La calculatrice est autorisée. CORRIGE. x 2. g x

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1 Mathématiques TS Continuité et TVI IE Lundi 0 novembre «C est justement pour préserver ce qui est neuf et révolutionnaire dans chaque enfant que l éducation doit être conservatrice, c'est-à-dire assurer "la continuité du monde"» Hannah ARENDT La responsabilité La calculatrice est autorisée CORRIGE Eercice N (8 points) On considère la fonction g définie sur par : g = cos On rappelle que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur de dérivées respectives les fonctions : cos et sin Montrer que pour tout réel, on a : En déduire le sens de variation de la dérivée g '' = + cos g ' de la fonction g La fonction est dérivable sur en tant que fonction polynôme La fonction cos est dérivable sur comme opposée d une fonction dérivable sur Pour tout réel on a alors : g ' = 0 ( sin) = + sin La fonction g ' est elle-même dérivable sur comme somme de deu fonctions dérivables sur cet intervalle : la fonction polynôme et la fonction sinus Pour tout réel, on a alors : g '' = + cos Pour tout réel, on a : cos, d où : cos 0 Par ailleurs, la fonction g '' ne s annule qu au points = kπ ( k ) On en déduit finalement : k La fonction g ' est strictement décroissante sur Interrogation N [ - 8 ]

2 Mathématiques TS Continuité et TVI IE Lundi 0 novembre En notant que l on a g '0 = 0, déduire de la question précédente le signe de la fonction g ' sur puis les variations de la fonction g sur On a immédiatement : g '0 = 0+ sin0= 0 Comme la fonction g ' est strictement décroissante sur, on en déduit immédiatement : a Si 0 b Si 0 On en déduit alors : <, on a : >, on a : g' > 0 ; g' < 0 La fonction g est strictement croissante sur et strictement décroissante sur + Démontrer que l équation g = admet une unique solution α sur + La fonction g est continue sur + car elle est continue sur (cf la question ) Par ailleurs, d après la question précédente, elle est strictement décroissante sur cet intervalle 0 On a aussi : g ( 0) = cos0= = > cos Enfin, on a : lim g = lim cos = lim On a classiquement : lim = lim = Comme * * cos +, cos, on aussi : +, Et comme : lim lim 0 + = =, le théorème des gendarmes nous permet de + cos cos conclure : lim = 0 Puis (somme) : lim + = + cos Comme : lim, il vient finalement : lim + + = Le théorème de la bijection nous permet alors de conclure : L équation f = admet une unique solution α sur + Interrogation N [ - 8 ]

3 Mathématiques TS Continuité et TVI IE Lundi 0 novembre 4 Donner un encadrement de α d amplitude 0 (on détaillera la démarche) En tabulant la fonction h avec un pas égale à, on obtient : < α < En la tabulant ensuite avec un pas égal à 0, on obtient :, 9 < α <, 0 En la tabulant enfin avec un pas égal à 0, on obtient :, 9 < α <, 9 A titre de complément, nous fournissons la courbe représentative de la fonction h : y 5 y =- - cos() y = 05 A h -5 Interrogation N [ - 8 ]

4 Mathématiques TS Continuité et TVI IE Lundi 0 novembre Eercice N ( points) D par : On considère la fonction f définie sur = { ;} f + = Pourquoi la fonction f est-elle continue sur D? La fonction f est une fonction rationnelle A ce titre elle est continue sur tout intervalle de ; ; + et sur son ensemble de définition Elle est continue, en particulier, sur ] [, ] [ ] + ; + [ Montrer que pour tout de D, on a : f ' = g ( ) g où = 4 La fonction f est dérivable, en tant que fonction rationnelle, sur tout intervalle de son ensemble de définition Pour tout de D, on a donc : f ' où g ( ) 4 4 ( 4) g ( ) ( ) ( ) = + + = = = = = ( ) 4 Etudier les variations de la fonction g et en donner le tableau de variation La fonction g est dérivable sur (nous l étudions sur cet ensemble même si, au niveau de la fonction dérivée f ' les valeurs et devront être écartées) On a d abord : 4 lim g = lim ( 4) = lim = 4 lim g = lim ( 4) = lim =+ La fonction g est dérivable en tant que fonction polynôme et on a, pour tout réel : = = ( ) = ( )( + ) g' Interrogation N [ 4-8 ]

5 Mathématiques TS Continuité et TVI IE Lundi 0 novembre On note que les deu valeurs qui annulent fonction f : a Pour tout réel de ] ; [ ] + ; + [, on a : strictement croissante b Pour tout réel de ] ; + [, on a : décroissante ( ) g ' sont les deu valeurs interdites de la g' > 0 et la fonction g est g' < 0 et la fonction g est strictement g = 4= + 4= g = 4= 4= 6 Les éléments précédents nous permettent de donner le tableau de variation de g : + g '( ) g Montrer que la fonction g s annule pour un unique réel que l on notera β La fonction g est strictement croissante sur l intervalle ] ; ] et strictement décroissante sur l intervalle [ ; + ] Elle admet donc un maimum en Or, g ( ) = On en déduit que pour tout réel de l intervalle ] ; + ], on a : g g( ) < 0 La fonction g ne s annule donc pas sur l intervalle ] ; + ] Sur l intervalle [ + ; + [ la fonction g est continue et strictement croissante On a : g = 6 et lim g = + + D après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste donc dans l intervalle ] + ; + [ un unique réel β tel que g ( β ) = 0 5 Déduire de ce qui précède le signe de g sur D On a vu que la fonction g prenait des valeurs strictement négatives sur l intervalle ; + ] ] Interrogation N [ 5-8 ]

6 Mathématiques TS Continuité et TVI IE Lundi 0 novembre Par ailleurs, sur l intervalle [ + ; + [, la fonction g est strictement croissante et s annule en une seule valeur : β On en déduit : Sur [ + ; β[, la fonction g prend des valeurs strictement négatives ; Sur ] β ; + [, la fonction g prend des valeurs strictement positives En définitive : Sur ] ; β[, la fonction g prend des valeurs strictement négatives ; Sur ] β ; + [, la fonction g prend des valeurs strictement positives ; g ( β ) = 0 6 Dresser le tableau de variation de f (on ne donnera pas de valeur approchée de f ( β ) ) Dans un premier temps, nous allons déterminer les limites de f au bornes de l ensemble D, c'est-à-dire en, (à gauche et à droite), en (à gauche et à droite) et en + La fonction f étant rationnelle, on a : Et, de façon similaire : + + = = = = + lim f lim lim lim lim f lim lim = = = + Déterminons maintenant : lim f < et lim f > On a, pour tout réel de D : f Classiquement : lim = et + Par ailleurs : < lim = = = + + lim = + + > ( + ) ( ) ( + ) = = Interrogation N [ 6-8 ]

7 Mathématiques TS Continuité et TVI IE Lundi 0 novembre Finalement (multiplication) : lim < f = + et lim f > = On procède de façon similaire pour déterminer : lim et lim < f < f > ( + ) + On a cette fois, pour tout réel de D : f = = + Classiquement : lim = et lim = + > ( + ) ( + ) Par ailleurs : lim = = + + Finalement (multiplication) : lim f < = et lim f > = + La question précédente nous a permis de déterminer le signe de la fonction g pour tout réel Nous allons maintenant pouvoir donner celui de la dérivée f ' de la fonction f En effet, nous avons vu à la question que nous avions, pour tout de D : f ' ( ) ( 4) ( ) g = = Le dénominateur étant strictement positif, le signe de f '( ) est celui du produit g( ) On a immédiatement le tableau de signe : 0 β g ( ) 0 + f '( ) Les éléments précédents nous permettent maintenant de donner le tableau de variation de la fonction f : 0 β + f '( ) f f ( β ) Interrogation N [ 7-8 ]

8 Mathématiques TS Continuité et TVI IE Lundi 0 novembre 7 Donner, suivant la valeur du réel k, le nombre de solutions de l équation f = k (aucune justification n est attendue) La discussion (pas de justification demandée) peut être menée à partir du tableau de variation ou en s aidant de la calculatrice Dans cette perspective, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique de la fonction f (en bleu) : Il vient alors : Si k < 0 solutions ; Si k = 0 solutions ; 0 < k < f β solution ; Si Si k = f ( β ) solutions ; Si k > f ( β ) solutions Interrogation N [ 8-8 ]