Mathématiques Bac Blanc TES du jeudi 28 mars 2013

Transcription

1 Mathématiqus Bac Blanc TES du judi 8 mars 03 (3 hurs) Ls calculatrics sont autorisés (mais aucun formulair prsonnl). La qualité d la rédaction, la clarté d la copi t la précision ds raisonnmnts ntrront pour un part important dans l appréciation ds copis. L xrcic 4 d SPE ou d NON SPE sra rédigé sur un copi différnt Exrcic : sur 6 points Parti A : Etud d un suit Soit (u n ) la suit défini par u 0 =00 t pour tout nombr ntir naturl n, u n+ =0.8 u n +3. Avc la calculatric visualisr un grand nombr d trms d la suit, t conjcturr son sns d variation t sa limit.. Soit (v n ) la suit défini pour tout ntir naturl n, par v n =u n 5 a. Démontrr qu (v n ) st un suit géométriqu. Précisr sa raison t son prmir trm. b. En déduir l xprssion d v n n fonction d n c. Justifir qu u n = n Démontrr ls conjcturs émiss sur l sns d variation d (u n ) t sa limit. 4. Détrminr ( par la méthod d votr choix ) l plus ptit ntir naturl n tl qu u n < 6. Parti B : Un situation concrèt En 000, un pays comptait nviron 00 millirs d hctars d forêt. On stim qu, chaqu décnni, 0% d ctt couvrtur forstièr disparaît. Afin d luttr contr c fléau, chaqu décnni, un organisation plant ds arbrs sur 3 millirs d hctars.. ombin d hctars y aura-t-il : a) n 00? b) n 00?. On admt qu la suit (u n ) défini n parti A modélis ctt situation. L action d l organisation st-ll suffisant pour rtrouvr dans qulqus décnnis la couvrtur forstièr d 000? 3. Rcopir sur votr copi t complétr l algorithm ci-dssous pour qu il prmtt d détrminr l anné à partir d laqull la couvrtur forstièr sra infériur à 6000 hctars. Exrcic : sur 4 points QM. Pour chacun ds 4 qustions, indiqur sans justifir sur votr copi la sul répons corrct Attntion ls réponss rronés sront pénalisés. f st la fonction défini sur par f ( x) x x. Pour tout nombr rél x, f '( x ) st égal à a) b) c) ( x) x x x. La tangnt à la courb rprésntativ d f au point d absciss 0 a pour équation : a) y x b) y x c) y x Stockr 0 dans N t 00 dans U Tant qu...fair Stockr...dans N Stockr Fin tant qu Affichr N. dans U 3. La fonction f st convx sur : a) ]- ; [ b) ],5 ; + [ c) ] ; + [. 4. Un primitiv d f sur st la fonction F défini sur par : x² a) F( x) ( x ) b) F( x) ( x) c) F( x) x² x x x

2 Exrcic 3 : sur 6 points On considèr la fonction f défini sur [ ; 3 ] par f ( x) 3x xln( x). Démontrr qu f '( x) ln( x). a) Résoudr l inéquation ln( x) 0 sur [ ; 3 ] b) En déduir l tablau d variation d f sur [ ; 3 ]. 3. Justifir qu l équation f(x) =4 a dux solutions dans [ ; 3 ]. Donnr pour chacun la valur arrondi à l unité près d sort qu f(x) >4. 4. Un société d achats n lign vut analysr l déroulmnt d un vnt promotionnll «flash» qu ll organis sur Intrnt. tt vnt, d un duré annoncé d 0 minuts, a provoqué sur son sit un flux dont l intnsité a été variabl n fonction du tmps. On suppos qu aucun achat n st possibl pndant la prmièr minut. En notant x, l tmps écoulé n minut dpuis l départ d l opération, on admt qu f(x) msur l flux instantané, n millirs d uros par minut t qu la somm total n millir d uros transféré dpuis la prmièr minut t jusqu à la fin ds 0 minuts st modélisé par 0 f ( x) dx. a) En utilisant l étud d f fait précédmmnt, détrminr sur qull plag horair l flux instantané st supériur à 4000 par minut. b) A l aid d la calculatric donnr un valur approché au cntièm d 0 3 x x ln x dx t n déduir la somm total transféré dpuis la prmièr minut t jusqu à la fin ds 0 minuts. Arrondir à 0 près. Exrcic 4 : pour ls élèvs n suivant PAS LA SPE MATHS : sur 4 points Un productur d fruits rougs propos n vnt dirct ds framboiss, ds grosills t ds myrtills. L clint put achtr soit ds barqutts d fruits à dégustr, soit ds barqutts d fruits à confitur. L productur a rmarqué qu, parmi ss clints, 9 sur 0 achètnt un barqutt d fruits à confitur. Lorsqu un clint achèt un barqutt d fruits à confitur, la probabilité qu il dmand un barqutt d myrtills st 0,3, t la probabilité qu il dmand un barqutt d grosills st 0,5. Lorsqu un clint achèt un barqutt d fruits à dégustr, il n dmand jamais d grosills t il dmand ds framboiss dans 60 % ds cas. Un clint achèt un barqutt. On not : l événmnt : «l clint achèt un barqutt d fruits à confitur» ; F l événmnt : «L clint dmand ds framboiss» ; G l événmnt : «L clint dmand ds grosills» ; M l événmnt : «L clint dmand ds myrtills».. Rportr sur un arbr pondéré ls donnés d l énoncé t l complétr par déductions.. a) Donnr la probabilité qu l clint dmand ds framboiss sachant qu il achèt un barqutt d fruits à confitur. b) L clint achèt un barqutt d fruits à dégustr. Qull st la probabilité qu il dmand ds myrtills? 3. a) Qull st la probabilité qu l clint achèt un barqutt d fruits à confitur t qu il dmand ds framboiss. b) Montrr qu la probabilité pour qu l clint achèt un barqutt d framboiss st égal à 0,4. 4. L clint achèt un barqutt d framboiss. Qull st la probabilité qu c soit un barqutt d fruits à confitur?

3 NOM : LASSE : Exrcic 4 : pour ls élèvs suivant LA SPE MATHS : sur 4 points A RENDRE AVE LA OPIE Ls points d collct d un camion d un société rcyclant ds «déchts papir», ainsi qu l tmps d trajt ( n minuts ) ntr cs différnts points, sont rprésntés par l graph n. L dépôt st rprésnté par l sommt A t ls autrs sommts rprésntnt ls différnts points d collct. ) Afin d rndr son plan plus lisibl, l chauffur du camion souhait colorr ls sommts du graph rprésntant son résau d manièr à c qu dux sommts adjacnts n aint jamais la mêm coulur. a) Put-il utilisr sulmnt trois coulurs? Justifir. b) Proposr, n vous aidant d l algorithm d Wlch-Powll, un coloration du graph. ) On appll M la matric associé au graph n, M étant construit n utilisant ls sommts dans l ordr alphabétiqu. On donn ci-dssous la matric M 4 : ombin y-a-t-il d trajts possibls prmttant d allr du dépôt A au point d collct H n quatr étaps? Justifir la répons. 3) L conductur doit s rndr du dépôt A au point d collct H. Il chrch l chmin qui minimis l tmps d trajt. Détrminr c chmin n xpliquant l procédé utilisé, t précisr l tmps d parcours obtnu. 4) L point d collct H st lui-mêm un lotissmnt résidntil privé dont un plan st rprésnté à l aid du graph ( non pondéré ) ci-dssous. Ls sommts sont ls différnts carrfours t ls arêts sont ls vois d circulation. a) Justifir qu l graph st connx. b) L conductur du camion doit passr l long d chaqu voi afin d collctr ls déchts individuls d chaqu habitation. Il ntr dans l lotissmnt par l sommt 8. Lui st-il possibl d parcourir l lotissmnt n mpruntant chaqu voi un fois t un sul? Justifir.

4 ORRIGE Exrcic : sur 6 points Parti A : Etud d un suit (u n ) st la suit défini par u 0 =00 t pour tout nombr ntir naturl n, u n+ =0.8 u n +3. La suit smbl êtr décroissant t avoir pour limit Soit (v n ) la suit défini pour tout ntir naturl n, par v n =u n 5 a. Démontrons qu (v n ) st un suit géométriqu : pour tout ntir naturl n, vn un 5 0.8u n ( vn 5) 0.8v n La suit ( v n ) st donc géométriqu d raison q= 0.8 t d prmir trm v 0 =u 0-5=85.5 b. D après l cours on sait qu v n =v 0 q n donc ici v n = n 0.5 c. omm u n =v n +5 On n déduit u n = n Sns d variation d (u n ) : on calcul pour tout n u n+ -u n t on étudi son sign u n+ -u n = n n +5= n ( 0.85 )= n -0.5 nombr négatif donc la suit ( u n ) st décroissant 0.75 Limit d (u n ) : Quand n tnd vrs +, 0.8 n tnd vrs 0 (car 0.8 st ntr 0 t ) donc n tnd vrs 0 t donc n tnd vrs onclusion : la suit tnd vrs 5 4. On chrch l plus ptit ntir naturl n tl qu u n < 6. On put fair un tablau d valurs d Y = ^X à la calculatric : L plus ptit ntir n tl qu u n <6 st donc n= 0 ou bin on put utilisr l logarithm pour résoudr l inéquation u n < 0 n n n n (/ 85) ln(0.8 ) ln(/ 85) n ln(0.8) ln(/ 85) n ln(/ 85) / ln(08) car ln(0.8)<0 Or ln(/ 85) 9.9 d où n égal au minimum à ln(.8) Parti B : Un situation concrèt. a) n 00 il y aura 00 0% d 00+3 ( rplantés) = 83 millirs d hctars 0.50 b) n 00 il ya aura 83-0% d = =69.4 millirs d hctars Si on admt qu la suit (u n ) défini n parti A modélis ctt situation comm on a vu qu la suit st décroissant, on voit qu l action d l organisation n sra pas suffisant pour rtrouvr dans qulqus décnnis la couvrtur forstièr d Stockr 0 dans N t 00 dans U Tant qu u > ou = 6fair Stockr N+ dans N Stockr U *0.8+3 dans U Fin tant qu Affichr N. ou bin( autr possibilité) Stockr ^N+5dans U

5 Exrcic : sur 4 points. Pour tout nombr rél x, x x x f '( x) x ( ) ( x) répons c. La tangnt à la courb rprésntativ d f au point d absciss 0 a pour équation : y f '(0)( x 0) f (0) répons a 0 f '(0) ( 0) t f (0) 0 donc y x 3. D après l graphiqu suls ls réponss b) t c) puvnt convnir. On put calculr la dérivé scond d f x x x x x x f ''( x) ( x)( ) x ( x ) La dérivé scond d f st négativ sur ]- ;[ t positiv sur ] ;+ [ donc f st convx sur ] ; + [ répons c 4. On dériv F dans chaqu cas t on chrch quand F (x)= f(x) x² x² x² a) F( x) ( x ) donc F '( x) ( x) ( x )( ) ( x ) x x x x b) F( x) ( x) donc F '( x) ( x)( ) x c) F( x) x² x x x x x On trouv donc qu la bonn répons st la b Exrcic 3 : sur 6 points. f '( x) 3 ( ln( x) x ) 3 ln x ln x x. a) Pour tout x [; ] : ln( x) 0 ln( x) ln( x) x omm, on a : 3 b) D après a), f '( x) 0 sur 3 S [ ; ] [ ; ]. On n déduit l tablau d variation d f suivant : x 3 Sign d f '( x ) + 0 Variation d f ) J ai complété l tablau d variations d f, j n déduis qu l équation f( x) 4 a xactmnt dux solutions : 3 t avc [; ] t [ ; ].

6 A l aid d la calculatric on a : t 5 6. omm on souhait avoir f( x) 4, on choisira comm valur approché d t 5 comm valur approché d 4) a) L flux instantané st supériur à lorsqu f( x) 4 donc lorsqu x [;5] donc d la à la 0 minut. 0 b) A l aid d la calculatric on a : (3x xln x) dx On n déduit qu la somm transféré ntr la t la 0 minut st d nviron Exrcic 4 : sur 4 points. L énoncé s traduit par l arbr pondéré ci-dssous : M 0,3 0,5 G 0,9 0, F 0, 0,4 M 0 0,6 G F. a) On chrch p ( F ). On déduit d l arbr pondéré qu p ( F) 0.. Donc la probabilité qu l clint dmand ds framboiss sachant qu il achèt un barqutt d fruits à confitur st égal à 0.. b) On chrch p ( M ). On déduit d l arbr pondéré qu p ( M) 0.4. Donc la probabilité qu l clint dmand ds myrtills sachant qu il a achté un barqutt d fruits à dégustr st égal à a) On chrch p( F ). On a p( F ) p( ) p ( F) La probabilité qu l clint achèt un barqutt d fruits à confitur t qu il dmand ds framboiss st égal à 0.8. b) On chrch pf ( ). D après ls propriétés d l arbr, on a : p( F) p( F ) p( F ) La probabilité qu l clint achèt un barqutt d framboiss st donc égal à 0,4. p( F ) On chrch pf ( ). On a pf ( ) 0.75 pf ( ) 0.4 Donc la probabilité qu l clint dmand un barqutt d fruits à confitur sachant qu il a achté un barqutt d framboiss st égal à 0.75.

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