Exercice 1 Problème 10 points

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1 On révise... Eercice 1 Problème 10 points Partie A Soit g la fonction définie sur l intervalle ]0 ; [ par : g ()= 2 2 2ln() 1. Déterminer la fonction dérivée g de la fonction g et montrer que cette dérivée peut s écrire : g ()= 2( 2 1 ) 2. Étudier le signe de g () et établir le tableau de variations de la fonction g (les limites de la fonction g en 0 et en ne sont pas demandées). 3. En déduire le signe de g () sur l intervalle ]0 ; [. Partie B On considère maintenant la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; [, d epression : f ()= 2ln() 1 Soit C la courbe représentant la fonction f dans le repère donné sur l annee jointe au sujet. 1. a) Calculer lim 0 f () et en déduire que la courbe C représentant la fonction f admet une asymptote dont on déterminera une équation. b) Calculer lim f (). -oo c) Justifier que la courbe C admet la droite d équation y = 1 comme asymptote. d) Étudier la position relative de la courbe C par rapport à la droite. e) Tracer la droite sur le graphique donné dans l annee, à rendre avec la copie. 2. a) Calculer la fonction dérivée f de f et montrer que f ()= g () 2. b) Déduire de la partie A le signe de f () et dresser le tableau de variations de f. 3. a) Donner une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 1. b) Représenter T sur le graphique joint en annee, à rendre avec la copie. Partie C 1. a) Calculer la dérivée de la fonction H définie sur ]0 ; [ par H()=[ln()] 2. b) En déduire une primitive de la fonction f. 2. Déduire de ce calcul la valeur eacte de l intégrale suivante : 4 1 f () d. 3. Cette intégrale correspond à l aire calculée en unités d aire d une surface. Hachurer cette surface sur le graphique de l annee, à rendre avec la copie. Page 1 sur??

2 Annee à rendre avec la copie y O Eercice 2 Problème 12 points Première partie La courbe (C ) donnée en annee est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [1 ; 3] dans le plan muni d un repère orthonormé d origine O. On désigne par f la dérivée de la fonction f sur l intervalle [1 ; 3]. La courbe (C ) passe par les points A, B et D d abscisses respectives 1, 2 et 3. Les points A, A, B et D ont des coordonnées entières. Page 2 sur??

3 La droite (BE), parallèle à l ae des abscisses, est tangente en B à la courbe (C ). La droite (AB ) est tangente en A à la courbe (C ). On répondra au questions ci-dessous par une lecture graphique. De ce fait, certains résultats seront donnés en valeurs approchées à 0,1 près. 1. Déterminer f (1), f (2) et f (3). 2. a) Déterminer une équation de la droite (AB ). b) Déterminer f (1) et f (2). 3. Dresser le tableau des variations de la fonction f et préciser le signe de sa dérivée f. 4. Calculer l aire du triangle AA B en unités d aires. Deuième partie La fonction représentée dans la première partie est définie sur l intervalle [1 ; 3] par : f ()= 2ln(). ( e 3 ) 1. Vérifier que f (3) = ln Soit F la fonction définie sur [1 ; 3] par : F()= ln. a) Vérifier que F est une primitive de f sur l intervalle [1 ; 3]. b) Calculer la valeur eacte de l intégrale I = graphique. 3 1 f () d et en donner une interprétation 3. Soit (P ) la partie du plan limitée par la courbe (C ), l ae des abscisses, la droite (AB ) et la droite (DD ). a) Hachurer (P ). b) Le domaine (P ) représente la maquette du logo d une société. Une unité sur le graphique représente 10 cm en réalité. Calculer l aire en cm 2 de ce logo en grandeur réelle, arrondie au cm 2. Page 3 sur??

4 y 2 1 E #» j 0,2 0 O #» 0 0,2*; 0,4*; ı 0,6*; 0,8*; Annee au problème A D B (C ) A B D Eercice 3 4 points Le plan complee est rapporté à un repère orthonormal direct ( O; #» u, #» v ). L unité graphique est 2 cm. On note i le nombre complee de module 1 et d argument π 2. Pour tout nombre complee z, on pose : P(z)= z 3 ( ) z 2 ( ) z Résolution de l équation P(z) = 0 a) Calculer P(2). b) Déterminer les deu nombres réels α et β tels que, pour tout nombre complee z : Page 4 sur??

5 P(z)=(z 2) ( z 2 αz β ). c) Résoudre dans l ensemble C des nombres complees l équation P(z)=0. 2. On considère les points A, B, C, d affies respectives : a= 2, b= 3i, c = 3 i. a) Déterminer le module et un argument des nombres complees b et c. b) En déduire que les points A, B, et C appartiennent à un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. c) Placer les points A, B, C dans le repère ( O; #» u, #» v ) et tracer le cercle C. d) Démontrer que le triangle OBC est équilatéral. ( #» e) En déduire une mesure de l angle OB, OC #» ) ( #». En déduire une mesure de l angle AB, AC #» ). Eercice 4 5 points On dispose d un échantillon d os fossile contenant initialement une masse de 10 grammes de carbone 14. Le but de l eercice est d étudier l évolution de cette masse au fil des siècles, par deu méthodes différentes. Partie A : Première méthode On considère que la masse de carbone 14 dans un tel échantillon diminue à raison de 1,2 % par siècle. 1. Quelle masse de carbone 14 contiendra l échantillon : a) un siècle plus tard? b) deu siècles plus tard? 2. On note M n la masse de carbone 14 contenue dans l échantillon au bout de n siècles, où n est un entier naturel. a) Démontrer que la suite (M n ) est une suite géométrique de raison 0,988. b) Eprimer M n en fonction de n. 3. Déterminer au bout de combien de siècles, la masse de carbone 14 contenue dans l échantillon sera inférieure à 5 g. Partie B : Seconde méthode On note m(t ) la masse en gramme de carbone 14 contenue dans l échantillon à l instant t (en siècle). On admet que la fonction m est solution de l équation différentielle 1. Résoudre l équation différentielle (E). (E) : y 1, y = Déterminer la solution particulière de l équation différentielle (E), qui vérifie : m(0)= Déterminer au bout de combien de siècles, la masse de carbone 14 contenue dans l échantillon sera inférieure à 5 grammes. Page 5 sur??

6 Eercice 5 Problème11 points Le plan P est rapporté à un repère orthonormal ( O; #» ı, #» j ). L unité graphique est 2 cm. On considère la fonction f définie sur l ensemble R des nombres réels par : f ()= e 2 3. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le repère ( O; #» ı, #» j ). Partie A : Étude d une fonction auiliaire On considère la fonction g définie sur l ensemble R des nombres réels par : g ()=e (1 ) Déterminer la limite de la fonction g en, puis en. 2. Étude des variations de la fonction g a) Calculer la fonction dérivée g de la fonction g et étudier son signe sur R. b) Dresser le tableau de variations de la fonction g sur R. 3. Étude du signe de la fonction g a) Démontrer que l équation g ()=0 possède une unique solution sur R. Démontrer que cette solution, notée α, appartient à l intervalle [ 1 ; 0]. b) Donner la valeur approchée de α arrondie au centième. c) Déduire des questions précédentes le signe de g () en fonction des valeurs de. Partie B : Étude de la fonction f 1. Étude des limites a) Déterminer la limite de la fonction f en. b) En remarquant que, pour tout réel, f ()= (e 2)3, déterminer la limite de f en. 2. Étude d une asymptote a) Montrer que la droite D d équation y = 2 3 est une asymptote à la courbe C en. b) Étudier la position relative de la droite D et de la courbe C. 3. Étude des variations de la fonction f a) Vérifier que pour tout nombre réel, f () = g () où g est la fonction définie dans la partie A et où f désigne la fonction dérivée de la fonction f. b) En utilisant le signe de la fonction g, obtenu précédemment, dresser le tableau de variations de la fonction f sur R. (On prendra : f (α) 3,2) 4. Construire la droite D puis la courbe C dans le repère ( O; #» ı, #» j ). Partie C : Calcul d aire 1. On note H la fonction définie sur R par : H()=( 1)e. Page 6 sur??