Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014

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1 Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique 25 août

2 1 Calculs dans R 1.1 Fractions Eercice 1 Pour a = 4/9 et b = 5/12, calculer a + b, a b, ab et a/b. On donnera le résultat sous forme d une fraction irréductible. Eercice 2 Résoudre dans R, les équations = 0 (1) = + 1 Eercice 3 Résoudre dans R, les inéquations > 0 (3) < + 1 (2) (4) 1.2 Développer et factoriser Eercice 4 Soient a et b deu réels, factoriser les epressions suivantes : a 2 b 2 a 3 b 3 a 3 + b 3 Eercice 5 Soient a, b et c trois réels. Calculer les epressions suivantes : (a + b) 2 + (a b) 2 (a + b) 3 (a b) 3 (a + b + c) 2 + (b c) 2 + (c a) 2 + (a b) 2 Eercice 6 Soient a, b, et y quatre réels. Factoriser les epressions suivantes : 5( + 2y) 10( + 2y)( 3) y y + 1 a 2 2 b 2 y 2 2

3 1.3 Racines carrées Eercice 7 1. Ecrire plus simplement 12 3, ( 2 3 ) ( ), ( ) Soient A = 2 5 et B = En calculant A 2 et B 2, justifier que A 2 = B 2. Peut-on en déduire que A = B? 3. Justifier les égalités suivantes : 1 2 = 2 2 ; = ; = 4 ( 5 3 ). 1.4 Inégalités, intervalles et valeur absolue Eercice 8 Compléter (on justifiera les résultats) : est dans l intervalle [ 2, 4] est dans l intervalle... est dans l intervalle ], 5] 1 est dans l intervalle... Eercice 9 Soient a, b, c, d R. On suppose a < b et c < d. 1. Dans quels cas l intersection [a, b] [c, d] est-elle vide? 2. Dans quels cas est-ce un intervalle non vide? Lequel? 3. Dans quels cas est-ce un singleton? Lequel? 4. Dans quels cas l union [a, b] [c, d] est-elle un intervalle? Lequel? On illustrera chaque cas par un eemple. Eercice 10 Déterminer les intervalles de R définis par les conditions suivantes sur : > 1. 3

4 2 Les nombres complees 2.1 Forme algébrique Eercice 11 Soient z = 2 + 3i et z = i 4. Ecrire sous forme algébrique z + z, z z, 3z 2z, zz et z 2. Eercice 12 Soient z = 5 + 2i et z = 1 + 4i. Calculer z, z, z + z, z + z, z + z, zz, zz, zz, zz, z z. Eercice 13 Mettre sous forme algébrique les nombres suivants : 3 + 6i 3 4i ; ( ) i ; 2 i 2 + 5i 1 i + 2 5i 1 + i ; 5 + 2i 1 2i. 2.2 Racines carrées Eercice 14 Calculer les racines carrées de 0, 1, 1, 2, 2, 1 2 et Représentation géométrique, affie d un point, d un vecteur Eercice 15 Placer dans le plan complee, les points d affies : z 1 = 1 + 2i ; z 2 = 2 ; z 3 = 2 + i : z 4 = 1 2i ; z 5 = 3i ; z 6 = 1 2i ; z 7 = 2i ; z 8 = 2i 1 : z 9 = z 1 + z 2 ; z 10 = z 1 z 2. ( Eercice 16 Le plan est rapporté au repère orthonormé O, OP, ) OQ. 4

5 S Q P O Q P R T Quels sont les affies des points O, P, Q, P, Q, R, S et T? 5

6 3 Equations du second degré Eercice 17 Soient a, b et c trois nombres réels tels que a soit non nul. On considère l équation (E) qui a pour inconnue : (E) a 2 + b + c = Dans quel cas cette équation a-t-elle : (i) deu solutions réelles distinctes? (ii) une solution réelle double? (iii) aucune solution réelle? 2. Dans le cas où l équation (E) admet des solutions réelles, donner l epression des solutions en fonction de a, b et c. 3. Dans le cas où l équation (E) n a pas de solutions réelles, résoudre l équation (E) dans C. Eercice 18 On considère les équations suivantes d inconnue : (1) = 0 (2) = 0 (3) = 0 1. Résoudre ces trois équations dans R. 2. Résoudre l équation (3) dans C. Eercice 19 Soient a, b et c trois nombres réels tels que a soit non nul. On considère le polynôme P de la variable réelle, défini par P () = a 2 + b + c. Donner le tableau des signes de P. On distinguera trois cas selon le signe ou la nullité de. 6

7 Eercice 20 Résoudre les inégalités suivantes : (1) (2) > 0 (3) Eercice 21 Soient a, b et c trois nombres réels tels que a soit non nul. On considère le polynôme P de variable réelle, défini par P () = a 2 + b + c. 1. Dans quel cas le polynôme P est-il factorisable dans R? 2. Dans le cas où l équation P () = 0 a deu solutions réelles distinctes α et β, donner la factorisation de P dans R. 3. Même question dans le cas où l équation a une solution double α. 4. Dans le cas où P n est pas factorisable dans R, on note α et α les solutions complees de l équation P () = 0. Donner alors la factorisation de P dans C. Eercice 22 On considère les polynômes suivants de la variable : P () = Q() = R() = Le polynôme P est-il factorisables dans R? Si oui, le factoriser dans R. Sinon le factoriser dans C. 2. Même question pour le polynôme Q. 3. Même question pour le polynôme R. Eercice 23 Soient u, v > 0 tels que u v = u + v et soit r = u u v. 1. De quelle équation du second degré le rapport r est-il solution? 2. En déduire la valeur de r. 7

8 4 Trigonométrie 4.1 Fonctions trigonométriques Eercice 24 Soit un réel. Résoudre les équations suivantes : cos() = sin() = 2 tan() = 1 3 cos(3 + 1) = 2 Eercice 25 Soit un réel. Résoudre les équations suivantes : ( cos + π ) ( π ) = cos ( π ) sin(2) = cos 3 Eercice 26 Soit θ un nombre réel. On pose A = sin(θ) + cos(θ) ; B = sin(θ) cos(θ) ; C = sin 4 (θ) + cos 4 (θ). On se propose d eprimer B et C en fonction de A. 1. Calculer A 2 en fonction de B et en déduire B en fonction de A. 2. Eprimer C + 2B 2 comme un carré. En déduire C en fonction de B puis C en fonction de A. Eercice 27 On considère la fonction f définie par f : R R sin 2 () tan 2 () 8

9 1. Déterminer l ensemble de définition de f. 2. Simplifier l epression de f. Eercice 28 Soient, y R. 1. Eprimer cos( + y) et sin( + y) en fonction de cos, sin, cos y, et sin y. 2. En déduire les formules analogues pour cos( y) et sin( y). 3. En déduire les formules pour cos(+π), sin(+π), cos( π 2 ), sin( π 2 ). 4. De même, eprimer cos(2) et sin(2) en fonction de cos et sin. 5. Eprimer cos(2) seulement en fonction de cos, puis seulement en fonction de sin. 6. Eprimer cos 2 et sin 2 en fonction de cos(2). Eercice 29 Soit un réel. Démontrer que si on pose t = tan ( 2) alors cos() = 1 t2 1 + t 2 sin() = 2t 1 + t Forme trigonométrique et forme eponentielle des nombres complees Eercice 30 Ecrire sous forme algébrique les nombres complees suivants : 1. le nombre complee de module 2 et d argument π 3, 2. le nombre complee de module 3 et d argument π 8. Eercice 31 Donner les formes trigonométriques de : z 1 = 1 + i ; z 2 = 3 + i : z 3 = 1 i 3 : z 4 = i. 9

10 Eercice 32 Soient u = 6 i 2 2 et v = 1 i. 1. Calculer le module et l argument de u et v. 2. Claculer le module et l argument de w = u v. Eercice 33 On considère les deu nombres complees suivants : z 1 = e i π 3 et z 2 = e i π Ecrire z 1 et z 2 sous forme algébrique. 2. Ecrire z 1 z 2 sous forme algébrique, eponentielle et trigonométrique. 3. En déduire la valeur eacte du cosinus et du sinus suivants : cos π 12 et sin π

11 5 Les fonctions 5.1 Domaines de définition Eercice 34 Déterminer l ensemble de définition des fonctions suivantes : (a) f() = (b) f() = e +1 (a) f() = (b) f() = 2 4 (c) f() = 1 ( 1)(2 ) (d) f() = cos + 1 (e) f() = ln (f) f() = ln(2 + 3) Eercice 35 L égalité ln[( 3 + 1) 2 ] = 2 ln( 3 + 1) est-elle vraie pour tout dans R? 5.2 Limites Eercice 36 Calculer les limites suivantes : 1. lim ( ln ) et lim( ln ) lim 0 ( ) ln 3. lim + 2 e e lim + e lim + 3 e et lim 3 e 11

12 5.3 Dérivées Eercice 37 Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1. f() = f() = ( 2 3) 3. f() = f() = f() = f() = f() = cos(3 1) 8. f() = sin(2 5) 9. f() = f() = ln( ) 11. f() = e cos Eercice 38 Soir f la fonction de R dans R donnée par f : Déterminer le domaine de définition D f de f. 2. Calculer la dérivée de f. 3. Quel est le signe de la dérivée de f sur D f? 4. La fonction f est-elle croissante sur D f? Est-elle décroissante sur D f? 5.4 Etudes de fonctions Eercice 39 Soit f la fonction définie sur [ 2, 4] et dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. 12

13 1. Quel est le nombre de solutions de l équation f() = 2? 2. Quel est le nombre de solutions positives de l équation f() = 1 2? 3. Compléter : si 1 3 alors... f()... Eercice 40 g est une fonction dérivable sur R ayant pour tableau de variations : Quelle est la limite lorsque tend vers + de g ( ) 1? 13