TS spé Exercices sur multiples et diviseurs

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1 TS spé Exercices sur multiples et diviseurs 1 1 ) Le nombre 11 est-il un multiple de 117? ) Sans calcul, ni calculatrice, expliquer prquoi n est pas divisible par 1 1. En remarquant que tt entier naturel pair peut s écrire n p avec p entier naturel, démontrer que si n est un entier naturel pair, alors le nombre 0 n n est divisible par 8. Note : Les nombres parfaits sont rares, il n en existe que trois inférieurs à 1000 qui sont 6, 8 et 496. n n 7 15 n n Vérifier que pr tt entier relatif n on a : n n 6 Déterminer les entiers relatifs n tels que soit un entier. n 16 Démontrer par récurrence que pr tt entier naturel n, 4 est un multiple de 5. n n Déterminer ts les cples x, y d entiers relatifs tels que xy 5. 4 xyz désigne le nombre entier formé des chiffres x, y et z. x est le chiffre des centaines, y celui des dizaines, z celui des unités. On a donc xyz x10 y 10 z. Exemple : (décomposition en base 10 de 4). 1 ) Soit a un entier naturel compris entre 0 et 9 (au sens large). Écrire la décomposition en base 10 du nombre 1a5a en fonction de a et réduire le résultat. ) Les nombres de la forme a0a où a est un entier compris entre 1 et 9 au sens large sont ts divisibles par un entier naturel autre que 1 qui ne dépend pas de a. Lequel? 5 Jonathan tape trois fois le même chiffre à l écran de sa calculatrice. 1 ) Démontrer que le nombre obtenu est un multiple de 111. ) Est-ce un multiple de 7? 6 Déterminer les entiers relatifs n qui divisent n 1. 7 Déterminer les entiers relatifs n tels que n 4 divise n 6. 8 Déterminer les entiers relatifs n tels que n 7 divise Déterminer l ensemble des cples x, y d entiers relatifs tels que x y Pr quelles valeurs de l entier naturel n le nombre 14n 8 est-il divisible par n 5? 11 Pr quelles valeurs de l entier naturel n le nombre n 1 Déterminer les entiers relatifs n tels que n 4 divise n 4. 1 Soit x et y deux entiers naturels tels que x y. 1 ) Démontrer que si x n 1 est-il divisible par n 1? y 7, alors x y et x y sont des diviseurs de 7. ) Déterminer les entiers naturels x et y tels que x 14 Nombres parfaits y 7. Un nombre entier naturel est dit parfait s il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même. Vérifier que 6 et 8 sont des nombres parfaits. Ce sont les seuls nombres parfaits inférieurs à 100.

2 1 Corrigé n est pas divisible par 1 1 car 1 1 est pair et pas Version Joséphine Brami (le ) : 1 ) Déterminons si le nombre Avec calculatrice : 11 est un multiple de donc On en déduit que Sans calculatrice : 11 est un multiple de (on factorise D après cette dernière égalité, Autre méthode : 11 est un multiple de et propriété du crs a Autre méthode due à Théo Spriet (élève de TS1) le : On peut écrire n n b est divisible par a b. 11 ) d après la relation fondamentale de l algèbre. Cependant, cette dernière égalité ne permet pas de conclure directement. 1 ) ) divise 11. Donc si était un multiple de 11 alors diviserait Or ce n est pas le cas. Démontrons que si n est un entier naturel pair, alors le nombre 0 Soit n un entier naturel pair. n peut s écrire n p avec p entier naturel. n n est divisible par 8. Il est indispensable de définir p avant d effectuer le calcul qui suit. Dans un calcul, on ne peut pas utiliser une lettre qui n a pas été présentée auparavant. ) Expliquons prquoi n est pas divisible par n n p p p p 1 1 On effectue un raisonnement par l absurde (d où l emploi du conditionnel). Si 1 1 divisait 75 47, alors par transitivité, diviserait ce qui est faux. Donc n est pas divisible par 1 1. Autre raisonnement : 1 1 est un nombre pair donc si un nombre est divisible par 1 1, alors ce nombre est pair. Or est impair donc n est pas divisible par 1 1. Autre formulation de ce raisonnement due à Théo Spriet (élève de TS1) le : Autre formulation de ce raisonnement due à Théo Spriet (élève de TS1) le : n n p p p p p p Je sors le 8 n n 0 est divisible par 8. Donc Or p donc Ainsi 8 0 n n. p 5p. Il est important de préciser que p 5p est un entier naturel. En effet, d après la définition du crs, a b signifie que b a q avec q.

3 Version Joséphine Brami (le ) : n n 0 p p 0 n n p p n n p p n n p p Donc 0 n n est divisible par 8. Déterminons ts les cples (x ; y) d entiers relatifs tels que xy 5 (1). Il faut rédiger un minimum avant de donner les cples. Les diviseurs de 5 sont : 1 ; 5 ; 1 ; 5. L égalité (1) exprime que x et y sont des diviseurs associés de 5. Les cples cherchés sont (5 ; 1), (1 ; 5), ( 1 ; 5), ( 5 ; 1). 4 On prrait noter 4 en système décimal mais on ne le fait pas d ordinaire. La barre ne veut pas dire «contraire». L écriture xyz désigne le nombre formé des chiffres x, y, z (x : chiffres des centaines, y : chiffres des dizaines, z : chiffre des unités). La barre sert à ne pas confondre avec le produit xyz. 1 ) Écrivons le nombre 1a5a en fonction de a. On utilise la décomposition en base 10 du nombre : 1a5a 110 a a 1a5a a Ancienne version : 1a5a a 510 a a Version de Joséphine Brami ( ) : Comme a, cette dernière égalité prve que le nombre a0a est divisible par 101. Ancienne version : On a : a0a a 010 a a. Comme a, cette dernière égalité prve que le nombre a0a est divisible par 101. Version de Joséphine Brami ( ) : a0a 101a Donc 101 a0a 101a 5 Soit x le chiffre tapé ( x et 0 x 9 ). N xxx 1 ) Démontrons que 111 est un diviseur de N. On a : N 100x 10x x 111x. x donc 111 N. ) Démontrons que 7 est un diviseur de N. On a : donc Or 111 N donc par transitivité de la divisibilité, 7 N. Donc 7 est un diviseur de 111. Version de Joséphine Brami ( ) : Soit a le chiffre tapé. 1 ) aaa 100a 10a a aaa 111a ) et 111 aaa donc 7 aaa. 1a5a 1000 a a 1a5a a ) Démontrons que ts les nombres de la forme a0a sont divisibles par un entier naturel autre que 1. a0a a a. a0a 101 a

4 6 Déterminons les entiers relatifs n qui divisent n 1. Il y a méthodes pr résdre cet exercice. Il est demandé d étudier et de noter ces méthodes. Méthode 1 : Utilisation de la propriété des combinaisons linéaires à coefficients entiers Avec cette méthode, la résolution de cet exercice s effectue en deux parties. Si on dit que n divise la somme c est-à-dire n 1, cela ne conduirait à rien. Le but c est que les n s annulent. Méthode : Utilisation du lemme a bc d Soit a, b, c, d quatre entiers relatifs tels que a bc d. b divise a b divise d. raisonnement déductif (on cherche les valeurs possibles de n) e partie : vérification (on examine si chacune des valeurs convient) Avec cette méthode, la résolution de cet exercice s effectue par équivalences. Il n y a pas de vérification à effectuer d où l efficacité de cette méthode. Soit n un entier relatif tel que n n 1. n n et n n 1 donc n divise tte combinaison linéaire de n et de n 1 à coefficients entiers relatifs. En particulier, n divise la différence de ces deux nombres. n n 1 n donc n 1. Les diviseurs de 1 sont 1 et 1. On a : n 1 n1 1. Cette égalité ne fait intervenir que des entiers relatifs. n n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 Les entiers naturels n cherchés sont 1 et 1. D. Si l on préfère, au lieu de faire une phrase, on peut écrire l égalité d ensembles : 1 1; 1 D où n 1 n 1. e partie : vérification obligatoire Réciproquement, on vérifie que ces deux valeurs conviennent. Si n 1, alors n 1. On a bien : 1. Si n 1, alors n 1 0. On a bien : 1 0. Méthode : Utilisation de la définition de a divise b Si n n 1, alors k tel que n 1 k n Par suite, n 1 n 1. On vérifie que ces deux valeurs conviennent. Les entiers naturels n cherchés sont 1 et 1. Version fausse (Josépine Brami le ) n n 1 n n 1 n n n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 donc 1 k 1 n d où n divise 1. Les entiers naturels n cherchés sont 1 et 1.

5 7 Déterminons les entiers n tels que n 4 n 6. Soit n un entier relatif tel que n 4 n 6. n 4 n 4 n 4 n 6 Donc n 4 divise tte combinaison linéaire de n 4 et n 6 à coefficients entiers. On applique la propriété du crs : e partie : vérification obligatoire Réciproquement, on vérifie aisément que ces valeurs conviennent. On regarde pr les différentes valeurs de n trvées si n 4 divise n 6. Pr n 1, n 4 1 et n 6 5. On a : 1 5. Donc cette valeur convient. Pr n 1, n 4 7 et n 6 7. On a : 7 7. Donc cette valeur convient. Pr n, n 4 et n 6 4. On a : 4. Donc cette valeur convient. Pr n 6, n 4 14 et n 6 0. On a : Donc cette valeur convient. Conclusion : Les entiers n cherchés sont 1, 1, et 6. On a raisonné d abord par implication dans un sens. On doit faire une vérification. (5) Propriété fondamentale Si a b et a c, alors a divise tte combinaison linéaire de b et c à coefficients entiers. Autrement dit, a b c où et sont des entiers quelconques. Ici, on applique la propriété avec a n 4, b n 6, 1,. Le choix de et a été fait pr annuler les n puisque n n En particulier, n + 4 n 6 n 4 c est-à-dire n Les diviseurs de 14 sont 1,, 7, 14, 1,, 7, Donc n 4 1 n 4 n 4 7 n 4 14 n 4 1 n 4 n 4 7 n D où n (1) n () n () n 10 (4) n 5 (5) n 6 (6) n 11 (7) n 18 (8) (1) donne n 1 () donne n 1 (6) donne n (8) donne n 6 Les équations (), (4), (5), (7) n ont pas de solutions dans. Les valeurs de n trvées sont 1, 1, et 6. On peut présenter les résultats dans un tableau comme ci-desss. n n 4 n 6 n 4 n (calcul inutile) V V 4 V 6 14 (calcul inutile) 0 V On ne peut pas utiliser le lemme a bc d pr résdre cet exercice par équivalences. Version Joséphine Brami (le ) un tt petit peu arrangée car Joséphine n avait pas donné de numéros aux différentes équations : n 4 1 (1) n 4 () n 4 7 () n 4 14 (4) n 4 1 (5) n 4 (6) n 4 7 (7) n 4 14 (8) (1) n 1 () n () n 1 (4) (5) 10 n 5 n

6 (6) n (7) 11 n (8) n 9 Déterminons l ensemble des cples x ; y d entiers relatifs tels que Les diviseurs de 10 sont 1,, 5, 10, 1,, 5, 10. L égalité (1) exprime que x et y 1 sont des diviseurs associés de 10. On en déduit que (x ; y) est solution de l un des systèmes suivants : x y 1 10 (1). 8 Déterminons les entiers relatifs n tels que n Les diviseurs de 15 sont 1,, 5, 15, 1,, 5, 15. x 1 y 1 10 x 10 y 1 1 x 1 x ; ; y 1 10 y 1 5 x 10 x 5 ; ; y 1 1 y 1 x ; y 1 5 x 5 ; y 1 Donc 1 n 7 1 n 7 n 7 5 n 7 15 n 7 1 n 7 n 7 5 n 7 15 n 6 n 4 n n 8 n 8 n 10 n 1 n Les cples cherchés sont donc : ( ; 9) ; (1 ; 11) ; (4 ; 4) ; (0 ; 6) ; (1 ; 0) ; ( 8 ; ) ; (7 ; 1) ; ( ; ). 10 Déterminons les entiers naturels n tels que n 5 14n 8. La résolution de cet exercice se fait en deux parties. Soit n un entier naturel tel que n 5 14n 8. On a : n 5 n 5 ; n 5 14n + 8. Donc n 5 divise tte combinaison linéaire de n 5 et 14n 8 à coefficients entiers. En particulier, 5 n 14n 5 14n 8 Les diviseurs positifs de 46 sont 1,,, 46. c est-à-dire n On écrit uniquement les diviseurs positifs de 46 car n donc n 5. Donc n 5 1 n 5 n 5 n 5 46 D où n 4 (1) n () n 18 () n 41 (4). Les équations (1), (), (4) n ont pas de solutions dans. Les entiers n cherchés sont : 6, 4,, 8, 8, 10, 1,. La seule valeur possible de n est 6.

7 e partie : vérification obligatoire Réciproquement, on vérifie que cette valeur convient : 6 5 ; ; on a 9. Conclusion : L entier n cherché est Déterminons les entiers naturels n tels que le nombre n n 1 soit divisible par n 1. Méthode 1 : Utilisation de la propriété des combinaisons linéaires à coefficients entiers Soit n un entier naturel tel que On a : n n n n n n 1 n 1 n n (égalité à trver soi-même). Ce type d égalité ne porte pas de nom. C est une transformation d écriture. Donc n 1 divise tte combinaison linéaire de En particulier, 1 n n n 1 n 1n 4 c est-à-dire 5. n n 1 et de n 1 à coefficients entiers. Donc n 1 1 n 1 5 n 1 1 n 1 5 soit n n 6 n 0 n 4 e partie : vérification Pr n, on a : 1 11 et 1 1. Or 11 est divisible par 1 donc n convient. Pr n = 6, on a : et Or 55 est divisible par 5 donc n 6 convient. Pr n 0, on a : et n 1 1. Or 1 est divisible par 1 donc n 0 convient. Les valeurs possibles de n sont : 0 ; ; 6. Méthode : Utilisation du lemme a bc d On a : n n n n Cette égalité ne fait intervenir que des entiers relatifs. n n 1 n 1 5 n n 1 n 1 1 n 1 5 n 1 1 n 1 5 n n 1 n n 6 n 0 n 4 (impossible car n est un entier naturel) Les entiers n cherchés sont 0, et 6. On applique la propriété du crs : a n 1 ; b n n On choisit : 1 Si a b et a c, alors a b + c où et sont des entiers quelconques. 1 ; c n 1 et n 4 Les diviseurs de 5 sont 1, 5, 1, 5. (pr trver ces valeurs, on doit chercher un peu ). On écrit les diviseurs de 5 positifs et négatifs car n donc n 1 (à cause du!). Ce n était pas le cas dans l exercice précédent. On peut même être plus précis en disant que n donc n 0 d où n 1 1 ce qui permet d éliminer d emblée 5. 1 Déterminons les entiers relatifs n tels que n 4 n 4. Méthode 1 : Utilisation de la propriété des combinaisons linéaires à coefficients entiers Soit n un entier relatif tel que n 4 n 4. n 4 n 4 n 4 n 4 Donc n 4 divise tte combinaison linéaire de n 4 et de n 4 à coefficients entiers. En particulier, 4 n n 4 n 4 c est-à-dire n 4 6. Les diviseurs de 6 sont 1,,, 4, 6, 9, 1, 18, 6, 1,,, 4, 6, 9, 1, 18, 6. n 4 est donc égal à l un de ces nombres ce qui donne les valeurs suivantes de n : 5, 6, 7, 8, 10, 1, 16,, 40,,, 1, 0,, 5, 8, 14,.

8 e partie : On vérifie que chacune de ces valeurs convient. (I) x y 1 x y 7 Méthode : Utilisation du lemme a bc d On a : n n Cette égalité ne fait intervenir que des entiers relatifs. n 4 n 4 n 4 6 n 4 n 4. Méthode à finir soi-même. 1 Résolution d une équation diophantienne x ; y tel que x y 1 ) Démontrons que si x L égalité x y 7, alors x y et x + y sont des diviseurs de 7. y 7 s écrit x yx y 7 (1) après factorisation du premier membre. Les nombres x y et x y sont deux entiers naturels donc d après l égalité (1) ce sont des diviseurs associés de 7. ) Déterminons les entiers naturels x et y tels que x y 7. Ns savons que x et y sont des entiers naturels d où x y est un entier naturel. De plus, ns savons que x est strictement supérieur à y d où x y est un entier naturel. Par conséquent, ns cherchons D 7, l ensemble des diviseurs positifs de 7. 7 étant un nombre premier, ses diviseurs positifs sont 1 et 7. Ns avons x y x y. Comme ce sont deux diviseurs positifs associés de 7, ns pvons en déduire que x y 1 et x y 7. x y 1 Ns devons donc résdre le système suivant (I). x y 7 x y 1 ( y 1) y 7 x y 1 y x 4 y Le cple solution x ; y de (I) est (4 ; ). Vérification : On calcule x y pr x ; y 4 ;. x y 4 7 Les entiers naturels x et y cherchés sont respectivement 4 et. 14 Nombres parfaits Les diviseurs positifs de 6 sont : 1,,, 6. D 6 1 ; ; ; 6. On peut écrire l égalité d ensembles On a : 6 1 donc 6 est nombre parfait. Les diviseurs positifs de 8 sont : 1,, 4, 7, 14, 8. D 8 1 ; ; 4 ; 7 ; 14 ; 8. On peut écrire l égalité d ensembles On a : donc 8 est un nombre parfait. Contre-exemple : 0 n est pas un nombre parfait. Les diviseurs positifs de 0 sont : 1,,, 5, 6, 10, 15, 0. La somme des diviseurs stricts est égale à 4, ce qui est différent de 0. Pr 496, on utilise un logiciel de calcul formel un programme sur la calculatrice. D ; ; 4 ; 8 ; 16 ; 1 ; 6 ; 14 ; 48 ; 496 Pr information : Les cinq premiers nombres parfaits sont : 6 ; 8 ; 496 ; 8 18 et Aujrd hui on ne sait tjrs pas s il en existe des impairs Jadis les nombres parfaits étaient considérés comme au-dessus de ts les autres. On leur prêtait une dimension mystique, comme saint Augustin dans la Cité de Dieu (40 après Jésus-Christ) : «Six est un nombre parfait en lui-même, non parce que Dieu a créé tte chose en six jrs, mais Dieu a créé tte chose en six jrs parce que ce nombre est parfait».

9 Autre manière de rédiger : 15 Pr en savoir plus sur les nombres parfaits, faire une recherche sur Wikipedia. Vérifions que pr tt entier relatif n on a : n n 7 15 n 6n 7n 115 n n 6 n n 6 Déterminons les entiers n tels que soit un entier. n Méthode 1 : Utilisation de la propriété des combinaisons linéaires n \ n n 6 n Or est un entier signifie que n n n n 7 n 15. donc n n 6 Les diviseurs de 15 sont 1,, 5, 15, 1,, 5, 15. Il y a donc 8 cas : n 1 soit n n soit n 0 n 5 soit n n 15 soit n 1 n 1 soit n 4 n soit n 6 n 5 soit n 8 n 15 soit n 18 n n 7 15 n n 6. soit n n n 7 15 n divise la combinaison linéaire n n 7 15 n n 7 soit n 1 n n 5 n 15 n 1 n n 5 n 15 Pr ttes ces valeurs de n, n 15 et n n 7 15 c est-à-dire n n n 6. n n n 7 Ainsi, les valeurs possibles de n sont :, 0,, 1, 4, 6, 8, 18. Méthode : Utilisation du lemme a bc d On a : n n n n Cette égalité ne fait intervenir que des entiers relatifs. n n 1 n 1 5 n n 1 n 1 1 n 1 5 n 1 1 n 1 5 donc n divise la combinaison linéaire n n 1 n n 6 n 0 n 4 (impossible car n est un entier naturel) Les entiers n cherchés sont 0, et 6.