G 2 COURBES PARAMETREES DU PLAN

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1 Géométrie 2. 1/5 On munit le plan P d un repère O; i ; j. 1. NOTION DE COURBE PLANE PARAMETREE 1.1 Définitions Définition 1 : On appelle courbe plane paramétrée de classe C k tout triplet C = ( ; D ; ) où : est une partie de P ; D est un ouvert non vide de ; une application de classe C k ( k 1) de D dans P, telle que (D) =. s appelle le support de C. (D ; ) est un paramétrae de. Remarques : (i) Une courbe paramétrée est définie par D et, on note souvent C = (D ; ) (ii) Il arrive que l on confonde C et mais cela sous-entend la donnée d un paramétrae de. Définition 2 : On dit que M P est un point de multiplicité n si card( -1 (M)) = n : point simple si n = 1, point double si n = 2, etc. Si tous les points de C sont simples, on dit que la courbe paramétrée est simple. Définition 3 : On dit que (M ; t) est un point stationnaire (ou sinulier) si (t) =. On dit que (M ; t) est un point réulier si (t). On dit que C est réulière lorsque tout point de C est réulier. 1.2 Tanente G 2 COURBES PARAMETREES DU PLAN Soient C = ( ; D ; ) une courbe paramétrée de classe C k ( k 1). On suppose que pour tout t de D il existe un entier n, 1 n k, tel que (n) (t). Définition 4 : Soit D. On note p = inf{n *, (n) ( ) }. La droite passant par M = ( ) et de vecteur directeur (p) ( ) s appelle la tanente en (M ; ) à C. 1.3 Branches infinies Définition 5 : Soit C = ( ; D ; ϕ) une courbe paramétrée, où D est un intervalle de. Soit R une borne de D. On dit que C présente une branche infinie en si : OM(t) + quand t. Remarque : Cela revient à dire qu une au moins des coordonnées de M(t) tend vers l infini quand t.

2 Géométrie 2. 2/5 2. ETUDE DES COURBES PARAMETREES 2.1 Classification des points Soit C = ( ; D ; ) une courbe paramétrée de classe C k avec k 2. On suppose qu il existe m N * tel que (m) ( ) soit non nul, et on note p le plus petit des entiers vérifiant cette propriété. On suppose qu il existe n N * tel que ( (p) ( ) ; (n) ( )) soit une famille libre, et on note q le plus petit des entiers n vérifiant cette propriété. q On note : pair (p) (q) 1 2 V = φ (t ) et V = φ (t ). p impair p pair q impair point ordinaire point d inflexion rebroussement de 2 ème espèce rebroussement de 1 ère espèce Définition 6 : Un point est dit biréulier lorsque p = 1 et q = Utilisation d une fonction auxiliaire Soit C = ( ; D ; ) une courbe paramétrée avec = (f ; ) telle que f ne s annule pas au voisinae de. Sur ce voisinae, on note m = ' f '. Proposition 1: Si lim m = L (L R ), alors L est le coefficient directeur de la tanente à C en (M ; ). Si lim m = ±, alors la tanente à C en (M ; ) est la droite (M ; t j ). Proposition 2 : On suppose que (M ; ) est un point de rebroussement (p pair) à tanente non parallèle aux axes. Si m présente un extremum local en, on a un rebroussement de deuxième espèce. Si m ne présente pas d extremum local en, on a un rebroussement de première espèce. Proposition 3 : On suppose que (M ; ) n est pas un point de rebroussement (p impair) à tanente non parallèle aux axes. Si m présente un extremum local en, on a un point d inflexion. Si m ne présente pas d extremum local en, on a un point ordinaire.

3 Géométrie 2. 3/5 2.3 Branches infinies Soient C = ( ; D ; ) une courbe paramétrée avec = (f ; ), et R une borne de D. lim f = ± 1 ) cas : = y lim f = x 2 ) cas : = ± t lim f = ± 3 ) cas : = ± t la droite d équation y = y est asymptote à. la droite d équation x = x est asymptote à. on étudie alors la direction asymptotique. Pour cela, on étudie la limite de f en : Si lim = alors admet (Ox) pour direction asymptotique, et présente une f branche parabolique de direction (Ox). Si lim = + alors admet (Oy) pour direction asymptotique et présente une f branche parabolique de direction (Oy). Si lim = a R * alors a une direction asymptotique de coefficient directeur a : f i) si lim( - af) = ± admet une branche parabolique dans la direction de : y = ax. ii) si lim( - af) = b R, la droite d équation y = ax + b est asymptote à. Remarques : On précise la position de la courbe par rapport à l asymptote en étudiant le sine de (t) af(t) b. L étude des branches infinies peut souvent se faire à partir des développements limités énéralisés de f et au voisinae de. 3. COURBES DEFINIES PAR UNE EQUATION POLAIRE 3.1 Définition Soient P le plan muni d un r.o.n.d. O; i ; j. Notation : Pour, on note u(θ) = cos i + sin j et π v(θ) = u θ + 2. Définition 7 : La courbe d équation polaire ρ = f(θ), où f est une application de classe C 1 d un ouvert D de R dans R, est la courbe paramétrée C = ( ; D ; ϕ) telle que : ϕ : θ (f(θ) cos ; f(θ) sin ). Remarque : O est le seul point stationnaire possible.

4 Géométrie 2. 4/5 3.2 Réduction du domaine d étude Soient C une courbe d'équation polaire ρ = f(θ) avec θ D, f de classe C 1 sur D, et a D Si T > est une période de f, i.e. θ D, + T D et f(θ + T) = f(θ) : Si T = 2nπ ( n * ) alors θ D (M 2 ; θ + T) = (M 1 ; θ) ; on obtient toute la courbe en se limitant à [a ; a+2nπ [ D. Sinon, (M 2 ; θ + T) se déduit de (M 1 ; θ) par rotation de centre O et d anle T ; l étude sur D [a ; a + T[ suffit ( on complète par des rotations) Si T > est une antipériode de f, i.e. θ D f(θ + T) = -f(θ) : Si T = (2n + 1) π (n ) alors θ D (M 2 ; θ + T) = (M 1 ; θ) ; on obtient toute la courbe en se limitant à [a ; a+(2n+1) π [ D. Sinon, (M 2 ; θ + T) se déduit de (M 1 ; θ) par rotation de centre O et d anle T + π ; l étude sur D [a, a + T[ suffit (on complète par des rotations). Remarque : Si T > est une antipériode, 2T est une période ; dans la pratique, on détermine la plus petite période T, et on examine si T/2 est une antipériode S il existe tel que θ D, D et f( ) = f(θ) : (M 2 ; ) se déduit de (M 1 ; ) par la symétrie orthoonale par rapport à la droite δ d anle polaire α/2 ; l étude sur [α/2, + [ suffit (on complète par des symétries). Cas particuliers : Si =, i.e. θ D : f( - θ) = f(θ), alors (M 2 ; - ) se déduit de (M 1 ; ) par la symétrie d axe (O ; i ) ; l étude sur D R + suffit. Si = π, i.e. θ D : f(π θ) = f(θ), alors (M 2 ; π θ) se déduit de (M 1 ; ) par la symétrie d axe (O ; j ) S il existe tel que : θ D, D et f( ) = - f(θ) : (M 2 ; ) se déduit de (M 1 ; ) par la symétrie orthoonale par rapport à la droite δ d anle polaire (α + π)/2 ; l étude sur [(α + π)/2, + [ suffit (on complète par des symétries). Cas particulier : Si =, (i.e. θ D : f( - θ) = - f(θ) ), alors (M 2 ; - ) se déduit de (M 1 ; ) par la 3.3 Tanentes symétrie d axe (O ; j ) ; l étude sur D R + suffit. Proposition 4 : Soit C une courbe d équation polaire ρ = f(θ) avec θ D, f de classe C 1 sur D. i) La tanente à C en un point autre que O a pour vecteur directeur : f (θ) u (θ) + f(θ) v (θ). ii) En O la tanente à C est la droite passant par O de vecteur directeur u (θ).

5 Géométrie 2. 5/5 Remarque : Si f admet un extrémum en θ alors f (θ) = et la tanente en ce point est perpendiculaire à la droite d anle polaire θ, (c est la tanente au cercle qui a cet extremum pour rayon). 3.4 Etude de l application f Soit C une courbe d équation polaire ρ = f(θ) avec θ D, f de classe C 1 sur D. Les variations de f (ρ = f(θ)) donnent les variations de l éloinement de (M ; θ) par rapport à O. Bien plus que le sine de f ( ), ce sont le sine de f( ), les valeurs de pour lesquelles f( ) =, et le comportement de f aux bornes des intervalles dont la réunion est D qui sont riches d informations. On obtient les points doubles en résolvant les équations : f(θ + 2k π) = f(θ) et f(θ + (2k+1)π) = - f(θ) 3.5 Branches infinies 1 ) cas : lim f(θ) = présente une branche infinie de direction asymptotique celle θ θ de la droite d équation polaire θ = θ. ), (M ; θ) a pour coordonnées (f(θ)cos(θ-θ ) ; f(θ)sin(θ-θ )) Dans le repère (O ; ( ) u θ ; v( θ ) - si lim f(θ) sin(θ θ ) = a : θ θ la droite d équation Y = a dans (O ; ( ) u θ ; v( θ ) ) est asymptote à ; - si lim f(θ) sin(θ-θ ) = : θ θ présente une branche parabolique ayant pour direction celle de la droite d équation polaire θ = θ. 2 ) cas : lim f(θ) = ± ou lim f(θ) = ± : θ + θ on dit que admet une branche infinie en spirale 3 ) cas : lim f(θ) = a ou lim f(θ) = a : θ + θ on dit que le cercle de centre O et de rayon a est un cercle asymptote à. 3.6 Exemples Spirales : spirale loarithmique ρ = λ a θ spirale d Archimède Lemniscate de Bernoulli : ρ 2 = a 2 cos2θ ρ = a θ Conchoïdes : lorsque C a pour équation ρ = f(θ), et C : ρ = a + f(θ) on dit que C est une conchoïde de C ; le limaçon de Pascal d équation ρ = a + b cosθ est une conchoïde de cercle ; lorsque a = b on obtient une cardioïde.