Exercices : Nombres complexes

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1 Exercices : Nombres complexes Exercice Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants: z = i, z = e iθ + e iθ, z = i ( + i) Exercice Soit z le complexe défini par. Mettre z sous forme cartésienne z = ( + i )5 + i. Calculer le module et l argument de z. En déduire la valeur de cos( 7π 7π ) et sin( ) Exercice Résoudre dans C l équation: ( + iz) n + ( iz) n = 0 (n est un entier) Exercice Determiner l ensemble des points M d affixe z vérifiant la condition suivante:. z = z i. z z+i est imaginaire pur. Exercice 5 Résoudre l équation z +iz +(+i)z 5 = 0, sachant qu il y a une solution réelle et une solution imaginaire pure. Exercice 6 Linéariser cos 5 (θ) et sin 5 (θ) (θ R) Exercice 7 Calculer les racines carrées de + i et en déduire la valeur de cos( π 8 ), sin( π 8 ) Exercice 8 Calculer les racines carrées de 0i Exercice 9 Résoudre les équations:. z = ( + i). exp(z) = + i (où exp(x + iy) = exp(x)exp(iy))

2 Indications pour l exercice z s écrit comme une somme d exponentielles complexes. On peut donc utiliser la technique de l arc moitié. Indications pour l exercice Ne surtout pas développer ( + i )5 avec la formule du binôme, cela compliquerait les choses: quand on doit calculer une puissance d un nombre complexe, il est plus simple de mettre ce nombre sous sa forme polaire. Indications pour l exercice Mettre cette équation sous la forme Z n =, calculer les valeurs de Z et en déduire celles de z. Indications pour l exercice On peut raisonner de manière géométrique, en interprétant cette relation, ou de manière calculatoire, en posant z = x + iy, avec x, y réels. Indications pour l exercice 5 Poser z = x + iy, avec x et y réels. Ensuite, ne pas oublier qu un complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles. Indications pour l exercice 6 Utiliser les formules d Euler Indications pour l exercice 7 Calculer les racines carrées de +i sous formes: sous la forme cartésienne x + iy, puis sous la forme polaire re iθ. Identifier les deux écritures ensuite. Indications pour l exercice 8 Utiliser le cours! Indications pour l exercice 9. Appliquer le cours!. Chercher z sous la forme z = x + iy. Utiliser module et argument.

3 Correction de l exercice. z = i = i = arg(z ) = arg( i) = arg( ) + arg(i) = π + π [π]. z = e iθ + e iθ on n écrit SURTOUT PAS e iθ + e iθ = e iθ + e iθ Quand on a affaire à une somme d exponentielles complexes, il faut penser à la technique de l arc moitié, qui transforme cette somme en produits. z = e iθ + e iθ = e i θ (e i θ + e i θ ) = e i θ cos( θ ) Mis sous cette forme, c est beaucoup plus facile: z = e i θ cos( θ ) = cos( θ ) On a donc deux cas: er cas: si θ [0, π], z = cos( θ ) eme cas: si θ [π, π], z = cos( θ ) De même, arg(z ) = arg(e i θ cos( θ )) = arg(ei θ ) + arg(cos( θ )) On a donc deux cas: er cas: si θ [0, π], cos( θ ) 0, donc: arg(z ) = θ [π] eme cas: si θ [π, π], arg(z ) = θ + π [π] i ( + i). z = ( arg(z ) = arg = i i ( + i) = ) + arg( + i) = π + π = pi [π] Correction de l exercice. On a z = ( + i )5 + i Une mauvaise idée serait de développer ( mènerait à des calculs très lourds, et quasi obligatoirement à des erreurs. + i )5 avec la formule du binôme de Newton. En effet cela Quand on doit calculer des produits de nombres complexes, il est plus simple d utiliser la forme polaire. Or + i = ei π 6 et + i = e i π. Donc z = ( e i π 6 e i π ) 5 = = + i + i = 6 + i 5π ei 6 e i π ( = ( ( 6 + ) + i ( i ) + i )( i ) ) +

4 ( ) ( 6 ) D où z = 6 + i +. D autre par, z = 5π ei 6 e i π = e i 7π Ainsi z = et arg(z) = 7π [π]. D après les questions précédentes, ( ) ( ) 6 6 z = + i + = cos ( ) 7π + i sin ( ) 7π Deux complexes sont égaux ssi leurs parties réelles et imaginaires sont égales, d où: cos ( ) 7π = 6 + sin ( ) 7π = 6 + Correction de l exercice Si iz 0, on peut écrire: ( + iz) n + ( iz) n = 0 ( ) + iz n = iz Mais iz = 0 z = i, ce qui n est pas une solution de l équation. On est donc ramené à résoudre ( ) + iz n = iz Posons Z = +iz iz. Comme Zn =, on a n valeurs possibles de Z, qui sont: Exprimons maintenant z en fonction de Z. Z = e i( π n +k π n ), k = 0,..., n Z = + iz iz + iz = ( iz)z z(i + iz) = Z Pour exprimer z en fonction de Z, on est donc amené à diviser par (i+iz), et donc à se demander si i+iz = 0. er cas: n est pair i + iz = 0 Z = Alors comme Z n =, on n a jamais Z =. On a donc z = Z i + iz En remplacant Z par e i( π n +k π n ), on a: z = ei( π π +k n n ), k = 0,..., n i + ie i( π n +k π ) n Utilisons la technique de l arc moitié pour donner une expression plus simple de ces solutions e i( π n +k π n ) i + ie i( π n +k π n ) = = e i( π n +k π n ) e i0 i(e i0 + e i( π n +k π n ) ) e i( π n + kπ n ) ( e i( π n + kπ n ) + e i( π n + kπ n )) ( ie i( π n + kπ n ) e i( π n + kπ n ) + e i( π n + kπ )) n = i sin ( π n + kπ ) n i cos ( π n + kπ ) n ( π = tan n + kπ ) n

5 L équation a n solutions, qui sont z = tan ( π n + kπ ) n, k = 0,..., n ième cas: n est impair Parmi les n valeurs de Z, il y a. ( quand k = n ) Les calculs sont les mêmes qu au cas précédents, on obtient : L équation a n solutions, qui sont z = tan ( π n + kπ ) k = 0,..., n n, k n Correction de l exercice. On peut raisonner géométriquement ou par le calcul. Méthode calculatoire: Posons z = x + iy, avec (x, y) R On cherche (x, y) R tq: x + iy = x + iy i x + iy = x + iy i car tout est positif x + y = x + (y ) x + y = x + y + 8y = x + y 8y = x + y 8 y = x + (y ) = x + (y ) Ainsi, l ensemble cherché est le cercle de centre (0, ) et de rayon Méthode géométrique: Si on désigne par M le point du plan d affixe z, A le point d affixe i, O l origine du plan. On cherche donc l ensemble des points M tels que OM = AM OM = AM. Or OM = AM 0 = ( OM AM).( OM + AM) Notons I le barycentre des points (A, ) et (O, ) Notons J le barycentre des points (A, ) et (O, ) On a donc: OM AM = ( ) IM et OM + AM = () JM. Donc OM = AM IM. JM = 0 Ainsi, l ensemble cherché est un cercle de diamètre IJ. Posons z = x + iy, avec (x, y) R On cherche (x, y) R tq: a R tq (x+iy) x+iy+i = ia (x + iy) x + iy + i = ia x y + ixy x + i(y + ) = ia x y + ixy = iax a(y + ) x y = a(y + ) xy = ax 5

6 L équation xy = ax nous conduit à distinguer cas: er cas: x = 0 On a donc z = iy. Ainsi z z + i = y i(y + ) = iy, ce qui est un imaginaire pur y. (y + ) Ainsi dans ce cas la droite x = 0 est l ensemble des points cherchés. ième cas: x 0 x On a y = a(y + ) x y = a(y + ). xy = ax y = a on a ainsi x y = y(y + ) x y = y y x + y + y = 0 x + (y ) = L ensemble est dans ce cas le cercle de centre (0, ) et de rayon. Conclusion: L ensemble des points z tq z z + i est imaginaire pur est l union de Oy et du cercle de centre (0,), de rayon Correction de l exercice 5 Cherchons la solution réelle L équation possède une solution réelle donc x R tq x + ix + ( + i)x 5 = 0 x + x 5 + i(x + x) = 0 A = x + x 5 + i(x + x) est nul ssi Re(A) et Im(A) sont nuls, or Re(A) = x + x 5 Im(A) = x + x x R ( si x C, on ne pourrait pas écrire ceci) Ainsi x solution réelle x + x 5 = 0 () x + x = 0 () car () possède solutions ( 0 et ), or seul est solution de (). La seule solution réelle est donc x =. Cherchons la solution imaginaire pure L équation possède une solution imaginaire pure donc y R tq (iy) + i(iy) + ( + i)(iy) 5 = 0 y y 5 + i( y + y) = 0 B = y y 5 + i( y + y) est nul ssi Re(B) et Im(B) sont nuls, or Re(B) = y y 5 Im(B) = y + y y R ( si y C, on ne pourrait pas écrire ceci) Ainsi iy solution imaginaire pure y y 5 = 0 () y + y = 0 () car () possède solutions ( 0 et i), or seul i est solution de (). La seule solution réelle est donc y = i. 6

7 On va pouvoir factoriser le polynôme z + iz + ( + i)z 5 par (z i)(z + ). Par identification, ou toute autre méthode, on obtient: z + iz + ( + i)z 5 = (z + )(z z + iz + 9z 5) = (z + )(z i)(z z + iz 5i) Il reste donc à trouver les racines du polynôme z z + iz 5i. Or on connait la méthode!! = (i ) + (5i) = i Calculons α une racine carrée de. On a = e π, donc on trouve immédiatement α = (e i π ) = + i. Les deux racines de z (i + )z z i sont donc (i ) i = i + et (i )++i = i + Les solutions de l équation sont donc i + ; i + ;, i Correction de l exercice 6 On va appliquer les formules d Euler. ( e cos 5 iθ + e iθ (θ) = ) 5 = ( 5 e i5θ + 5e iθ e iθ + 0e iθ e iθ + 0e iθ e iθ + 5e iθ e iθ + e 5iθ) = ( 5 e i5θ + 5e iθ + 0e iθ + 0e iθ + 5e iθ + e 5iθ) = ) ((e i5θ 5 + e 5iθ ) + 5(e iθ + e iθ ) + 0(e iθ + e iθ ) = ( cos(5θ) + 0 cos(θ) + 0 cos(θ)) 5 = 6 cos(5θ) cos(θ) cos(θ) On applique la même méthode pour sin 5 (θ). On trouve sin 5 (θ) = 6 sin(5θ) 5 6 sin(θ) sin(θ) Correction de l exercice 7 On a vu dans le cours la façon générale de calculer les racines carrées d un nombre complexe lorsque celui ci est sous forme polaire; on a vu de plus une autre méthode pour calculer ces racines sous la forme cartésienne x+iy. Comme + i = e i π, ses racines carrées s écrivent r = e i π 8 et r = e i π 8 Calculons d autre part r et r sous forme cartesienne. Si r = x + iy est tel que r = + i, on a: r = + i (x + iy) = + i (vu en cours) x = + y = xy = x + y = x y = xy = x = ou x = 7 + et y = + et y =

8 On a donc l écriture sous forme cartesienne des deux racines r = e i π 8 et r = e i π 8. Reste à savoir qui est r et r. Cela est facile, car comme π 8 [0, π ], cos( π 8 ) 0. cos ( ) π 8 = + On en déduit que sin ( ) π 8 = Correction de l exercice 8 On utilise les formules du cours. On cherche (x, y) R tq (x + iy) = 0i. D où x = 5 y = (x + iy) = 0i ou x = 5 y = x + y = 0 + x y = xy = 0 x = 5 y = xy = 5 Les deux racines carrées de 0i sont donc 5 i et 5 + i x + y = 6 x y = xy = 0 Correction de l exercice 9. Il s agit içi de calculer les racines ième de ( + i). Appliquons la méthode vue en cours. z = z ( + i) = ( + i) arg(z ) = arg( = ( + i)) z = arg(z) = arg( ) + arg( + i) = π [π] z = arg(z) = π [ π ] = π + k π (k Z) k peut prendre valeurs 0, et, qui donnent les racines: e i π ; e i( π + π ) ; e i( π + π ) Les solutions sont donc: e i π ; e i π ; e i 5π. On a pas vu ce type d équations dans le cours, mais la méthode vue pour calculer les racines n ième fonctionne est une méthode générale qui fonctionne ici. Calculons d abord + i et arg( + i), car on en aura besoin dans la suite. + i = + 9 = + i = ( ) + i = ( ) + i. Donc arg( + i) = π 8

9 Posons z = x + iy, avec (x, y) R. e z = + i e x+iy = + i e x e iy = + i e x e iy = + i arg(e x e iy ) = arg( + i) e x e iy = arg(e x e iy ) = π Comme e x 0, on a e x = e x et arg(e x ) = 0 [π] De plus e iy = et arg(e iy ) = y [π]. e x+iy = + i e x = y = π [π] x = ln( ) y = π [π] Ainsi les solutions de e z = + i sont les complexes z = ln( ) + i( π + kπ), k Z 9