Courbes en coordonnées polaires

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1 [ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 Courbes en coordonnées polaires Exercice 1 [ ] [correction] Etudier la courbe d équation polaire Exercice 2 [ ] [correction] Etudier la courbe d équation polaire Exercice 3 [ ] [correction] Etudier la courbe d équation polaire Exercice 4 [ ] [correction] Etudier la courbe d équation polaire r = cos 2θ r = cos 2θ r = tan θ r = 1 sin 2θ Exercice 7 [ ] [correction] Etudier la courbe d équation Exercice 8 [ ] [correction] On pose f : C C donnée par a) Montrer ρ(θ) = sin θ f(z) = 1 + z + z 2 f(e iθ ) = (1 + 2 )e iθ b) Montrer que la courbe Γ transformée du cercle unité C par la fonction f est la courbe d équation polaire r = c) Tracer Γ. d) Déterminer les angles polaires repérant les points de la courbe où la tangente est parallèle à l un des axes du repère. e) Exprimer la longueur de la courbe à l aide d une intégrale. Exercice 9 [ ] [correction] Décrire, dans le plan complexe, le lieu des nombres complexes u = 1 + z + z 2 Exercice 5 [ ] [correction] Etudier la courbe r = 1 où z décrit le cercle unité. Exercice 6 [ ] [correction] a) Tracer la courbe d équation polaire r = sin θ θ b) Montrer que les pieds des normales à cette courbes issues de O sont cocycliques.

2 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 2 Corrections Exercice 1 : [énoncé] r : θ r(θ) = cos 2θ est définie et de classe C sur R. r(θ + π) = r(θ) donc M(θ + π) est l image du point M(θ) par la symétrie de centre O. r( θ) = r(θ) donc M( θ) est l image du point M(θ) par la symétrie d axe (Ox). On peut limiter l étude à l intervalle [0, π/2]. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d axe (Ox) et la symétrie de centre O. On a le tableau de variation θ 0 π/3 π/2 r(θ) La courbe d équation polaire r = cos 2θ Etude en θ = 0 r(0) = 3 et r (0) = 0. Il y a une tangente orthoradiale. Etude en θ = π/2 r(π/2) = 1 et r (π/2) = 0. Il y a une tangente orthoradiale. Etude en θ = π/3 r(π/3) = 0, il s agit d un passage par l origine. θ π/3 r(θ) + 0 M(π/3) = O est un point ordinaire dont la tangente est la droite d équation polaire θ = π/3 plot([1+2*cos(2*t), t, t=-pi..pi], coords=polar); Exercice 2 : [énoncé] cos 2θ r : θ r(θ) = est définie et C sur le domaine ] π 2 + kπ, π [ 2 + kπ r est π antipériodique et donc M(θ + π) = M(θ). On peut limiter l étude à l intervalle ] π/2, π/2[ et la courbe sera intégralement obtenue. r( θ) = r(θ) donc M( θ) est le symétrique de M(θ) par rapport à l axe (Ox). On peut limiter l étude à l intervalle [0, π/2[. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d axe (Ox). On en déduit les variations r (θ) = sin θ(2 cos2 θ + 1) cos 2 θ θ 0 π/2 r(θ) 1 Etude en θ = 0 r(0) = 1 et r (0) = 0. En M(0) la tangente est orthoradiale.

3 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 3 Etude quand θ (π/2) r(θ), d(θ) = r(θ) sin(θ π/2) = cos(2θ) 1 La droite d équation x = 1 est asymptote et la courbe est à droite. Etude en θ = π/4 r(π/4) = 0, c est un passage par l origine θ π/4 r(θ) + 0 M(π/4) = O est un point ordinaire dont la tangente est la droite d équation polaire θ = π/4. plot([cos(2*t)/cos(t), t, t=-pi/2..pi/2], coords=polar, view=[-2..2, -2..2]); La courbe d équation polaire r = cos 2θ

4 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 4 Exercice 3 : [énoncé] r : θ r(θ) = tan θ est définie et de classe C sur le domaine ] π 2 + kπ, π [ 2 + kπ r(θ + π) = r(θ) donc M(θ + π) est l image du point M(θ) par la symétrie de centre O.. r( θ) = r(θ) donc M( θ) est l image du point M(θ) par la symétrie d axe (Oy). On peut limiter l étude à l intervalle [0, π/2[. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d axe (Oy) et de centre O. On a le tableau de variation. θ 0 π/2 r(θ) 0 + Etude en θ = 0. r(0) = 0, il s agit d un passage par l origine. θ 0 r(θ) 0 + M(0) = O est un point ordinaire dont la tangente est la droite d équation polaire θ = 0. Etude quand θ (π/2). r(θ) + d(θ) = r(θ) sin(θ π/2) = sin θ ( 1) + La droite d équation x = 1 est asymptote à la courbe et celle-ci est à gauche de l asymptote plot([tan(t), t, t=-pi..pi], coords=polar, view=[-2..2, -2..2]); La courbe d équation polaire r = tan θ Exercice 4 : [énoncé] r : θ r(θ) = 1/sin(2θ) est définie et de classe C sur le domaine ] [ kπ (k + 1)π, 2 2 La fonction r est π périodique et impaire, on peut limiter l étude à l intervalle ]0, π/2[. Puisque r(π/2 θ) = r(θ), les points M(π/2 θ) et M(θ) sont symétriques par rapport à la droite d équation polaire θ = π/4.

5 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 5 On peut limiter l étude à l intervalle ]0, π/4]. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d axe la droite d équation θ = π/4, la symétrique d axe (Oy) et enfin la symétrie de centre O. On a le tableau de variation θ 0 π/4 r(θ) + 1 La courbe d équation polaire r = 1/sin 2θ Etude de en θ = π/4 r(π/4) = 1, r (π/4) = 0 Il y a une tangente orthoradiale. Etude quand θ 0 +. r(θ) +. d(θ) = r(θ) sin(θ) = y(θ) = La droite d équation y = 1/2 est asymptote à la courbe avec la courbe au dessus. plot([1/sin(2*t), t, t=-pi..pi], coords=polar, view=[-2..2, -2..2]); Exercice 5 : [énoncé] r : θ r(θ) = 1 est définie et de classe C sur le domaine ]2kπ, (2k + 1)π[ La fonction r est 2π-périodique donc M(θ) = M(θ + 2π) La fonction r est paire donc M( θ) est le symétrique de M(θ) par rapport à l axe (Ox). On peut limiter l étude à l intervalle ]0, π]. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d axe (Ox)

6 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 6 r (θ) = sin θ (1 ). 2 θ 0 π r (θ) 0 r(θ) + 1/2 Etude en θ = π/2 r(π/2) = 0, il s agit d un passage par l origine. θ π/2 r(θ) + 0 M(π/2) = O est un point ordinaire dont la tangente est la droite d équation polaire θ = π/2. Etude en θ = π r(π) = 1/2 et r (π) = 0 Il y a une tangente orthoradiale. Etude quand θ 0 + r(θ) + d(θ) = r(θ) sin θ = cos(θ/2) 2 sin 2 (θ/2) sin θ = sin(θ/2) + Il y a une branche parabolique horizontale. plot([cos(t)/(1-cos(t)), t, t=-pi..pi], coords=polar, view=[-1..3, -2..2]); Courbe d équation polaire r = /(1 ) Exercice 6 : [énoncé] a) r : θ sin θ θ est définie et de classe C sur R. r( θ) = r(θ) donc M( θ) est le symétrique de M(θ) par rapport à l axe (Ox). r(θ + π) = θ θ+π r(θ) donc M(θ + π) est l image du point M(θ) par l homothétie de centre O et de rapport k = θ θ+π ]0, 1[ (notons que ce rapport dépend de θ) On peut limiter l étude à l intervalle ]0, π], la courbe obtenue sera complétée par les homothéties de rapport k ]0, 1[ (fonction de θ) et la symétrie d axe (Ox).

7 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 7 θ sin θ θ 2. r (θ) = Posons N(θ) = θ sin θ N (θ) = θ sin θ 0 et puisque N(0) = 0, N(θ) 0 sur ]0, π]. On a le tableau de variation θ 0 π r(θ) 1 0 Etude en θ = π r(π) = 0, il s agit d un passage par l origine. θ π r(θ) + 0 M(π) = O est un point ordinaire dont la tangente est la droite d équation polaire θ = π. Etude quand θ 0 + r(θ) 1 et r (θ) 0 (via développement limité) On peut donc prolonger r en une fonction de classe C 1 sur R avec r(0) = 1 et alors r (0) = 0. On en déduit que l on peut prolonger la courbe par un point limite où la tangente est orthoradiale. plot([sin(t)/t, t, t= ], coords=polar, xtickmarks=2, ytickmarks=3); Courbe d équation polaire r = sin θ/θ b) La droite normale en un point M(θ) passe par O si V = π/2 [π] i.e. r (θ) = 0. Le paramètre θ déterminant un tel point vérifie alors θ = sin θ et donc r(θ) = sin θ θ =. 1/2 Ainsi les points considérés se situent sur le cercle de centre Ω et de rayon 0

8 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 8 R = 1/2.. Exercice 7 : [énoncé] ρ est définie et de classe C sur ] π2 + 2kπ, 3π2 [ + 2kπ Puisque ρ(θ + 2π) = ρ(θ), on peut limiter l étude à l intervalle ] π 2, 3π [ 2 c) La fonction r : θ est définie et de classe C sur R. Puisque r(θ + 2π) = r(θ) et r( θ) = r(θ), on peut limiter l étude de la courbe à l intervalle [0, π], on complétera la courbe obtenue par la symétrie d axe (Ox). On a le tableau des variations θ 0 2π/3 π r(θ) En θ = 0 et θ = π, il y a une tangente orthoradiale et en θ = 2π/3 il y a un passage ordinaire par l origine avec une tangente repérée par l angle polaire 2π/3. On a ρ (θ) = 1 + sin θ (1 + sin θ) 2 avec 1 + sin θ = sin (θ π/4) ρ (θ) 0 sur ] π/2, 0[ et ρ (θ) 0 sur ]0, 3π/2[. θ π/2 0 3π/2 ρ(θ) Quand θ = 0 : Point de rebroussement de première espèce avec tangente d équation θ = 0. Quand θ π/2 +, ρ(θ) sin(θ + π/2) + en écrivant θ = π/2 + α avec α 0. Branche parabolique de direction verticale. Quand θ 3π/2, ρ(θ) sin(θ + 3π/2) +. Branche parabolique de direction verticale. Exercice 8 : [énoncé] a) Pour tout θ R, b) On a donc f(e iθ ) = 1 + e iθ + e 2iθ = e iθ (e iθ e iθ ) = (1 + 2 )e iθ C = { e iθ /θ R } Γ = f(c) = { (1 + 2 )e iθ /θ R } Les points de la courbe Γ évoluent donc sur la courbe d équation polaire r = et inversement. La courbe d équation polaire r = d) Tous les points de la courbe étant réguliers, les points de tangentes horizontales correspondent aux angles solutions de l équation y (θ) = 0. Après résolution, on obtient ( ) 1 ± 33 θ = arccos [2π] 8 Pour obtenir, les points de tangentes verticales, on résout l équation x (θ) = 0. θ = 0, π, ± arccos( 1/4) [2π]

9 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 9 e) On obtient la longueur de la courbe par l intégrale suivante L = 2π 2π r2 (θ) + r 2 (θ) dθ = cos t dt 0 0 La courbe d équation polaire r = Exercice 9 : [énoncé] On écrit z = e iθ avec θ R. u = 1 + z + z 2 = e iθ (e iθ e iθ ) = (2 + 1)e iθ La courbe décrite est celle d équation polaire r = qu il est facile d étudier... La fonction r : θ est définie et de classe C sur R. Puisque r(θ + 2π) = r(θ) et r( θ) = r(θ), on peut limiter l étude de la courbe à l intervalle [0, π], on complétera la courbe obtenue par la symétrie d axe (Ox). On a le tableau des variations θ 0 2π/3 π r(θ) En θ = 0 et θ = π, il y a une tangente orthoradiale et en θ = 2π/3 il y a un passage ordinaire par l origine avec une tangente repérée par l angle polaire 2π/3.