PRODUITS DE TAUX D INTERET Pricing et couverture de produits de taux ENSAE - DEA MASE Université Paris IX Dauphine- Séance 6.

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1 PRODUIS D AU D IR Prcng e coverre e pro e ax SA - DA MAS Unveré Par I Daphne- Séance 6 Moez MRAD SG - R&D AU/CRDI Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

2 PLA Rappel r le moèle Heah-Jarrow-Moron Changemen e nmérare. Généralé. Mere orwar 3 valaon e coverre e pro e ax 3. Opon r n zéro-copon 3. Opon r ne oblgaon 3.3 orwar Rae Agreemen 3.4 Cap 3.5 loor 3.6 Swapon 4 Correcon e convexé 4. Correcon e convexé In Arrear 4. Correcon e convexé ano Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

3 3 Rappel r le moèle Heah-Jarrow-Moron Réérence : Darrell De Moèle ynamqe évalaon P 994 Lonel Marelln & Phlppe Prale xe-income Secre Wley 3 Lonel Marelln & Phlppe Prale Pro e ax Inérê conomca 4 Marek Mela & Marek Rkowk Marngale Meho n nancal Moellng Sprnger 997 Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

4 4 oaon Le prx en zéro-copon e maré : ( Le prx en zéro-copon orwar enre e : ( / ( ( Le ax zéro-copon enre e : R( ln( ( Le ax zéro-copon orwar enre e emé en : R ( ln ( ( Le ax nanané orwar e maré : ( ln ( ( Le ax cor o le ax nanané : r ( L ac non rqé : β exp r Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

5 5 HJM(99 Conéron n epace lré ( Ω P ( o P w n movemen brownen e menon ne r ce epace la lraon ( e la lraon narellemen engenrée par P w. Por o la on ax nanané orwar e onnée par ( ( α ( ob ( σ ( w P Où por o ( α e ( σ on ex proce aapé(.e -merable Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

6 6 Dynamqe o ne mere marngale rqe-nere Sppoon qe AOA-HJM e vérée o onc ne mere elle qe a ené par rappor à P e onné par : P exp λ λ w P La ynamqe ax nanané orwar e onnée par : ( σ ( σ ob ( ( ( σ ( w P Remarqe : La ynamqe ax nanané orwar épen nqemen e la corbe po ob ( e e la rcre e volalé σ Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

7 Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5 7 Corbe e ax en oncon e conon nale Prx zéro-copon Dynamqe e ZC o w r ( ( ( w w w r exp. (.exp ( ( exp ( (

8 Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5 8 ax zéro-copon w R R ( ( ax nanané orwar ob w ( ( σ σ σ 3 ax cor ob w r ( ( σ σ σ

9 9 Changemen e nmérare. Généralé Un marché nancer (pa nécearemen n marché e ax Conenan n ac non rqé β ne mere marngale rqe-nere aocée à ce ac non rqé Por o ac S e ce marché Le prx e non-arbrage acalé : e ne marngale o Z S β Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

10 So ne mere marngale rqe-nere onnée e o S n proce rcemen po el qe S ( / β e ne -marngale. On cherche * elle qe por o proce e prx e non-arbrage Π le proce Π / S e ne *-marngale. Conéron n ac conngen q vere à l nan on prx e non-arbrage à l nan e onné par : Π ( Sppoon qe * exe e qe a ené par rappor à e onnée par : β * L On a Π S ( Π S * ( * ( S ( L ( S ( e Π ( L ( S S β β Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

11 Propoon : So * ne mere on la ené e Raon-koym par rappor à e onnée par : * S S β So Π n proce el qe Π / β e ne -marngale. Alor le proce Π / S e ne *-marngale Propoon : Conéron n ac conngen q vere à l nan on prx e non-arbrage à l nan e onné par : Π ( S ( * S ( Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

12 .3 Mere orwar On conère n marché e ax onné mn ne mere marngale rqe nere po. On conère ne maré xée On e propoe e prenre ( comme novea nmérare On én la mere marngale rqe nere orwar aocée à la maré par : (. ( β Propoon 3 : Conéron n ac conngen q vere à l nan on prx e non-arbrage à l nan e onné par : Π ( ( [ ] Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

13 3 Remarqe : Le ax nanané orwar e lé a ax cor par : ( [ r ] La ené e par rappor à e égale à : ( (. β exp ( ( w 3 Le len enre le ex movemen brownen e onné par w w ( Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

14 4 Soen U e V ex maré pérere à. On poe : ( U V ( V ( U Le prx orwar en zéro-copon enre U e V e onné par : So : So : ( U V ( U Vexp ( U V w ( ( V ( U ( U V U V exp ( U V w ( V ( U Por U on a : ( V V exp ( V w ( V Remarqe : ( V e ne marngale o (Réla aen Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

15 5.4 Changemen e mérare : Ca Général So M (rep. ne mere aocée a nmérare M (rep.. La ené e Raon-koym e par rappor à M va : a Ca ne ele eve : M M M b Ca e ex eve érene : (Par exemple e n nmérare omeqe e M e n nmérare éranger M / M / M ( / / ( M M / e le ax change / ( le prx ne né érangère en monnae omeqe Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

16 Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5 6 3 valaon e coverre an n care HJM gaen 3. Opon r n zéro-copon Prme en n call eropéen e maré r n zéro-copon e maré : K r C exp n prenan comme novea nmérare on a : K C on a : K Call e ln K

17 7 3. Opon r ne oblgaon chéancer Copon C Copon C 3 4 Prme en n call e maré r oblgaon e maré : CO exp r C K On poe A C ( K Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

18 8 Le prx e alor onné par: CO C ( ( A K ( ( A Solon praqe: Approxmaon: C ( e log-normale ormle poble è qe le moèle e markoven e le prx zéro-copon e monoone en oncon e varable éa (c l exemple évalaon an n care vacek généralé an MP Remarqe : Le prx pe égalemen écrre : β CO C β K A C cov A Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

19 Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8// orwar Rae Agreemen La valer en n RA échéance r erbor 6 mo (xng en e onnée par : [ ] k e k L e RA r r ( 6m rbor (6m L( ax lnéare xe k

20 Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5 Ce q onne k RA On oben nalemen k RA exp k RA exp

21 3.4 Cap chéancer n cap rbor (6m 3 4 x lnéare xe k Caple prépayé rbor (6m L((-(- (--6m Prme n cap Prme caple ( ax lnéare xe k Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

22 Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5 La valer en n caple échéance ( r erbor 6 mo (xng en (- e onnée par : ( (. ( r r k e k L e C Ce q onne [ ] ( k C nalemen on oben : k C - e ln k

23 Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8// loor chéancer enqe à cel n cap loorle ( Prme n loor Prme On e covre conre ne bae e l erbor La valer en n loorle échéance ( r erbor 6 mo (xng en (- e onnée par : ( (. ( r r k e L k e Relaon e paré :

24 Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5 4 Swaple loorle Caple SWAP LOOR CAP Prx n loorle : k - e ln k

25 5 3.6 Swapon chéancer rbor (3m rbor (3m 3 4 K K Pare oponelle Swap Pay-o en ( Swap ( K Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

26 6 La valer wap payer e rke K à l nan e alor onnée par : Swap ( K Jambe _ Varable Jambe _ xe ( ( K( Une wapon pe êre ve comme ne opon r oblgaon Remarqe On én le ax wap à l nan e onnée par : S ( ( ( ( La valer wap payer e rke K à l nan e alor onnée par : Swap ( K ( [ S( K] Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

27 7 4 Correcon e convexé Poblé e enr e opon eropéenne «exoqe». Le lx on veré à ne ae «non narelle» (xp : Lbor n arrear CMS Le lx on veré an ne eve «non narelle» (xp : Swap ano Le pro reen relavemen mple. Con raonnellemen à ne approxmaon e prcng Iée prncpale M ( ( L / L ( Cov ( L / L où L e la ené e M par rappor à. Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8//5

28 Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8// Correcon e convexé In Arrear Un lx (par exp. Lbor n avance (ca claqe xe (.e. e conn en éb e péroe ( e paye en n e péroe (. Un lx n arrear xe (.e. e conn e paye (.e. e veré o reç à la même ae. So n lx n arrear q xe e paye en : orwar orwar L L Cov Cov xo : Applcaon à n Lbor.

29 Moez MRAD / Socéé Générale R&D AU/CRDI 8// Correcon e convexé ano Conéron par exemple n Lbor éranger. On a : orwar orwar L Cov L L Cov L L Cov L L / / / / / / où orwar / e le ax e change orwar én par : orwar / /