et strictement positive, sur ]; π 4 [ : π θ 4 + r Cela signifie que la courbe tourne (dans le sens trigonométrique) en se rapprochant de l origine. Tangente à l origine Le point M( π 4 ) est à l origine : la tangente en ce point est donc dirigée par u π, c est la première 4 bissectrice. Étude des branches infinies Lorsque θ tend vers, r(θ) tend vers + : il a donc une branche infinie. Pour étudier sa nature, passons en coordonnées cartésiennes : (θ) = (θ) = cosθ tan(θ) θ + + sinθ tan(θ) + θ θ Ainsi (θ) θ + +, (θ) : la droite d équation = est asmptote horizontale. θ + θ = π L epression r(θ) = sin θ cosθ est bien définie sur D =] π, π [. Réduction du domaine d étude Comme r est paire, il suffit en fait de faire l étude pour les θ >, donc sur [; π [, puis de compléter par réfleion d ae (O), en effet M( θ) = s (O) (M(θ)). On se restreint donc dans la suite à θ [, π [, puis on obtient la courbe complète par réfleion d ae (O). Passages par l origine La courbe passe par l origine si r s annule : pour θ [, π [, r(θ) = θ = Variations et signe de la fonction r La fonction r est strictement croissante sur ], π [, strictement positive sur ], π ] et s annule en : π θ + r Ainsi la courbe tourne en s éloignant de l origine. Tangente à l origine La courbe passe par l origine en θ =. Par conséquent, la tangente en O = M () est la droite passant par O et d angle polaire, c est-à-dire l ae (O). 8

19 Étude des branches infinies Lorsque θ tend vers π, r(θ) tend vers + : il a donc une branche infinie. Pour étudier sa nature, passons en coordonnées cartésiennes : (θ) = sin θ θ π (θ) = sin3 θ cosθ + Ainsi la droite d équation = est asmptote verticale. θ π 3 = θ = L epression r(θ) = cos(θ) est bien définie si cos(θ) est positif, i.e. sur D = k Z[ π 4 + kπ; π 4 + kπ]. Réduction du domaine d étude La fonction r est π-périodique : on l étudie sur un intervalle de longueur π, par eemple [ π ; π ] D = [ π 4 ; π 4 ], puis on complète par rotation d angle π. De plus r est paire : θ D θ D, et pour θ D on a M( θ) = [r( θ) : θ] = [r(θ) : θ] = s (O) (M(θ)) Finalement, on étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ [, π 4 ], puis on obtient la courbe complète d abord par réfleion d ae (O), puis par rotation d angle π (smétrie centrale par rapport à l origine). Passages par l origine La courbe passe par l origine si r s annule : pour θ [, π 4 ], r(θ) = θ = π 4 9

20 Variations et signe de la fonction r La fonction r est strictement décroissante sur [, π 4 ], strictement positive sur ], π 4 ] et s annule en π 4 : π θ 4 r Ainsi la courbe tourne en se rapprochant de l origine. Tangentes La courbe passe par l origine en θ = π 4, et donc la tangente en M ( ) π 4 est la droite passant par O et d angle polaire π 4 c est-à-dire la première bissectrice. En θ =, r() = (et r () = ) et la tangente est dirigée par le vecteur M θ () = r () u + r() v = v = j et la tangente à la courbe au point M() de coordonnées cartésiennes (,) est donc verticale. θ = π 4 θ = Correction de l eercice Les deu équations sont π-périodiques en θ, soit donc θ [;π[, cherchons pour chaque courbe le vecteur tangent au point M i (θ). Déjà, C ne passe pas par le pôle mais C oui, pour θ = π : elle a donc en M (π) une tangente horizontale (dirigée par le vecteur u π ) et N (π) est l ae (O). Dans tous les autres cas, la tangente à C i au point M i (θ) est dirigée par le vecteur OMi θ (θ) = r (θ) u θ + r(θ) v θ = sinθ u θ + (a i + cosθ) v θ où a =,a = 3. Le vecteur directeur de N i (θ) est donc n i (θ) := (a i + cosθ) u θ + sinθ v θ et M N i (θ) t R OM = OM i (θ) +t n i (θ). Finalement, θ π, N i (θ) = { ( +t)(a i + cosθ) u θ +t sinθ v θ t R } et le résultat s étend au cas θ = π pour i =. Si θ = π, N (π) = (O) et N (π) = {( +t) u π t R} = (O), ces deu droites s intersectent en O. Si θ π, N (θ) et N (θ) sont sécantes si et seulement si les vecteurs n (θ) et n (θ) ne sont pas + cosθ 3 + cosθ colinéaires, c est-à-dire si et seulement si i.e. sinθ. Ainsi, pour θ, sinθ sinθ les droites N (θ) et N (θ) sont sécantes en un point P(θ), que l on peut déterminer : ( +t )( + cosθ) u θ +t sinθ v θ = ( +t )(3 + cosθ) u θ +t sinθ v { θ ( +t )( + cosθ) = ( +t )(3 + cosθ) t sinθ = t sinθ { t = t = t

21 puisqu ici sinθ. On obtient alors OP(θ) = sinθ v θ. La formule donnant P(θ) pour θ π est en fait encore valable en θ = π puisqu on retrouve dans ce cas P(π) = O. En coordonnées cartésiennes, on a donc θ ];π[, P(θ) = (sin θ, sinθ cosθ) Remarquons que (sin θ, sinθ cosθ) = = ( cos(θ), ) sin(θ) ( ), ( ) cos(θ),sin(θ) Lorsque θ décrit ];π[, θ décrit ];4π[ et ( cos(θ),sin(θ) ) décrit (deu fois, sauf en (,) où l on ne passe qu une fois) le cercle unité. Par conséquent {P(θ) θ ];π[} est le cercle de centre (,) et de raon. 3 M (θ) M (θ) P(θ) C - C -3