Masse suspendue à un ressort, une expérience revisitée.
|
|
- Adeline Fournier
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Masse suspendue à un ressort, une expériene revisitée. Un ressort vertial a une extrémité fixe O et une extrémité mobile à laquelle est arohée une masse pontuelle M se déplaçant vertialement selon Oz. On note L la longueur et µ la masse linéïque du ressort à vide. A l équilibre, le poids de la masse M tend le ressort et l on note z + ζ E (z la position de la spire qui, à vide (en l absene hypothétique de pesanteur, serait à la ote z. Si l on oupe par la pensée le ressort à e niveau, la partie supérieure exere sur la partie inférieure une fore dont le module est donné par la loi de Hooke à savoir : F = dζ E Question : Tenter de justifier ette loi, en inventant une loi d assoiation de ressorts en série. Considérons un ressort de longueur à vide l 0 et de raideur k ; par définition, sous l ation d une fore de module F, son allongement sera l = F/k. Plaçons bout à bout deux ressorts identiques et exerçons à l extrémité du seond une fore de module F. Puisque que le seond est à l équilibre, la somme des fores qui lui sont appliquées est nulle et don le premier exere sur le seond une fore opposée à elle de l opérateur ; il est don dans la situation préédente et son allongement est le même. L allongement total des deux ressorts bout à bout est alors l total = 2 l = 2 F/k Si l on définit une raideur équivalente par l total = F/k eq, on en déduit k eq = k/2 et omme par ailleurs la longueur à vide est devenue 2 l 0, on remarque que le produit de la longueur à vide par la raideur est la même pour un ressort et pour deux. Ce résultat se généralise aisément à un nombre quelonque de ressorts et permet d affirmer que k l 0 = Cte notée et d érire pour un ressort F = l/l 0 Appliquons e résultat à une tranhe de ressort qui, à vide, serait entre les otes z et z + et dont la longueur à vide serait l 0 =. A l équilibre les otes des extrémités seraient z + + ζ E (z + et z + ζ E (z, la longueur serait don la différene et en soustrayant la longueur à vide l allongement serait, à un développement de Taylor près : l = [(z + + ζ E (z + (z + ζ E (z] = ζ E (z + ζ E (z = dζ E d où F = l/l 0 = dζ E / CQFD. Question 2 : Déterminer la fontion ζ E (z. On pourra étudier l équilibre d une portion élémentaire de ressort puis exploiter les onditions aux limites. En déduire l allongement du ressort et omparer au résultat lassique.
2 Etudions la tranhe de ressort dont les otes à vide seraient, omme i-dessus, z et z +. Appelons F (z la tension du ressort au niveau de la spire de ote à vide z, indépendamment de sa position réelle, tension qui est donnée par la loi i-dessus, à savoir F (z = dζ E. La tranhe en question est soumise à la tension F (z + = dζ E vers le bas au niveau de l extrémité inférieure z+ à la tension F (z = dζ E vers le haut au niveau de l extrémité supérieure z au poids dm g = µ g vers le bas On a don, à l équilibre, ave un développement de Taylor : 0 = dζ E dζ E z+ + dm g = d2 ζ E + µ g (équation z 2 soit 0 = d2 ζ E 2 + µ g (équation 2 d où dζ E = µ g z + Cte pour l extrémité inférieure du ressort, orrespondant à z = L, la tension du ressort s oppose au poids de la masse M don F (L = M g et dζ E = M g/ e qui permet de déterminer la onstante d intégration L et dζ E d où = M g + µ g (L z Une seonde intégration ave ζ E (0 = 0 puisque l autre extrémité est fixe en z=0 donne ζ E (z = M g z µ g (L z2 2 l allongement du ressort est ζ E (L = M g L/ qui est le résultat lassique ar la raideur du ressort est /L Question 3 : On étudie désormais les vibrations du système et l on note z + ζ(z, t la position de la spire qui, à vide, serait à la ote z. Trouver une équation différentielle verifiée par ζ(z, t. Est-e une équation de d Alembert? On note f(z, t = ζ(z, t ζ E (z ; montrer que f(z, t vérifie une équation de d Alembert. Si vous lisez et exerie après le ours de méanique des fluides, il s agit ii d un point de vue lagrangien ar on suit une spire donnée et repérée par sa position initiale.
3 On reprend le raisonnement qui mène à l équation à ei près que le bilan n est pas nul mais est égal au produit de la masse par l aélération, d où : µ 2 ζ t 2 = ζ z ζ z+ z + µ g = 2 ζ E + µ g (équation 3 z z2 soit µ d 2 ζ dt 2 = 2 ζ z 2 + µ g (équation 4 qui n est pas une équation de d Alembert à ause de la présene d un terme onstant. Si l on retranhe l équation 2 à l équation 4, en notant f(z, t = ζ(z, t ζ E (z, on tire aisément : µ 2 f t 2 = 2 f z 2 qui en est une. Notons au passage la démarhe lassique 2 onsistant à retranher la solution du problème à l équilibre à elle du problème en mouvement. La élérité des ondes dans le ressort est don = µ pour faire apparaître la forme anonique de l équation : 2 f 2 t 2 = 2 f z 2 Question 4 : Quelle est la ondition imposée à la fontion ζ et don en f en z = 0? On herhe une solution en f(z, t = Φ(z os(ω t ; déterminer, à une onstante multipliative près, Φ(z en fontion de z, et ω. On a 2 f z 2 = Φ (z os(ω t 2 f t 2 = ω2 Φ(z os(ω t d où en reportant dans l équation de d Alembert et après simplifiation par os(ω t 2 Φ (z = Φ(z don φ(z est sinusoïdale de pulsation ω/. Or, omme on l a vu plus haut, l extrémité supérieure du ressort est immobile, e qui entraîne que ζ(0, t don f(0, t et Φ(0 sont nuls et l on pourra érire Φ(z = A sin z ζ(z, t = M g f(z, t = A sin z os(ω t z µ g 2 (L z2 + A sin z os(ω t Question 5 : Quelle est la ondition imposée à la fontion ζ en z = L? Montrer que ω est solution de : tan(ω L/ = /(M ω que l on résoudra graphiquement. La ote de la masse M et son aélération sont z M (t = ζ(l, t = M g L ( ω L + A sin os(ω t 2 On ne répétera jamais assez qu une astue utilisée plusieurs fois devient une méthode.
4 ( ω L z M (t = ω 2 A sin os(ω t Cette masse est soumise à son poids de module M g dirigé vers le bas et à la tension du ressort, dirigée vers le haut et de module T = ζ z (L, t. Or ζ z = M g + µ g (L z + A ω os z os(ω t d où T = M g + A ω ( ω L os os(ω t Le prinipe fondamental de la dynamique, appliqué à la masse M, donne M z M = M g T soit : ( ω L M ω 2 A sin os(ω t = A ω ( ω L os os(ω t ( ω L d où M ω sin = ( ω L os ( ω L et tan = M ω dont les solutions donnent les pulsations possibles. L équation non algébrique se résout graphiquement en posant u = ω L/ et a = M 2 / L = Cte. L équation s érit otan(u = a u que l on résout en superposant les graphes des deux membres en fontion de u. Remarquons que 2 = /µ don a = M/µ L soit le rapport de la masse M et de la masse du ressort. Ci-dessous les graphes ave a = 20 qui orrespond à une situation fort plausible. Question 6 : On se plae dans la situation où a, rapport des masses, est assez grand. On appelle ω 0, ω, ω 2, et. les solutions de ette équation dans l ordre roissant. Montrer, qu à part ω 0, on retrouve pratiquement les pulsations des modes propres du ressort s il avait ses deux extrémités fixes. Chiffrer l éart en bonne approximation. Le graphe i-dessus montre que les valeurs de u solutions de l équation sont prohes, hormis la première, des valeurs qui rendent infinie la otangente, soit u p = ω p L/ = p π d où ω p = p π /L, f p = p /2 L, λ p = 2 L/p, valeurs lassiques des modes propres.
5 Posons u p = p π +ε p. Dans l équation / tan(u = a u, on a tan(u p = tan(ε p ε p et dans le seond membre u p p π d où = p π a soit ε p = u p p π = ε p p π a Après multipliation par /L ω p p π /L ω p = p π L p π a L ( + p 2 π 2 a Ave π 2 0, a = 20, le déalage est de 0,5 % pour le fondamental (p =, d un peu plus de 0, % pour l harmonique 2 (p = 2, de 0,05% pour l harmonique 3, et. Question 7 : Pour ω 0, montrer qu on peut utiliser le développement asymptotique otan(u = /u u/3. Montrer que l on se ramène à un ressort sans masse arohé à une masse M que l on déterminera. Le graphe montre que u 0 est suffisamment petit pour valider le développement proposé d où u 0 u 0 3 = a u 0 u 0 = ( a + 3 u 2 0 = ( a + 3 ω 2 0 = 2 u 0 ( a + 3 L 2 Reportons-y 2 = /µ et a = M/µ L puis la raideur k = /L et la masse m = µ L du ressort, alors ω 2 0 = ( M µ L + 3 µ L 2 ω0 2 = ( M + µ L 3 L ω0 2 k = ( M + m 3 Conlusion la formule lassique ω0 2 = k/m suppose un ressort idéal ave raideur mais sans masse, e qui est bien sûr impossible! La onlusion sur la valeur de ω 0 déoiffe, non? Question 8 : Montrer que pour ω 0 le ressort se déforme de façon quasiment homothétique et retrouver le résultat par une méthode énergétique. On vient de voir que u π soit ω π /l, ω L/ π et a fortiori ω z/ π. Dans l expression établie plus haut de ζ(z, t, on peut don onfondre le sinus et son argument soit ζ(z, t = M g z µ g 2 (L z2 + A ω z os(ω t
6 Le terme dépendant du temps (allongement à partir de l équilibre est bien proportionnel à z. On en déduit ζ(z, t = A ω ω z sin(ω t en partiulier la vitesse V de la masse M est V = ζ(l, t = A ω ω L sin(ω t d où par division ζ(z, t = V L z Si l on n avait pas résolu le problème, l allongement proportionnel à tout instant à z, onduit au même résultat final ar ζ(z, t = ζ E (z + k(t z, ζ(z, t = k(t z, V = k(t L et par division ζ = V L z En déoupant le ressort en petites tranhes, son énergie inétique est L 0 ( V 2 2 µ L z = µ V 2 L 3 2 L 2 3 = µ L 2 3 V 2 et don l énergie inétique totale masse et ressort est 2 (M + m/3 V 2 et sans qu il soit besoin de refaire la démonstration lassique, on voit qu il faut ajouter à la masse M le tiers de la masse du ressort. C est ertes plus simple que tout e qui préède mais la seule façon de justifier la néessaire hypothèse d une déformation homothétique est...de faire tout e qui préède, sinon e n est qu un oup de bluff.
1 Introduction à l effet Doppler.
Introdution à l effet Doppler Ph. Ribière ribierep@orange.fr Merredi 9 Novembre 2011 1 Introdution à l effet Doppler. Vous avez tous fait l expériene de l effet Doppler dans la rue, lorsqu une ambulane,
Plus en détailChapitre IV- Induction électromagnétique
37 Chapitre IV- Indution életromagnétique IV.- Les lois de l indution IV..- L approhe de Faraday Jusqu à maintenant, nous nous sommes intéressés essentiellement à la réation d un hamp magnétique à partir
Plus en détailMesures du coefficient adiabatique γ de l air
Mesures du oeffiient adiabatique γ de l air Introdution : γ est le rapport des apaités alorifiques massiques d un gaz : γ = p v Le gaz étudié est l air. La mesure de la haleur massique à pression onstante
Plus en détailProduction statistique: passage d une démarche axée sur les domaines à une démarche axée sur les processus
Nations Unies Conseil éonomique et soial Distr. générale 31 mars 2015 Français Original: anglais ECE/CES/2015/26 Commission éonomique pour l Europe Conférene des statistiiens européens Soixante-troisième
Plus en détailComment évaluer la qualité d un résultat? Plan
Comment évaluer la qualité d un résultat? En sienes expérimentales, il n existe pas de mesures parfaites. Celles-i ne peuvent être qu entahées d erreurs plus ou moins importantes selon le protoole hoisi,
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailLE PENETROMETRE STATIQUE Essais CPT & CPTU
LE PENETROMETRE STATIQUE Essais CPT & CPTU Mesures Interprétations - Appliations Doument rédigé par des ingénieurs géotehniiens de GINGER CEBTP sous la diretion de : Mihel KHATIB Comité de releture : Claude-Jaques
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailTechniques d analyse de circuits
Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre
Plus en détailCHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailProjet INF242. Stéphane Devismes & Benjamin Wack. Pour ce projet les étudiants doivent former des groupes de 3 ou 4 étudiants.
Projet INF242 Stéphane Devismes & Benjamin Wak Pour e projet les étudiants doivent former des groupes de 3 ou 4 étudiants. 1 Planning Distribution du projet au premier ours. À la fin de la deuxième semaine
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailModule d Electricité. 2 ème partie : Electrostatique. Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere
Module d Electricité 2 ème partie : Electrostatique Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere 1 Introduction Principaux constituants de la matière : - protons : charge
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailTrépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g.
PHYSQ 130: Hooke 1 LOI DE HOOKE: CAS DU RESSORT 1 Introduction La loi de Hooke est fondamentale dans l étude du mouvement oscillatoire. Elle est utilisée, entre autres, dans les théories décrivant les
Plus en détail10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU)
0 leçon 2 Leçon n 2 : Contact entre deu solides Frottement de glissement Eemples (PC ou er CU) Introduction Contact entre deu solides Liaisons de contact 2 Contact ponctuel 2 Frottement de glissement 2
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailBAILLY-GRANDVAUX Mathieu ZANIOLO Guillaume Professeur : Mrs Portehault
BAILLY-GRANDVAUX Mathieu ZANIOLO Guillaume Professeur : Mrs Portehault 1 I. Introdution...3 II. Généralités...3 Caratéristiques ommunes aux deux phénomènes...3 La différene entre la phosphoresene et la
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailOscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté
Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailChapitre 2 Les ondes progressives périodiques
DERNIÈRE IMPRESSION LE er août 203 à 7:04 Chapitre 2 Les ondes progressives périodiques Table des matières Onde périodique 2 2 Les ondes sinusoïdales 3 3 Les ondes acoustiques 4 3. Les sons audibles.............................
Plus en détailFORD C-MAX + FORD GRAND C-MAX CMAX_Main_Cover_2013_V3.indd 1-3 22/08/2012 15:12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 1 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 9 10 8 18 20 21 22 23 24 26 28 30
Plus en détailphysique - chimie Livret de corrigés ministère de l éducation nationale Rédaction
ministère de l éduation nationale physique - himie 3e Livret de orrigés Rédation Wilfrid Férial Jean Jandaly Ce ours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à e ours sont la propriété de
Plus en détailCircuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance
Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite
Plus en détailDonner les limites de validité de la relation obtenue.
olutions! ours! - Multiplicateur 0 e s alculer en fonction de. Donner les limites de validité de la relation obtenue. Quelle est la valeur supérieure de? Quel est le rôle de 0? - Multiplicateur e 0 s alculer
Plus en détailEquations cartésiennes d une droite
Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la
Plus en détail(Exemple ici de calcul pour une Ducati 748 biposto, et également pour un S2R1000, équipé d un disque acier en fond de cloche, et ressorts d origine)
Analyse de la charge transmise aux roulements de la roue dentée, notamment en rajoutant les efforts axiaux dus aux ressorts de l embrayage (via la cloche) (Exemple ici de calcul pour une Ducati 748 biposto,
Plus en détailInformatique III: Programmation en C++
Informatique III: Programmation en C++ Listes haînées Lundi 9 Janvier 2006 1 2 Introdution Les listes hainées permettent de stoker un nombre d objets qui n a pas besoin d être spéifié a priori. Rajouter
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailRevue des Sciences et de la Technologie - RST- Volume 5 N 1 / janvier 2014
Revue des Sienes et de la Tehnologie - RST- Volume 5 N 1 / janvier 214 L impat d une Charge Fortement Capaitive Sur la Qualité du Filtrage d un FAP Contrôlé Par un Filtre Multi-Variable Hautement Séletif
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012
ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 Pour faciliter la correction et la surveillance, merci de répondre aux 3 questions sur des feuilles différentes et d'écrire immédiatement votre nom sur toutes
Plus en détailLa persistance des nombres
regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailLes correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées.
Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. 1 Ce sujet aborde le phénomène d instabilité dans des systèmes dynamiques
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailprix par consommateur identiques différents prix par identiques classique 3 unité différents 2 1
3- LE MONOOLE DISCRIMINANT Le monoole eut vendre ertaines unités de roduit à des rix différents. On arle de disrimination ar les rix. Selon une terminologie due à igou (The Eonomis of Welfare, 1920), on
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailTD 11. Les trois montages fondamentaux E.C, B.C, C.C ; comparaisons et propriétés. Association d étages. *** :exercice traité en classe.
TD 11 Les trois montages fondamentaux.,.,. ; comparaisons et propriétés. Association d étages. *** :exercice traité en classe ***exercice 11.1 On considère le montage ci-dessous : V = 10 V R 1 R s v e
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailCaractéristiques des ondes
Caractéristiques des ondes Chapitre Activités 1 Ondes progressives à une dimension (p 38) A Analyse qualitative d une onde b Fin de la Début de la 1 L onde est progressive puisque la perturbation se déplace
Plus en détailPEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?
PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailAide - mémoire gnuplot 4.0
Aide - mémoire gnuplot 4.0 Nicolas Kielbasiewicz 20 juin 2008 L objet de cet aide-mémoire est de présenter les commandes de base pour faire rapidement de très jolis graphiques et courbes à l aide du logiciel
Plus en détailÉquations différentielles et systèmes dynamiques. M. Jean-Christophe Yoccoz, membre de l'institut (Académie des Sciences), professeur
Équations différentielles et systèmes dynamiques M. Jean-Christophe Yooz, membre de l'institut (Aadémie des Sienes), professeur La leçon inaugurale de la haire a eu lieu le 28 avril 1997. Le ours a ensuite
Plus en détailI - Quelques propriétés des étoiles à neutrons
Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Sixième TD 14 avril 2015 Les étoiles dont la masse initiale est
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailTP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
Plus en détailLa protection différentielle dans les installations électriques basse tension
Juin 2001 La protetion différentielle dans les installations életriques basse tension Ce guide tehnique a pour objetif de mettre en évidene les prinipes de fontionnement des protetions différentielles
Plus en détailVoyez la réponse à cette question dans ce chapitre. www.hometownroofingcontractors.com/blog/9-reasons-diy-rednecks-should-never-fix-their-own-roof
Une échelle est appuyée sur un mur. S il n y a que la friction statique avec le sol, quel est l angle minimum possible entre le sol et l échelle pour que l échelle ne glisse pas et tombe au sol? www.hometownroofingcontractors.com/blog/9-reasons-diy-rednecks-should-never-fix-their-own-roof
Plus en détailTD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE
TD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE Exercice en classe EXERCICE 1 : La fibre à gradient d indice On considère la propagation d une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCONCOURS COMMUN 2010 PHYSIQUE
CONCOUS COMMUN SUJET A DES ÉCOLES DES MINES D ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Corrigé Barème total points : Physique points - Chimie 68 points PHYSIQUE Partie A :
Plus en détailT.P. FLUENT. Cours Mécanique des Fluides. 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY
T.P. FLUENT Cours Mécanique des Fluides 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY 2 Table des matières 1 Choc stationnaire dans un tube à choc 7 1.1 Introduction....................................... 7 1.2 Description.......................................
Plus en détailDISQUE DUR. Figure 1 Disque dur ouvert
DISQUE DUR Le sujet est composé de 8 pages et d une feuille format A3 de dessins de détails, la réponse à toutes les questions sera rédigée sur les feuilles de réponses jointes au sujet. Toutes les questions
Plus en détailNécessité de prendre en compte des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à 10 8 près
Néessité de prendre en ompte des termes d ordre G 3 pour mesurer γ à 10 8 P. Teyssandier Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR 8630UPMC P. Teyssandier ( Observatoire de Paris Dépt SYRTE/CNRS-UMR Néessité
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailChapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de :
Chapitre 1 L intérêt Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : 1. Comprendre la notion générale d intérêt. 2. Distinguer la capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé. 3. Calculer la
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailCapacité Métal-Isolant-Semiconducteur (MIS)
apacité Métal-solant-Semiconducteur (MS) 1-onstitution Une structure Métal-solant-Semiconducteur (MS) est constituée d'un empilement de trois couches : un substrat semiconducteur sur lequel on a déposé
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailGuide pratique. L emploi des personnes handicapées
Guide pratique L emploi des personnes handiapées Sommaire Guide pour les salariés p. 3 L'aès et le maintien dans l'emploi... 4 Les établissements et servies d aide par le travail (ÉSAT)... 10 Les entreprises
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailSUJET ZÉRO Epreuve d'informatique et modélisation de systèmes physiques
SUJET ZÉRO Epreuve d'informatique et modélisation de systèmes physiques Durée 4 h Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, d une part il le signale au chef
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailYves Debard. Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle. http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html
Méthode des éléments finis : élasticité à une dimension Yves Debard Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 4 mars 6 9 mars 11
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailPrécision d un résultat et calculs d incertitudes
Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................
Plus en détailCours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année
Cours d électricité Circuits électriques en courant constant Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Objectifs du chapitre
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détail1 Systèmes triphasés symétriques
1 Systèmes triphasés symétriques 1.1 Introduction Un système triphasé est un ensemble de grandeurs (tensions ou courants) sinusoïdales de même fréquence, déphasées les unes par rapport aux autres. Le système
Plus en détail