1. Quelle est la probabilité de tirer quatre boules rouges? 2. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges et deux boules bleues?

Transcription

1 Problème 1 [6p] On dispose de deux urnes, désignées respectivement par les lettres A et B. L urne A contient 6 boules bleues et 3 rouges. L urne B contient 4 boules bleues et 4 rouges. On tire deux boule dans chaque urne. 1. Quelle est la probabilité de tirer quatre boules rouges? 2. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges et deux boules bleues? 1. Pour tirer quatre boules rouges, il faut tirer 2 boules rouges dans l urne A et deux boules rouges dans l urne B: (a) Probabilité de tirer 2 boules rouges dans l urne A: C2 3 C 2 9 (b) Probabilité de tirer 2 boules rouges dans l urne B: C2 4 C 2 8 D où la probabilité de tirer quatre boules rouges: 1 6 0, 017. C 2 3 C 2 9 C2 4 C il y a plusieurs manières de tirer deux boules rouges et deux boules bleues: (a) Tirer 1 boule rouge et une boule bleue dans chaque urne: la probabilité est de C1 3 C1 6 C1 C9 2 4 C C8 7 7 (b) Tirer deux boules rouges dans l urne A et deux boules bleues dans l urne B: la probabilité est de C2 3 C9 2 C2 4 C (c) Tirer deux boules bleues dans l urne A et deux boules rouges dans l urne B: la probabilité est de C2 6 C 2 9 C2 4 C La probabilité de tirer deux boules rouges et deux boules bleues est donc de: Problème 2 [6p] Une population est composé de 47% d hommes et de 3% de femmes. On suppose que 24 % des hommes et que 40 % des femmes ont les yeux bleus. On choisit une personne au hasard. 1. Quelle est la probabilité qu elle ait les yeux bleus? 2. Quelle est la probabilité qu elle ait les yeux bleux sachant que c est un homme?

2 3. Quelle est la probabilité qu elle soit une femme sachant qu elle a les yeux bleus? On a le tableau suivant: homme femme total yeux bleus 0, 47 0, 24 0, , 3 0, 4 0, 212 0, 3248 yeux non bleus 0, 47 0, 76 0, 372 0, 3 0, 6 0, 318 0, 672 total 0, 47 0, La probabilité qu une personne ait les yeux bleux est de 0, La probabilité qu une personne ait les yeux bleus sachant que c est un homme est de 0, La probabilité que ce soit une femme sachant qu elle a les yeux bleux p[ yeux bleus ET femme) est de p(yeux bleus 0,212 0, 627 0,3248 Problème 3 [8p] La taille des individus d une population suit une loi normale de moyenne 17 cm, et d écart-type cm. 1. quelle est la probabilité qu une personne dépasse 18 cm? 2. quelle est la probabilité qu une personne mesure moins de 170 cm? 3. quelle est la proportion de la population (en %) dont la taille est comprise entre 160 et 18 cm? 4. Sur 100 personnes de cette population, on souhaite éliminer les 10 personnes les plus grandes et les 10 personnes les plus petites. Quel intervalle de taille doit-on considérer? On effectue donc un changement de variable en posant t taille Probabilité qu une personne dépasse 18 cm: Φ( ) Φ(2) 0, 9772 donc la probabilité qu une personne mesure plus de 18 cm est 1 0, , Probabilité qu une personne mesure moins de 170 cm : Φ( ) Φ( 1) 1 Φ(1) 1 0, , Proportion de la population (en %) dont la taille est comprise entre 160 et 18 cm:

3 Proportion de la population mesurant moins de 160 cm: Φ( Φ( 3) 1 Φ(3) 1 0, , 0019 Proportion de la population mesurant moins de 18 cm: Φ( Φ(2) 0, 9772 Proportion de la population mesurant entre 160 et 18 cm: 0, , , On souhaite élminer les 10 personnes les plus grandes donc il faut trouver t 1 tel que Φ(t 1 ) 0, 9. On trouve t 1 1, 29 ce qui correspond à une taille de , , 4 cm. On souhaite maintenant éliminer les 10 personnes les plus petites donc il faut trouver t 2 tel que Φ(t 2 ) 0, 1. (t 2 sera négatif). On trouve t 2 1, 29 ce qui correspond à une taille de 17 1, ,. L intervalle à considérer est donc [168, ; 181, 4].

4 Problème 4 [8p] On cherche à résoudre l équation différentielle y 2y + y x 2 4x + 7 (1) 1. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que la fonction polynôme Q définie sur R par Q(x) ax 2 + bx + c soit solution de l équation y 2y + y x 2 4x On pose g f + h. Montrer que g est solution de (1) si et seulement si f est solution de 3. Résoudre (2) y 2y + y 0 (2) 4. Trouver la solution g(x) de (1) qui vérifie g(0) 0 et g (0) On a Q(x) ax 2 + bx + c Q 2Q + Q (2a) 2(2ax + b) + (ax 2 + bx + c) ax 2 + ( 4a + b)x + 2a 2b + c On en déduit que Q 2Q + Q x 2 4x + 7 a 1, b 0, c 1 et donc Q(x) x On a g f + h est solution de (1) (f + h) 2(f + h) + (f + h) x 2 4x + 7 f 2f + f (x 2 4x + 7) (h 2h + h) f 2f + f 0 car h 2h + h x 2 4x + 7 f est solution de (2) 3. Les solutions de X 2 2X + 0 sont 1 2i et 1 + 2i. Les solutions de (2) sont donc de la forme e x (A sin(2x) + B cos(2x)). 4. On a g(x) e x (A sin(2x) + B cos(2x)) + x g (x) e x (( 2B + A) sin(2x) + (2A + B) cos(2x)) + 2x g(0) B + 1 g (0) 2A + B g(0) 0 et g (0) 0 si et seulement si B 1 et A 1 2 g(x) e x ( 1 sin(2x) cos(2x)) + 2 x2 + 1 donc

5 Problème [4p] Donner le domaine de définition et étudier les variations de la fonction u(x) x x 1. D u ]1, + [. On a u (x) ( x 1) x( x 1) x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2x 2 x 2(x 1) x 2 3/(x 1) 3/2 On a donc le tableau de variation suivant: Problème 6 [4p] x u (x) 0 + u(x) donner la forme algébrique de 1 i 3+2i 2. Donner la forme exponentielle de 3 3i 1. La forme algébrique de 1 i par son conjugué: 3+2i est obtenue en multipliant le dénominateur 1 i 3 + 2i (1 i)(3 2i) (3 + 2i)(3 2i) 3 2i 3i + 2i i 2. Pour trouver la forme exponentielle de 3 3i, il faut calculer le module et l argument. On a ( 3) 2 12 On cherche donc θ tel que { cos(θ) sin(θ) θ π 6

6 Problème 7 [4p] 1. donner la forme exponentielle de 2 + i 2 2. donner la forme algébrique de ( 2 + i 2 ) i 2 2 ei π 4 ( 2 + i 2 ) 1991 (e i π 4 ) 1991 (e i π 4 ) 7 2 i 2