Nombres irrationnels. Jean Etienne ROMBALDI

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1 Nombres irrationnels Jean Etienne ROMBALDI 3 janvier 6

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3 Table des matières Nombres irrationnels Sous-groupes additifs de R Critères d'irrationalité 3 Le théorème d'intégration par parties itéré 3 4 Irrationalité de e r pour r Q 3 5 Irrationalité de π 7 6 Irrationalité de cos ( r) et ch ( r) pour r rationnel strictement positif 9 7 Irrationalité de tan( r) r et th( r) r pour r Q Irrationalité des racines des fonctions de Bessel d'indice entier 7 9 Exercices 3 iii

4 iv

5 Nombres irrationnels Sous-groupes additifs de R Dénition Un sous-groupe additif H de (R, +) est discret si pour tout compact K de R, l'intersection H K est nie Théorème Les sous-groupes additifs de R discrets sont de la forme : où α est un réel Zα = {pα p Z}, Démonstration Il est clair que tout sous-groupe de (R, +) de la forme Zα est discret En eet pour α = c'est clair et pour α tout compact K de R est contenu dans un intervalle [a, b] avec a < b et il n'y a qu'un nombre ni d'entiers p vériant a pα b Réciproquement si H est un sous-groupe discret de (R, +) non réduit à {}, il existe alors un réel a dans H R + ( a H a H) et [, a] H est ni non vide, il admet donc un plus petit élément α > De α H on déduit que Zα ( H De plus, pour tout x H il x existe un entier relatif k tel que x kα < α a (k = E ) et avec x kα H R + on α) déduit du caractère minimal de α que x kα =, soit x = kα Zα On a donc en dénitive H = Zα De manière plus générale on dit qu'un sous-groupe additif H de R n (n ) est discret si pour tout compact K de R n, H K est ni et on a le résultat suivant (voir [5] chapitre IV) Théorème Si H est sous-groupe additif discret de R n alors : H = p Ze j j= où {e,, e p } est un système libre dans R n Théorème 3 Si H un sous-groupe additif de R alors H est dense ou discret Démonstration Si H un sous-groupe additif de R non réduit à {} alors : K = H R + et cet ensemble est non vide minoré par, il admet donc une borne inférieure α

6 Nombres irrationnels On distingue deux cas Si α >, alors α K En eet dans le cas contraire, par dénition de la borne inférieure, on peut trouver x K tel que α < x < α (on suppose que α / H) Pour la même raison, on peut trouver y K tel que α < y < x On a alors < x y < α avec x y H R +, ce qui est contradictoire avec la dénition de la borne inférieure α Avec la structure de groupe additif de H, on déduit alors que H = Zα En eet, Zα H du fait que α appartient au groupe H et pour tout x dans H, il existe k dans Z tel que x kα < α, donc x kα = et x Zα, c'est-à-dire que H Zα Si α =, alors H est dense dans R En eet pour x < y dans R, il existe z dans H R + tel que < z < y x soit < y z x ] x z et pour n z, y [ Z, on a x < nz < y avec nz H z Critères d'irrationalité Pour tout réel θ on note H θ = Z + Zθ le sous-groupe additif de R engendré par et θ Il est déni par : H θ = { p + qθ (p, q) Z } Théorème 4 Un réel θ est irrationnel si et seulement si le sous-groupe additif de R, H θ = Zθ + Z est dense dans R Démonstration Soit θ R irrationnel Si H θ = Zθ + Z est discret il existe alors α R tel que H θ = Zα et du fait que et θ sont dans H, on a = pα, θ = qα avec p, q dans Z ce qui entraîne α Q et θ = qα Q en contradiction avec l'hypothèse de départ En conséquence le groupe H θ n'est pas discret et il est nécessairement dense dans R Soit θ = p rationnel avec p et q entiers premiers entre eux dans Z On a : q H θ = Zθ + Z = (Zp + Zq) q et le théorème de Bézout nous dit que Zp + Zq = Z, ce qui donne H θ = Z, c'est-à-dire que q H θ est discret Théorème 5 Un réel θ est irrationnel si et seulement si il existe deux suites (p n ) n N (q n ) n N d'entiers relatifs telles que : n N, q n θ p n, () lim (q nθ p n ) = () n + Démonstration Si θ R est irrationnel alors H θ = Zθ + Z est dense dans R et est limite d'une suite de points de H θ, c'est-à-dire qu'il existe deux suites (p n ) n N et (q n ) n N d'entiers relatifs telles que lim (q nθ p n ) = L'hypothèse () est vériée du fait que θ / Q n + Soit θ R vériant () et () Si θ = p avec p et q entiers relatifs on déduit alors de q () que q n p p n q dans Z donc q n p p n q et : q n θ p n = q q np p n q q, ce qui est en contradiction avec () En conclusion θ / Q et

7 Le théorème d'intégration par parties itéré 3 3 Le théorème d'intégration par parties itéré Nous utiliserons à plusieurs reprises le résultat suivant Théorème 6 Soient a, b deux réels tels que a < b, n un entier naturel non nul et f, g deux fonctions dénies sur l'intervalle [a, b] à valeurs réelles et admettant des dérivées continues jusqu'à l'ordre n On a : b a [ n ] b b f (n) (x) g (x) dx = ( ) k+ f (n k) g (k ) + ( ) n f (x) g (n) (x) dx k= a a Démonstration On procède par récurrence sur n Pour n = il s'agit de la formule d'intégration par parties classique Supposons le résultat acquis pour n et soient f, g dans C n+ ([a, b]) Une intégration par parties donne : b et avec l'hypothèse de récurrence : b a a f (n+) (x) g (x) dx = [ f (n) g ] b b f (n) (x) g (x) dx a f (n+) (x) g (x) dx = [ f (n) g ] [ n ] b b ( ) k+ f (n k) g (k) a k= a b ( ) n f (x) g (n+) (x) dx [ n+ a ] b = ( ) k+ f (n+ k) g (k ) k= a b + ( ) n+ f (x) g (n+) (x) dx a a 4 Irrationalité de e r pour r Q On désigne par (U n ) n N la suite de fonctions polynomiales dénie par : n N, U n (x) = xn ( x) n Lemme Si P est une fonction polynomiale non nulle à coecients entiers relatifs, n un entier naturel non nul et Q la fonction polynomiale dénie par : x R, Q (x) = xn P (x), alors pour tout entier naturel k, Q (k) () est un entier relatif

8 4 Nombres irrationnels Démonstration On note p le degré du polynôme P et P (x) = p a j x j, les coecients a j, pour j compris entre et p, étant entiers relatifs Comme Q est de degré n + p, on a Q (k) () = pour tout entier k strictement supérieur à n + p Le polynôme Q admettant comme racine de multiplicité supérieure ou égale à n, on a Q (k) () = pour tout entier k compris entre et n (si n > ) Il reste à étudier le cas où k est compris entre n et n + p En écrivant que : on obtient : Q (x) = p j= n+p a j xn+j = i=n a i n x i, j= k {n,, n + p}, Q (k) () = a k n k! Z Lemme Pour tout entier naturel n et tout entier naturel k les quantités U n (k) sont des entiers relatifs Démonstration En utilisant le lemme, on déduit que les U n (k) et en remarquant que U n ( x) = U n (x), on déduit que les U (k) n des entiers relatifs On dénit la suite de fonctions (R n ) n N par : n N, x R, R n (x) = x n+ e xt U n (t) dt () et U (k) n () () sont des entiers relatifs () = ( ) k U n (k) () sont aussi Lemme 3 Pour tout entier naturel n il existe un unique couple (P n, Q n ) de fonctions polynomiales à coecients entiers relatifs de degré égal à n tels que : Démonstration On a : x R, R n (x) = Q n (x) e x P n (x) R n (x) = n+ t n+ ( e xt ) U n (t) dt En utilisant la formule d'intégration par parties itérée on obtient : [ n+ R n (x) = ( ) k+ n+ k ( ) ] e xt U (k ) t n+ k n (t) k= e xt U n (n+) (t) dt La fonction polynomiale U n étant de degré n on a U n (n+) = et en considérant que et sont racines d'ordre n de U n, on obtient nalement : R n (x) = ce qui peut s'écrire sous la forme : [ n+ k=n+ ( ) k+ x n+ k e xt U n (k ) (t) R n (x) = Q n (x) e x P n (x), ],

9 Irrationalité de e r pour r Q 5 avec : P n (x) = n+ k=n+ = ( ) n n+ ( ) k+ U n (k ) () x n+ k k=n+ (k )! (k n)! (n k + )! xn+ k, Q n (x) = = n+ k=n+ n+ k=n+ ( ) k+ U n (k ) () x n+ k ( ) k+ U (k ) n () ( x) n+ k = P n ( x) Les polynômes P n et Q n sont à coecients dans Z et de degré n Les polynômes P n, Q n dans Z [x] tels que R n (x) = Q n (x) e x P n (x) sont uniques En eet si Q n (x) e x P n (x) = alors : ce qui entraîne Q n = et P n = Q n (x) = P n (x) e x x + Lemme 4 Pour tout entier naturel n et tout réel non nul x, R n (x) est non nul et lim n + R n (x) = Démonstration Du fait que : on déduit que : x R, x R, t ], [, e xt t n ( t) n >, R n (x) = xn+ Pour x =, on a R n (x) = Pour x non nul, on a : et il en résulte que R n (x) x n+ lim R n (x) = n + 4 n e xt dt = e xt t n ( t) n dt ( ) x n e x Théorème 7 Pour tout nombre rationnel non nul r, e r est irrationnel Démonstration Si r Z alors p n = P n (r) Z, q n = Q n (r) Z et : { Rn (r) = q n e r p n, R n (r) = q n e r p n 4 n + On déduit alors du théorème 5 que e r est irrationnel Soit r = p q Q Si e r est rationnel alors e p = (e r ) q est rationnel avec p Z, en contradiction avec ce qui précède Corollaire Pour tout r Q +, ln (r) est irrationnel

10 6 Nombres irrationnels Démonstration Soit r Q + Si ln (r) Q alors r = e ln(r) est irrationnel ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de départ Remarque Pour tout n N on a Q n () et les développements en série entière au voisinage de à l'ordre n de e x et P n sont identiques Q n En eet, on a : Q n () = ( ) n (n)! La fonction P n Q n est donc développable en série entière au voisinage de et en écrivant que : e x P n (x) Q n (x) = xn+ ϕ n (x) avec ϕ n développable en série entière au voisinage de on déduit que les développements en série entière au voisinage de à l'ordre n de e x et P n Q n sont identiques Remarque Les polynômes P n et Q n dénissent l'approximant de Padé d'ordre (n, n) de e x Corollaire Pour tout réel x, Q n (x) est non nul et : P n (x) lim n + Q n (x) = ex Démonstration La fonction Q n est polynomiale à coecients strictement positifs sur ], [, en conséquence Q n (x) est non nul pour tout x strictement négatif Pour n pair et x strictement positif on a Q n (x) e x = P n (x) + R n (x) avec P n (x) et R n (x) strictement positifs, on a donc Q n (x) non nul pour tout x strictement positif Pour x = on a Q n () = On peut donc conclure que, pour tout entier naturel n pair et pour tout réel x, Q n (x) est strictement positif (pour n impair Q n (x) peut s'annuler pour une valeur positive de x) Avec les majorations : on déduit que : et : x >, On a en prenant par exemple n =, 4, 6, 8 : ex P n (x) Q n (x) ( ) x n e x (n)! 4 Q n (x), Q n (x) > e x x (4n)! P n (x) > e (n)!, ex P n (x) Q n (x) ( x ) 4n e x e x (4n)! P n (x) lim n + Q n (x) = ex P (x) = x +6x+, Q (x) x 6x+ P 4 (x) = x4 +x 3 +8x +84x+68, Q 4 (x) x 4 x 3 +8x 84x+68 P 6 (x) = x6 +4x 5 +84x 4 + 8x x x+665 8, Q 6 (x) x 6 4x 5 +84x 4 8x x 33 64x P 8 (x) = x8 +7x 7 +5x x x x x x Q 8 (x) x 8 7x 7 +5x x x x x 59459x+58984

11 Irrationalité de π 7 En prenant x =, on obtient les approximations rationnelles suivante du nombre e : P () = , Q () 7 P 4 () = , Q 4 () P 6 () Q 6 () 5 Irrationalité de π = , P 8 () = Q 8 () On désigne par (L n ) n N la suite des polynômes de Legendre dénie par : n N, L n = U (n) n, où (U n ) n N est la suite de fonctions polynomiales dénie au paragraphe 4 par U n (x) = x n ( x) n Lemme 5 Pour tout entier naturel n, L n est une fonction polynomiale à coecients entiers relatifs de degré n Démonstration On a : L n (x) = n ( ) k CnC k n+kx n k k= Lemme 6 Si (I k ) k N est la suite de réels dénie par : alors : k N, I k = I = π, I = π, sin (πt) t k dt, I k = k (k ) I π π k (k ) et pour [ tout ] entier naturel non nul k, il existe un polynôme Q k à coecients entiers relatif de k degré tel que I k = ( ) π Q k π Démonstration On a : I = I = sin (πt) dt = π, [ cos πt sin (πt) tdt = π ] + cos πt π dt = π

12 8 Nombres irrationnels Et pour k, deux intégration par parties successives donnent : I k = sin (πt) t k dt = k (k ) I π π k On a I = ( ) π Q avec Q π (t) = et I = ( ) π Q avec Q π (t) = 4t En supposant le résultat acquis jusqu'à l'ordre k, on a : I k = k (k ) I π π k = ( ) π Q k, π avec[ Q k (t)] = [ ] k (k ) tq k (t) et Q k est un polynôme à coecients entiers de degré k k + = On dénit la suite de réels (R n ) n N par : n N, R n = sin (πt) L n (t) dt Lemme 7 Pour tout entier naturel non nul n, il existe un polynôme P n à coecients entiers [ n ] relatifs de degré tel que : Démonstration On a : R n = n ( ) k CnC k n+ki n k = π k= R n = π P n ( ) π n ( ) ( ) k CnC k n+kq n k = π π P n avec P n (t) = n ( ) k CnC k n+k n Q k (t) à coecients entiers relatifs de degré k= k= Lemme 8 Pour tout entier naturel n, R n est non nul et lim R n = n + ( ) π [ n ] Démonstration En utilisant la formule d'intégration par parties itérée on a : [ n R n = k= ( ) k+ (t n ( t) n ) (n k) (sin (πt)) (k ) ] + ( ) n (sin (πt)) (n) t n ( t) n dt Et du fait que et sont racines d'ordre n du polynôme t n ( t) n, il reste : R n = ( )n π n ( sin πt + n π ) t n ( t) n dt On a donc, pour les entiers pairs : et : R n = ( )n π n (n)! R n πn (n)! sin (πt) t n ( t) n dt sin (πt) 4 dt = ( π ) n n π (n)! 4 n +

13 Irrationalité de cos ( r) et ch ( r) pour r rationnel strictement positif 9 Remarque 3 Pour les entiers impairs, on a : R n+ = ( )n π n Théorème 8 π est irrationnel cos (πt) t n+ ( t) n+ dt = Démonstration Supposons que π = p q avec p et q entiers strictement positifs On a alors : ( ) ( ) q πr n = P n = P π n p avec P n polynôme à coecients entiers de degré n, ce qui peut s'écrire : πr n = p n n α k p n k q k k= avec α k Z pour tout k {,, n} Du fait que R n est non nul, on déduit que n α k p n k q k est un entier non nul et πr n On a alors : pn avec lim n + π pn R n p n π ( π ) n = (n)! 4 π p n (n)! q n 4 (n)! n pn p n (n)! = ce qui est impossible En conséquence π est irrationnel Remarque 4 De l'irrationalité de π on déduit celle de π 6 Irrationalité de cos ( r) et ch ( r) pour r rationnel strictement positif On désigne par (V n ) n N la suite de fonctions polynomiales dénie par : k= n N, V n (x) = xn ( x) n ( x) n Pour ε {, } on désigne par s ε la solution du problème de Cauchy : { y (x) = εy (x), (x R), y () =, y () = (3) C'est-à-dire que s ε = sin pour ε = et s ε = sh pour ε = Pour ε {, } on désigne par c ε la dérivée de la fonction s ε C'est-à-dire que c ε = cos pour ε = et c ε = ch pour ε = On dénit la suite de fonctions (S n ) n N par : n N, x R, S n (x) = x 6n+4 c ε (xt) V n+ (t) dt

14 Nombres irrationnels Lemme 9 Pour tout entier naturel n et tout entier naturel k les quantités V n (k) sont des entiers relatifs et : V (k) n+ () =, ( ) k n+ (k + )! V (k+) n+ () = (n + )! sinon, ( ) k n (k)! V (k) n () = V (k+) n () = (n)! sinon, C k n n+ si n k 3n +, C k n n si n k 3n, () et V (k) n () Démonstration Avec V n (x) = U n (x) ( x) n et en utilisant la formule de Leibniz, on a : V (k) n (x) = k j= C j k U (j) n (x) (( x) n ) (k j) = k j= C j k U n (j) (x) ( x)n k+j (n k + j)! et on en déduit que les V n (k) () et les V n (k) () sont des entiers relatifs En remarquant que la fonction W n dénie sur R par : W n (x) = V n (x + ) = ( )n x n ( x ) n est de la parité de n, on déduit que pour tout entier naturel k on a : { V (k) n+ () = W (k) n+ () =, V (k+) n () = W (k+) n () = En écrivant que : W n+ (x) = n+ ( ) k+ (n + )! Ck n+x (n+k)+ = 3n+ k= = 6n+3 W (j) n+ () j= j! on déduit que : V (k+) n+ () = W (k+) n+ () = De même avec : on déduit que : x j, k=n ( ) k n+ (k + )! (n + )! sinon ( ) k n+ (n + )! Ck n n+x k+ C k n n+ si n k 3n +, W n (x) = n ( ) k k= (n)! Ck nx (n+k) = 3n ( ) k n Cn k n x k k=n (n)! = 6n W (j) n () x j, j! j= V (k) n () = ( ) k n (k)! (n)! sinon C k n n si n k 3n,

15 Irrationalité de cos ( r) et ch ( r) pour r rationnel strictement positif Lemme On a : k N, { s (k) s (k+) ε = ε k s ε, ε = ε k c ε, k N {}, { c (k) ε = ε k c ε, c (k ) ε = ε k s ε Démonstration La vérication est immédiate par récurrence sur k Théorème 9 Pour tout entier naturel n il existe un unique couple (P n, Q n ) de fonctions polynomiales à coecients entiers relatifs de degré égal à n + tels que : Démonstration On a : x R, S n (x) = Q n ( x ) c ε (x) P n ( x ) S n (x) = ε n 6n+4 t 6n+4 c ε (xt) V n+ (t) dt et en utilisant la formule d'intégration par parties généralisée on obtient : ε n S n (x) = [ 6n+4 k= ] ( ) k+ 6n+4 k t c 6n+4 k ε (xt) V (k ) n+ (t) Le polynôme V n+ (t) étant de degré 6n + 3, on a V (6n+4) n+ = et : ε n S n (x) = [ 6n+4 k= + ] ( ) k+ 6n+4 k t c 6n+4 k ε (xt) V (k ) n+ (t) c ε (xt) V (6n+4) n+ (t) dt En tenant compte du fait que et sont racines d'ordre n + de V n+, on a : ε n S n (x) = [ 6n+4 k=n+ ] ( ) k+ 6n+4 k t c 6n+4 k ε (xt) V (k ) n+ (t) En séparant les dérivées d'ordres pairs et impairs, cela s'écrit : ε n S n (x) = + [ c ε (xt) 3n+ j=n+ [ s ε (xt) 3n+ j=n+ ε 3n+ j x 6n+4 j V (j ) n+ (t) ε 3n+ j x 6n+3 j V (j) n+ (t) En tenant compte de V (j) n+ () =, s ε () = et c ε () =, il reste : ε n S n (x) = c ε (x) Ce qui s'écrit en dénitive : 3n+ j=n+ ( ɛx ) 3n+ j V (j ) n+ () + 3n+ j=n+ S n (x) = Q n ( x ) c ε (x) P n ( x ), ] ] ( ɛx ) 3n+ j V (j ) n+ ()

16 Nombres irrationnels en notant : P n (t) = 3n+ j=n+ Q n (t) = 3n+ j=n+ ε j V (j ) n+ () t 3n+ j, ε j V (j ) n+ () t 3n+ j Ces polynômes sont à coecients entiers relatifs de degré égal à n+ Les coecients V (n+) n+ () et V (n+) n+ () sont non nuls puisque et sont racines d'ordre n + de V n+ Les polynômes P n, Q n dans Z [x] tels que S n (x) = Q n (x ) c ε (x) P n (x ) sont uniques En eet si Q n (x ) c ε (x) P n (x ) = avec Q n non nulle, alors, pour ε = la fonction P n (x ) Q n (x ) serait égale à la fonction périodique cos (x), ce qui est impossible et pour ε =, la fonction P n (x ) qui admet une limite nie à l'inni (les polynômes sont de même degré) serait égale à Q n (x ) la fonction ch (x), ce qui est impossible Lemme On suppose que ε = Pour tout entier naturel n et tout réel x non nul, S n (x) est strictement positif Démonstration Du fait que : on déduit que : t ], [, ch (xt) t n+ ( t) n+ ( t) n+ >, x R, S n (x) = x6n+4 (n + )! ch (xt) t n+ ( t) n+ ( t) n+ dt > Lemme On suppose que ε = Pour tout entier naturel n et tout réel x appartenant à [ π, π ] {}, S n (x) est strictement positif Démonstration Du fait que : [ x π, π ], t ], [, cos (xt) t n+ ( t) n+ ( t) n+ >, [ on déduit que pour tout x dans π, π ] {}, on a : S n (x) = x6n+4 (n + )! cos (xt) t n+ ( t) n+ ( t) n+ dt > Remarque 5 Dans le cas où ε =, S n (x) peut s'annuler en dehors de [ π, π ] {} Lemme 3 On a : x R, lim S n (x) = n +

17 Irrationalité de cos ( r) et ch ( r) pour r rationnel strictement positif 3 Démonstration Pour x =, on a S n (x) = Pour x non nul, on a : ( ) n+ S n (x) x 6n+4 (n + )! 3 c ε (xt) dt = 3 Il en résulte que lim S n (x) = n + ( (n + )! ) x 3 n+ 3 s ε (x) 3 Théorème Pour tout nombre rationnel r strictement positif, ch ( r) est irrationnel Démonstration Soit r = p un nombre rationnel strictement positif avec p et q entiers q strictement positifs et premiers entre eux De ce qui précède, avec ε =, on déduit que : < S n ( r ) = Qn (r) ch ( r ) P n (r) (n + )! ( ) n+ r r sh ( r ) Les polynômes P n et Q n étant à coecients entiers de degré égal à n +, il existe deux entiers relatifs p n et q n tels que : P n (r) = p n q, Q n+ n (r) = q n q n+ et l'égalité précédente devient : < q n ch ( r ) ( ) n+ p n (n + )! 3 p 3n+ r 3 q 3n+ qn+ sh ( r ) Ce qui peut s'écrire : Ce qui entraîne que < q n ch ( r ) p n 3 3 ( ) n+ (n + )! 3 3 p r sh ( r ) lim (q n ch ( r) p n ) = et l'irrationalité de ch ( r) n + Corollaire 3 Pour tout nombre rationnel r strictement positif, sh ( r) et th ( r) sont irrationnels Démonstration Avec : ch ( r ) = sh ( r ) + = + th ( r) th ( r), on déduit l'irrationalité de sh ( r) et th ( r) pour tout rationnel strictement positif Remarque 6 Avec ch (r) = (e r + e ) on retrouve l'irrationalité de e r pour tout rationnel r strictement positif Corollaire 4 Pour tout nombre rationnel r strictement supérieur à, argch (r) est irrationnel, pour tout nombre rationnel r non nul, argsh (r) est irrationnel et pour tout nombre appartenant à ], [ argth (r) est irrationnel Démonstration Si argch (r) est rationnel alors r = ch (argch (r)) est irrationnel De même pour les deux autres fonctions inverses

18 4 Nombres irrationnels Théorème Pour tout nombre rationnel r appartenant à Démonstration Analogue à ce qui précède Corollaire 5 π est irrationnel ] ], π, cos ( r) est irrationnel 4 Démonstration Si π est rationnel alors cos est irrationnel, ce qui est faux On déduit facilement des résultats analogues à ceux des corollaires 3 et 4 pour les fonctions trigonométriques et leurs inverses ( π ) 7 Irrationalité de tan( r) r et th( r) r pour r Q + Pour k N on désigne par E k l'espace vectoriel des fonctions dénies sur R, à valeurs réelles et de classe C k (continues pour k = ) On désigne par T l'opérateur intégral déni sur E par : f E, x R, T (f) (x) = tf (t) dt En gardant les notations du paragraphe 6, on dénit la suite de fonctions (f n ) n N par la relation de récurrence : { f = s ε, f n+ = T (f n ) (n ) Remarque 7 De s ε = εf avec ε = on déduit que εs ε = εc ε est une primitive de s ε Lemme 4 La suite (f n ) n N vérie la relation de récurrence : f = s ε, f = ε (xc ε s ε ), (4) n, f n = ε ( x f n (n ) f n ) (5) Démonstration Une intégration par parties donne, pour tout x R : f (x) = ts ε (t) dt = ε (xc ε (x) s ε (x)) et : ( ) f (x) = tf (t) dt = ε t c ε (t) dt f (x) Une autre intégration par parties donne : et donc : t c ε (t) dt = x s ε (x) f (x) = ε ( x f (x) 3f (x) ) ts ε (t) dt = x s ε (x) f (x) La relation (5) est donc vériée pour n = En la supposant vériée jusqu'à l'ordre n, on a pour tout x R : ( ) f n+ (x) = tf n (t) dt = ε t 3 f n (t) dt (n ) f n (x)

19 Irrationalité de tan ( r) r et th ( r) r pour r Q + 5 et une intégration par parties donne : donc : t 3 f n (t) dt = x f n (x) f n (x), f n+ (x) = ε ( x f n (x) (n + ) f n (x) ), c'est-à-dire que la relation (5) est vériée à l'ordre n + Lemme 5 Il existe un unique couple (P n, Q n ) de polynômes à coecients dans Z de degré inférieur ou égal à n tel que : n N, f n = Q n s ε P n c ε (6) Démonstration La relation (6) est vériée pour n = et n = avec : { Q =, P =, Q = ε, P = ɛx En supposant le résultat vrai jusqu'à l'ordre n pour n on déduit de la récurrence (5) que f n = Q n s ε P n c ε avec : { Qn = ε (x Q n (n ) Q n ), P n = ε (x (7) P n (n ) P n ) et P n, Q n sont des polynômes à coecients entiers de degré au plus n si chaque P k et Q k est un polynôme à coecients entiers de degré au plus k pour k dans {n, n } On a donc ainsi prouvé l'existence du couple (P n, Q n ) Pour l'unicité il sut de prouver que si P et Q sont deux polynômes à coecients réels tels que Qs ε P c ε = alors P = Q = Pour ε = on a s ε = sh, c ε = ch et Qs ε P c ε = équivaut à : soit : x R, Q (x) ex e x P (x) ex + e x =, x R, (Q (x) P (x)) e x (Q (x) + P (x)) e x = En faisant tendre x vers + on déduit que nécessairement P Q = puis P + Q = et P = Q = Pour ε = on a s ε = sin, c ε = cos et Qs ε P c ε = équivaut à : x R, Q (x) sin (x) P (x) cos (x) = On a alors P (kπ) = pour tout entier k et nécessairement P = puis Q = Lemme 6 Pour tout n N le polynôme P n est impair, le polynôme Q n est pair Démonstration Les propriétés de parités de P n et Q n se déduisent immédiatement de (7) Les polynômes P n et Q n peuvent donc se mettre sous la forme : { Pn (x) = xr n (x ), Q n (x) = S n (x ), où R n et S n sont des polynômes à coecients entiers de degré inférieur ou égal à [ n ]

20 6 Nombres irrationnels Lemme 7 Pour ε = on a : et pour ε = : n N, x >, < f n (x) xn sh (x) (8) n n N, x Démonstration Pour ε = et x > on a : < f (x) = ], π [, < f n (x) xn sin (x) (9) n < f (x) = sh (x), t sh (t) dt sh (x) et en supposant (8) vériée pour n on a : < f n+ (x) = tdt = sh (x) x t n+ tf n (t) dt sh (x) n dt = sh (x) x (n+) n+ (n + )! On procède ] de même dans le où ε = en utilisant la croissance de la fonction sin sur l'intervalle, π [ Théorème Pour tout r Q +, th ( r) r tan ( r) r est irrationnel est irrationnel et pour tout r dans ], π [ Q, Démonstration De ce qui précède on déduit que pour ε = on a, pour x > et n N : et donc : ( < f n (x) = S ) ( n x sh (x) xr ) n x ch (x) xn sh (x) n x >, < S n (x) th ( x) R n (x) xn th ( x) x n x En notant m n le plus grand des degrés de R n et S n on peut écrire pour r = p q Q + : S n ( p q ) = q n q p, R n ( ) p = p n q q, p avec p n et q n entiers On a alors : avec lim n + p n n Le cas tan ( r) r th ( r) < q n p n p n th ( r) pn th ( r), r q n p n r n r th ( r) = Le théorème 5 permet alors de conclure à l'irrationalité de r (ε = ) avec r ], π [ Q se traite de la même manière

21 Irrationalité des racines des fonctions de Bessel d'indice entier 7 8 Irrationalité des racines des fonctions de Bessel d'indice entier Pour ce paragraphe, p désigne un entier naturel On désigne par (U n,p ) n N la suite de fonctions polynomiales dénie par : n N, x R, U n,p (x) = xn+p ( x) n et par (L n,p ) n N la suite de fonctions dénies sur R par : n N, x R, L n,p (x) = x p U (n) n,p (x) Lemme 8 Pour tout entier naturel n, L n,p est une fonction polynomiale à coecients entiers relatifs et de degré égal à n Démonstration On a : L n,p (x) = n ( ) k CnC k p+n+kx n k k= Lemme 9 Pour tout entier naturel n, on a : { Ln,p () = ( ) n, L n,p () = ( ) n n (p + n + ) Démonstration En écrivant que : on déduit que : et : Ce qui entraîne : U n,p (x) = { ( x)n U (n) n,p (x) = ( ( x)) n+p = k= U (n) n,p () = ( ) n, n ( ) k Cp+n k ( x) n+k, k= n ( ) k+n C k (n + k)! p+n ( x) k k! U (n+) n,p () = ( ) n (p + n) (n + ) L n,p () = U n,p (n) () = ( ) n, L n,p () = U n,p (n+) () pu n,p (n) () = ( ) n n (p + n + ) Lemme La série entière de terme général k! (p + k)! xk a un rayon de convergence inni

22 8 Nombres irrationnels Démonstration La vérication est immédiate en utilisant le critère de d'alembert On dénit la fonction I p par : x R, I p (x) = et la fonction de Bessel d'indice p est dénie par : x R, I p (x) = + k= + k= k! (p + k)! xk ( ) k ( x ) p+k ( x ) ( p ( x ) ) = Ip k! (p + k)! Lemme La fonction I p est solution sur R de l'équation diérentielle : ( x p+ y (x) ) = x p y (x) () Démonstration On a : et : x p+ I p (x) = ( x p+ I p (x) ) = + k= + k= (k )! (p + k)! xp+k (k )! (p + k )! xp+k = x p I p (x) Lemme Pour tout réel x, on a : t p I p (t) dt = x p+ I p (x) Démonstration Résulte immédiatement du lemme Lemme 3 Pour tout entier k strictement positif, il existe deux fonctions polynomiales à coecients entiers relatifs A k,p et B k,p, de degrés respectifs k et k telles que : x R, t p+k I p (t) dt = x p+ ( A k,p (x) I p (x) + B k,p (x) I p (x) ) Démonstration On procède par récurrence sur l'entier k Pour k =, une première intégration par parties donne : t p+ I p (t) dt = t ( t p+ I p (t) ) dt = x p+ I p (x) puis avec une deuxième intégration par parties : En utilisant le lemme, on aboutit à : t p+ I p (t) dt = x p+ I p (x) (p + ) t p I p (t) dt t p+ I p (t) dt = x p+ ( A,p (x) I p (x) + B,p (x) I p (x) ), t p+ I p (t) dt,

23 Irrationalité des racines des fonctions de Bessel d'indice entier 9 avec : { A,p (x) =, B,p (x) = (p + ) + x avec : En supposant le résultat acquis pour k, une intégration par parties donne : t p+k+ I p (t) dt = t k+ ( t p+ I p (t) ) dt = x p+k+ I p (x) (k + ) t p+k+ I p (t) dt = x p+k+ I p (x) (p + k + ) En utilisant l'hypothèse de récurrence, on aboutit à : t p+k+ I p (t) dt, t p+k I p (t) dt t p+k+ I p (t) dt = x p+ ( A k+,p (x) I p (x) + B k+,p (x) I p (x) ), avec : { Ak+,p (x) = (k + ) ( (p + k + ) A k,p (x) x k), B k+,p (x) = (k + ) (p + k + ) B k,p (x) + x k+, la fonction A k+,p [resp B k+,p ] étant polynomiale à coecients entiers relatifs de degré égal à k [resp k + ] Remarque 8 Le coecient de x k dans A k,p est égal à k et le coecient de x k dans B k,p est égal à Remarque 9 Avec A k+,p () = (k + ) (p + k + ) A k,p () et A,p () =, on déduit que le coecient constant dans A k,p est : A k,p () = k! (p + k)! (p + )! De même, avec B k+,p () = (k + ) (p + k + ) B k,p () et B,p () = p +, on déduit que le coecient constant dans B k,p est : B k,p () = k! (p + k)! p! On dénit la suite de fonctions (R n,p ) n N par : n N, x R, R n,p (x) = x n I p (xt) L n,p (t) t p dt Lemme 4 Pour tout entier n strictement positif, il existe deux fonctions polynomiales à coecients entiers relatifs P n,p et Q n,p, de degrés respectifs n et n telles que : x R, R n,p (x) = P n,p (x) I p (x) + Q n,p (x) I p (x)

24 Nombres irrationnels Démonstration On a L n,p (x) = n a k x k, avec a k Z pour tout entier k compris entre et n On peut donc écrire : k= R n,p (x) = x n n a k I p (xt) t p+k dt k= Pour x non nul, le changement de variable u = xt donne : En utilisant le lemme 3, on a : et : ce qui s'écrit aussi : en posant : x n I p (xt) t p+k dt = x n p k I p (u) u p+k du x n I p (xt) t p+k dt = x ( n k A k,p (x) I p (x) + B k,p (x) I p (x) ) R n,p (x) = n a k x ( n k A k,p (x) I p (x) + B k,p (x) I p (x) ), k= R n,p (x) = P n,p (x) I p (x) + Q n,p (x) I p (x), P n,p (x) = n a k x n k A k,p (x), k= Q n,p (x) = n a k x n k B k,p (x) k= Par continuité le résultat est encore vrai pour x = La fonction P n,p [resp Q n,p ] est polynomiale à coecients entiers relatifs de degré inférieur ou égal à n [resp n] Le coecient de x n dans P n,p est donné par : α n = n ka k = L n,p () = ( ) n+ n (p + n + ) k= et le coecient de x n dans Q n,p est donné par : β n = n a k = L n,p () = ( ) n Le polynôme P n,p [resp Q n,p ] est donc bien de degré égal à n [resp n] k= Remarque Le coecient constant de P n,p est : et le coecient constant de Q n,p est : P n,p () = a n A n,p () = a n (p + n)! (p + )! (p + n)! Q n,p () = a n B n,p () = a n p!

25 Irrationalité des racines des fonctions de Bessel d'indice entier Lemme 5 Pour tout entier naturel n, on a : x R, R n,p (x) = ( ) n x n I (n) p (xt) U n,p (t) dt () Démonstration En utilisant la formule d'intégration par parties itérée on a : [ n R n,p (x) = x n ( ) k+ n k t (I n k p (xt)) U n,p (k ) (t) k= + ( ) n x n n t n (I p (xt)) U n,p (t) dt et en considérant que et sont racines d'ordre n de U n,p, on obtient : R n,p (x) = ( ) n x n I p (n) (xt) U n,p (t) dt ] Lemme 6 Pour tout entier naturel n et tout réel x, on a et : Démonstration Pour tout réel x, on a : + I p (n) (x) = (k n)! (p + k)! xk n I (n) p (x) Avec le lemme 5, on déduit alors que : Il en résulte que R n,p (x) xn e x lim R n,p (x) = n + k=n + k=n xn e x (k n)! x k n = e x t n+p ( t) n dt (t ( t)) n dt e x lim R n,p (x) = n + ( ) x n 4 () Lemme 7 Pour tout entier n strictement positif, il existe une constante non nulle c n,p telle que : x R, P n,p (x) Q n,p (x) P n,p (x) Q n,p (x) = c n,p x n Démonstration On pose : D n,p (x) = P n,p (x) Q n,p (x) P n,p (x) Q n,p (x) La fonction D n,p est polynomiale de degré inférieur ou égal à n En éliminant I p (x) dans le système : { Rn,p (x) = P n,p (x) I p (x) + Q n,p (x) I p (x), R n,p (x) = P n,p (x) I p (x) + Q n,p (x) I p (x),

26 Nombres irrationnels on obtient : D n,p (x) I p (x) = P n,p (x) R n,p (x) P n,p (x) R n,p (x) Et avec l'égalité (), on déduit que D n,p (x) I p (x) est divisible par x n Comme I p () est non nul, il en résulte que D n,p (x) est divisible par x n On a donc D n,p (x) = c n,p x n, la constante étant donnée par : c n,p = (p + n) Lemme 8 Pour tout entier n strictement positif et tout réel non nul x tel que I p (x) soit non nul, l'une des deux quantités R n,p (x) ou R n,p (x) est non nulle Démonstration En reprenant les calculs du lemme 7, pour x tel que R n,p (x) = et R n,p (x) =, on a D n,p (x) I p (x) =, avec D n,p (x) = c n,p x n non nul pour x non nul On a donc nécessairement I p (x) = Lemme 9 Les racines de la fonctions I p sont toutes simples Démonstration Supposons qu'il existe x R tel que I p (x ) = I p (x ) = Les coecients de la série entière dénissant la fonction I p étant tous strictement positifs, on a nécessairement x < En utilisant l'équation diérentielle () on déduit que la fonction I p est identiquement nulle sur l'intervalle ], [ (théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire) et par continuité on aurait I p () =, ce qui est faux En conséquence un tel x ne peut exister et les zéros de I p sont simples Remarque On peut montrer que l'ensemble des zéros de la fonction I p forme une suite strictement décroissante de réels strictement négatifs Théorème 3 Les racines de la fonction I p sont toutes irrationnelles Démonstration Supposons que la fonction I p admette une racine rationnelle r = a b avec a entier négatif et b entier naturel non nul On a alors I p (r) et R n,p (r) = Q n,p (r) I p (r) L'inégalité () donne alors : ( ) e r r Q n,p (r) I p (r) n 4 Le polynôme Q n,p étant à coecients entiers relatifs de degré n, on peut écrire Q n,p (r) = q n q n avec q n entier relatif et on a les inégalités : ( ) e r p n >, q n I p (r) n 4q On déduit alors que la suite d'entiers (q n ) n> a une limite nulle à l'inni, elle est donc constante égale à à partir d'un certain rang, c'est-à-dire qu'il existe un entier n tel que : n n, q n = Avec R n,p (r) = Q n,p (r) I p (r) = q n q n I p (r), on déduit alors que : n n, R n,p (r) =, avec r non nul et I p (r), ce qui contredit le résultat du lemme 8 En conclusion I p n'a pas de racine rationnelle Corollaire 6 Pour toute racine α de la fonction de Bessel J p, α est irrationnel

27 Exercices 3 9 Exercices Exercice Montrer que, pour tout nombre rationnel non nul r, l'ensemble {cos (nr) n N} est dense dans [, ] Solution Si r est un rationnel non nul alors le groupe H = πz + rz est dense dans R En eet si ce groupe est discret il est de la forme Zα avec α non nul et il existe des entiers relatifs non nuls p, q tels que r = pα, π = qα (r et π sont dans H et non nuls) ce qui entraîne π r = q p Q et π = r q Q ce qui est faux p Avec la continuité et la surjectivité de l'application f : x cos (rx) de R sur [, ], on déduit alors que l'ensemble : f (H) = {cos (πm + nr) (m, r) Z Z} = {cos (nr) n N} (π-périodicité et parité de la fonction cos) est dense dans [, ] Exercice Montrer l'irrationalité du nombre e en utilisant le théorème 5 Solution En écrivant que e = k et on a pour tout n N : avec : q n e p n = + k=n+ k, k! p n = on pose : n k= k!, q n = ( ) k! = + +, n + (n + ) (n + k) k= (n + ) (n + k) k! On déduit donc que : < q n e p n n + e n + et l'irrationalité de e s'en déduit Exercice 3 Avec les notations du paragraphe 6, calculer naturel n V n+ (t) dt, pour tout entier Solution 3 On note W n+ la fonction dénie sur R par : W n+ (x) = V n+ (x + ) = xn+ ( x ) n+ (n + )! Le changement de variable t = u + donne : V n+ (t) dt = W n+ (u) du = (n + )! u n+ ( u ) n+ du

28 4 Nombres irrationnels Le changement de variable t = u donne : u n+ ( u ) n+ du = Puis par intégrations par parties itérées, on a : t n ( t) n+ dt t n ( t) n+ dt = = Ce qui donne, en dénitive : (3n + )! (3n + )! (t 3n+ ) (n+) ( t) n+ dt t 3n+ ( ( t) n+) (n+) dt = (n + )! (3n + )! V n+ (t) dt = (3n + )! Exercice 4 Avec les notations du paragraphe 6, pour ε =, montrer que pour tout réel t strictement positif, Q n (t) est non nul Solution 4 On a : Q n (t) = = 3n+ j=n+ 3n+ j=n+ 3n+ = ( ) n+ ( ) j V (j ) n+ () t 3n+ j ( ) j ( ) j n (j )! C j n n+ t 3n+ j (n + )! j=n+ (j )! (n + )! Cj n n+ t 3n+ j et : t >, Q n (t) = 3n+ j=n+ (j )! (n + )! Cj n n+ t 3n+ j >

29 Bibliographie [] R Andre-Jeannin Quelques propriétés de th (x) Revue de Mathématiques Spéciales (Juin 987) [] D Bertrand Equations diérentielles linéaires et analyse diophantienne Cours de D E A (I H P 98) [3] F Beukers Legendre polynomials in irrationality proofs Bull Austr Math Soc Vol [4] I Niven Irrational numbers The Carus Mathematical Monographs (956) [5] P Samuel Théorie algébrique des nombres Hermann (97) 5