DEVOIRS ET CORRIGÉS 2B MATH II Guy Greisen

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1 DEVOIRS ET CORRIGÉS B MATH II Guy Greisen 3 juillet 007

2 B MATHÉMATIQUES II Enoncer la définition de : f(x) = + x a. Démontrer à l aide de la définition que : x 3 (3 x) = + f : R R : x 8 + x x + 1. Énoncer les conditions d existence et déterminer dom f. Déterminer les ites aux bornes du domaine. f : R R : x x3 5x + 8x 4 x 3 3x Énoncer la condition d existence et déterminer dom f (V00). Déterminer les ites aux bornes du domaine. Exercice 4 f : R R : x 1. Énoncer la condition d existence et déterminer dom f (V00). Déterminer les ites aux bornes du domaine. 5x 5x 13x 6 durée : 50 minutes points : =60 B0607dm11.tex

3 B MATHÉMATIQUES II f : R R : x x 1 1 x 1. Démontrez que la droite d équation y = x 1 est asymptote oblique à gauche et à droite.. Déterminez la position de la courbe représentative de f par rapport à l asymptote oblique. f : R R : x x 3 x x Déterminez dom f. Déterminez toutes les asymptotes. On donne les fonctions : x + 3 f : R R : x x x 1 et x + 3 g : R R : x x x 1 1. Pour chaque fonction écrivez en détail toutes les conditions d existence et donnez dom f et dom g.. Pour f déterminez les ites aux bornes du domaine. 3. Déterminez toutes les asymptotes à la courbe représentative de f. 4. Esquissez dans un repère orthonormé (O, ı, j) les courbes représentatives de f et de g (couleurs différentes). Exercice 4 f : R R : x x x + 1 x 1. Déterminez l asymptote verticale à la courbe C f.. Déterminez l asymptote horizontale à la courbe C f. 3. Déterminez l asymptote oblique à la courbe C f. 4. Esquissez C f (avec ses asymptotes évidemment) dans un repère orthonormé (O, ı, j). durée : 50 minutes points : =60 B0607dm1.tex

4 B MATHÉMATIQUES II f : R R : x x 3 1 x 1. Démontrez que la droite d équation y = x 3 est asymptote oblique à gauche et à droite.. Déterminez la position de la courbe représentative de f par rapport à l asymptote oblique. f : R R : x x x + x Déterminez dom f. Déterminez toutes les asymptotes. On donne les fonctions : x f : R R : x x x + 3 et x g : R R : x x x Pour chaque fonction écrivez en détail toutes les conditions d existence et donnez dom f et dom g.. Pour f déterminez les ites aux bornes du domaine. 3. Déterminez toutes les asymptotes à la courbe représentative de f. 4. Esquissez dans un repère orthonormé (O, ı, j) les courbes représentatives de f et de g (couleurs différentes). Exercice 4 f : R R : x x x + 3 x 1. Déterminez l asymptote verticale à la courbe C f.. Déterminez l asymptote horizontale à la courbe C f. 3. Déterminez l asymptote oblique à la courbe C f. 4. Esquissez C f (avec ses asymptotes évidemment) dans un repère orthonormé (O, ı, j). durée : 50 minutes points : =60 B0607dn1.tex

5 B MATHÉMATIQUES II Soit la fonction : Déterminez f : R R : x x f(x + h) f(x) h 0 h Étudiez la continuité de f en x 0 pour les fonctions f : x 0 = 0 f : R R : x f(x) = x 0 = 1 f : R R : x f(x) = x 0 = 3 f : R R : x { x x si x 0 1 si x = 0 { x 1 x 1 si x 1 x+1 x+1 si x = 1 (x 3) x 3 Pour les fonctions f suivantes : déterminez domf exprimez f à l aide de fonctions usuelles i : R R : x x, c : R R : x 1, v : R R : x x, r : R R : x x déterminez dom c f f : R R : x x 1 x f : R R : x f : R R : x f(x) = 1 x x { x si x R\[0, 1] x(x 1) si x [0, 1] Exercice 4 Soit la fonction : f : R R : x 3x 3 4x + 3x 1 1. Écrivez le domf et dom c f.. Esquissez la courbe C f (V00). 3. Observez le nombre de racines et encadrez chacune par deux entiers consécutifs. 4. Calculez une valeur approchée par défaut à 10 près de chaque racine de f. durée : 50 minutes points : =60 B0607dm13.tex

6 B MATHÉMATIQUES II sin θ 1 cos θ Sachant que = 1 et que = 0 démontrez que : θ 0 θ θ 0 θ sin x = cos x Donnez le domaine de définition et le domaine de dérivabilité de f, et déterminez ensuite f (x) pour les fonctions f suivantes : 1. f : R R : x x 4 5x 3 + x 4x + 1. f : R R : x (x + 1)( 3x) 3. f : R R : x (x + 1) 8 ( 3x) 4 4. f : R R : x x x 5. f : R R : x x 5x + 3 cos x 6. f : R R : x sin (x + 1) Soit la fonction : 1. Calculez f (1). Calculez f g() 3. Calculez f d () f : R R : x x 4 4. En déduire la dérivabilité de f en 1, en et en (justifier sans nouveau calcul) 5. Donnez des équations des tangentes ou demi-tangentes à C f au points d abscisse 1 et 6. Tracez la représentation graphique soignée dans un repère orthonormée (O, ı, j) d unité 1 cm de la restriction de f à l intervalle [ 1, 3] 7. Notez les réponses V00 de df(x) dx (= f (x)), f (1), f () et vérifiez votre graphique. durée : 50 minutes points :10+4+6=60 B0607dm1.tex

7 B CORRIGÉ MATHÉMATIQUES II sin(x + h) sin x sin x cos h + cos x sin h sin x h 0 h h 0 h ( ) sin x cos h sin x cos x sin h + h 0 h h ( sin x cos h 1 + cos x sin h ) h 0 h h cos h 1 sin h = sin x + cos x h 0 }{{ h } h 0 }{{ h } 0 1 = cos x Donc : sin x = cos x 1. f : R R : x x 4 5x 3 + x 4x + 1 f est définie et dérivable sur R comme fonction polynôme f (x) = (x 4 5x 3 + x 4x + 1) = (x 4 ) (5x 3 ) + (x ) (4x) + (1) = (x 4 ) 5(x 3 ) + (x ) 4(x) + (1) = 4x 3 5 3x + x 4 = 8x 3 15x + x 4. f : R R : x (x + 1)( 3x) f est définie et dérivable sur R comme fonction polynôme f (x) = (4x 6x + 3x) = ( 6x + x + ) = 6(x ) + (x) + () = 6 x + 1 = 1x f : R R : x (x + 1) 8 ( 3x) 4 f est définie et dérivable sur R comme fonction polynôme f (x) = 8(x + 1) 7 (x + 1) ( 3x) 4 + 4( 3x) 3 ( 3x) (x + 1) 8 = 8(x + 1) 7 ( 3x) 4 + 4( 3x) 3 ( 3)(x + 1) 8 = 4(x + 1) 7 ( 3x) 3 [ ( 3x) + ( 3)(x + 1)] = 4(x + 1) 7 ( 3x) 3 [4( 3x) + ( 3)(x + 1)] = 4(x + 1) 7 ( 3x) 3 ( 18x + 5) 4. f : R R : x x x durée : 50 minutes points :10+4+6=60 B0607dm1.tex

8 B CORRIGÉ MATHÉMATIQUES II f est définie et dérivable sur R\{ 1, 1} comme fonction fraction rationelle. u = x + 1 u = v = 1 x v = x u v v u = (1 x ) ( x)(x + 1) = x + 4x + x = x + x + f (x) = x + x + (1 x ) f : R R : x x 5x + 3 f est définie sur ], 1] [ 3 + [ f est dérivable sur ], 1[ et sur ] 3 + [ comme composée de fonctions dérivables. f 4x 5 (x) = x 5x + 3 f : R R : x cos x sin (x + 1) f est définie sur R\{kπ 1 k Z}(condition d existence sin (x + 1) 0) f est dérivable sur R\{kπ 1 k Z} comme quotient et composée de fonctions dérivables. u = cos x u = sin x v = sin (x + 1) v = sin(x + 1) cos(x + 1) u v v u = sin x sin (x + 1) sin(x + 1) cos(x + 1) cos x = sin(x + 1)(sin x sin(x + 1) + cos(x + 1) cos x = sin(x + 1)(cos(x 1)) f sin(x + 1) cos(x 1) (x) = (sin (x + 1)) f (x) = cos(x 1) sin 3 (x + 1) f : R R : x x 4 1. x ], [, f(x) = x 4 = (4 x ) = 8 x x ], [, f (x) = 4x donc f (1) = 4. f g() f( + h) f() h 0 h [4 ( + h) ] 0 h 0 h 8 h 8h 8 h 0 h h 8h h 0 h ( h 8) h 0 = 8 durée : 50 minutes points :10+4+6=60 B0607dm1.tex

9 B CORRIGÉ MATHÉMATIQUES II f d() f( + h) f() h 0 + h [( + h) 4] 0 h 0 + h h + 8h h 0 + h h + 8h h 0 + h (h + 8) h 0 + = 8 4. f est dérivable en 1 comme composée de fonctions dérivables f n est pas dérivable en car f g() f d () f n est pas dérivable en - car f n est pas dérivable en et f est paire 5. Au point d abscisse 1 a = 1 f(a) = 6 f = t 1 y 6 = 4(x 1) y = 4x + 10 (a) = 4 Au point d abscisse à gauche a = f(a) = 0 f g() = t g y 0 = 8(x ) y = 8x + 16 = 8 Au point d abscisse à droite a = f(a) = 0 f d () = 8 = t d y 0 = 8(x ) y = 8x durée : 50 minutes points :10+4+6=60 B0607dm1.tex

10 B MATHÉMATIQUES II Etudiez la fonction : 1. Domaines, racines (V00-précision 10 1 ), ites.. Dérivée de f (calcul et signe). 3. Dérivée seconde de f (calcul et signe). 4. Tableau de variation complet. 5. Equations des tangentes au(x) point(s) d inflexion. f : R R : x x x Représentation graphique soignée dans un repère orthonormé (O, ı, j) d unité 1 cm f : R R : x x 1 x Trouvez une équation cartésienne de la (des) tangentes(s) à la courbe d équation au point d abscisse. Par la méthode de la dérivée, calculez une valeur approchée de 1 1,99996 en utilisant la fonction f : R R : x 1 x 1. Complétez la formule d approximation f( + h)..... Précisez la valeur numérique de h et calculez la valeur approchée demandée. 3. Comparez cette dernière à la valeur machine (V00 en mode (display digits) fix 1). (Essayez d évaluer la précision en termes de puissance de 10). durée : 50 minutes points : =60 B0607dm.tex

11 B MATHÉMATIQUES II Etudiez la fonction : 1. Domaines, racines (V00-précision 10 1 ), ites.. Dérivée de f (calcul et signe). 3. Dérivée seconde de f (calcul et signe). 4. Tableau de variation complet. 5. Equations des tangentes au(x) point(s) d inflexion. f : R R : x x 4 + x 3 x 6. Représentation graphique soignée dans un repère orthonormé (O, ı, j) d unité 1 cm f : R R : x x x Trouvez une équation cartésienne de la (des) tangentes(s) à la courbe d équation au point d abscisse 0. Par la méthode de la dérivée, calculez une valeur approchée de 1 1,99999 en utilisant la fonction f : R R : x 1 x 1. Complétez la formule d approximation f( + h)..... Précisez la valeur numérique de h et calculez la valeur approchée demandée. 3. Comparez cette dernière à la valeur machine (V00 en mode (display digits) fix 1). (Essayez d évaluer la précision en termes de puissance de 10). durée : 50 minutes points : =60 B0607dn.tex

12 B MATHÉMATIQUES II Énoncer le théorème des accroissements finis.. Appliquer le théorème des accroissements finis pour la fonction pour l intervalle [0, 1]. f : R R : x 4x 3 x Etudiez la fonction : f : R R : x 3 (x + 4)(x 4x + 4) 1. Domaines, racines, ites, asymptote oblique.. Dérivée de f (calcul et signe). 3. Dérivée seconde de f (calcul et signe). 4. Tableau de variation complet. 5. Equations des tangentes et demi-tangentes aux points d abscisses -4 et. 6. Représentation graphique soignée dans un repère orthonormé (O, ı, j) d unité 1 cm Soit la fonction 1. Racines de f. Dérivée de f (calcul et signe). 3. Tableau de variation de f. 4. Esquisse de C f (V00) f : [0, π] R : x sin x sin x durée : 50 minutes points :1+( )+1=60 B0607dm.tex

13 B MATHÉMATIQUES II Calculez en utilisant la règle de l Hospital et après avoir vérifié la légitimité de cette utilisation : cos 5x cos 3x 1. sin 4x sin 3x x. 1 cos 4x tan x sin x 3. x 3 Quel est le volume maximal d un parallélipipède rectangle à base carrée dont l aire totale est 00 dm Etudiez la fonction : 1. Domaines, racines, ites, asymptotes. f : R R : x 3 6x x 3. Dérivée de f (calcul, signe et dérivabilité aux points critiques). 3. Dérivée seconde de f (calcul et signe). 4. Tableau de variation complet. 5. Représentation graphique soignée dans un repère orthonormé (O, ı, j) d unité 1 cm durée : 50 minutes points :18+14+( )=60 B0607dm31.tex

14 B CORRIGÉ MATHÉMATIQUES II Calculez en utilisant la règle de l Hospital et après avoir vérifié la légitimité de cette utilisation : 1. (cos 5x cos 3x = 0) (sin 4x sin 3x = 0). x = 0 (1 cos 4x) = 0 x = 0 4 sin 4x = 0 3. (tan x sin x) = 0 x3 = 0 cos 5x cos 3x H 5 sin 5x + 3 sin 3x sin 4x sin 3x 4 cos 4x 3 cos 3x = 0 x H 1 cos 4x x 4 sin 4x x H 4 sin 4x 16 cos 4x = 1 8 tan x sin x H 1 + tan x cos x H tan x(1 + tan x) + sin x x 3 3x 6x tan x + tan 3 x + sin x H (1 + tan x) + 6 tan x(1 + tan x) + cos x = 1 6x 6 Soit x le côté de la base carrée du parallélipipède et h sa hauteur. Le volume du parallélipipède rectangle à base carrée est : V = x h et son aire totale est la somme de l aire latérale et du double de l aire de la base, c est à dire 4xh + x = 00 Cette relation permet d exprimer la hauteur h en fonction de x : h = 00 x 4x On en déduit l expression du volume en fonction de x : = 100 x x 100 x 100x x3 V (x) = x = x Pour trouver le volume maximal il suffit d étudier la fonction V. Calcul de la dérivée. V 100 3x (x) = Signe : 100 3x = x = 0 Le signe de ce trinôme du second degré est négatif sauf entre les racines et La fonction V présente un maximum en et sa valeur est V ( ) = ( )3 = = dm 3 9 f : R R : x 3 6x x 3 durée : 50 minutes points :18+14+( )=60 B0607dm31.tex

15 B CORRIGÉ MATHÉMATIQUES II f est définie, continue sur R et dérivable sur R\{0, 6} comme composée d une fonction polynôme et de la fonction racine cubique. Comme 6x x 3 = x 3 (6 x) les racines de f sont 0 et 6. 6x x 3 = + x 3 6x x 3 x 3 6x 1 1 = x + x + f(x) x x 3 6x 1 1 = 1 x 6x x 3 + x = f(x) + x = x x 3 x 6x x 3 + x 3 3 6x x 3 x 3 6x x 3 + x = Asymptote oblique en de même en +. Dérivée de f Calcul : ( 3 6x x 3 + x)( 3 6x x 3 x 3 6x x 3 + x ) x 3 6x x 3 x 3 6x x 3 + x x 6 3 6x = 6x y = x + f(x) = 3 6x x 3 = (6x x 3 ) 1 3 f (x) = 1 3 (6x x 3 ) 3 (1x 3x ) = 4x x 3 6x x 3 Signe : négatif sauf entre les racines évidentes 0 et 4. Comportement aux points critiques : f (x) = + + f (x) = x 6 f (x) = x 6 + sign(f (x)) = sign(4x x ) f (x) = 3. Dérivée seconde de f Calcul : f (x) = 4x x 3 6x x 3 u = 4x x v = (6x x 3 ) 3 = 3 6x x 3 u = 4 x v = 3 (1x 3x )(6x x 3 ) 1 3 = (4x x ) 3 6x x 3 u v v u = (4 x) 3 6x x 3 (4x x ) 3 6x x 3 (4x x ) = (4 x)(6x x 3 ) (4x x ) 3 6x x 3 = 4x 4x 3 1x 3 + x 4 3x + 16x 3 x 4 3 6x x 3 = 8x 3 6x x 3 Signe : sign(f (x)) = sign(x 6) 4. Tableau de variation complet. 5. Représentation graphique soignée dans un repère orthonormé (O, ı, j) d unité 1 cm durée : 50 minutes points :18+14+( )=60 B0607dm31.tex

16 B MATHÉMATIQUES II Calculez en utilisant la règle de l Hospital et après avoir vérifié la légitimité de cette utilisation : cos 5x cos 3x 1. sin 4x sin 3x. x a sin x sin a x a 3. x 1 x 1 x n 1 4. tan x x x sin x Un rectangle de longueur x est inscrit dans un demi-cercle de rayon R. Déterminer les dimensions du rectangle pour que son aire soit maximale? Etudiez la fonction : 1. Domaines, racines, ites, asymptotes. f : R R : x 3 1 x 3. Dérivée de f (calcul, signe et dérivabilité aux points critiques). 3. Dérivée seconde de f (calcul et signe). 4. Tableau de variation complet. 5. Représentation graphique soignée dans un repère orthonormé (O, ı, j) d unité 1 cm durée : 50 minutes points :18+14+( )=60 B0607dm31.tex

17 B MATHÉMATIQUES II Etudiez la fonction : ( x ) f : R R : x arcsin + 1 x Domaines de définition, de continuité et de dérivabilité.. Dérivée de f (calcul, signe et dérivabilité aux points critiques). 3. Tableau de variation. 4. Représentation graphique soignée dans un repère orthonormé (O, ı, j) d unité 1 cm Calculez Soit la fonction arctan(1 + x) 1 x + x 1 (Hospital) ( ) 1 f : R R : x arctan x x Calculez f (x) et mettez le résultat sous forme d une fraction rationnelle (poly divisé par poly). Exercice 4 Soit la fonction ( x f : dom f im f : x arccos ) 1. dom f?. Exprimez f comme composée de trois fonctions à préciser, chacune avec son domaine de définition, son image. 3. im f? 4. f est-elle une bijection? pourquoi? 5. Si oui, déterminez sa bijection réciproque f 1 et terminer par son énoncé complet c est à dire f 1 : dom f 1 im f 1 : x f 1 (x) durée : 50 minutes points : =60 B0607dm3.tex

18 B MATHÉMATIQUES II 3. CORRIGÉ Conditions d existence : ( x ) f : R R : x arcsin + 1 x x 1 4 x 4 (1) 4 f est définie et continue sur [ 4, 4] et dérivable sur ] 4, 4[.. Calcul de la dérivée de f Signe de la dérivée de f 1 x x 0 4 x 4 () f 1 (x) = x 16 1 x 16 f 4 x (x) = 16 1 x 16 f (x) = 4 x 4 16 x ( x ) x > 0 = sign(f (x)) = sign(4 x) x 4 4 x + 0 Dérivabilité aux points critiques. ( ) f 4 x 8 (x) x 4 x x = 0 + = + dom f =] 4, 4] 3. Tableau de variation. f 4 x (x) x 4 x x (4 x) ( ) 16 x 16 x 0 x 4 4(16 x ) x 4 4(4 + x) = = 0 3 x f (x) f(x) π 1 π 4. Représentation graphique arctan(1 + x) 1 H x + x 1 x (1+x) ( 1)(1 + x) x x + x 1 [1 + (1 + x) ](1 + x) x + x 1 (1 + x) + 1 x + x x + x = 1 x x + x + durée : 50 minutes points : =60 B0607dm3.tex

19 B MATHÉMATIQUES II 3. CORRIGÉ ( 1 f(x) = arctan f 1 (x) = ( 1 + f (x) = 1 1+x 1 + x ) 1 (1 + x) x f (x) = x + [(1 + x) + 1] x [(1 + x) + 1] f (x) = x + x + x + ] x 4 + x 3 + x f x + ] (x) = x 4 + x 3 + x ) 1 x 1 (1 + x) 1 x Exercice 4 ( x f : dom f im f : x arccos ) 1. Condition d existence : 1 x 1 10 x dom f = [ 10, 10]. Soit : a : [ 10; 10] [ 1; 1] : x x 10 arccos : [ 1; 1] [0; π] : x arccos x b : [0; π] [3; 3 + π] : x x + 3 alors f = b arccos a 3. im f = [3; 3 + π]? 4. f est une bijection car f est la composée des trois bijections b, arccos et a. 5. Pour la détermination de la réciproque il suffit de résoudre dans [ 10; 10] l équation en x pour y [3; π + 3] f(x) = y ( x arccos + 3 = y 10) arccos x 10 = y 3 arccos x 10 = y 3 x 10 = cos y 3 x = 10 cos y 3 (cos est la bijection réciproque de arccos) f 1 : [3; π + 3] [ 10; 10] : x 10 cos x 3 durée : 50 minutes points : =60 B0607dm3.tex