x I x a+ x>a x b x

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "x I x a+ x>a x b x

Transcription

1 ½ ÆÓØ ÓÙÖ Ð³ÁËÁÅ ÔÖ Ñ Ö ÒÒ ØØÔ»»ÛÛÛ Ñ Ö» Ð ÓÖ Ò ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ø Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ÐÐ Ä ÓÖ Ò ½ Ö ÚÖ Ö ¾¼½ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ¾ ½½ ÓÒØ ÒÙ Ø ¾ ½¾ ÆÓØ Ø ÓÒ Ä Ò Ù o Ø O ½ Ö Ú Ø ÓÒ ½ Ö Ú Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ø ÓÑÔÓ ½ Ì ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò R ½ ÈÖ Ñ Ø Ú Ø ÒØ Ö Ð ½½ ½ Ö Ú Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ½ ½ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ½ ½ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ ½ ½ ½ Ò Ø ÓÒ ½ ½ ¾ ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ú Ö Ø ÒØ Ö Ð ½ ½ ÓÖÓÐÐ Ö ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ú o Ø O ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ½ ¾½ ÓÒØ ÒÙ Ø ½ ¾¾ Ö Ú Ø ÓÒ ½ ¾¾½ Ö Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ½ ¾¾¾ ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Ö ÒØ ÐÐ Ö ÒØ ½ ¾ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ù Ö ÒØ ¾½ ¾ ½ Ò Ø ÖÑ ÔÐÙ Ö Ò Ô ÒØ ¾½ ¾ ¾ Ò Ø ÖÑ ÒÓÖÑ Ð Ù Ö Ô ¾¾ ¾ Ê Ð Ö Ú Ø ÓÒ ¾ ¾ Ì ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ¾ ¾ Ö Ú ³ÓÖ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ò Ø ÓÖ Ñ Ë Û ÖÞ ¾ ¾ Ä Ú Ö Ð Ñ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ i ¾ ¾ ½ ÈÖ Ñ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÙ Ö ¾ ¾ ¾ Ë ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÙ Ö ¾ ¾ Ä Ú Ö Ð Ñ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ i ¾ ¾ ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ò R n ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ú ØÓÖ ÐÐ ¼ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙ Ø ¼ ¾ Ö Ú Ø ÓÒ Ø Ñ ØÖ Ó ÒÒ ½ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø Ö Ú Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ó ÒÒ ¾ Ì ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò R n Ì ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü Ò Ì ÓÖ Ñ ³ ÒÚ Ö ÓÒ ÐÓ Ð Ì ÓÖ Ñ ÓÒØ ÓÒ ÑÔÐ Ø ¾ ½ ÓÒØ ÓÒ R n R R ¾ ½½ ÓÙÖ Ò Ú Ù ½¾ ÓÒØ ÓÒ R R R ½ ÓÒØ ÓÒ R n R R ¾ ÓÒØ ÓÒ R n R m R m ¾½ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ÓÒØ ÓÒ R n R m R ¾¾ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ÓÒØ ÓÒ R n R m R p ¾ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ R n R m R m

2 ¾ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ½ Ò Ø ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ø ½½ Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ½¾ ÓÓÖ ÓÒÒ ÔÓÐ Ö ¼ ½ ÓÓÖ ÓÒÒ ÝÐ Ò Ö ÕÙ ½ ½ ÓÓÖ ÓÒÒ Ô Ö ÕÙ ½ ¾ Ü ÑÔÐ ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ ½ Ê ÔÔ Ð Ò Ñ ÒØ Ú Ø ÙÖ ¾ Ê ÔÔ Ð Ò Ñ ÒØ ÓÓÖ ÓÒÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ½ Å ØÖ Ó ÒÒ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ¾ ËÝ Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒÒ Ð Ò ÓÓÖ ÓÒÒ Ù Ý Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒÒ Ä Ö Ú Ò Ð ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÓÖ ÓÒÒ Ä Ö Ú ÓÒ Ò Ð ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÓÖ ÓÒÒ Ø Ð Ð ÔÐ Ò ½ ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ ½ ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð Ò Ð Ù Ý Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒÒ ¾ Ä Ö ÒØ Ò Ð ÓÓÖ ÓÒÒ Ú Ö Ò Ø ÖÓØ Ø ÓÒÒ Ð Ò Ð ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÓÖ ÓÒÒ ½¼ ÒÒ Ü Ö ÔÔ Ð ÓÖÑÙÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÕÙ ½½ ÒÒ Ü ÕÙ ÐÕÙ ÒØ Ö Ð ½¾ ÒÒ Ü ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú Ø ÔÖ Ñ Ø Ú µ Ù Ù ÐÐ ¼ ¼ ½ ½ ÒÒ Ü Ö Ò ÔÓÐÝÒÑ Ö Ø ¾ Ê Ö Ò Ð Ó Ö Ô ÕÙ ½ ½½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÓÒØ ÒÙ Ø ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ I R I гÙÒ ÓÖÑ Ù Ú ÒØ ], [(= R ],b[ ],b] ]a, [ [a, [ ]a,b[ [a,b[ ]a,b] [a,b] Ó a Ø b ÓÒØ ÙÜ Ö Ð Ø Ð ÕÙ a < b Ò Ð ÕÙ ØÖ ÖÒ Ö µ Ò Ø ÓÒ ½½ ËÓ Ø f : I R Ø x 0 I ÐÓÖ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò x 0 lim f(x = f(x 0 Ò R. x I x x 0 ½½µ ÉÙ Ò ÓÒ Ö Ø x x 0 ÓÒ ÓÙ ¹ ÒØ Ò Ò Ö ÕÙ x I ÒÓÒ f(x Ò³ ÙÖ Ø Ô Ò ÓÒ Ò ÔÖ Ö ÔÐÙ x I Ò Ð Ù Ø ÓÒ Ö Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ lim x x0 f(x = f(x 0 Ø ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ lim f(x x a+ lim f(x x b = lim x>a x b = lim x<b x b f(x ÒÓØ = f(a+, f(x ÒÓØ = f(b. Ø Ð Ò Ø ÓÒ ÓÒÒ Ô Ö ½½µ ÓÒØ ÒØ Ð Ò Ø ÓÒ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø ÖÓ Ø Ø Ù I = [a,b] f Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÓ Ø Ò a f(a+ = f(a, Ø f Ø ÓÒØ ÒÙ Ù Ò b f(b = f(b.

3 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R Ä ÓÒØ ÒÙ Ø Ò x 0 ³ Ö Ø Ù Ú Ð Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ. Ò Rµ lim f(x f(x 0 = 0. x x 0 0 ½¾µ Ø Ò Ø ÖÑ ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ f ÓÒØ ÒÙ Ò x 0 ³ Ö Ø ε > 0, η > 0, x I : x x 0 < η = f(x f(x 0 < ε, ÕÙ ³ ÒÓÒ Ò Ö Ò Ò x 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ ε > 0 ÓÙ ¹ ÒØ Ò Ù Ù Ô Ø Ø Ó Ø¹ Ð µ Ð Ü Ø η > 0 ÕÙ Ô Ò ε Ø x 0 µ Ø Ð ÕÙ ÕÙ x Ú Ö x x 0 < η ÓÒ f(x f(x 0 < ε ÓÙ ÒÓÖ Ò x 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ ε > 0 ÓÙ ¹ ÒØ Ò Ù Ù Ô Ø Ø Ó Ø¹ Ð µ Ð Ü Ø η > 0 ÕÙ Ô Ò ε Ø x 0 µ Ø Ð ÕÙ ÕÙ x Ø Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ ]x 0 η,x 0 +η[ ÓÒ f(x Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ ]f(x 0 ε,f(x 0 +ε[ Ò Ø ÓÒ ½¾ f Ø ÓÒØ ÒÙ Òx 0 f Ò³ Ø Ô ÓÒØ ÒÙ Ò x 0 lim x x0 f(x f(x 0 ÇÙ ÒÓÖ ε > 0, η > 0, x I ØÕ x x 0 < η Ø f(x f(x 0 ε. Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ Ø ÕÙ f : I R Ø ÓÒØ ÒÙ Ò I f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x I Ð ³ Ö Ø x I, ε > 0, η > 0 : x I, x x < η = f( x f(x < ε. Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ ÔÔ ÐÐ C 0 (I;R г Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ f : I R ÕÙ³ÓÒ ÒÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ C 0 ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ò³Ý Ô ÓÒ Ù ÓÒ ÔÓ Ð Ì ÓÖ Ñ ½ Ú Ð ÙÖ ÒØ ÖÑ Ö µ ËÓ Ø f : I R ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ò I Ó Ø a Ø b ÙÜ ÔÓ ÒØ I Ø Ð ÕÙ a < b ÐÓÖ f(a < f(b ÓÒ y 0 ]f(a,f(b[, x 0 ]a,b[, f(x 0 = y 0, ½ µ Ø f(a > f(b Ñ Ñ Ö ÙÐØ Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ y 0 ]f(b,f(a[ Á f Ø ÓÒØ ÒÙ ÐÓÖ ØÓÙØ Ú Ð ÙÖ ÓÑÔÖ ÒØÖ f(a Ø f(b Ø ØØ ÒØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ I ÐÓÖ f(i Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÚÓ Ö Ð³ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ [m,m] ]m,m] [m,m[ ÓÙ ]m,m[ Ó m = inf x I f(x Ø M = sup x I f(x ÈÖ ÙÚ ËÙÔÔÓ ÓÒ f(a < f(b ÒÓÒ ÓÒ ØÖ Ú ÐÐ Ú Ð ÓÒØ ÓÒ fµ ËÓ Ø y 0 ]f(a,f(b[ Ó Ø S = {x ]a,b[ : f(x < y 0 } Ý ÒØ S [a,b] ÓÒ Ò Ø c [a,b] ÓÑÑ Ø ÒØ Ð ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ S x S ÐÓÖ x c Ø x > c ÐÓÖ f(x y 0 ÇÒ ÓÑÑ Ò Ô Ö Ö Ñ ÖÕÙ Ö ÕÙ c Ú Ö a<c<b Ò Ø ÑÓÒØÖÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÕÙ c a Ñ Ñ Ö ÓÒÒ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ c bµ ÒÓÒ c = a Ø ÐÓÖ Ô Ö Ò Ø ÓÒ c ÔÓÙÖ ØÓÙØ x ]a,b[ ÓÒ f(x y 0 > f(a Å ÐÓÖ lim x a+ f(x y 0 > f(a Ø f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò a ÓÒØÖ Ö Ð³ ÝÔÓØ f ÓÒØ ÒÙ Ò a ÓÒ c = a Ø ÑÔÓ Ð ÓÒ c > a ³Ó ØÖÓ ÔÓ Ð ½¹ ËÓ Ø f(c = y 0 Ø Ð Ø ÓÖ Ñ Ø ÑÓÒØÖ ¾¹ ËÓ Ø f(c < y 0 Ñ f Ø ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò c ÓÒ lim x c f(x = f(c Ø Ô Ö Ò Ø ÓÒ c lim x c+ f(x y 0 > f(c ³ Ø ÙÖ ³Ó f(c y 0 ¹ ËÓ Ø f(c > y 0 Å Ñ Ñ Ö ³ Ø ÑÔÓ Ð Ë ÙÐ Ð ½¹ Ø ÔÓ Ð ³Ó ½ µ ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ f(i Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ø y,y ÓÒØ ÙÜ ÔÓ ÒØ f(i Ð Ü Ø x,x I ØÕ f(x = y Ø f(x = y ÐÓÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [y,y ] Ø Ò f(i ½ µ Ø f(i ]m,m[ Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ Ø ÕÙ f : I R Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò I Ð ÓÒØ ÒÙ Ø f Ñ ÙÖ Ò Ô Ò ÑÑ ÒØ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Òµ x ε > 0, η ε > 0 : x, x I, x x < η ε = f( x f(x < ε. ÇÒ Ò Ô ÙØ Ô ÜÔÖ Ñ Ö Ð³ÙÒ ÓÖÑ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ø ÖÑ Ð Ñ Ø µ ÓÒ η Ò Ô Ò ÕÙ ε Ô x ÔÓÙÖ ØÓÙØ ε Ð Ü Ø η Ø Ð ÕÙ ÕÙ x Ø x Ú Ö ÒØ x x < η ε ÓÒ f( x f(x < ε

4 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ë f Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ I ÐÐ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x I Ä Ö ÔÖÓÕÙ Ø Ù Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ I R Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ f : I R Ø ÐÐ ÕÙ f Ò³ Ø Ô ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÈÖ ÙÚ ÇÒ ÙÔÔÓ f ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò I ËÓ Ø x I ÐÓÖ Ð³ÙÒ ÓÖÑ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ε > 0, η ε > 0 : x I, x x < η ε = f( x f(x < ε Á f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò x Ä Ö ÔÖÓÕÙ Ø Ù ÔÖ Ò Ö f : x ]0,] x ØØ ÓÒØ ÓÒ Ø Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ ]0,] Ñ ÐÐ Ò³ Ø Ô ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò ]0,] Ò Ø ε > 0 ÓÒ ÔÖ Ò ε = Ø Ð ÕÙ η > 0 x > 0 Ø y > 0 ÚÓ Öx = min(η, Ø y = x Ø ÓÒ Ð Ó x y < η Ø f(x f(y ε Ö x y = min( η, Ø f(x f(y = x x = x = max( η, =ε ÇÙ Ò ÔÖ Ò Ö f : R R Ò Ô Ö f(x = x µ Ü ÑÔÐ ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ f : x [0,] f(x = x R Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò ÖÚ Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ µ Ê ÔÓÒ Ê Ö ÓÒ ÕÙ Ô Ù ÚÓ Ò x = 0 Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Ò x = 0 ÓÒ Ú ÙØ x 0 = x < ε ÕÙ x 0 = x < η ÇÒ ÔÖ Ò η = ε Ø ÓÒ x < η ÓÒÒ Ò x < ε Ð ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÓ Ø Ò 0 Ø ÓÒ Ö Ø Ö η Ò ÓÒØ ÓÒ ε ÅÓÒØÖÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ ÕÙ x x < ε ÐÓÖ x x < ε ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ x x x x ÕÙ x x ÐÓÖ x+x xx x x x x ÐÓÖ x xx 0 ³ Ø ÑÑ Ø Ø x < x ÓÒ x x = x x Ø Ñ Ñ x xx 0 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f C 0 ([a,b],r ÓÒØ ÒÙ ÙÖ ÙÒ ÓÑÔ Øµ Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÈÖ ÙÚ ËÙÔÔÓ ÓÒ f ÒÓÒ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ε > 0, η > 0, x [a,b], x [a,b], x x < η Ø f( x f(x ε. ËÓ Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ð ε ÐÓÖ ÓÒ Ü n N Ø ÓÒ ÔÓ η = n ÈÙ ÓÒ ÔÖ Ò ÙÜ Ö Ð x n Ø x n Ø Ð ÕÙ x n x n < η Ø f( x n f(x n ε ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ò ÙÜ Ù Ø (x n Ø ( x n Ò Ð ÓÑÔ Ø [a,b] ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ Ò ÜØÖ Ö ÙÜ ÓÙ ¹ Ù Ø ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ³ÓÒ ÒÓØ Ö ÒÓÖ ÔÓÙÖ ÑÔÐ Ö Ð ÒÓØ Ø ÓÒ (x n Ø ( x n ÓÑÑ x n x n < n Ð ÙÜ ÓÙ ¹ Ù Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ÙÒ Ñ Ñ Ú Ð ÙÖ Ø Ú Ö ÒØ Ð ¹ Ñ ÒØ f( x n f(x n ε ÓÑÑ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ø ÑÔÓ Ð ÓÒ f Ø Ò ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½¼ Ë f : [a,b] R Ø ÓÒØ ÒÙ ÐÓÖ Ð³ Ñ f([a,b] Ø ÓÑÔ Ø ÓÖÒ Ø ÖÑ µ Ø f ØØ ÒØ ÓÒ Ñ Ü ÑÙÑ Ø ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ x M [a,b] : f(x M = sup f(x, x m [a,b] : f(x m = inf f(x. x [a,b] x [a,b] ÈÖ ÙÚ Ä Ø ÓÖ Ñ Ú Ð ÙÖ ÒØ ÖÑ Ö Ò ÕÙ ÕÙ f([a,b] Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ð ³ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ÓÖÒ Ø ÖÑ ÕÙ Ò f Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ú Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ µ ÅÓÒØÖÓÒ Õ٠г Ñ f([a,b] Ø ÓÖÒ Ä³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [a,b] Ø ÒØ ÓÑÔ Ø f Ý Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ ε Ü Ð Ü Ø η Ø ÓÒ Ð Ü Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÔÓ ÒØ x 0 <x <...<x n Ø Ð ÕÙ x i+ x i < η Ø f(x i+ f(x i < ε ÚÓ Ö x i = a+i η b a ÔÓÙÖ i =,...,n Ó n = Ô ÖØ ÒØ Ö b a b a η ÔÓ ÒØ ÕÙ ØØ ÔÖ Ò Ö η Ù ÑÑ ÒØ Ô Ø Ø Ø Ð ÕÙ η µ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x [a,b] Ð Ü Ø i [,n] Ø Ð ÕÙ x x i < η Ø f(x f(x i < ε Ø ÓÒ f(x max (f(x i +ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ x [a,b] Ø f Ø Ò ÓÖÒ ÓÒ Ñ i=,...,n sup x [a,b] Ø ÓÖÒ µ ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ f([a,b] Ø ÖÑ ÈÓ ÓÒ M = sup x [a,b] ( f(x ÙÒ Ø Ð ÙÔ Ü Ø ÒØ Ò R Ö f Ø ÓÖÒ ÁÐ ³ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø x M [a,b] Ø Ð ÕÙ M = f(x M Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ù ÙÔ Ð Ü Ø ÙÒ Ù Ø (x n Ò [a,b] Ø ÐÐ ÕÙ f(x n n M Ä Ù Ø (x n Ø ÒØ ÓÖÒ Ò Ð ÓÑÔ Ø [a,b] ÐÐ Ñ Ø ÙÒ ÓÙ Ù Ø ÓÒÚ Ö ÒØ x nk Ò [a,b] ÆÓØÓÒ

5 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R x M = lim x n k Ë ÒØ f ÓÒØ ÒÙ ÓÒ f(x nk f(x M Ø ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ M = f(x M Ø k ÓÒ ÕÙ M f([a,b] Ñ Ñ ÔÓÙÖ m = inf ( f(x f([a,b] ÕÙ ÔÖÓÙÚ ÕÙ f([a,b] x [a,b] Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÖÑ Ê Ñ ÖÕÙ ½½½ Ò ÔÔÐ ÕÙ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ÚÓ Ö ÔÐÙ ÐÓ Òµ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ f : I R Ø ÓÒØ ÒÙ Ö Ú Ð Ö Ú ÓÖÒ ÙÖ I ÐÓÖ f Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ I ½¾ ÆÓØ Ø ÓÒ Ä Ò Ù o Ø O Ò Ø ÓÒ ½½¾ ËÓ Ø x 0 R Ø Ó Ø I ÒØ ÖÚ ÐÐ R ØÕ x 0 I Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f Ø g F(I;R ÓÒ Ø ÕÙ f Ø Ô Ø Ø o g Ù ÚÓ Ò x 0 Ø ÓÒ ÒÓØ f = o(g Ù ÚÓ x 0 ε > 0, η > 0, x I, x x 0 < η f(x < ε g(x. ½ µ ÇÒ Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ù Ú Ñ ÒØ f(x = o(g(x Ù ÚÓ x 0 Ø ÓÒ Ø ÕÙ f Ø Ò Ð Ð Ú ÒØ g Ù ÚÓ Ò x 0 Ü ÑÔÐ ½½ Ú g = R Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ú Ð ÒØ ÙÖ Rµ ÓÒ f = o( R = ÒÓØ o( Ù ÚÓ x 0 f(x x x0 0 ÑÑ Øµ Ò Ø ÓÒ ½½ Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f Ø g F(R;R ÓÒ Ø ÕÙ f Ø Ô Ø Ø o g Ù ÚÓ Ò + Ø ÓÒ ÒÓØ f = o(g Ù ÚÓ + ε > 0, M > 0, x > M f(x < ε g(x. ½ µ ÇÒ ÒÓÖ f = o(g Ù ÚÓ Ò + F = o(g Ù ÚÓ Ò 0 Ó ÓÒ ÔÓ F(x = f( x Ø G(x = g( x ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½ ËÓ Ø x 0 I Ø Ó Ø I ÒØ ÖÚ ÐÐ R ØÕ x 0 I Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f Ø g F(I;R ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ε : R R Ø ÐÐ ÕÙ ε(0 = 0 Ø ÕÙ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÓÒ ε(z 0µ Ø z 0 f(x = ε(x x 0 g(x, ½ µ ÐÓÖ f = o(g Ù ÚÓ Ò x 0 ÈÖ ÙÚ Ë ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ε Ú Ö ÒØ ½ µ Ü Ø ÐÓÖ f(x ε(x x 0 g(x Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ε > 0 ÓÒÒ Ó ÒØ η > 0 Ø Ð ÕÙ z < η ÑÔÐ ÕÙ ε(z < ε ÙÒ Ø Ð η Ü Ø Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø ε Ò 0µ ÓÒ Ó Ø ÒØ f(x ε g(x ÕÙ x x 0 < η ³Ó ½ µ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö g Ò ³ ÒÒÙÐ Ô Ò ÙÒ ÚÓ Ò x 0 ÓÒ f Ø Ô Ø Ø o g Ù ÚÓ Ò x 0 Ø ÓÒ ÒÓØ f = o(g Ù ÚÓ x 0 Ò ÙÒ ÚÓ Ò x 0 f(x g(x = ε(x x 0 f(x lim x x 0 g(x = 0. ÇÒ ÒÓÖ g Ò ³ ÒÒÙÐ Ô Ò ÙÒ ÚÓ Ò x 0 Ù Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ò x 0 f(x lim x x 0 x x 0 g(x = 0 f(x ÒÓØ = lim x x 0 g(x, Ð ÖÒ Ö ÒÓØ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ Ö Ð³ Ö ØÙÖ ÒØ ÕÙ Ð Ú ÓÒ Ô Ö ¼ Ø ÒØ Ö Ø µ ÆÓØ Ø ÓÒ ÇÒ ÒÓØ x n Ð ÓÒØ ÓÒ x x n Ò ÙÖ R Ò g(x = x n f = o(g Ù ÚÓ Ò x 0 ÓÒ ÒÓØ f = o(x n Ù ÚÓ Ò x 0 Ü ÑÔÐ ½½ ÌÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ÑÓÒÑ f(x = x n Ú n Ø o( Ù ÚÓ Ò x 0 = 0 Ó ÓÒ ÒÓØ Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ = ÙÖ R Ö xn 0 x 0 Ü ÑÔÐ ½½ Ä ÓÒØ ÓÒ f(x = x n ÔÓÙÖ n Ø o(x Ù ÚÓ Ò 0 Ö xn x 0 ÓÒ ÒÓØ x 0 f(x = o(x Ù ÚÓ Ò 0

6 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R Ü ÑÔÐ ½½ Ë f Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ò x 0 ÐÓÖ f(x f(x 0 0 Ø ÓÒ f(x x x 0 f(x 0 = o( f(x = f(x 0 +o( Ù ÚÓ Ò x 0 Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø f гÓÖ Ö ¼ Ù ÚÓ Ò x 0 µ Ê Ñ ÖÕÙ ½½ Ä ÒÓØ Ø ÓÒ Ä Ò Ù Ò³ Ø Ô ÓÑÔ Ø Ð Ú Ð³ Ø ÓÒ f = o(g Ø f = o(g Ð ÓÒÐÙ ÓÒ f +f = o(g +g Ø Ù È Ö Ü ÑÔÐ ÔÖ Ò Ö f (x = f (x = x Ø ÔÖ Ò Ö g (x = x = g (x ÓÒ g +g = 0 Ø (f +f (x = x o(0 = 0 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¾¼ Ä ÒÓØ Ø ÓÒ Ä Ò Ù Ø ÓÑÔ Ø Ð Ú Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ f = o(g Ù ÚÓ x 0 ÐÓÖ fh = o(gh Ù ÚÓ x 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ h Ø Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ä Ò Ù Ø ØÖ Ò Ø Ú f = o(g Ø g = o(h Ù ÚÓ x 0 ÐÓÖ f = o(h Ù ÚÓ x 0 ÈÖ ÙÚ Ë f(x = ε(x x 0 g(x ÐÓÖ h(xf(x = ε(x x 0 h(xg(x Ø f(x = ε (x x 0 g(x Ø g(x = ε (x x 0 h(x ÐÓÖ f(x = (ε ε (x x 0 h(x Ú ε ε ÕÙ Ø Ò Ú Ö ¼ ÕÙ Ò x x 0 Ò Ø ÓÒ ½¾½ ÇÒ Ò Ø Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÑÔ Ö Ð ³ ÓÙ Ö Ò O³ ÓÑÑ Ù Ø Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f Ø g ÓÒ Ø ÕÙ f = O(g Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 C > 0, η > 0, x I, x x 0 < η, f(x C g(x. Ø ÓÒ ÒÓØ Ð Ñ ÒØ f(x = O(g(x Ù ÚÓ Ò x 0 ÇÒ Ø Ù ÕÙ f Ø Ù ÔÐÙ µ Ù Ñ Ñ ÓÖ Ö Ö Ò ÙÖ ÕÙ g Ù ÚÓ Ò x 0 ½ Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ½¾¾ ËÓ Ø f : I R Ø Ó Ø x 0 I ÉÙ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù Ú ÒØ Ü Ø Ò R f(x f(x 0 lim R, ½ µ x x 0 x x 0 f(x f(x ÕÙ Ò Ð Ü Ø c R Ø Ð ÕÙ c = lim 0 x x0 x x 0 ÓÒ Ø ÕÙ f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 Ø ÓÒ ÒÓØ c = f (x 0 ÓÒ f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÓÒ ÒÓØ f(x f(x 0 lim = f (x 0. x x 0 x x 0 ÉÙ Ò ÓÒ Ö Øx x 0 ÓÒ ÓÙ ¹ ÒØ Ò Ò Ö ÕÙ x I ÒÓÒf(x Ò³ ÙÖ Ø Ô Ò ØØ Ò Ø ÓÒ ÓÒØ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ø ÓÒ Ð Ö Ú ÖÓ Ø ÓÙ Ö Ú Ô Ö Ð ÖÓ Ø µ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ù Ó x 0 = a Ø ÓÒ I = [a,b[ ÓÙ [a,b] ÓÙ [a, [µ ÒÓØ f(x f(x 0 lim = f f(x 0 +h f(x (x 0 + R, ÓÙ ÒÓÖ lim = f (x 0 + ½ µ x x 0+ x x 0 h 0+ h Ú Ð ÒÓØ Ø ÓÒ ÑÑ Ø ÍÒ Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø ÓÙ ÒÓÖ ÓÙ ÒÓÖ lim = lim Ñ Ñ ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ù x x 0+ x>x 0 x x 0 f(x f(x 0 x x 0 f (x 0 = o( Ù ÚÓ x 0, ½ µ f(x f(x 0 x x 0 = f (x 0 +o( Ù ÚÓ x 0, ½½¼µ f(x = f(x 0 +f (x 0 (x x 0 +o(x x 0 Ù ÚÓ x 0, ½½½µ ÔÔ Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø f гÓÖ Ö Ù ÚÓ Ò x 0 Ä Ú Ð ÙÖ f (x 0 Ø Ù ÔÔ Ð Ð Ô ÒØ f Ò x 0 Ö ÔÔÓÖØ Ø ÓÔÔÓ»Ø Òص Ó ÓÒ ÒÓØ y = f(x f(x 0 Ø x = x x 0 ÇÒ Ð Ö ÙÐØ Ø ÑÑ Ø f y (x 0 = Ô ÒØ Ò x 0 = lim x x 0 x,

7 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¾ Ë f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÐÓÖ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò x 0 ÈÖ ÙÚ È Ö ÝÔÓØ f(x = f(x 0 +(x x 0 f (x 0 +o(x x 0 Ø ÓÒ x x 0 ÓÒ Ò f(x f(x 0 Ë Ð Ú Ð ÙÖ f (x 0 Ü Ø ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð x 0 I Ó I R ÓÒ Ò Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ô Ö { I R f : x f (x. Ü ÑÔÐ ½¾ ij ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò f(x = ax + b Ø Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x R Ø ÔÓÙÖ Ö Ú f (x = a =ÓÒ Ø ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x R ÐÙÐ ÑÑ Øµ Ø Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ f Ò R R = R Ô Ö ÓÒ Ö Ô {(x,f(x : x R} Ø ÙÒ ÖÓ Ø Ô ÒØ a Ô ÒØ Ô Ö Ð ÔÓ ÒØ (0, b Ü ÑÔÐ ½¾ ij ÔÔÐ Ø ÓÒ f(x = x Ø Ö Ú Ð ÙÖ R {0} Ò 0 Ð Ð Ñ Ø ÖÓ Ø Ø + Ø Ð Ð Ñ Ø Ù Ø ØØ ÓÒØ ÓÒ Ò³ Ø ÓÒ Ô Ö Ú Ð Ò 0 Ü ÑÔÐ ½¾ ij ÔÔÐ Ø ÓÒ f(x = x n ÔÓÙÖ n N Ø Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x 0 R Ø Ö Ú Ò x 0 Ø f (x 0 = nx n 0 ÔÓÙÖ n µ Ò Ø x n x n 0 = (x x 0 (x n +x n x xx n 0 +x n 0 ½½¾µ Ø ÓÒ xn x n 0 x x 0 Ø Ò Ú Ö nx n 0 ÕÙ Ò x Ø Ò Ú Ö x 0 Ø Ô Ö Ð Ò Ö Ø ÓÒ Ù Ø ÕÙ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ö Ú Ð ÙÖ R Ø Ö Ú Ø ÑÑ Ø ÐÙÐ Ö Ü ÑÔÐ ½¾ ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ x exp(x = e x Ø Ò ÓÑÑ Ø ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ø Ð Ö Ú Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x R ÔÓÙÖ ØÓÙØ x R ÓÒ exp (x = exp(x ÇÒ ÒÓØ C (I;R г Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ f : I R ÕÙ ÓÒØ Ö Ú Ð ÙÖ I Ö Ú f ÓÒØ ÒÙ ÙÖ I f C 0 (I;Rµ Ø ÓÒ ÒÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ C ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ò³Ý Ô ÓÒ Ù ÓÒ ÔÓ Ð Ê Ñ ÖÕÙ ½¾ ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f Ô ÙØ ØÖ ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ R Ø Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ R Ò ÕÙ Ö Ú Ó Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ R Ô Ö Ü ÑÔÐ f Ò ÙÖ R Ô Ö f(x = x sin( x Ø Ò 0 Ô Ö f(0 = 0 Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ R ØØ ÓÒØ ÓÒ Ø Ö Ú Ð ÙÖ R Ö Ú f (x = xsin( x cos( x Ø ØØ Ö Ú Ò³ Ø Ô ÔÖÓÐÓÒ Ð Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ò 0 ÈÓÙÖØ ÒØ f (0 Ü Ø Ø Ú ÙØ 0 Ö f(x f(0 x 0 = xsin( x Ø Ò Ú Ö 0 ÕÙ Ò x 0 ØØ ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ð Ò 0 Ò ÕÙ Ö Ú f Ó Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ò 0 Ä ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Ò³ÓÒØ ÓÒ Ô ÓÖ Ñ ÒØ Ð ÙÖ Ö Ú ÓÒØ ÒÙ Ä Ö Ú Ø ÓÒ Ø Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒ Ø ÐÙÐ Ö Ð Ö Ú Ø ÒØ ÓÒÒ ÕÙ a+b c = a c + b c Ò R ÕÙ c 0 ÓÒ ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ½¾ ijÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ö f Ø g ÓÒØ ÙÜ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ö Ú Ð Ò x Ø λ R ÐÓÖ (f +λg (x = f (x+λg (x ½½ µ Ò Ø ÓÒ ½ ¼ Ë f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÐÓÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ò Ô Ö Ô Ö g x0 (x = f(x 0 +f (x 0 (x x 0, ½½ µ g x0 (x = ax+b Ú a = f (x 0 Ø b = f(x 0 f (x 0 x 0, ½½ µ Ø ÔÔ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÒØ f Ò x 0 ËÓÒ Ö Ô Ò R Ø ÙÒ ÖÓ Ø Ø Ò ÒØ Ò x 0 Ù Ö Ô f Ò Ø ÓÒ ½ ½ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f : R R Ø g : R R ÓÒØ Ø Ø Ò ÒØ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 f(x g(x lim = 0. x x 0 x x 0 Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö g Ø Ò ÐÓÖ g ³ Ö Ø g(x = a(x x 0 + b Ó g(x 0 = b Ø g (x 0 = a Ø f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÐÓÖ f(x = f(x 0 + (x x 0 f (x 0 + o(x x 0 Ù ÚÓ Ò x 0 Ø ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÕÙ g Ø Ø Ò ÒØ f ÐÓÖ ÓÒ Ó Ø ÚÓ Ö g(x 0 = f(x 0 Ø g (x 0 = f (x 0 Ø Ð Ö Ô g Ø Ð ÖÓ Ø Ø Ò ÒØ Ù Ö Ô f Ò x 0

8 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ½ Ö Ú Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ø ÓÑÔÓ ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ f Ø g ÓÒØ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÐ I ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø fg Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖ I Ô Ö fg(x = f(xg(x Ë ÔÐÙ g Ò ³ ÒÒÙÐ Ô ÙÖ I ÐÓÖ f g Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ô Ö f f(x g (x = g(x Ø g Ø Ò ÙÖ f(i ÐÓÖ g f Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖ I Ô Ö (g f(x = g(f(x ÎÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ð Ù Ù ÐÐ Ö Ú Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ö Ú ÓÒØ ÓÒ Ò f(x = a 0 + a x Ø g(y = b 0 + b y ÓÒ ÓÒ Ö Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö Ð Ô ÖØ Ò f Ø g Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ Òص Ò (fg(x = f(xg(x = (a 0 +a x(b 0 +b x = a 0 b 0 +(a 0 b +a b 0 x+a b x ³Ó (fg (x = a 0 b +a b 0 +a b x = a (b 0 +b x+(a 0 +a xb 0 = (f g +fg (x Ø (g f(x = g(a 0 +a x = b 0 +b (a 0 +a x ³Ó (g f (x = b a = g (f(xf (x Ò Ö Ð Ì ÓÖ Ñ ½ ¾ ËÓ ÒØf Øg ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Òx R ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ù Øfg Ø Ö Ú Ð Ò x Ø g (x 0 ÐÓÖ f g Ø Ö Ú Ð Ò x Ø (i (ii (fg (x = f (xg(x+f(xg (x, f (x = f (xg(x f(xg (x g g(x. (x Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö g = g (x g(x Ø f Ø Ö Ú Ð Ò x Ø g Ø Ö Ú Ð Ò y = f(x ÐÓÖ g f Ø Ö Ú Ð Ò x Ø ½½ µ (iii (g f (x = g (f(xf (x ½½ µ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ø ÒÚ Ö Ð Ù ÚÓ Ò x f (x 0 Ø f Ø Ö Ú Ð Ò y = f(x ÐÓÖ (iv (f (y = f (x = f (f (y. ½½ µ ÈÖ ÙÚ ËÓ Ø x 0 R ÑÓÒØÖÓÒ µ Ö ÓÒ Ð Ð Ñ Ø Ù Ú ÒØ Ü Ø f(xg(x f(x 0 g(x 0 lim x x 0 x x 0 ÇÒ f(xg(x f(x 0 g(x 0 = (f(x f(x 0 g(x+f(x 0 (g(x g(x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Å g ÓÒØ ÒÙ Ø Ö Ú Ð Ò x 0 Ø f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 Ø ÓÒ ½½ µ ½¾¼µ f(xg(x f(x 0 g(x 0 x x 0 = (f (x 0 +o((g(x 0 +o(+f(x 0 (g (x 0 +o(. ½¾½µ ijÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ð Ð Ñ Ø Ø ÒØ Ð Ò Ö Ø Ð Ð Ñ Ø ³ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ø ÒØ Ð ÙÜ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ñ Ø ÓÒ Ù Ø Ð³ Ü Ø Ò Ð Ð Ñ Ø Ø µ Ñ Ñ ÔÓÙÖ µ ÕÙ Ò f = ÓÒ g(x g(x 0 x x 0 = g(x 0 g(x x x 0 g(xg(x 0 ½¾¾µ ³Ó г Ü Ø Ò Ð Ð Ñ Ø Ø µ ÕÙ Ò f = ÈÙ µ ÓÙÐ ØØ ÖÒ Ö ÓÖÑÙÐ Ø µ ÔÙ ÕÙ f g = f g

9 ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÈÓÙÖ µ Ö ÓÒ Ð³ Ü Ø Ò Ð Ð Ñ Ø ÕÙ Ò x x 0 g(f(x g(f(x 0 x x 0 = g(y g(y 0 x x 0, ½¾ µ Ó ÓÒ ÔÓ y = f(x Ø y 0 = f(x 0 ÓÑÑ g Ø Ö Ú Ð Ò y 0 Ð Ú ÒØ g(y = g(y 0 +g (y 0 (y y 0 +o(y y 0 = g(y 0 +g (y 0 (f(x f(x 0 +o(f(x f(x 0. ½¾ µ Ø Ð Ö Ú Ð Ø f Ò x 0 ³ Ö Ø f(x f(x 0 = f (x 0 (x x 0 +o(x x 0 ³Ó g(y = g(y 0 +g (y 0 [f (x 0 (x x 0 +o(x x 0 ]+o(f (x 0 (x x 0 +o(x x 0. ½¾ µ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ g(y g(y 0 = g (y 0 f (x 0 (x x 0 +o(x x 0, ½¾ µ Ð Ö Ú g f Ò x 0 Ú ÙØ g (y 0 f (x 0 Ò Ò ÔÓÙÖ Úµ f Ø Ö Ú Ð Ò y = f(x Ú f Ö Ú Ð Ò x (f f (y = y ÓÒ Ù Ø f (f (y(f (y =, ½½ µ Ê Ñ ÖÕÙ ½ Ò Ð Ö Ú Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÓ Ð ÐÐ Ø ÓÑÔ Ö Ö Ð³ ÖÓ Ñ ÒØ g(f(x g(f(x 0 Ú Ð³ ÖÓ Ñ ÒØ x x 0 ÓÖÑ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÙÖ Ø ÔÙ Ö Ö g(f(x g(f(x 0 = g(f(x g(f(x 0 x x 0 f(x f(x 0 f(x f(x 0 x x 0 g (f(x 0 f (x 0 ½¾ µ ÕÙ ÙÖ Ø ÓÒÒ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ö ÙØ Ø Ô Ò ÒØ Ð Ô ÙØ ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ f Ó ÐÐ ÙÓÙÔ ÙØÓÙÖ x 0 Ø ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô ÐÓÖ Ú Ö Ô Ö f(x f(x 0 Ü ÑÔÐ f(x = xsin( x Ú f(0 = 0µ ³ Ø ÔÓÙÖÕÙÓ ÓÒ ÓÑÔÓ Ð ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ö ÔÔ Ö ØÖ f(x f(x 0 Ù ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ Ì ÓÖ Ñ ½ Ä Ò Þµ Ë f Ø g ÓÒØ n¹ Ó Ö Ú Ð Ò x ÐÓÖ fg Ø n¹ Ó Ö Ú Ð Ò x Ø n ( n (fg (n (x = f k (k (xg (n k (x ½¾ µ k=0 Ó Ð n k = n! k!(n k! = Ck n ÓÒØ Ð Ó ÒØ ÒÓÑ ÙÜ ÈÖ ÙÚ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÒØ ÕÙ È Ðµ n k + ( n k = n k Ö Ð Ù ØÖ Ò Ð ½ Ì ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò R Ì ÓÖ Ñ ½ ÖÑ Øµ Ë f : [a,b] R ÔÖ ÒØ ÙÒ ÜØÖ ÑÙÑ ÐÓ Ð Ñ Ò ÑÙÑ ÓÙ Ñ Ü ÑÙѵ Ò x 0 ]a,b[ Ø f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÐÓÖ f (x 0 = 0 ÈÖ ÙÚ ËÙÔÔÓ ÓÒ f Ñ Ü Ñ Ð Ò x 0 f(x f(x 0 ÓÒ f f(x f(x 0 (x 0 + = x>x0 lim 0 Ø x x 0 x x 0 f f(x f(x 0 (x 0 = x<x0 lim 0 ÓÑÑ f Ø Ö Ú Ð Ò x 0 ÓÒ f (x 0 + = f (x 0 = f (x 0 x x x x 0 0 ÓÒ f (x 0 = 0 Ø f ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ò x 0 ÐÓÖ f Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ò x 0 Ø f (x 0 = 0 Ü Ö ½ ÅÓÒØÖ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ø Ö ÓÙÜ f Ø Ö Ú Ð ÙÖ [a,b] f (a < f (b Ø λ Ø Ø Ð ÕÙ f (a < λ < f (b ÐÓÖ Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ λ = f (ξ Ê ÔÓÒ Ä³ ÒÓÒÒÙ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ ξ Ø Ð ÕÙ f (ξ = λ ØÕ f (ξ λ = 0 ËÓ Ø g(x = f(x λx Ö Ú g (x = f (x λ ÇÒ Ö ÓÒ ÙÒ ÔÓ ÒØ ξ Ó g Ñ Ø ÙÒ ÜØÖ ÑÙÑg Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø ÓÒ Ý ØØ ÒØ ÓÒ Ñ Ü ÑÙÑ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ ξ g Ø ÒØ Ö Ú Ð Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÑ Ø Ò ÕÙ ÕÙ g (ξ = 0 = f (ξ λ

10 ½¼ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R Ì ÓÖ Ñ ½ ÊÓÐÐ µ Ë f Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ö Ú Ð ÙÖ ]a,b[ Ø f(a = f(b ÐÓÖ Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f (ξ = 0 ÈÖ ÙÚ f Ø ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ý Ñ Ø ÙÒ ÜØÖ ÑÙÑ ÐÓ Ð Ø f Ø ÒØ Ö Ú Ð ÓÒ ÔÔÐ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÑ Ø Ì ÓÖ Ñ ½ ÖÓ Ñ ÒØ Ò µ Ë f : [a,b] R Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø Ö Ú Ð ÙÖ ]a,b[ ÐÓÖ f(b f(a c ]a,b[, = f (c. ½¾ µ b a Á Ð Ü Ø c ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f (c Ó Ø Ð Ô ÒØ ÑÓÝ ÒÒ ÇÙ ÒÓÖ θ ]0,[, f(b f(a = (b af (a+θ(b a. Ø ÓÖ Ñ Ø Ù Ô Ö Ó ÔÔ Ð Ø ÓÖ Ñ Ä Ö Ò Ø Ð ÔÓ ÒØ c = a+θ(b a ³ Ö Ø Ù c = ( θa+θb ÕÙ Ø Ð³ Ö ØÙÖ Ù Ù ÐÐ Ù ÖÝ ÒØÖ a Ø bµ ÈÖ ÙÚ Ä ÖÓ Ø Ó Ò ÒØ a Ø b ÔÓÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ y = f(a+ f(b f(a b a (x a ÇÒ ÓÒ Ö ÐÓÖ Ð ÓÒØ ÓÒ g(x = f(x f(a f(b f(a b a (x a ÕÙ Ú Ö g(b = g(a Ø ÓÒ ÐÙ ÔÔÐ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ÊÓÐÐ Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ g (ξ = 0 = f (ξ f(b f(a b a Ü Ö ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø Ö Ú Ð ÙÖ ]a,b[ Ø f (x = 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ x Ò ]a,b[ ÐÓÖ f(x Ø ÓÒ Ø ÒØ ÙÖ [a,b] Ê ÔÓÒ Ä Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò ÕÙ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ y ]a,b] Ð Ü Ø c ]a,y[ Ø Ð ÕÙ f(y f(a = f (c(y a = 0 ³Ó f(y = f(a ÔÓÙÖ ØÓÙØ y [a,b] Ü Ö ½ ¼ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ f Ø Ö Ú Ð Ò ]a,b[ Ó a < bµ Ø m f (t M ÔÓÙÖ ØÓÙØ t ]a,b[ ÐÓÖ m f(b f(a M b a Ê ÔÓÒ Ä Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò ÕÙ ÕÙ f(b f(a = f (c(b a ÔÓÙÖ ÙÒ c ]a,b[ ³Ó f(b f(a = (b a f (c ³Ó m(b a f(b f(a M(b a Ì ÓÖ Ñ ½ ½ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ð µ Ë f Ø g : [a,b] R ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø Ö Ú Ð ÙÖ ]a,b[ ÐÓÖ c ]a,b[, (f(b f(ag (c = (g(b g(af (c. Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö g(b g(a Ð Ü Ø c ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f(b f(a g(b g(a = f (c ÈÖ ÙÚ Ä³ ÒÓÒÒÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ø c ÇÒ ÔÓ F(x = (f(b f(ag(x (g(b g(af(x Ø ÓÒ Ö ³ Ð Ü Ø x Ø Ð ÕÙ F (x = 0 ÇÒ g (c = f(b f(a b a g(b g(a b a F(b F(a = (f(b f(ag(b (g(b g(af(b (f(b f(ag(a+(g(b g(af(a = 0, Ø ÓÒ ÓÒ Ô ÙØ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ÊÓÐÐ c ]a,b[ ØÕ F (c = 0 Ø F (c = (f(b f(ag (c (g(b g(af (c ÓÖÓÐÐ Ö ½ ¾ Ê Ð Ð³ÀÔ Ø Ðµ Ë f Ø g : [a,b] R ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø Ö Ú Ð ÙÖ ]a,b[ ÐÓÖ f(x f(a lim x a + g(x g(a = lim f (x x a + g (x Ò Ð Ó Ð Ñ Ø Ü Ø ÒØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ø g ÓÒØ Ö Ú Ð ÖÓ Ø Ò a ÐÓÖ Ð Ñ Ø Ú Ð ÒØ f (a g (a

11 ½½ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÈÖ ÙÚ ÇÒ ÔÔÐ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ ÕÙ ÓÒÒ (f(x f(ag (c x = (g(x g(af (c x Ú a < c x < x ÔÓÙÖ x ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ò ]a,b] ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø ÕÙ Ò x a ³ Ø ÙÒ ÙØÖ ÓÒ ³ Ö Ö ÕÙ f(x f(a g(x g(a = f(x f(a / g(x g(a ÕÙ Ò ÙÒ Ò x a x a ÓÙ ÒÓÖ Ö ÕÙ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ f Ø g ÓÒØ Ö Ø Ö Ô Ö Ð ÙÖ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ð³ÓÖ Ö ½µ Ì ÓÖ Ñ ½ Ì ÓÖ Ñ ÊÓÐÐ Ò Ö Ð µ Ë f Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ C ([a,b] ÕÙ ³ ÒÒÙÐ Ò Ð ÔÓ ÒØ a b Ø c ]a,b[ ÐÓÖ Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f (ξ = 0 Ð Ý ÐÓÖ ÙÒ ÔÓ ÒØ ÓÙ Ð ÓÙÖ ÙÖ Ø ÒÙÐÐ µ Ø ÔÐÙ Ò Ö Ð Ñ ÒØ f C n ([a,b] ³ ÒÒÙÐ Ò n+ ÔÓ ÒØ Ø ÒØ [a,b] ÐÓÖ Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f (n (ξ = 0 ÈÖ ÙÚ Ä Ø Ó ÓÖ Ñ ÊÓÐÐ Ò ÕÙ ÕÙ f ³ ÒÒÙÐ Ò ÙÜ ÔÓ ÒØ Ø ÒØ ÙÒ Ó ÙÖ ]a,c[ Ø ÙÒ Ó ÙÖ ]c,b[ Ø ÓÒ (f ³ ÒÒÙÐ ÙÒ Ó ÙÖ ]a,b[ È Ö Ö ÙÖÖ Ò ÓÒ Ò Ö Ð ½ ÈÖ Ñ Ø Ú Ø ÒØ Ö Ð Ò Ø ÓÒ ½ ü f : I R ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ F : I R Ø ÐÐ ÕÙ F (x = f(x ÔÓÙÖ ØÓÙØ x I ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ F ÓÒ Ø ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ F Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú f ÙÖ I ÇÒ ÒÓØ ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÕÙ F Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú f ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒ Ø ÒØ c R F +c Ø Ù ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú f Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ Ì ÓÖ Ñ ½ Ë F Ø F ÓÒØ ÙÜ ÔÖ Ñ Ø Ú f ÐÓÖ Ð Ü Ø c R Ø Ð ÕÙ F = F +c ÙÜ ÔÖ Ñ Ø Ú f Ö ÒØ Ù ÔÐÙ ³ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÈÖ ÙÚ Ä ÓÒØ ÓÒ g(x = F (x F (x Ø Ø ÐÐ ÕÙ g (x = 0 ÐÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÓ ¹ Ñ ÒØ Ò Ò ÕÙ ÕÙ g = constante³ ÚÓ Ö Ü Ö ½ ÇÒ Ô ÙØ ÐÓÖ Ò Ö Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f Ø ÒØ Ö Ð ÙÖ I ÐÐ Ñ Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÖ I Ò Ø Ð Ò Ø ÓÒ ³ÙÒ ÒØ Ö Ð f Ø ÔÐÙ Ò Ö Ð ÚÓ Ö ÙÒ ÓÙÖ ÙÖ Ð ÓÑÑ Ê Ñ ÒÒ ÔÓÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ð Ê Ñ ÒÒ ÓÙ ÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ð Ä Ù ÔÓÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ð Ä Ù Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÒØ Ö Ð Ò µ f ÙÖ I = [a,b] Ð Ö Ò F(b F(a ÐÐ Ü Ø µ Ó F Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú f ÙÖ I Ø ÓÒ ÒÓØ b a f(xdx = F(b F(a ÒÓØ = b a f. ½ ¼µ ÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ð ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ò Ô Ò ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ ³ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÜ ÜØÖ Ñ Ø Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø b f Ö ÔÖ ÒØ Ð³ Ö ÓÙ Ð ÓÙÖ ÚÓ Ö Ð ÓÑÑ Ê Ñ ÒÒµ a Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ø Ö Ú Ð ÙÖ I ÐÓÖ f Ø ÒØ Ö Ð ÙÖ I Ø b a f (xdx = f(b f(a. Ø ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ð ÓÖÑÙРг ÒØ Ö Ø ÓÒ ½ ½µ Ì ÓÖ Ñ ½ ij ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ö b a (f +λg = b a f +λ b a g ÔÓÙÖ ØÓÙØ λ R Ø ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ÒØ Ö Ð f Ø g Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ c [a,b] Ö Ð Ø ÓÒ Ð b f = c f + b a a c f. ½ ¾µ

12 ½¾ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ÈÖ ÙÚ Ë F ØG ÓÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú f Øg ÐÓÖ ÑÑ Ø Ñ ÒØ(F+λG (x = F (x+λg (x ÈÙ F(b F(a = F(b F(c+F(c F(a ÇÒ ÒÓØ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ F ÓÒÒ F(b F(a ÒÓØ = [F] b ÒÓØ a = [F(x] b a. Ì ÓÖ Ñ ½ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ô ÖØ µ Ë f Ø g ÓÒØ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð ÙÖ I = [a,b] Ø f g Ø fg Ñ ØØ ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÖ I ÐÓÖ Ó Ø b f (xg(xdx+ b a a b f (xg(xdx = a a f(xg (xdx = [fg] b a (= f(bg(b f(ag(a, b f(xg (xdx+[f(xg(x] b a. ½ µ ½ µ ÈÖ ÙÚ fg Ø Ö Ú Ð Ø (fg = f g +fg Ì ÓÖ Ñ ½ ¼ Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð µ Ë f Ø Ö Ú Ð ÙÖ I = [a,b] g Ø ÒØ Ö Ð ÙÖ f(i Ø (g ff Ø ÒØ Ö Ð ÙÖ I ÐÓÖ b g(f(xf (xdx = f(b x=a y=f(a g(ydy. ½ µ ÈÖ ÙÚ ËÓ Ø G ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú g ÐÓÖ Ú Ð Ö Ú Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÓ (G f (x = g(f(xf (x ³Ó b f(b (G f (xdx = [(G f(x] b a = G(f(b G(f(a = g(ydy. a f(a ½ µ Ì ÓÖ Ñ ½ ½ Ì ÓÖ Ñ Ð ÑÓÝ ÒÒ µ Ë f ÔÓ ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÖ [a,b] ÐÓÖ ξ [a,b], b a f(xdx = f(ξ(b a, ½ µ Ð Ü Ø ξ [a,b] Ø Ð Õ٠г Ö ÓÙ Ð Ö Ô f ÒØÖ a Ø b Ø Ð Ð³ Ö Ù Ö Ø Ò Ð [a,b] Ø ÙØ ÙÖ f(ξ ÈÖ ÙÚ ³ Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò F ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú f Ò Ø ÓÒ ½ ¾ ÇÒ ÔÔ ÐÐ Ú Ð ÙÖ ÑÓÝ ÒÒ f ÙÖ [a,b] ÓÙ ÙØ ÙÖ ÑÓÝ ÒÒ f ÒØÖ a Ø bµ Ð ÒÓÑ Ö f = b a f(xdx(= f(ξ b a ÓÖÓÐÐ Ö ½ ÇÒ ÙÔÔÓ f Ø g ÒØ Ö Ð ÙÖ [a,b] µ Ë f 0 ÙÖ [a,b] ÐÓÖ b a f(xdx 0 µ Ë f(x g(x ÐÓÖ b a f(xdx b a g(xdx µ Ë m f(x M ÙÖ [a,b] ÐÓÖ m(b a b f(xdx M(b a a Úµ b a f(xdx b a f(x dx Úµ Ë f(x 0 Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] Ø f 0 ÐÓÖ b f(xdx > 0 a Ú µ Ë g 0 ÙÖ [a,b] f g Ø fg ÓÒØ ÒØ Ö Ð ÙÖ [a,b] Ú f ÓÒØ ÒÙ ÙÖ [a,b] ÐÓÖ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð Ð ÑÓÝ ÒÒ µ ξ [a,b], b f(xg(xdx = f(ξ b a a g(xdx. ½ µ

13 ½ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ½ Ö Ú Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ò Ø ÓÒ ½ Ä ÓÒØ ÓÒ Ö Ú f Ø Ö Ú Ð Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 I Ð Ð Ñ Ø Ù Ú ÒØ Ü Ø Ò R ÒÓØ Ò f (x 0 µ f (x f (x 0 lim = f f (x 0 +h f (x 0 (x 0 R ÓÙ ÒÓÖ lim = f (x 0 R. ½ µ x x 0 x x 0 h 0 h Ø ÓÒ Ø ÐÓÖ ÕÙ f Ø ÙÜ Ó Ö Ú Ð Ò x 0 Ú Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ô Ø Ø o³ Ð ³ Ö Ø ÒÓÖ f (x f (x 0 x x 0 = f (x 0 +o(, f (x = f (x 0 +f (x 0 (x x 0 +o(x x 0. ½ ¼µ Ü Ö ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ p : R R Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ö ¾ ÓÒÒ ÓÙ Ð ÓÖÑ p(h = a+bh+ch ÐÓÖ a = p(0 b = p (0 Øc = p (0 Ø ÓÒ ÕÙ p(h = p(0+hp (0+ h p (0 Ê ÔÓÒ ÇÒ p (h = b+ch Ø p (h = c ³Ó p (0 Ø p (0 Ü Ö ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ p : R R Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ö ¾ ÓÒÒ ÓÙ Ð ÓÖÑ p(x = a + b(x x 0 + c(x x 0 ÐÓÖ ÓÒ a = p(x 0 b = p (x 0 Ø c = p (x 0 Ø ÓÒ ÕÙ p(x = p(x 0 +(x x 0 p (x 0 + (x x0 p (x 0 Ê ÔÓÒ ÇÒ p(x 0 = a ÈÙ ÓÒ p (x = b+c(x x 0 Ø p (x = c ³Ó p (x 0 = b Ø p (x 0 = c Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ Ò Ø Ð Ö Ú ³ÓÖ Ö n Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÓÒ ÒÓØ f (0 = f f ( = f Ø f Ø Ö Ú Ð Ð³ÓÖ Ö n Ò x 0 f (n Ø Ö Ú Ð ÙÖ ÙÒ ÚÓ Ò x 0 Ò Ø ÓÒ ½ ÇÒ ÒÓØ C n (I;R ÓÙ ÔÐÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ C n µ г Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ f ÕÙ ÓÒØ Ö Ú Ð n¹ Ó Ò I Ø Ø ÐÐ ÕÙ f (n Ø ÓÒØ ÒÙ Ò I ½ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ËÓ Ø Ð ÑÓÒÑ Ò Ô Ö ÔÓÙÖ n N p(x = x n, x R. ÇÒ ³ ÒØ Ö ÕÙ Ô Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 R ÕÙ Ö Ú ÒØ ÓÒ Ö Ö Ð Ú Ö Ø ÓÒ p(x 0 +h ÔÓÙÖx 0 Ü Ø h Ú Ö Ð Ò Ñ ÒØ ³ÓÖ Ò µ ÇÒ Ú n k = n! k!(n k! n ( n p(x 0 +h = (x 0 +h n = x k n k 0 h k. Ø ÓÒ Ö Ñ ÖÕÙ ÕÙ p (x 0 = nx n 0 Ø Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÔÓÙÖ 0 k n ³Ó ÔÓÙÖ x,h R p (k (x 0 = n(n...(n k +x n k 0 = p(x 0 +h = n k=0 h k k! p(k (x 0 k=0 n! (n k! xn k 0 = k! ( n k x n k 0, = p(x 0 +hp (x 0 + h p (x hn n! p(n (x 0, ÜÔÖ ÓÒ Ù Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ p(. Ù ÚÓ Ò x 0 Ò ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ò x 0 ÔÔ Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ò x 0 Ü ÑÔÐ ½ ÈÓÙÖ p(x = x Ð Ú ÒØ p(x 0 +h = x 0 +x 0 h+h = p(x 0 +p (x 0 h+ p (x 0 h Ú Ö Ø ÓÒ ÑÑ Ø Ö p (x 0 = x 0 Ø p (x 0 = Ä ÓÖÑÙÐ ¹ Ù ³ Ö Ø Ð Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ a,x R Ø h = x aµ n (x a k p(x = p (k (a, k! k=0 ½ ½µ Ø ³ Ø Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø p Ò a Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ø ÒØ ÙÒ ÓÑÑ ÑÓÒÑ ØØ ÓÖÑÙÐ Ø ØÖ Ú Ð Ñ ÒØ ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓÐÝÒÑ

14 ½ ½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ R R ½ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ ÁÐ ³ Ø ³ ÔÔÖÓ Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f C n+ (R Ô Ö ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ p n Ö n Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ a R f(x = p n (x+r(x, ½ ¾µ Ó R(x Ø Ð Ö Ø ³ Ô Ø Ø ÐÓÖ ÕÙ x Ø ÔÖÓ ³ aµ ÇÒ Ú ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ n (x a k p n (x = f (k (a, k! k=0 Ø ÕÙ R(x = O((x a n+ ÓÙ ÒÓÖ R(x = o((x a n µ Ø ÓÒ ÐÓÖ ÑÑ Øµ ÕÙ³ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö p (k n (a = f (k (a Ä Ö ÙÐØ Ø ½ ¾µ Ø ÕÙ ÐÓÖ ÕÙ f Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ú R = 0 ½ ½µ ½ ½ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ½ ¼ ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f : [a,b] R Ñ Ø ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ð³ÓÖ Ö n Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 ]a,b[ Ð Ü Ø n+ ÓÒ Ø ÒØ c 0,...,c n Ø ÐÐ ÕÙ f(x 0 +h = c 0 +c h+...+ c n n n! hn +o(h n c k (= k! hk +o(h n, ½ µ Ù ÚÓ Ò h = 0 k= ÇÒ Ú ÚÓ Ö ÕÙ f Ø C n ÐÓÖ c k = f (k (x 0 ÔÓÙÖ k = 0,...,n ½ ¾ ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ú Ö Ø ÒØ Ö Ð Ì ÓÖ Ñ ½ ½ Ë f Ø Ö Ú Ð k+¹ Ó ÙÖ I = [a,b] ÐÓÖ Ù ÚÓ Ò a f(x = f(a+...+f (k (a (x ak k! = f(a+...+f (k (a (x ak k! + x a + (x ak+ k! f (k+ (t (x tk dt k! Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö 0 [a,b] ÔÓÙÖ x [a,b] ÐÓÖ Ù ÚÓ Ò 0 f(x = f(0+...+f (k (0 xk k! + x = f(0+...+f (k (0 xk k! + xk+ k! 0 0 f (k+ ((x au+a ( u k du. f (k+ (t (x tk dt k! 0 f (k+ (xu ( u k du. ½ µ ½ µ ÈÖ ÙÚ ÇÒ Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ð f(x = f(a+ x a f (tdt Ä ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÚÖ ÔÓÙÖ k = 0 ÈÙ Ô Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ô ÖØ Ó x Ü ÓÒ ÔÓ u (t = v(t = f (t ÔÙ u(t = t x Ø v (t = f (tµ x x x f (tdt = [(t xf (t] x t=a (t xf (tdt = (x af (a+ (x tf (tdt. t=a ³Ó Ù ÓÒ ÓÖ Ö t=a f(x = f(a+(x af (a+ x a (x tf (tdt. ÈÙ Ô Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ô ÖØ Ù Ú Ó x Ü ÓÒ ÔÓ u (t = (x tk k! v(t = f (k+ (t ÔÙ u(t = (x tk+ (k+! Ø v (t = f (k+ (tµ x t=a f (k+ (t (x tk k! x dt = [ (x tk+ f (k+ (t] x a (k +! = (x ak+ f (k+ (a+ (k +! x t=a t=a t=a f (k+ (t (x tk+ (k +! f (k+ (t (x tk+ (k +! dt dt ½ µ ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÈÙ ÓÒ Ø Ð Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð u = t a x a [0,] Ó Ø t = a+(x au Ø dt = (x adu ÈÙ x t = (x a( u ³Ó (x t k = (x a k ( u k ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø

15 ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ½ ÓÖÓÐÐ Ö ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ú o Ø O ÇÒ Ù Ø Ù Ø ÓÖ Ñ ½ ½ ÔÖ ÒØ Ì ÓÖ Ñ ½ ¾ Ë f C k+ ([a,b] ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x 0,x [a,b] Ð Ü Ø ξ ]a,b[ Ø Ð ÕÙ f(x = f(x 0 +f (x 0 (x x f (k (x 0 (x x 0 k k! +f (k+ (ξ (x x 0 k+, ½ µ (k +! Ø ÓÒµ f(x = f(x 0 +f (x 0 (x x f (k+ (x 0 (x x 0 k+ +o((x x 0 k+ (k +! = f(x 0 +f (x 0 (x x f (k (x 0 (x x 0 k +O((x x 0 k+. k! ½ µ ÈÖ ÙÚ ÇÒ ÔÔÐ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ½ ½ Ð Ú Ð ÙÖ ÑÓÝ ÒÒ ³Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ø ÈÙ f (k+ Ø ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÓÒ f (k+ (ξ = f (k+ (x 0 +o( ³Ó Ð ÓÒ Ð Ø Ø Ý ÒØ f C k+ ([a,b] ÓÒ f (k+ ÓÖÒ ÙÖ [a,b] Ø ÓÒ Ù Ø Ð ØÖÓ Ñ Ð Ø Ð³ Ð ÔÖ Ñ Ö Ê Ñ ÖÕÙ ½ ÍÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ô ÙØ Ñ ØØÖ ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ù ¾Ò ÓÖ Ö Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ Ò ÕÙ Ð Ö ÒØ ÐÐ ÓÒ Ü Ø Ü ÑÔÐ f(x = x 3 sin( x Ú f(0 = 0 ÓÒØ ÒÙ Ò ¼µ ÕÙ Ú Ö f (x = 3x sin( x xcos( x Ø f (0 = 0 ÓÒØ ÒÙ Ò ¼µ Ø f (h = o(h Ù ÚÓ Ò 0 Ø ÔÔÐ ÕÙ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ½¾ µ ÓÒ Ù ÚÓ Ò h = 0 f (x 0 +h = o(h = f(x 0 +h = f(x 0 +o(h, ½ µ ÔÙ ÕÙ f(x0+h f(x0 h = f (c ÔÓÙÖ ÙÒ c ÒØÖ x 0 Ø x 0 +h ÓÒ f(h = f(0 + o(h = o(h Ø f Ñ Ø ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ð³ÓÖ Ö ¾ Ù f ÚÓ Ò ¼ Å lim (x f (0 x 0 x = lim x 0 cos( x Ò³ Ü Ø Ô Ð Ú Ð ÙÖ f (0 Ò³ Ü Ø Ô µ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÇÒ ÓÒ Ö R n ÑÙÒ ÒÓÒ ÕÙ ( e,..., e n Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ Ò Ô Ö n ( x, y R n = x i y i (= x y +...+x n y n, x = n i= x i e i = x x n ÓÖÑÙÐ ÈÝØ ÓÖ µ i= Ø y = n i= y i e i = x R n = y y n Ó Ð ÒÓÖÑ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÒ Ô Ö x +...+x n. ÇÒ ÓÒÒ ÙÒ ÓÙÚ ÖØ Ω R n ÇÒ ³ ÒØ Ö ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ú Ö Ð Ú ØÓÖ ÐÐ Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÙÜ ÓÒØ ÓÒ ØÝÔ { Ω R f : x f( x R ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ Ð Ö Ô ³ÙÒ Ø ÐÐ ÓÒØ ÓÒ Ø Ð ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð R n R Ò Ô Ö G(f = {( x,z Ω R : z = f( x}. ¾½µ

16 ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ¾½ ÓÒØ ÒÙ Ø ËÓ Ø f : Ω R Ø a Ω ÐÓÖ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò a lim f( x f( a = 0 ÓÙ ÒÓÖ x a 0 lim f( x = f( a, ¾¾µ x a f( x = f( a+o( Ù ÚÓ a, Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø f гÓÖ Ö 0 Ò Ø ÖÑ ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ f ÓÒØ ÒÙ Ò a ³ Ö Ø ε > 0, η > 0, x Ω : x a < η = f( x f( a < ε. Ò Ö Ò Ò a Ω ÔÓÙÖ ØÓÙØ ε > 0 Ð Ü Ø η > 0 Ø Ð ÕÙ ÕÙ x Ú Ö x a < η ÓÒ f( x f( a < εµ Ø f ÓÒØ ÒÙ Ò a ³ ÒÓÒ ε > 0, η > 0, x Ω : x a < η Ø f( x f( a ε. Ò Ø ÓÒ ¾½ ÇÒ ÔÔ ÐÐ C 0 (Ω,R г Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ f : Ω R ÕÙ ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ Ω Ø ÓÒ ÒÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ C 0 ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ò³Ý Ô ÓÒ Ù ÓÒ ÔÓ Ð Ê Ñ ÖÕÙ ¾¾ ÁÐ Ò³ Ø Ô Ù ÒØ ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò a ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ v Ð ÓÒØ ÓÒ g v : t g(t = f( a+t v ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò 0 Ú g v (0 ÙÒ Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ v Á Ð Ø Ò Ù ÒØ Ú Ö Ö ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ v Ú ÙÒ Ð Ñ Ø c = lim h 0 f( a+h v Ò Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø ÓÒ v ÈÖ Ò Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ f : R R Ú f(0,0 = 0 Ø ÔÓÙÖ (x,y 0 f(x,y = x y x 4 +y. ÎÓ Ö ÙÖ ¾½ ØØ ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ R { 0} Ò 0 ÓÒ g v (h = f( 0 + h v h 0 0 ÕÙ ÐÕÙ Ó Ø Ð Ú Ø ÙÖ v Ü µ Å f Ò³ Ø Ô ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÓÒ f(x,x = ÙÖ ¾½ Ö Ô Ð ÓÒØ ÓÒ f(x,y = x y x 4 +y Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ( ÕÙ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ a ÓÒ Ô ÙØ Ô Ö x = a Ò ÓÓÖ ÓÒÒ ÔÓÐ Ö +rcosθ Ø Ö ÕÙ x a ³ Ø Ö ÕÙ x a = x = a +rsinθ (x a +(x a = r 0 ¾¾ ¾¾½ Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÇÒ ³ ÒØ Ö Ð Ö Ú ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f : R n R Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ a R n Ò ÙÒ Ö Ø ÓÒ v R n Á ÓÒ Ö ØÖ ÒØ Ð³ ØÙ f Ð ÖÓ Ø ³ ÕÙ Ø ÓÒ t a+t v ÖÓ Ø Ò R n µ Ø ÓÒ Ú ÙØ ÓÒÒ ØÖ Ð Ö Ú f Ò a Ð ÐÓÒ ØØ ÖÓ Ø ÇÒ ÔÓ g(t = f( a+t v, t R, ÓÒ Ö Ñ Ò Ð³ ØÙ Ð ÓÒØ ÓÒ g : R R Ø ÓÒ Ú ÙØ Ö Ö Ö Ð Ú Ö Ø ÓÒ g (t g Ò t = 0

17 ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ò Ø ÓÒ ¾ Ä Ö Ú f Ò a Ò Ð Ö Ø ÓÒ v Ø Ð Ö Ð ÇÒ ÓÒ g (0 ÒÓØ = v f( a ÒÓØ = v ( a. ( a = lim v t 0 f( a+t v f( a. t Ò Ø ÓÒ ¾ ÄÓÖ ÕÙ v = e i Ð i¹ Ñ Ú Ø ÙÖ µ ÓÒ ÒÓØ Ø Ö Ð ÓÒØ ÔÔ Ð Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ f Ò a ÇÒ ÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÔÓÙÖ f : R R ¾ µ ei f( a ÒÓØ = ( a ÒÓØ = i f( a, ¾ µ x i f(a +t,a f(a,a ( a = lim, x t 0 t Ó ÓÒ ÒÓØ a = (a,a ÓÙ ÒÓÖ Ú ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x f(x +h,x f(x,x ( x = lim. x h 0 h Ø Ò ØØ ÜÔÖ ÓÒ x ÓÙ Ð ÖÐ ³ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ð ÙÐ ÕÙ ÒØ Ø Ú Ö Ð Ø ÒØ x Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ØØ ÒØ ÓÒ ØÓÙØ Ñ Ñ ÓÒ ÒÓØ (y,y Ð Ú Ö Ð ÓÒ ÓÒ Ö f(y,y Ð ÒÓØ Ø ÓÒ f ÕÙ Ò³ Ø Ô Ñ Ù µ ÒÓØ Ò Ö ÑÑ ÒØ x ÓÙ y ÕÙ Ô ÙØ Ô Ö ØÖ Ñ Ù µ ÇÒ Ú ÒØ Ò Ò Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÓÙÖ i =, ÕÙ Ò ÐÐ ÓÒØ ÙÒ Ò Ò ØÓÙØ Ω i f = : x i Ω R x i f( x = x i ( x Ò Ø ÓÒ ¾ Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ø Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ Ø ÔÔ Ð Ö Ø Ö Ú Ð ÓÙ Ò Ö Ø Ö ÒØ Ð Ü Ö ¾ ËÓ Ø f(x,y = sin(x +y ÐÙÐ Ö f f Ø e+ e f Ò ØÓÙØ x = (x,y R Ü Ö ¾ ËÓ Ø f( x = x (= x +y ÐÙÐ Ö Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ò x 0 ع ÕÙ f Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ò 0 ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ x = x µ Ü Ö ¾½¼ ËÓ Ø f(x,y = x y x +y x 0 Ø f( 0 = 0 ÐÙÐ Ö Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ò ØÓÙØ x 0 ÔÙ Ò x = 0 ÈÙ ÔÓ ÒØ v = (v,v ÐÙÐ Ö v f( x Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x Ü Ö ¾½½ ËÓ Ø f(x,y = xy x y x +y x 0 Ø f( 0 = 0 ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÐÙÐ Ö Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ò ØÓÙØ x 0 ÔÙ Ò x = 0 Ê ÔÓÒ ÇÒ Ô Ò ÓÓÖ ÓÒÒ ÔÓÐ Ö f(rcosθ,rsinθ = r cosθsinθ(cos θ sin θ r 00 f( 0+h e ³Ó f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 Ø Ò 0 ÓÒ lim f( 0 h 0 = 0 = ( 0 h x Ü Ö ¾½¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ λ R Ø λ 0 ÓÒ Ê ÔÓÒ Ô Ö Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÔÓ ÒØ w = λ v Ó Ø ( a = λ (λ v v ( a f( a+h w f( a f( a+(hλ v f( a ( a = lim = lim w h 0 h h 0 hλ λ f( a+k v f( a = λ lim = λ k 0 k v ( a, ( a = λ( a ÓÑÑ ÒÒÓÒ ÓÒ ØØ ÒØ ÓÒ ÙÜ Ò Ñ ÒØ ³ÙÒ Ø Ü Ñ ØÖ Ý Ö µ (λ v v

18 ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ¾¾¾ ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Ö ÒØ ÐÐ Ö ÒØ ÈÓÙÖ ÑÔÐ Ö Ð Ö ØÙÖ ÓÒ ØÖ Ø Ð Ω R Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ω R n Ò ÔÓ ÒØ Ô ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ò ÒØ Ð Ö Ú Ð Ø Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ Ò³ Ø Ô ÙÒ ÒÓØ ÓÒ Þ ÓÖØ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖ (R Ô Ö f(x,x = x x Ø Ô Ö f( 0 = 0 Ø ÓÒ Ø ÒØ ÙÖ x +x ØÓÙØ Ð ÖÓ Ø t t v ÔÖ Ú Ù ÔÓ ÒØ 0 ÕÙ ÐÕÙ Ó Ø Ð Ö Ø ÓÒ v R 0.5 y z x 4 ÙÖ ¾¾ Ö Ô Ð ÓÒØ ÓÒ f(x,y = x y x +y Ô Ò ÒØ Ò a = (0,0 Ð ÓÒØ ÓÒ f Ò³ Ø Ñ Ñ Ô ÓÒØ ÒÙ ÚÓ Ö ÙÖ ¾¾µ ³Ó Ð Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ò Ø ÓÒ ¾½ ËÓ Ø a Ω ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f : Ω R Ú Ð ÙÖ Ð Ö µ Ø Ø Ö ÒØ Ð Ò a ÓÙ Ö Ú Ð Ù Ò Ø Ùܵ Ò a ÓÒ Ö Ô Ñ Ø ÙÒ ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ò a Ð Ü Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö l a : x R n l a ( x R Ø ÐÐ ÕÙ f( x = f( a+l a ( x a+o( x a. ¾ µ Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö l a Ø ÔÔ Ð ÓÖÑ Ö ÒØ ÐÐ f Ò a Ø ÒÓØ l a = df( a ÄÓ Ð Ñ ÒØ Ù ÚÓ Ò a f Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ô Ö Ð ÓÖÑ Ð Ò Ö l a Ø Ð³ ÜÔÖ ¹ ÓÒ ¾ µ Ø Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø f гÓÖ Ö Ù ÚÓ Ò a Ë ÓÒ ÔÐ Ò R n ÑÙÒ ÒÓÒ ÕÙ ÙÒ Ø ÐÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö ³ Ö Ø l a (x,...,x n = A x +...+A n x n ³Ó Ð Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÒ ¾½ f Ø Ø Ö ÒØ Ð ÓÙ Ö Ú Ð Ù Ò Ø Ùܵ Ò a = (a,...,a n A,...,A n R Ø Ð ÕÙ Ù ÚÓ Ò x = a : ¾ µ f(x,...,x n = f(a,...,a n +A (x a +...+A n (x n a n +o( x a. Ü ÑÔÐ ¾½ ÈÓÙÖ f : R R ÓÒ Ú ÒØ ³ Ö Ö ÒÓØ ÒØ z = f(x,y ÕÙ z = αx+βy +γ + o( x a Ó α = A β = A Ø γ = f( a A x A y ÕÙ Ð Ö Ô f Ñ Ø Ò a ÙÒ ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ ÚÓ Ö Ð ÔÐ Ò ³ ÕÙ Ø ÓÒ z = αx+βy +γ ÙØÖ Ñ ÒØ Ø f Ø Ö ÒØ Ð Ò a Ð Ö Ô f Ñ Ø ÙÒ ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ò a ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾½ Ë f Ø Ö ÒØ Ð Ò a = (a,...,a n ÐÓÖ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò a Ø ÓÒ A = x ( a A n = x n ( a Ø ÓÒ f( x = f( a+(x a x ( a+...+(x n a n x n ( a+o( x a. ¾ µ ÔÔ Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø f Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö Ù ÚÓ Ò aµ

19 ½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÈÖ ÙÚ Ä Ò Ø ÓÒ ¾ µ ÓÒÒ f( x = f( a+o( ÓÒ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò a ÈÙ Ö Ö ÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ A Ñ Ñ Ñ Ö ÔÓÙÖ Ð A i µ ÓÒ ÔÖ Ò x = a + h e = (a +h,a,... ÁÐ Ú ÒØ ³Ó f(a+h,a,... f(a,a,... h f(a +h,a,... = f(a,a,...+a h+0+o(h. = A +o(h ³Ó A = x ( a Ò Ø ÓÒ ¾½ Ú Ð ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ R n Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ Ú Ø ÙÖ ÒÓØ gradf( a ÔÔ Ð Ö ÒØ f Ò a Ø Ð ÕÙ l a ( v = ( gradf( a, v n ÔÓÙÖ ØÓÙØ v R n ÓÒÒ Ô Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ê Þµ Ø ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ µ ÓÒ x ( a x gradf( a = = ( a ÒÓØ = f( a. ¾ µ ÓÒ x n ( a x n f( a+h v f( a = h ( gradf( a, v R n +o(h. Ò Ø ÓÒ ¾½ ÇÒ ÔÔ ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒÒ f Ò a Ð Ñ ØÖ Ð Ò ¾ µ J f ( a = [ x ( a... x n ( a]. Å ØÖ ÓÑÔÓ ÒØ Ð Ö ÒØ ÐÐ df( a Ò Ð Ù Ð Ð ÒÓÒ ÕÙ ÚÓ Ö ÓÙÖ ÓÑ ØÖ Ö ÒØ ÐÐ µ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓ ÒØ Ù ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ ÓÒ J f ( a = gradf( a T. ¾½¼µ ÓÒ f Ø Ö Ú Ð Ò a ÓÒ f( x = f( a+( gradf( a, x a R n +o( x a = f( a+j f ( a.( x a+o( x a = f( a+ gradf( a T.( x a+o( x a. ¾½½µ Ä Ø ÒØ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ ÐÐ µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾½ Ë f Ø Ö ÒØ Ð Ò a ÐÓÖ f Ø Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ Ò a Ø ÓÒ v ( a = ( gradf( a, v R n. ¾½¾µ ÈÖ ÙÚ f( a+h v f( a = A hv +...+A n hv n +o(h = h( gradf( a, v R n +o(h È Ö ÓÒØÖ Ð Ö ÔÖÓÕÙ Ø Ù ÓÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö f Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x Ò ÕÙ f Ó Ø Ö ÒØ Ð Ò x Ü ÑÔÐ f(x,y = x Ö Ô ÙÒ ÔÐ Òµ x 0 Ø f(0,y = y Ö ÙÒ Ò ÐÓÖ f Ø Ö Ú Ð Ò 0 Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ Ñ Ò³ Ô ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ ÇÒ ÕÙ Ò Ñ Ñ ÙÒ Ö Ø Ö Ö Ð Ò Ð Ô ÖØ ÙÐ Ö Ù Ú ÒØ Ì ÓÖ Ñ ¾¾¼ Ë f ÔÓ Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ µ x x n Ò ÙÒ ÚÓ Ò a Ø Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò a ÐÓÖ f Ø Ö ÒØ Ð Ø C Ò a

20 ¾¼ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÈÖ ÙÚ ÇÒ ØÖ Ø Ð R n = R Ð Ò Ö Ð Ø ÒØ Ð Ù Ð Ø ÙÖ ÇÒ f(x,x f(a,a = (f(x,x f(a,x +(f(a,x f(a,a. ¾½ µ Ø Ð ÖÒ Ö Ø ÖÑ ÓÒÒ ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÓÒØ ÓÒ Ð ÙÐ Ú Ö Ð x µ f(a,x f(a,a = x (a,a (x a +o( x a. ¾½ µ Ø Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ ÓÒ Ö x Ü ³ Ö Ø f(x,x f(a,x = x (a,x (x a +o( x a, ¾½ µ ÕÙ ÙÒ Ò Ö ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ x Ü Ø Ø Ò ÙÒ ÚÓ Ò a Ø ÓÒ Ò (a,x ÔÓÙÖ x Ù ÑÑ ÒØ ÔÖÓ a Ø Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ x Ø ÒØ ÙÔÔÓ ÓÒØ ÒÙ Ò a (a,x = (a,a +o(, x x ¾½ µ Ø Ô Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ ÔÙ ÕÙ Ô Ö Ò Ø ÓÒ (x a o( = o(x a f(x,x f(a,x = x (a,a (x a +o( x a, ¾½ µ ³Ó ¾½ µ ÓÒÒ Ò ¾ µ f Ø Ö Ú Ð Ò a ÈÙ Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ø ÒØ ÓÒØ ÒÙ gradf г Ø Ð Ñ ÒØ Ø f Ø C Ò Ø ÓÒ ¾¾½ ÇÒ ÒÓØ C (Ω;R Ð ÓÙ Ò Ñ Ð C 0 (Ω;R ÓÖÑ ÓÒØ ÓÒ f ÕÙ ÓÒØ Ö Ú Ð Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ Ω Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ x i ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ Ω ÔÓÙÖ ØÓÙØ i =,...,n ³ Ø Ò Ñ Ð Ø Ð Ñ ÒØ ÒÓØ ÔÐÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ C ÙÙÒ ÓÒ Ù ÓÒ Ò³ Ø ÔÓ Ð Ü Ö ¾¾¾ ËÓ Ø f Ò ÙÖ R (xy Ô Ö f(x,y = x 0 Ø f(0,0 = 0 ÅÓÒØÖ Ö (x +y 3 ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÐÙÐ Ö x ( x ÓÙ x ( x Ø Ò Ù Ö ÕÙ f Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò ¼ ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ð Ñ ÒØ ÔÓ Ö g(t = f(t,t ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ g Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò 0 Ê ÔÓÒ f Ø ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÕÙ Ò³ ÕÙ³ÙÒ Ö Ò Ò (x,y = 0 Ø ÓÒ f Ø C (R { 0};R Ê Ö ÓÒ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Ò 0 ÇÒ Ô Ò ÓÓÖ ÓÒÒ ÔÓÐ Ö f(rcosθ,rsinθ = rcos θsin θ Ê Ö ÓÒ x Ë x ( 0 Ü Ø Ô Ö Ò Ø ÓÒ ÓÒ f(h,0 f(0,0 0 0 ( 0 = lim = lim = 0. x h 0 h h 0 h r 0 0 ÓÒ Ð ½ Ö Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ü Ø Ñ Ñ x ( 0 = 0 Å Ò Ú ÙØ Ô Ö ÕÙ f Ø Ö Ú Ð ³ ÐÐ ÙÖ f Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò Ø ÐРг Ø Ø Ð Ú Ø ÙÖ Ö ÒØ Ü Ø Ö Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ø gradf( 0 = 0 ³Ó f(x,y = f(0,0+( gradf( 0, x +o( (x,y = 0+0+o( (x,y. y Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒ ÙÖ Ø f(h,h = o(h ÇÖ ÓÒ f(h,h = h4 (h 3 = h4 8 h 3 = 8 h ÕÙ Ò³ Ø Ô o(h ÓÒ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ù Ö ÒØ gradf( 0 = 0 Ø ÙÖ ÓÒ Ð Ö ÒØ Ò³ Ü Ø Ô Ò 0 Ð ÓÒØ ÓÒ Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò 0 ÇÒ Ô ÙØ Ù Ö Ñ ÖÕÙ Ö ÕÙ³ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ¾¾¼ ÓÒ ÕÙ Ò x 0 Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ( x = xy (x +y 3 3x 3 y (x +y = xy y x. x (x +y 3 (x +y 5 x (0,h = 0 ÐÓÖ ÕÙ x (h,h = 5 Ø ÓÒ ÕÙ x (0,h Ø x (h,h Ò³ÓÒØ Ô Ð Ñ Ñ Ð Ñ Ø ÕÙ Ò h 0 Ø ÓÒ x Ò³ Ø Ô ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ ÚÓ Ò 0 Ø ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Á ÓÒ ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÐÙÐ x ( 0 = 0 Ñ ØØ Ú Ð ÙÖ ÔÓÒØÙ ÐÐ Ò³ Ø Ô Ð ÔÖÓÐÓÒ Ø ÓÒ

21 ¾½ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø x ( x ÕÙ Ò x 0 ÓÒ ÔÓÙÚ Ø ÔÖÓÐÓÒ Ö Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ ÙÖ Ø 0 = Ð Ð Ñ Ø ÕÙ Ø ÙÖ µ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ò³ Ø Ô C (R ;R Ê Ö ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ö Ø Ñ ÒØ g(t = f(t,t = t 4 3 (t 3 = 3 5 Ô Ö ÙÒ Ø t 4 t 3 = 3 t ØØ ÓÒØ ÓÒ Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò 0 Ø ÓÒ ( e + e Ò³ Ø Ô Ò Ò 0 ÓÒ f Ò³ Ø Ô Ö Ú Ð Ò 0 ÒÓÒ ØÓÙØ Ð Ö Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ü Ø Ö ÒØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾½ Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ( e + e Ü Ø Ö Ø Ü Ö ¾¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ f = l : R n R Ø Ð Ò Ö ÐÓÖ Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ x R n ÓÒ dl( x = l Ö ÒØ ÐÐ Ø Ò Ô Ò ÒØ Ù ÔÓ ÒØ x Ø Ú ÙØ lµ ÉÙ Ú ÙØ Ñ ØÖ Ó ÒÒ Ñ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ dl( x Ò Ð ÒÓÒ ÕÙ µ Ê ÔÓÒ ÇÒ l( y l( x = l( y x Ô Ö Ð Ò Ö Ø Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ø ÓÒ l( y l( x = dl( x( y x+o( y x Ø ØÖ Ú Ð Ñ ÒØ Ø Ø Ú dl( x = l Ð Ö Ø o( y x Ø ÒØ ÒØ ÕÙ Ñ ÒØ ÒÙÐ ÚÓ Ö ¾ µµ Ë Ñ ØÖ Ó ÒÒ Ø Ð Ñ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ dl( x ÔÖ ÚÓ Ö Ó Ð ÒÓÒ ÕÙ Ò R n Ø R p ³ Ø ÓÒ Ð Ñ ØÖ [l] Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö l Ò l( x = a x +...+a nx n ÓÒ J l ( x = [a... a n] Ü Ö ¾¾ ËÓ Ø Tr : A R n Tr(A R г ÔÔÐ Ø ÓÒ ÕÙ ØÓÙØ Ñ ØÖ A = [a ij ] Ó ØÖ Tr(A = i a ii ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ò ÕÙ A Ð Ö ÒØ ÐÐ dtr(a = Tr ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ñ ØÖ Ó ÒÒ Ø Ð Ñ ØÖ ÒØ Ø ÔÖ ÚÓ Ö Ó Ð ÒÓÒ ÕÙ Ò R n µ Ê ÔÓÒ ÔÔÖÓ ÖÚ ÒØ Ð³ Ü Ö ÔÖ ÒØ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ Tr Ø Ð Ò Ö ÓÒ dtr(a = Tr ÇÒ Ú Ö Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ Tr(B = Tr(A+Tr(B A ÓÒÒ ØÖ Ú Ð Ñ ÒØdTr(A = Tr ÓÒØ ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ A Ä ÒÓÒ ÕÙ R n Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ñ ØÖ E ij Ò Ô Ö ØÓÙ Ð Ø ÖÑ ÓÒØ ÒÙÐ Ù Ð Ø ÖÑ (i,j ÕÙ Ú ÙØ Ø Tr Ø ÓÒÒÙ ÕÙ³ÓÒ ÓÒÒ Ø Tr(E ij ÔÓÙÖ ØÓÙØ i,j =,...,n ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ø ÓÒÒÙ ÕÙ³ÓÒ ÓÒÒ Ø Ð³ Ñ ÙÒ Ú Ø ÙÖ µ Á Tr(E ij = δ ij ÇÒ Tr E ij (A = dtr(a(e ij = Tr(E ij = δ ij Ú ÙØ ½ i=j Ø ¼ ÒÓÒµ Ø ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ó ÒÒ Ñ ØÖ Ö Òص Tr Ø Ð Ñ ØÖ [ Tr E ij (A] = [δ ij] = I г ÒØ Ø Ê Ñ ÖÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ ØÖ A = [a ij] i,j n = ij aijeij ÓÒ Tr(A = n i,j= aijtr(eij = n i,j= δijaij = I : A (= i aii ÔÙ ÕÙ I = [δ ij] i,j n Ó : Ø Ð ÓÙ Ð ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ô Ö A : B = n i,j= aijbij = Tr(ABt ³Ó Tr : R n R Ø Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö Ð Ñ ØÖ I Ò Ð (E ij ³Ó dtr(a = Tr = I Ü Ö ¾¾ ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ det : A R n deta R Ò ÙÖ Ð Ñ ØÖ n nµ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ det Ø Ö ÒØ Ð Ø ÕÙ d(deta.b = deta Tr(A B Ø ÓÑÑ Ð Ñ ØÖ Ó Ø ÙÖ Ø Ò Ô Ö cof(a T = (detaa ÓÒ ÓÒ Ð Ñ ÒØ d(deta.b = cof(a : B = Tr(cof(A T.B Ú Ð Ò Ø ÓÒ Ð ÓÙ Ð ÓÒØÖ Ø ÓÒ ¹ Ù µ Ê ÔÓÒ Ë H Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ò ÙÒ ÚÓ Ò Ð Ñ ØÖ ÒÙÐÐ ÓÒ det(i +hm = +htr(m+ ÑÓÒÓÑ Ö Ò h Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ ÇÖ ÓÒ det(a+hb = det(adet(i+ha B ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ det(a+hb = det(a(+htr(a B+o(h Ü ÑÔÐ ¾¾ Ò Ñ Ò ÓÒ Ò Ò ËÓ Ø Z(ϕ = f( xϕ( xdω Ó f Ø ϕ Ú Ð ÙÖ Ö ÐÐ ÓÒØ Ω ÓÒØ ÒÙ Ò Ω ÓÙÚ ÖØ R n ÇÒ ÐÓÖ Z Ö Ú Ð ÙÖC 0 (Ω;R Ö Ú dz(ϕ = Z Ò Ø Z Ø Ð Ò Ö Ø ÓÒ Z(ϕ+hψ = Z(ϕ+hZ(ψ = Z(ϕ+hdZ(ϕ.ψ+o(ψ Ó dz(ϕ.ψ = Z(ψ ¾ ¾ ½ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ù Ö ÒØ Ò Ø ÖÑ ÔÐÙ Ö Ò Ô ÒØ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾¾ ÈÓÙÖf ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ð Ö Ø ÓÒ ÓÒÒ Ô Ö Ð Ö ÒØ gradf( x Ù ÔÓ ÒØ x Ø ÐÐ ³ ÖÓ Ñ ÒØ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÓÒØ ÓÒ f Ô ÖØ Ö Ù ÔÓ ÒØ x Á ÒÓØ ÒØ gradf( x n = Ð Ú Ø ÙÖ Ö ÒØ ÒÓÖÑ Ð Ò x ÓÒ gradf( x v ØÕ v =, Ò Ø ÖÑ Ð Ñ Ø µ Ø ÙÜ ³ ÖÓ Ñ ÒØ ( x v n ( x, v ØÕ v =, f( x+h v f( x lim lim h 0+ h h 0+ f( x+h n f( x. h

22 ¾¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÈÖ ÙÚ Ú ¾ µ Ð Ú ÒØ f( x+h v f( x h = ( gradf( x, v R +o(. Ú Ð³ Ò Ð Ø Ù Ý Ë Û ÖÞ ÓÒ ( gradf( x, v R n gradf( x v Ø ÓÒ Ð Ø ÐÓÖ ÕÙ v = αgradf( x ÔÓÙÖ ÙÒ α R ÓÒ ÔÓÙÖ v Ú Ø ÙÖ ÙÒ Ø Ö Ð Ñ Ü Ù ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ( gradf( x, v gradf( x R n Ø ØØ ÒØ ÔÓÙÖ v = gradf( x = n z (grad f, x (grad f,0 y ÙÖ ¾ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ù Ö ÒØ ÙÖ Ð Ö Ô ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ¾ ¾ Ò Ø ÖÑ ÒÓÖÑ Ð Ù Ö Ô Ò Ø ÓÒ ¾¾ ÍÒ ÙÖ R 3 Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð R 3 Ð ÓÖÑ F(x,y,z = 0 Ó F Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ R 3 Ò R Ö Ð Ø ÓÒ ÑÔÐ Ø ÒØÖ x y Ø zµ Ü ÑÔÐ ¾¾ Ä Ô Ö ³ ÕÙ Ø ÓÒ x +y +z = Ü ÑÔÐ ¾ ¼ Ë F(x,y,z = z f(x,y ÐÓÖ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð ÙÖ z = f(x,y ÙÖ ÜÔÐ Ø Ò z ÈÓÙÖ f : R R ÓÒ Ú Ù Ð f г ÓÒ Ö Ô G(f = {(x,y,z R 3 : z = f(x,y}. Ø G(f Ø ÙÒ ÙÖ Ò R 3 ÔÓ ÒØ F(x,y,z = z f(x,y Ð Ö Ô G(f Ø Ð ÙÖ F(x,y,z = 0 Ü ÑÔÐ ¾ ½ ÇÒ Ô ÙØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ô Ö ÓÑÑ Ð³ÙÒ ÓÒ Ö Ô ÙÜ ÓÒØ ÓÒ z = f(x,y = ± (x +y ÔÓÙÖ Ð x,y Ø Ð ÕÙ x +y ÓÑÑ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÒØ Ð Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ a ÓÒ Ö Ô Ø Ò ÒØ ÙÒ ÔÐ Ò ÔÓÙÖ ÓÒÒ ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ð Ò a G(f Ð Ù Ø ÓÒÒ ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ð ÙÒ ÔÐ Ò ³ÙÒ ÔÐ Ò ÙÒ ÒÓÖÑ Ð Ë³ Ð Ò³ Ø Ô Ú ÖØ Ð ÙÒ ÔÐ Ò P Ò R 3 Ø Ð Ö Ô G(f ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f Ù ØÝÔ z = f(x,y = ax+by+c, x,y R. ¾½ µ ÇÒ F(x,y,z = z (ax+by+c

23 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÍÒ ÔÓ ÒØ Ù ÔÐ Ò Ò z = ax + by + c Ú Ö x y. a b = 0 Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ Ù z c ÔÐ Ò Ú ØÓÖ Ð z = ax + by Ó Ú Ö z ax by = 0 x y. a b = 0 ÓÒ ØÓÙØ z ÔÓ ÒØ x = (x,y,z Ù ÔÐ Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ù Ú Ø ÙÖ ( a, b, Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÙÜ Ú Ø ÙÖ ÙÒ Ø Ö n( x = ± a b. a +b + ÓÑÑ f( x = f(x,y = ax+by c Ú a = x Ù ÔÐ Ò x ( x n( x // x ( x = ( x Ø b = y ( x ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x ( ( gradf( x. ¾½ µ Ú F(x,y,z = z ax by c Ð Ö Ô Ö ÔÖ ÒØ Ð ÙÖ ³ ÕÙ Ø ÓÒ F(x,y,z = 0 Ø ÙÒ ÐÙÐ ÑÑ Ø ÓÒÒ Ð Ñ ÒØ ( gradf( x n( x // = gradf( x, ¾¾¼µ n Ø Ô Ö ÐÐ Ð gradf ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÒØ Ð Ò a ÙÒ ÒÓÖÑ Ð n( a ÈÓÙÖ f(x,y ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Ò (a,a ÓÒ ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ò (a,a ÔÓÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ g(x,y = f( a+ gradf( a T x a. = A y a 0 +A x+a y, ¾¾½µ Ó A = x ( a A = x ( a Ø A 0 = f( a gradf( a T. a ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö Ð Ö Ô z = A 0 +A x+a y. ¾¾¾µ ³Ó ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ò a ÓÒÒ Ô Ö n( a // A A = Ø ÓÒ ÔÓ x ( a x ( a. F(x,y,z = z (A 0 +A x+a y, ¾¾ µ Ð ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ø Ð ÙÖ ÔÐ Ò ³ ÕÙ Ø ÓÒ F(x,y,z = 0 Ø ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÔÐ Ò Ò a = (a,a Ø ÓÒÒ Ô Ö (( gradf( a n( a = = gradf( a,f( a. ¾¾ µ x Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ¾ ÍÒ ÔÓ ÒØ Ù ÔÐ Ò ÔÓÙÖ ÓÓÖ ÓÒÒ r(x,y = y R 3 ÔÓÙÖ z = ax+by +c ØÓÙØ x = (x,y R Ø ÙÜ Ú Ø ÙÖ Ø Ò ÒØ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ a R ÓÒØ ÓÒÒ Ô Ö r x ( a = r, y ( a =. ¾¾ µ 0 x ( a 0 x ( a ÇÒ Ú Ö Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÓ ÒØ r P ÐÓÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ ØÝÔ ÔÓÙÖ α,β R X = X = x+α r+α r r x +β y = Y = y+β Ø Ò P Ö ÓÒ Ú Ö Ò ÕÙ Z = ax+by+c Z = ax+by+c+αa+βb

24 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ø ÙÒ ÐÙÐ ÑÑ Ø Ö ÓÒÒ n // r x r y. ¾¾ µ ¾ Ê Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ì ÓÖ Ñ ¾ ½¹ Ë f Ø g ÓÒØ ÓÒ R n R ÓÒØ Ö Ú Ð Ò Ð Ö Ø ÓÒ e i Ò a ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø fg Ø Ö Ú Ð Ò Ð Ö Ø ÓÒ e i Ò a Ø i =,...,n, (fg x i ( a = x i ( ag( a+f( a g x i ( a R. ¾¾ µ n ÕÙ Ø ÓÒ ³ Ö Ú ÒØ ÒÓÖ Ñ Ò Ö ÓÒ Ò Ý Ø Ñ n ÕÙ Ø ÓÒ µ grad(fg = ( gradfg+f( gradg F(R n ;R n. ¾¾ µ ¾¹ Ø f : R n R Ø Ö Ú Ð Ò a R n Ø g : R R Ø Ö Ú Ð Ò f( a R ÐÓÖ g f : R n R Ø Ö Ú Ð Ò a R n Ø i =,...,n, (g f ( a = g (f( a ( a R, x i x i ¾¾ µ Ó Ø Ñ Ò Ö ÓÒ Ò Ý Ø Ñ n ÕÙ Ø ÓÒ µ grad(g f = (g f gradf F(R n ;R n. ¾ ¼µ ØØ ÒØ ÓÒ (g f( a Ø ÙÒ Ö Ð Ú Ð ÒØ g (f( a R Ø ÓÒ (g f( a gradf( a Ø Ð Ú Ø ÙÖ Ö ÙÐØ Ø Ù ÔÖÓ Ù Ø Ù Ö Ð (g f( a R Ô Ö Ð Ú Ø ÙÖ gradf( a R n ÈÖ ÙÚ ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö Ð Ö Ú Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ø Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ÓÒ Ô¹ ÔÐ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ½ ¾ Ò Ö Ñ Ò ÒØ Ù ÓÒØ ÓÒ ³ÙÒ ÙÐ Ú Ö Ð ÓÒ ÔÓ f i (x = f(x,...,x i,x,x i,...,x n ÓÒØ ÓÒ Ð ÙÐ Ú Ö Ð x Ð x j ÔÓÙÖ j =,...,i Ø j = i+,...,n Ø ÒØ Ü Å Ñ ÒÓØ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ g i (x Ø (fg x i = (f i g i ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø ÈÙ ÔÓÙÖ Ð ÓÑÔÓ Ú g : R R ÓÒ (g f x i = (g f i ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø ¾ Ì ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò Ò Ò Ð Å Ò Î ÐÙ Ì ÓÖ Ñµ Ì ÓÖ Ñ ¾ ËÓ Ø f : Ω R n R ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ö ÒØ Ð Ò Ω ÓÙÚ ÖØ R n ËÓ ÒØ x, y R n Ø Ð ÕÙ Ð Ñ ÒØ [ x, y] = { z = t( y x+ x : t [0,]} Ó Ø Ò Ω ÐÓÖ Ð Ü Ø c [ x, y] Ø Ð ÕÙ f( y f( x = gradf( c.( y x. ¾ ½µ ÈÖ ÙÚ ËÓ Ø g(t = f(t( y x+ x ÇÒ g : [0,] R Ú g Ö ÒØ Ð ³Ó Ð Ü Ø t 0 ]0,[ Ø Ð ÕÙ g( g(0 = g (t 0 ( 0 = g (t 0 Ú g (t = gradf(t( y x+ x. y x Ø g( = f( y Ø g(0 = f( x ³Ó Ð Ö ÙÐØ Ø Ú c = t 0 ( y x+ x ¾ Ö Ú ³ÓÖ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ò Ø ÓÖ Ñ Ë Û ÖÞ ËÓ Ø f : Ω R n R ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÇÒ Ò ÕÙ Ò Ð Ú Ø ÙÒ Ò µ Ð ÓÒØ ÓÒ f,i = x i : Ω R ÓÑÑ Ø ÒØ Ð Ö Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ò Ð Ö Ø ÓÒ e i ÈÓÙÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f,i ÓÒ Ô ÙØ Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ö Ö Ð Ö Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ a,i f,i ( a+h v f,i ( a ( a = lim v h 0 h ÕÙ ÙÒ Ò ÕÙ Ð Ð Ñ Ø Ü Ø

25 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÙÖ Ð v = e j ÓÒ Ô ÙØ Ò Ö Ò n Ú Ð ÙÖ,i e j ( a ÔÓÙÖ i,j n ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ Ð n Ð Ñ Ø Ü Ø Òص ÇÒ ÒÓØ,i ( a =,i ( a = x i ( a = f ( a. e j x j x j x j x i ÆÓØ Ø ÓÒ ÇÒ ÒÓØ C (Ω;R г Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ C (Ω;R = {f C (Ω;R : i,j n, f x j x i C 0 (Ω;R}. Ì ÓÖ Ñ ¾ Ì ÓÖ Ñ Ë Û ÖÞµ Ø Ò Ø ÓÒ Ë f Ð x i ÔÓÙÖ i n Ø Ð f x ix j ÔÓÙÖ i,j n Ü Ø ÒØ Ø ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò a Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ò f Ø C Ò ÙÒ ÚÓ Ò aµ ÐÓÖ f ( a = f ( a, i,j n. x i x j x j x i ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ñ ØÖ ÒÒ Ò a Ò Ô Ö H( a = [H ij ( a] i,j n = [ f ( a] i,j n = x i x j f x x ( a... f x n x ( a... Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ Ò a Ð Ò Ø Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð Ñ ØÖ ÒÒ µ f x x n ( a f x n x n ( a ÈÖ ÙÚ ÁÐ Ù Ø Ö Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ò R Ø ÔÖ Ò Ö x i =x Ø x j =x Ð ÙØÖ ÓÓÖ¹ ÓÒÒ Ö Ø ÒØ Ü Ø ÓÙ ÒØ Ð ÖÐ Ô Ö Ñ ØÖ µ ÆÓØÓÒ ÓÒ f : (x,y R f(x,y R f ÇÒ ÓÙ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ x y (x,y = f (x,y ÙÜ ÔÓ ÒØ (x,y Ó y x ÓÒØ ÒÙ ÍÒ ÐÙÐ Ö Ø ÓÒÒ f (x,y x y x (x,y = ( (x+h,y h y y (x,y +o( = ( f(x+h,y+k f(x+h,y +o( h k k = y f x y Ø f y x ÓÒØ ( f(x,y+k f(x,y +o( +o( Å ÓÒ Ø Ó Ò Ò Ú ÐÓÔÔ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ø ÖÑ Ò o( ÕÙ Ò³ Ø Ô ÓÒØÖÐ ÕÙ Ò h 0 ÁÐ h ÙØ ÓÒ ÑÓ Ö ØØ ÔÔÖÓ Ñ Ò Ö Ò Ô ÚÓ Ö Ø ÖÑ Ò o( Ö Ð Ø k ij Ø Ô ÖØ Ö Ð³ ÒÚ Ö (x,y Ü ÓÒ Ö Ö Ú Ö ÕÙÓ Ø Ò Ð³ ÖÓ Ñ ÒØ Q(h,k = ( f(x+h,y+k f(x+h,y f(x,y+k f(x,y h k k ÓÒ Ò Ð Ø ÖÑ Ò o(µ ÕÙ Ò h,k 0 ÓÒ Ú ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Q : (h,k Q(h,k Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 Ø ÕÙ Q(0,0 = f x y (x,y = f y x (x,y ÇÒ ÔÓ g y,k (u = f(u,y+k f(u,y ³Ó Q(h,k = hk (g y,k(x+h g y,k (x = k Ø Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ÓÒÒ g y,k (x+h g y,k (x, h θ ]0,[, Q(h,k = k g y,k (x+θh = k ( (x+θh,y+k x x (x+θh,y. ÇÒ ÔÔÐ ÕÙ ÒÓÖ ÙÒ Ó Ð Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ä Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ f y x Q(0,0 = f y x (x,y θ ]0,[, η ]0,[, Q(h,k = f y x (x+θh,y+ηk Ø ÒØ ÙÔÔÓ ÓÒØ ÒÙ Ò x ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ Q Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 Ø

26 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÈÙ ÓÒ Ö Ñ ÖÕÙ ÕÙ Q(h,k = k ( h f(x+h,y+k f(x,y+k f(x+h,y f(x,y, h ÜÔÖ ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ð ÔÖ ÒØ ³Ó ÙÒ ÐÙÐ Ñ Ð Ö Ù ÔÖ ÒØ ÓÒÒ Q(0,0 = (x,y ³Ó Ð Ø ÓÖ Ñ f x y Ü ÑÔÐ ¾ ËÓ Øf(x,y = cos(xy Î Ö Þ ÕÙ f x y ( a= a a cos(a a sin(a a = f y x ( a Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ a = (a,a R Ü ÑÔÐ ¾ ËÓ Ø f(x,y = xy x y x (x,y Ø y Ø x f(0,0 = 0 Î Ö Ö ÕÙ f Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÐÙÐ Ö +y (x,y Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ ÓÒع ÐÐ ÓÒØ ÒÙ Ò (0,0 ÈÙ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ f x y (x,0= Ø f y x (0,y= Ò Ù Ö ÕÙ f Ò³ Ø Ô Ò C (R ;R Ê ÔÓÒ Ä ÓÒØ ÒÙ Ø f Ò ÔÓ Ô ÔÖÓ Ð Ñ È Ö Ü ÑÔÐ x y x + y ³Ó 0 f(x,y xy ÕÙ Ø Ò Ò Ú Ö 0 Ú (x,y Ê Ö ÓÒ Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ò 0 ÓÒØ ÙÒ Ò ÇÒ f(h,0 f(0,0 h = 0, f(0,h f(0,0 h ³Ó ( 0 = 0 Ø ( 0 = 0 ÓÒØ Ò Ò Ð Ð Ñ Ø ÕÙ Ò h 0 Ü Ø ÒØ Ø Ú Ð ÒØ 0µ x y ÈÙ ÔÓÙÖ (x,y 0 Ý ÒØ f(x,y = x3 y xy 3 x +y Ø ÓÒ ³Ó Ð ÓÒØ ÒÙ Ø x Ò R Á Ñ ÔÓÙÖ y = 0, x (x,y = (3x y y 3 (x +y x 4 y +x y 3, (x +y ÈÙ ÓÒ x (0,y = y ÔÓÙÖ y 0 ³Ó lim k 0 ÔÖÓÐÓÒ Ø Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ò 0 ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ø ÔÓÙÖ x 0 Ø f (0,0 = ³Ó x y (rcosθ,rsinθ = O(r x 0. r 0 f y x x (0,k x (0,0 k = = f y x (0,0 = Ñ Ñ y (0,y ÔÓÙÖ y 0 Ø ÓÒ (x,0 = x ÔÙ f (0,0 f (0,0 x y y x Ø f Ò³ Ø Ô C Ò (0,0 f x y (x,0= Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ØØ ÒØ ÓÒ Ð Ò³ Ø Ô Ù ÒØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ h Ü Q h : k Q(h,k Ø k Ü Q k : h Q(h,k ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò 0 ÔÓÙÖ ÚÓ Ö Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Q Ò 0 ÎÓ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÙÒ Ñ ÙÚ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÖ Ñ Ä Ø ÓÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ò ÒÓÙ Ò ÕÙ ÕÙ k Ü Ð Ü Ø β k ]0,[ Ø α k ]0,[ Ø Ð ÕÙ f(x+h,y+k f(x+h,y = k y (x+h,y+β kk, Ø ÇÒ Ò Ù Ø Å y k ( f(x,y+k f(x,y = y (x,y+α kk. Q(h,k = h ( y (x+h,y+β kk y (x,y+α kk. Ø ÙÔÔÓ ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ ÚÓ Ò (x,y ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ ÕÙ ØØ ÔÖ Ò Ö h Þ Ô Ø Øµ h 0 Ü Ð ÓÒØ ÓÒ k Q(h,k Ø ÓÒØ ÒÙ Ù ÚÓ Ò k = 0 Ý ÒØ β k k 0 Ø α k k 0 ÕÙ Ò k 0 ÓÒ Ó Ø ÒØ Q(h,k Q(h,0 = ( (x+h,y k 0 h y y (x,y Ø Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ò x Ð Ú ÒØ Q(h,0 = y (x,y+o( Ù ÚÓ Ò h = 0 Ú x h 0µ

27 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ³Ó Ð ÓÒØ ÓÒ h Q(h,0 Ø ÔÖÓÐÓÒ Ð ÓÒØ ÒÙ Ù ÚÓ Ò h = 0 Ô Ö Q(0,0 = y x (x,y. Å Ñ Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ð Ò Ú ÙØ Ô Ö ÕÙ Q Ø ÓÒØ ÒÙ Ù ÚÓ Ò (0,0 Ñ ÙÐ Ñ ÒØ ÕÙ Ò Ð Ö Ø ÓÒ v = (,0 Ð ÓÒØ ÓÒ g(t = Q(t v Ø ÔÖÓÐÓÒ Ð Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø ³ ÐÐ ÙÖ Ð ÙØ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÓÒ ÔÖÓÐÓÒ k Q(0,k ÔÓÙÖ k = 0 ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð Ñ Ñ Ð Ñ Ø Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ÇÒ Ô ÙØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ù Ø ÙÔÔÓ Ö ÕÙ f y x Ó Ø ÓÒØ ÒÙ Ò (x,y ÔÓÙÖ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ Ë Û ÖÞ Ó Ø ÚÖ ÓÒ Ò ÚÓ Ö ÙÔÔÓ Ö ÕÙ f x y Ø ÓÒØ ÒÙ µ Ò Ø Ð³ ÝÔÓØ y ÓÒØ ÒÙ Ô ÖÑ Ø ³ ÚÓ Ö ( Q(h,k (x+h,y k 0 h y y (x,y Ø Ð³ ÝÔÓØ ³ Ü Ø Ò f y x Ô ÖÑ Ø ³ ÚÓ Ö θ ]0,[, η ]0,[, Q(h,k = f y x (x+θh,y+ηk Ø f y x Ø ÒØ ÓÒØ ÒÙ ε Ü ÕÙ h Ø k ÓÒØ Þ Ô Ø Ø ÓÒ ³Ó Ú ¾ ¾µ f y x (x,y ε < f y x (x+θh,y+ηk = Q(h,k < f y x (x,y+ε ¾ ¾µ f y x (x,y ε ( (x+h,y h y y (x,y f y x (x,y+ε. Ø ÕÙ Ò h 0 ÓÒ h y (x+h,y y (x,y f x y (x,y ³Ó г Ð Ø Ö Ú Ô Ö¹ Ø ÐÐ ¾ ¾ ½ Ä Ú Ö Ð Ñ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ i ÇÒ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓØ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö Ú ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÓ ÈÖ Ñ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÙ Ö ËÓ Ø f : (x,y f(x,y R Ø g(x,y g(x,y R ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ò C (R ;R Ø ÐÐ ÕÙ f(x,y = g( x+y, x y. ¾ µ ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ ÓÖØ ÓÒÓÖÑ ( e, e ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ( e + e + ( e e µ ÉÙ Ø ÓÒ ÐÙÐ Ö g g x Ò ÓÒØ ÓÒ x Ø y Ê ÔÓÒ ½ ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ g g x Ö Ô y µ Ò Ð Ö Ú Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö Ð g Ö Ô Ð ÓÒ Ú Ö Ð gµ Ò g (x,y = x x (x+y, x y x+y x g (x,y+ y (x+y, x y = g x (x+y, x y + g y (x+y, x y. x y x (x,y ¾ µ Ê Ñ ÖÕÙ Ù ÚÙ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ð ÙÔÔÓ ÕÙ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ g x Ø Ø Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö Ð g Å Ù Ú ÒØ Ð ÓÒØ ÜØ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ØØ ÙÔÔÓ Ø ÓÒ Ò³ Ø Ô Ò Ö Ñ ÒØ Ô ÖØ Ò ÒØ

28 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ê ÔÓÒ ¾ ËÓÙÚ ÒØ ÙØ Ð Ò Ô Ý ÕÙ µ ÇÒ ÔÓ X(x,y = x+y Ø Y(x,y = x y ÓÒ f(x,y = g(x(x,y,y(x,y Ø Ò Ö Ô Ø ÒØ Ð ÒÓÑ Ú Ö Ð ¾ ¾ g (x,y = x X (X(x,y,Y(x,y X x Ê ÔÓÒ È Ö Ö Ô Ù Ú ÒØ (x,y+ g y (X(x,y,Y(x,y Y x (x,y = g X (x+y, x y + g Y (x+y, x y. Ë ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÙ Ö Ü Ö ¾ ¼ ËÓ Ø f : (x,y f(x,y R Ø h(x,y h(x,y R ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ò C (R ;R Ø ÐÐ ÕÙ h(x,y = f(y,x ¾ µ ÜÔÖ Ñ Ö h x y г f x y Ø Ú Ö Ö Ð Ö ÙÐØ Ø ÕÙ Ò f(x,y = x 3 y, Ø ÓÒ h(x,y = y 3 x = x y 3. ¾ µ Ê ÔÓÒ ½ ÐÙÐ Ò Ö ÕÙ h (x,y = (y,x ÓÒ h (x,y = f x x y x y x (y,x Î Ö Ø ÓÒ h(x,y = x y 3 ÓÒÒ h (x,y = x xy3 ³Ó h (x,y = y x 6xy ÈÙ f(y,x = y 3 x = x y 3 ÓÒÒ (y,x = x y3 x ³Ó f (y,x = y x 6y x ÁÐ ÙØ ÓÒ Ö ØØ ÒØ ÓÒ Ù ÒÓÑ Ú Ö Ð Ø Ø Ü ÑÔÐ Ø ÑÔÐ Ê ÔÓÒ ¾ ËÓÙÚ ÒØ ÙØ Ð Ò Ô Ý ÕÙ µ ËÓ Ø X(x,y = y Ø Y(x,y = x Ð ÓÒØ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ð ÒÓÑ Ú Ö Ð ÇÒ f(x,y = h(x(x,y,y(x,y Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÒÓÑ Ú Ö Ð ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ø ÓÒ x ³ Ö Ø h (x,y = x ³Ó Ò Ö Ú ÒØ Ò Ð Ö Ø ÓÒ y X (X(x,y,Y(x,y X x = 0+ h h (X(x,y,Y(x,y = Y Y (y,x, (x,y+ h Y (X(x,y,Y(x,y Y x (x,y f y x (x,y = h X Y (X(x,y,Y(x,y X y (x,y+ h Y Y (X(x,y,Y(x,y Y y (x,y Ê ÔÓÒ ÎÓ Ö Ô Ö Ö Ô Ù Ú ÒØ = h X Y (X(x,y,Y(x,y+0 = h X Y (y,x. ¾ Ä Ú Ö Ð Ñ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ i ÈÓÙÖ Ð Ú Ö Ð Ñ Ù Ø ÓÒ Ò Ô ÙØ Ð Ö Ð ÒÓÑ Ú Ö Ð ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ Ò³ÙØ Ð Ô x Ñ Ð Ö Ú Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö Ð Ò Ó Ø f : R n R ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÒØ Ð Ò x Ä Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø ¾ µ ³ Ö Ø ϕ( x = ϕ( x 0 + f( x(x x f( x(x n x 0n +o( x x 0, ¾ µ Ñ Ñ ÕÙ ϕ( y = ϕ( y 0 + f( y(x x f( y(x n x 0n +o( y y 0. ¾ µ Ä ÒÓØ Ø ÓÒ Ò³ Ø Ô ØØ Ù ÒÓÑ Ð Ú Ö Ð x ÓÙ y ÓÒØÖ Ö Ñ ÒØ = ÒÓØ Ô Ö Ü ÑÔÐ µ Ê ÔÓÒ Ù Ô Ö Ö Ô ¾ ½ ÇÒ Ö ÓÖÑÙÐ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑÑ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ¾ µ ÐÙÐ Ö f Ò ÓÒØ ÓÒ g Ø g È Ö Ö Ú Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÓ ÓÒ f(x,y = g(x(x,y,y(x,y X(x,y+ g(x(x,y,y(x,y Y(x,y = g( x+y, x y + g( x+y, x y. x

29 ¾ ¾ ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ü Ö ¾ ½ ËÙ Ø Ù Ô Ö Ö Ô ¾ ½ Ü Ö ¾ ¼µ Ê ÔÓÒ Ë Ò ÙØ Ð Ö Ð ÒÓÑ Ú Ö Ð ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ø ÓÒ ³ Ö Ø Ú X(x,y = y Ø Y(x,y = x f(x,y = h(x(x,y,y(x,y X(x,y+ h(x(x,y,y(x,y Y(x,y ³Ó Ò Ö Ú ÒØ Ò Ð Ö Ø ÓÒ = 0+ h(x(x,y,y(x,y = h(y,x. f(x,y = h(x(x,y,y(x,y X(x,y+ h(x(x,y,y(x,y Y(x,y = h(x(x,y,y(x,y = h(y,x. ¾ ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ò R n ÇÒ ³ ÒØ Ö ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f : R n R ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ Ð Ö µ Ä Ñ Ö Ø Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ Ò R ÇÒ ÓÙ Ø Ô Ö Ü ÑÔÐ ÕÙ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ p(x,y = a+bx+cy +dx +exy +fy +... Ó Ø ÓÒÒ Ô Ö ÓÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ù ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ x = (x,y ij ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒØ ÓÒÒ ÑÑ Ø Ñ ÒØ p( x = p( 0+ p x ( 0x+ p y ( 0y + ( p! x ( 0x + p x y ( 0xy + p y ( 0y + ( 3 p 3! x 3( 0x p x y ( 0x y + 3 p x y ( 0xy + 3 p y 3( 0y = p( 0+ i + 3! 3 k=0 p x i ( 0x i +! C k 3x k x 3 k k=0 3 p x k x3 k C k xk x k ( p x k x k ÇÒ Ð ÑÓÒØÖ Ö Ø Ñ ÒØ p( 0 = a ÔÙ p x ( 0 = b ÔÙ p x ( 0 = d Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ¾ ÆÓØ Ø ÓÒ Ö ( 0 p( x = p( 0+! dp( 0. x+! d p( 0( x, x+ 3! d3 p( 0( x, x, x+... ¾ µ ÇÒ Ð Ñ Ø Ö Ò ÓÙÖ Ù Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ù ÓÒ ÓÖ Ö ÕÙ ³ Ö Ø ÐÓÖ Ú H p Ð Ñ ØÖ À ÒÒ p p( x = p( 0+ gradp( 0 t. x+ xt.h p ( 0. x+o( x Ø ÓÒ ÓÙ Ø ÕÙ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ó Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ô Ö ÙÒ Ø Ð ÔÓÐÝÒÑ ÇÒ Ì ÓÖ Ñ ¾ ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖµ Ë f : R n R Ø Ö Ú Ð k+¹ Ó Ù ÚÓ Ò 0 ÐÓÖ Ú H f Ð Ñ ØÖ ÒÒ fµ Ó f( x = f( 0+ gradf( 0 t. x+ xt.h f ( 0. x R k ( x, 0 = k! Ó ÓÒ ÔÓ g(t = f(t x i,...,in N i +...+in=k 0 x i...xin n i!...i n! k f ( 0 +R k ( x, 0 x i i... x in i n g k+ (t( t k dt = O( x k+ = o( x k, ¾ ¼µ ¾ ½µ

½ +1 = ½ +1 = ÓÙ ¾ +2 = ÓÙ +5 = ÓÙ +8 = ÓÙ +6 = ÓÙ +7 =

½ +1 = ½ +1 = ÓÙ ¾ +2 = ÓÙ +5 = ÓÙ +8 = ÓÙ +6 = ÓÙ +7 = ÔØ Ø ÇÊÁÆ Ä ÔÖ Ñ Ö ØÖ Ö Ø ÓÒ ÖÒ ÒØ Ð ÓÙÐ Ö ÒÓ Ö ÑÓÒØ ÒØ Ù Áι Ñ Ð º Ò ÕÙ Ð ÐÙÐ ØÖ Ø Ð ÓÖ Ò Ø ÙÖ Ó ÒØ ÓÑÒ ÔÖ ÒØ ÒÓ ÓÙÖ Ð ÓÙÐ Ö Ö Ø ØÓÙ ÓÙÖ Ò Ù Ò ÒÓÑ Ö ÙÜ Ô Ý Ø ÕÙ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ö ÔÙ Ð ÕÙ ÔÓÔÙÐ Ö Ò º Ù Â

Plus en détail

arxiv:math/ v1 [math.dg] 25 Oct 2006 d : M R

arxiv:math/ v1 [math.dg] 25 Oct 2006 d : M R ËÙÖ Ð Ö ÑÔÐ ÓÐÓÑÓÖÔ ÕÙ Ú Ö ÒØ arxiv:math/0610748v1 [math.dg] 25 Oct 2006 ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÒÓ Ø ÃÐÓ Ò Ö Ó Ø ¾¼½ Ê ÑÔÐ ÕÙ Ú Ö ÒØ Ä ÒÓØ ÓÒ Ö ÑÔÐ ³ÙÒ ØÖÙØÙÖ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ø ØÖ Ð Ö Ñ ÒØ ØÙ º ÆÓÙ ÒÓÙ ÔÖÓÔÓ ÓÒ ³

Plus en détail

Astrocyte. Neurone. Espace extracellulaire. Ca++ Ca++ Ca++ canal ionique. gap jonction. gap jonction. diffusion. canal ionique Ca++ gap jonction

Astrocyte. Neurone. Espace extracellulaire. Ca++ Ca++ Ca++ canal ionique. gap jonction. gap jonction. diffusion. canal ionique Ca++ gap jonction ÖÓÒØ ÔÖÓ Ö Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ ÒØ Ú ÙÐ Ö Ö Ö ÙÜ Ù ÐÐ Ñ ØØ ÔÙ Ø Å Ö ÐÐ Ð ¾ ÓØÓ Ö ¾¼¼ º ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÓÐÓ ÕÙ Ä ÔÖ ÓÒ ÓÖØ Ð ÒÚ ÒØ µ ÍÒ Ø ÙÒ ÔÓÐ Ö Ø ÓÒ Ø ÑÔÓÖ Ö Ø Ö Ò ÑÔÐ ÙÖ Ò ÙÖÓÒ ÕÙ ÔÖÓÔ Ð ÒØ Ñ ÒØ ÑÑ»Ñ Òµ Ò Ð ÖÚ Ùº

Plus en détail

arxiv: v1 [math.ra] 4 Sep 2008

arxiv: v1 [math.ra] 4 Sep 2008 Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð Ø Ú ÔÓÐÝÒÑ ÙÒ Ú Ö Ô Ö Ð Ñ ØÖ arxiv:0809.0804v [math.ra] 4 Sep 2008 ÊÓÒ Ò ÉÙ Ö Þ ÁÊÅ Ê ÆÊË ÍÊ ¼ µ ÍÒ Ú Ö Ø Ê ÒÒ ½ ÑÔÙ ÙÐ Ù ¼ ¾ Ê ÒÒ Ü Ö Ò ¹Ñ Ð ÖÓÒ ÒÕÙ Ö ÞÙÒ Ú¹Ö ÒÒ ½ Ö ½¾ Ñ Ö ¾¼½

Plus en détail

Á ÏÓÖ Ò Ô Ô Ö ¾»¼ Ä ÒÒÓÒ Ð³ Ø Ú Ø Ø Ð ÚÓÐ Ø Ð Ø ÙÖ Ð Ñ Ö Ò ÙÖÓ» ÓÐÐ Ö Ï Ð Ò ÇÑÖ Ò ½ ÄÙ ÙÛ Ò ¾ Ø È ÖÖ ÓØ Â ÒÚ Ö ¾¼¼ Ê ÙÑ Ô Ô Ö ØÙ Ð Ò Ð Ø Ð ÚÓÐ Ø Ð Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ù Ø ÙÜ Ò ÙÖÓ» ÓÐÐ Ö Ò Ù Ø ÓÖ ³ Ú Ò Ñ ÒØ ÓÖÖ

Plus en détail

Ê ÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ø ØÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ï ÙØ Ð Ø ÙÐØ ÆÓØÖ ¹ Ñ Ä È Ü Æ ÑÙÖ Ð ÕÙ Û ÙØ Ð Ò Óº ÙÒ Ôº º Ê ÙÑ º ij ÑÔÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ò³ Ø ÔÐÙ ÑÓÒØÖ Öº Ò Ø Ð Ó Ü ³ÙÒ ØÝÔ

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø È ÖÖ Ø Å Ö ÙÖ ß È Ö ÎÁ ÇÖ Ò Ø ÓÒ ËÓ Ø ³ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Î Ù Ð Ø ÓÒ ³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð ½ Ñ Ö ¾¼¼½ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ø ØÖ ÓØ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø È ÖÖ Ø Å Ö ÙÖ ¹ È Ö ÎÁ Ô Ð

Plus en détail

ÒÒ ¾¼¼¾ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÙÑ Ö ÄÝÓÒ ÁÁ ÌÀ Ë ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÓØ ÙÖ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö Ö ÅÙ Ð Ò Ð ½ Ñ Ö ¾¼¼¾ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ð Ø Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÓÙ ÐÐ ÓÒÒ ÔÖ Ô Ö Ù Ò Ù Ð ÓÖ ØÓ Ö ÊÁ ÓÙ

Plus en détail

Ò ÐÝ ÓÒÒ Ò ÓÖ ÐÐ ÙÒ ÔÔÖÓ ÓÖ Ò Ð Ó٠Ⱥ¹ º À ÖØ À ÙÖ Ø ÕÙ Ø ÒÓ Ø ËÝ Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ÍÅÊ ÆÊË ÍÒ Ú Ö Ø Ì ÒÓÐÓ ÓÑÔ Ò È ¾ ¹ ¹ ¼¾¼ ÓÑÔ Ò Ü ¹ Ö Ò ÖØ ºÙغ Ö Ñ Ö ¾¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð³ Ò ÐÝ Ò ÓÖ ÐÐ

Plus en détail

Î ÐÙ Ø Ê Ñ ÙÖ Ô Ø Ð ÓÒÓÑ ÕÙ µ Ð Ê ÓÙÐ Ø ² Ì ÖÖÝ ÊÓÒ ÐÐ ÖÓÙÔ Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ö Ø ÄÝÓÒÒ Ñ Ð ÐºÖ ÓÙÐ ØÖ ØÐÝÓÒÒ º Ö Ø ÖÖݺÖÓÒ ÐÐ Ö ØÐÝÓÒÒ º Ö ÈÐ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÒØ ÓÒ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø Î ÐÙ ¹ Ø¹Ê Ä Ü

Plus en détail

arxiv: v2 [math.gt] 30 Oct 2009

arxiv: v2 [math.gt] 30 Oct 2009 ËÈ Ë ÅÇ ÍÄ Ë ÊÌ ÁÆË ÈÇÄ Ê Ë ÈÊÇ ÌÁ Ë ÅÁÊÇÁÊË Ô Ö ÄÙ ÓÚ Å ÖÕÙ rxiv:0806.3569v [mth.gt] 30 Oct 009 ØÖ Øº ÔÖÓ Ø Ú Ñ ÖÖÓÖ ÔÓÐÝ ÖÓÒ ÔÖÓ Ø Ú ÔÓÐÝ ÖÓÒ Ò ÓÛ Û Ø Ö Ø ÓÒ ÖÓ Ø º Ï ÓÒ ØÖÙØ Ò ÜÔÐ Ø ÓÑÓÖÔ Ñ ØÛ Ò Ø

Plus en détail

º¾ ÆÓØ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÒÓÙ Ò ÓÒ ÖÓÒ Ô Ò Ô ØÖ Ð Ø ¹ Ò ÕÙ ÓÑÔÖ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ù Ò Ð Ô ÖÓÐ º Ý Ø Ñ ³ ÒÓ¹ Ò Ô ÕÙ ÓÒØ Ò Ø Ø Ú ÐÓÔÔ Ò ÓÑ Ò Ð Ø¹ Ø Ò ÒØ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÙÔ Ö Ù

º¾ ÆÓØ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÒÓÙ Ò ÓÒ ÖÓÒ Ô Ò Ô ØÖ Ð Ø ¹ Ò ÕÙ ÓÑÔÖ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ù Ò Ð Ô ÖÓÐ º Ý Ø Ñ ³ ÒÓ¹ Ò Ô ÕÙ ÓÒØ Ò Ø Ø Ú ÐÓÔÔ Ò ÓÑ Ò Ð Ø¹ Ø Ò ÒØ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÙÔ Ö Ù Ô ØÖ ÓÑÔÖ ÓÒ Ò ÙÜ Ù Ó º½ Ä ÓÑÔÖ ÓÒ Ù Ó ÔÓÙÖÕÙÓ Ä Ö Ù ÓÒÙÑ Ö ÕÙ È Å ÓÒØ ÚÓÐÙÑ Ò ÙÜ Õ٠гÓÒ Ö ÔÔ ÐÐ Ð ØÖ Ø ½º Å Ø» ÔÓÙÖ ÙÒ Ò Ð Ø Ö Ó Ò ÕÙ Ð Ø Ø Ò Ö ½ Ø º½ ÀÞµ ÕÙ ÓÒÒ ÙÒ Ö ¼ Å ÝØ ÔÓÙÖ ÙÒ ÙÖ ÑÙ ÕÙ Ö Ò ÕÙ ÔÓÙÖ

Plus en détail

1,96 Z 0,05 = 1,64 t 0,975;38 = 2,02 χ 2 1;0.05 = 3,84.

1,96 Z 0,05 = 1,64 t 0,975;38 = 2,02 χ 2 1;0.05 = 3,84. Ô ½ ØØ ÒØ ÓÒ ÈÖ Ò Þ α = 5% ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð Ø Ø Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÒ Ò º Z 0,025 = 1,96 Z 0,05 = 1,64 t 0,975;38 = 2,02 χ 2 1;0.05 = 3,84. ÉÙ Ø ÓÒ ½ ½¼ ÔÓ ÒØ µ ÓÑÔÐ Ø Þ Ð Ø Ð Ù ¹ ÓÙ Ò Ö ÔÓÒ ÒØ Ô Ö ÎÖ ÓÙ ÙÜ ÔÓÙÖ ÙÒ

Plus en détail

ÇÄ ÆÇÊÅ Ä ËÍÈ ÊÁ ÍÊ À Æ Å ÑÓ Ö ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð ÔÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ö ÆÓÙÚ ÐÐ Ì Ò ÕÙ Ó Ò Ø Ú ³ ÔÔÖ ÒØ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ÓÐ ÓØÓÖ Ð Ë Ò ÈÖ Ø Õ٠г ÆË Ò º º ÒÙÑ ÖÓ ¾ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö

Plus en détail

Contact SCD Nancy 1 : theses.sciences@scd.uhp-nancy.fr

Contact SCD Nancy 1 : theses.sciences@scd.uhp-nancy.fr AVERTISSEMENT Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie. Il est soumis à la propriété intellectuelle

Plus en détail

ÁÒ Ø ØÙØ Æ Ø ÓÒ Ð ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ ÄÓÖÖ Ò Ô ÖØ Ñ ÒØ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓØÓÖ Ð Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ÓÐ ÓØÓÖ Ð Á Å Ò Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒ ³ÙÒ ÕÙ Ð Ø ÖÚ ÔÓÙÖ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö Ð ÌÀ Ë ÓÙØ ÒÙ Ð ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù ÓØÓÖ Ø Ð³ÁÒ

Plus en détail

ÉÍ ÄÉÍ ËÊ ÈÈ ÄËÁÆÌÊÇ Í ÌÁ Ë ÄÊÁ¹ÍÒ Ú Ö Ø È Ö Á ÇÖ Ý Æ ÓÐ Ó Ø Ó ØÐÖ º Ö ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ËÙ Ë˹ÁÁ¹ ÓÒÒ Ú Ò Ë ÓÒØ ÓÒÒ Ð Ø ØÈÖ Ò Ô ÍÒËÝ Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ë µ ÉÙ³ ØÕÙ³ÙÒ ÓÒÒ ÈÓÙÖÕÙÓ Ô ÙÒËÝ Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ÈÓÙÖÕÙÓ Ö À ØÓÖ

Plus en détail

Æ Æ ³ÓÖ Ö ÁË Ä ¼½½¾ ÒÒ ½ ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ú ÒØ Ä³ÁÆËÌÁÌÍÌ Æ ÌÁÇÆ Ä Ë Ë Á Æ Ë ÈÈÄÁÉÍ Ë Ä ÇÆ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ä Ê Ç Ì ÍÊ ËÈ Á ÄÁÌ ÁÆ ÇÊÅ ÌÁÉÍ Ô Ö ÒÒ ÈÊÁ ÅÓ Ð Ø ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ù ÓÚ Ù Ð Ò ËØÖ Ø ÁÒØ ÖÓÒÒ Ø Ô Ö Ð ÒÒÓØ Ø ÓÒ

Plus en détail

s orienter dans le langage : l indexicalité

s orienter dans le langage : l indexicalité Publications de la Sorbonne 212, rue Saint-Jacques, 75005 Paris Tél. : 01 43 25 80 15 Fax : 01 43 54 03 24 sous la direction de perrine marthelot s orienter dans le langage : l indexicalité Les indexicaux

Plus en détail

Æ Ó ³ÓÖ Ö ¾ ½ ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ú ÒØ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø Ê ÒÒ ½ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÓØ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø Ê ÒÒ ½ Å ÒØ ÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ô Ö Ë Ö ÊÓÙÚÖ ÕÙ Ô ³ Ù Ð ÁÊÁË ÓÐ ÓØÓÖ Ð Å ÌÁËË ÓÑÔÓ ÒØ ÙÒ Ú Ö Ø Ö Á ËÁ Ì ØÖ Ð Ø ÍØ Ð Ø ÓÒ ³

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø Ê Æ Ë ÊÌ Ë ¹ È ÊÁË ÒØÖ ÙÒ Ú Ö Ø Ö Ë ÒØ ¹È Ö Í Ê Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë Ì ÁÆ ÇÊÅ ÌÁÉÍ Ì ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö ÓØ ÙÖ Ð³ÙÒ Ú Ö Ø Ê Æ Ë ÊÌ Ë¹È ÊÁË ËÔ Ð Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ËÙ Ø Ø ÅÓ Ð Ø ÓÒ Ò ÙÖ Ò Ô ÖØ Ö ³ Ñ

Plus en détail

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Î ÓÙ Å ÖÓ Ó Ø Ü Ð Å Ø Ù È ÐØ Ö ¹Å Ð Å Ø ÙºÈ ÐØ ÖÒ ØÓÙÖÖ ÖºÓÑ ÀÓÑ Ô ØØÔ»» ÐØ ÖÒºÓÖ»Ô ÐØ ÖÑ»Û ÐÓÑ º ØÑ Å ÓÙÖ Ù»¾»¾¼¼¼ ÌÝÔÓ Ö Ô Ä Ì ¾ Ù Ø ÙÒ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ù ÒØ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Î ÓÙ

Plus en détail

Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÎÓ ÙÐ Ö ½º½ Ä ÓÖÔ ÓÖ ÓÒÒ ÒÓÑ Ö Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÎÓ ÙÐ Ö ½º½ Ä ÓÖÔ ÓÖ ÓÒÒ ÒÓÑ Ö Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓÔÓÐÓ Ò ÐÝ Ø ÐÙÐ Ö ÒØ Ð Ö Ö È ÙÐ Ò Î Ö ÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÓÙÖ ØÖÓ Ñ ÒÒ Ð Ò ÓÐ ÆÓÖÑ Ð ËÙÔ Ö ÙÖ ÒÒ ¾¼¼ ¹¾¼¼ ½ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÎÓ ÙÐ Ö ½º½ Ä ÓÖÔ ÓÖ ÓÒÒ ÒÓÑ Ö Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾

Plus en détail

Ï Í Å Ò Ò ÁÒØ Ö¹Ë Ø Ò ÐÝ Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÍØ Ð Ø ÙÖ ÁÑÔ Ø ÁÑÑ Ø ÁÒØ Ö Ø Ï Í Å Ò Ò Í Ö Ú ÓÙÖ Ò ÐÝ Û Ø ÁÑÑ Ø ÁÑÔ Ø º Å Ð ½ ¾µ ź Ì Ö ½µ Ⱥ ÈÓÒ Ð Ø ½µ ½µ ÄÁÊÅÅ ÍÅÊ ÆÊË ¼ ½ ½ ÊÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü Ö Ò ¾µ Ä ÓÖ ØÓ

Plus en détail

À Ð Ø Ø ÓÒ Ö Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ú ÒØ Ä³ÍÒ Ú Ö Ø Ê ÒÒ ½ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÙÔ Ö ÙÖ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ô Ö ÒÒ ¹Å Ö Ã ÖÑ ÖÖ «Ù ÓÒ Ð Ð Ö ¹ ÐÐ ËÓÙØ ÒÙ Ð ¾¼ Ñ Ö ¾¼¼¾ Ú ÒØ Ð ÙÖÝ ÓÑÔÓ Åº Å Ð Ê Æ Ä ÈÖ ÒØ Åº

Plus en détail

Ú ÒعÈÖÓÔÓ Ø ØØØØ Ø ØØØ Ø ØØØØ ØØØ ØØØ ØØØØØØ Ø Ø ØØ Ø ØØØØØ ØØØ Ø ØØ Ø Ø ØØ ØØØ ØØ Ø ØØØØØØØØ ØØØØØ Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø ØØØØ Ø Ø Ø Ø ØØ Ø Ø ØØØ Ø Ø Ø Ø ØØØ

Ú ÒعÈÖÓÔÓ Ø ØØØØ Ø ØØØ Ø ØØØØ ØØØ ØØØ ØØØØØØ Ø Ø ØØ Ø ØØØØØ ØØØ Ø ØØ Ø Ø ØØ ØØØ ØØ Ø ØØØØØØØØ ØØØØØ Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø ØØØØ Ø Ø Ø Ø ØØ Ø Ø ØØØ Ø Ø Ø Ø ØØØ Ò Å Ö ÓÚ Ö ÙÐ ÔÓÙÖ Ð³ Ò ÐÝ ÕÙ Ò ÓÐÓ ÕÙ Æ ÓÐ Î Ö Ò Ä ÓÖ ØÓ Ö ËØ Ø Ø ÕÙ Ø ÒÓÑ ÍÅÊ ÆÊË ¼ ½ ¹ ÍÅÊ ÁÆÊ ½½ ¾ ÍÒ Ú Ö Ø ³ ÚÖÝ Î Ð ³ ÓÒÒ Ä ½½ ÂÙ ÐÐ Ø ¾¼¼ Ú ÒعÈÖÓÔÓ Ø ØØØØ Ø ØØØ Ø ØØØØ ØØØ ØØØ ØØØØØØ Ø Ø ØØ Ø ØØØØØ

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÙÐØ Ë Ò ÓÒÓÑ ÕÙ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ÅÈÁÊÁÉÍ Ë Å ÆÁËÅ Ë ÌÊ ÆËÅÁËËÁÇÆ Ë ÀÇ Ë ÇÆ Å ÆÌ Í Ì ÆÇÆ ÇÆ Å ÆÌ Í Î ÊË Ä Ë Å Ê À Ë ÇÍÊËÁ ÊË Ì ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ø ØÖ ÓØ ÙÖ Ä³ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÈÖ ÒØ

Plus en détail

Imagerie magnétique par micro-squid à basse température

Imagerie magnétique par micro-squid à basse température Imagerie magnétique par micro-squid à basse température Cécile Veauvy To cite this version: Cécile Veauvy. Imagerie magnétique par micro-squid à basse température. Supraconductivité [cond-mat.supr-con].

Plus en détail

ÆËÅ ÓÐ Æ Ø ÓÒ Ð ËÙÔ Ö ÙÖ Å Ò ÕÙ Ø ³ ÖÓØ Ò ÕÙ ÄÁËÁ Ä ÓÖ ØÓ Ö ³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë ÒØ ÕÙ Ø ÁÒ Ù ØÖ ÐÐ ÌÀ Ë ÈÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö ÓØ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø ÈÓ Ø Ö ÇÄ Æ ÌÁÇÆ Ä ËÍÈ ÊÁ ÍÊ Å ÆÁÉÍ Ø ³ ÊÇÌ ÀÆÁÉÍ ² ÙÐØ Ë Ò ÓÒ Ñ

Plus en détail

{1, 4, 2, 5} = {1, 2, 4, 5} {1, 2, 4, 5, 5} {1, 2, 4, 5, 5, 5} {1, 4, 2, 5} {1, 7} = {1, 1, 4, 2, 5, 7}

{1, 4, 2, 5} = {1, 2, 4, 5} {1, 2, 4, 5, 5} {1, 2, 4, 5, 5, 5} {1, 4, 2, 5} {1, 7} = {1, 1, 4, 2, 5, 7} Ä Ð Ò ÓÑÑ ÖÐ Ö ÕÙ Ø ËÉÄ ÍÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ò³ Ø Ô ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÑÑ ÙÒ Ò Ñ Ð Ñ ÓÑÑ ÙÒ ÑÙÐØ ¹ Ò Ñ Ð Ñ µ ÅÙÐØ ¹ Ò Ñ Ð Ð Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÓÒØ Ô ÖÑ Ñ Ð³ÓÖ Ö Ò ÓÑÔØ Ô È Ö Ü Ò Ð Ñ {1, 4, 2, 5} = {1, 2, 4, 5} {1, 2, 4, 5, 5} {1,

Plus en détail

ÈÖÓ Ø ÊÆÌÄ Á Ç ËÓÙ ÈÖÓ Ø ¾ ÔÔÖÓ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ð ¹ Ä ÚÖ Ð ¾º½ Ø Ø Ð³ ÖØ ¹ Î Ö ÓÒ Ö Ø ¼º½ Ñ ¾¼¼¾ Ê ÙÑ ÓÙÑ ÒØ ÔÓÙÖ Ó Ø ÔÖ ÒØ Ö Ö ÒØ Ø Ò ÕÙ Ñ Ò ÙÚÖ Ò Ø Ø ÓÒ ³ ÒØÖÙ ÓÒ Ò Ð Ö Ð³ ÔÔÖÓ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ð º Ê Ø ÙÖ ÓÒØÖ

Plus en détail

¾

¾ ÖÚ Ñ ÒØ Ð Ò Ö ÅÓ Ð Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ÊÇÍ ÀÁ Ê ¾½ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ Ò Ö Ð Ø ½º½ ÆÓØ ÓÒ Ý Ø Ñ ÖÚ º¹ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ Ä Ø Ð ÓÑÑ Ò º º º º º º

Plus en détail

Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille

Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille ÓÒÒ Å Ö Â µ È Ð ÔÔ Å Ø Ù Î Ö ÓÒ ½º Ð ½»¼»½ ÁÍ̹ Ä ÐÐ ÄÁ Ä ÍËÌÄ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ë Ë Á Æ Ë Ì Ì ÀÆÇÄÇ Á Ë ÄÁÄÄ Íº ºÊº ³Áº º º º غ Å ß ÎÁÄÄ Æ ÍÎ ³ Ë É Ì Ðº ¼ ¾¼

Plus en détail

ÌÀ Ë Ç ÌÇÊ Ì Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÈÁ ÊÊ Ì Å ÊÁ ÍÊÁ ËÔ Ð Ø ÁÇÈÀ ËÁÉÍ ÅÇÄ ÍÄ ÁÊ ÈÖ ÒØ Ô Ö Ù ÐÐ ÙÑ Ë ÆÌÁÆÁ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÓØ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ÎÁ ËÙ Ø Ð Ì Î ÊË Ä ÈÊ Á ÌÁÇÆ Ä ËÌÊÍ ÌÍÊ ÌÊÁ ÁÅ ÆËÁÇÆÆ ÄÄ Ë ÈÁÆ Ä Ë ü

Plus en détail

ËÓÙ ¹ÈÖÓ Ø ÓÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÕÙ ÔÖ ÙÚ Ì ØÖ Ð ÓØ ÕÙ ÓÕ Ø Á ÐÐ ¹ÀÇÄ ÔÓÙÖ Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ð Ô¹ ÙØÓÑ Ø Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ö Ø Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð ÓØ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ô¹ ÙØÓÑ Ø Ø Ý Ø Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ð Ø ÒØ

Plus en détail

Ä ÇÆ Á Æ Ó ³ÇÊ Ê ¹¾¼¼¾ Ä Èȹ̹¾¼¼¾»¼¾ ÓÐ ÓØÓÖ Ð È Ý ÕÙ Ø ³ ØÖÓÔ Ý ÕÙ ÄÝÓÒ ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ú ÒØ Ð³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ä Í ÊÆ Ê ¹Ä ÇÆ ½ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù ÁÈÄÇÅ Ç ÌÇÊ Ì ÖÖ Ø Ù ¼ Ñ Ö ½ ¾µ ËÔ Ð Ø È Ý ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ Ô Ö Ä ÓÒ

Plus en détail

N f N 1. Ψ(Q 1,...,Q f ) propre = (Q κ ), ... A j1...j f. χ (κ) j κ. j 1 =1

N f N 1. Ψ(Q 1,...,Q f ) propre = (Q κ ), ... A j1...j f. χ (κ) j κ. j 1 =1 ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ð Ñ Ø Ó ÅÙÐØ ¹ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ì Ñ ¹ Ô Ò ÒØ À ÖØÖ Å Ì Àµº Ò ØØ ÌÅÅ ÁÒ Ø ØÙØ ÖÐ Ö Ö Ø ÍÅÊ ¾ ½ ¼½ ÍÒ Ú Ö Ø ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö ÁÁ ¹ ¼ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü ¼ Ö Ò µ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä ÝÒ Ñ ÕÙ ÕÙ ÒØ ÕÙ Ò Ø Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ð³

Plus en détail

P etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux http://www.lab ri.fr/ b ousquet

P etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux http://www.lab ri.fr/ b ousquet Ô Ø ÛÓÖ È Ø Ø ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú Å Ö ÐÐ ÓÙ Õ٠عŠÐÓÙ ÆÊË Ä ÊÁ ÓÖ ÙÜ ØØÔ»»ÛÛÛºÐ Ö º Ö» ÓÙ ÕÙ Ø Ä ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú ººº ³ ØÕÙÓ ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÑ ÒØ ÇÅÈÌ Ê κ ij ÖØ ÓÑÔØ Ö Ô Ðغ Ø Ð ÖÐ ÒÓÑ Ö Ö Ö ÒÓÑ Ö Ö ÒÓÑ

Plus en détail

Une infrastructure pour middleware adaptable

Une infrastructure pour middleware adaptable ÁÒ Ø ØÙØ Ê Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Æ ÒØ Une infrastructure pour middleware adaptable È ÖÖ ¹ ÖÐ Ú Ò Ö Ô Ö Ì ÓÑ Ä ÓÙÜ ÓÐ Å Ò Æ ÒØ ÁÒ Ø ØÙØ Ê Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Æ ÒØ ¾ ÖÙ Ð ÀÓÙ Ò Ö ºÈº ¾¾¼ ¹ ¾¾ Æ ÆÌ Ë Ê ÔÔÓÖØ ËØ Ë ÔØ

Plus en détail

arxiv:math/ v1 [math.ds] 5 Dec 2003

arxiv:math/ v1 [math.ds] 5 Dec 2003 Ä ËË Ë ³ÀÇÅÇÌÇÈÁ À ÅÈË Î Ì ÍÊË ÅÇÊË ¹ËÅ Ä Ë ÆË ËÁÆ ÍÄ ÊÁÌ ËÍÊ Ä Ë Á Ê Ë Ë Á ÊÌ arxiv:math/0312127v1 [math.ds] 5 Dec 2003 Ê ÙÑ º ÆÓÙ ÓÒ ÖÓÒ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ú Ö Ø Ñ Ò ÓÒ ØÖÓ ÓÑÔ Ø ÓÖ ÒØ Ð Ø Ò ÓÖ Ò Ð Ô Ö S

Plus en détail

Ê ÔÔÓÖØ Ø Ù ÐÐ ÙÑ Î Ð ÓÒ ¾ Ù Ò ¾¼¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö Á ÓÖ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ½ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ¾ Ä ÓÑ Ò ³ Ø Ú Ø ¾º½ Ñ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ö Ø ØÙÖ Ö ÙÜ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º

Plus en détail

Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance

Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance Afef Sellami To cite this version: Afef Sellami. Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à

Plus en détail

Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille

Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille ÓÒÒ Å Ö Â µ È Ð ÔÔ Å Ø Ù Î Ö ÓÒ ½º Ð ¼»¼»½ ÁÍ̹ Ä ÐÐ ÄÁ Ä ÍËÌÄ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ë Ë Á Æ Ë Ì Ì ÀÆÇÄÇ Á Ë ÄÁÄÄ Íº ºÊº ³Áº º º º غ Å ß ÎÁÄÄ Æ ÍÎ ³ Ë É Ì Ðº ¼ ¾¼

Plus en détail

arxiv:physics/ v1 [physics.acc-ph] 17 May 2005

arxiv:physics/ v1 [physics.acc-ph] 17 May 2005 arxiv:physics/0505113v1 [physics.acc-ph] 17 May 2005 Ð Ö Ø ÓÒ È ÖØ ÙÐ Ò ÙÒ ÈÐ Ñ Ü Ø Ô Ö ÙÒ Ä Ö º ÖÒ Ö Ä ÓÖ ØÓ Ö Ä ÔÖ Ò ¹Ê Ò Ù Ø ÓÐ ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ ÁÆ¾È ² ÆÊË ½½¾ È Ð Ù Ö Ò Å ÑÓ Ö Ñ Ø ³ Ð Ø Ø ÓÒ ÓÙØ ÒÙ Ð ½½

Plus en détail

Nanolithographie par anodisation locale en microscopie à force atomique sur le phosphore d'indium pour des applications optoélectroniques

Nanolithographie par anodisation locale en microscopie à force atomique sur le phosphore d'indium pour des applications optoélectroniques Année 2005 N d'ordre : 2005 ISAL 0096 THÈSE Nanolithographie par anodisation locale en microscopie à force atomique sur le phosphore d'indium pour des applications optoélectroniques Jury : Par Edern TRANVOUEZ

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø ÅÓÒØÖ Ð ÍÒ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ñ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ Ñ ÑÓ Ö ³ ÒØÖ ÔÖ Ô Ö ÇÐ Ú Ö Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÐØ ÖØ Ø Ò Ì ÔÖ ÒØ Ð ÙÐØ ØÙ ÙÔ Ö ÙÖ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö È

Plus en détail

Découverte et fourniture de services adaptatifs dans les environnements mobiles

Découverte et fourniture de services adaptatifs dans les environnements mobiles Découverte et fourniture de services adaptatifs dans les environnements mobiles Ouahiba Fouial To cite this version: Ouahiba Fouial. Découverte et fourniture de services adaptatifs dans les environnements

Plus en détail

ÓÐ ÓØÓÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ Ð³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Í Ê ÁÅ ÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒÒ Ò ÓÙÑ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ò ÓÒ ÔØÙ ÐРг ³ÓÒØÓÐÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ù ÓÚ Ù Ð ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð Å Ö ¾¼¼ ÔÓÙÖ

Plus en détail

POLYDOC : UN EXEMPLE D APPLICATION XML POUR LA CRÉATION PERSONNALISÉE DE POLYCOPIÉS Michel Cubero-Castan

POLYDOC : UN EXEMPLE D APPLICATION XML POUR LA CRÉATION PERSONNALISÉE DE POLYCOPIÉS Michel Cubero-Castan Cahiers GUTenberg GUT POLYDOC : UN EXEMPLE D APPLICATION XML POUR LA CRÉATION PERSONNALISÉE DE POLYCOPIÉS Michel Cubero-Castan Cahiers GUTenberg, no 35-36 (2000), p. 133-155.

Plus en détail

arxiv: v1 [math.ag] 18 Dec 2008

arxiv: v1 [math.ag] 18 Dec 2008 arxiv:0812.3527v1 [math.ag] 18 Dec 2008 ÉÍÁ ÁËÌÊÁ ÍÌÁÇÆ Ì Á Ê ÆÌÁ ÁÄÁÌ ÀÙ Ý Ò Ê ÙÑ º ÇÒ ÔÖÓÔÓ ÙÒ Ö Ø Ö ³ ÕÙ ØÖ ÙØ ÓÒ Ô Ö Ð Ö ÒØ Ð Ø Ö¹ Ø Ò ÒÚ Ö ÒØ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ º ÓÑ Ò Ú Ð Ñ Ø Ó Ô ÒØ Ø Ð Ñ ÙÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ö

Plus en détail

Oscillateur. Etireur Amplificateurs Compresseur. Source laser de pompe pour crée une inversion de population dans les milieux amplificateur.

Oscillateur. Etireur Amplificateurs Compresseur. Source laser de pompe pour crée une inversion de population dans les milieux amplificateur. Ä Ð Ö ÑØÓ ÓÒ º Æ ÓÐ ÄÄÁ ÓÙ Ð Ö Ø ÓÒ Â Ò Í Ø Â Ò È ÖÖ ÏÇÄ Ù Ä ÓÖ ØÓ Ö ËÔ ØÖÓÑ ØÖ ÁÓÒ ÕÙ Ø ÅÓÐ ÙÐ Ö ÄÝÓÒ½º Ì Ð Ñ Ø Ö Ê Ñ Ö Ñ ÒØ ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ÈÖ Ò Ô ³ÙÒ Ò Ð Ö ÑØÓ ÓÒ ÑÔÐ º ½º½ Ä³Ó ÐÐ Ø ÙÖº º º º º º º

Plus en détail

ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÅÇÆÌÊ Ä ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ÅÇÆÌÊ Ä ØØ Ø ÒØ ØÙÐ ÌË Ä ÇÊÁÌÀÅË ÇÊ ÅÁÆÁÅÍÅ ËÍÅ¹Ç ¹ËÉÍ Ê Ë ÄÍËÌ ÊÁÆ ÔÖ ÒØ Ô Ö ÄÇÁË Ò Ð Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù ÔÐÑ È ÐÓ ÓÔ

ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÅÇÆÌÊ Ä ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ÅÇÆÌÊ Ä ØØ Ø ÒØ ØÙÐ ÌË Ä ÇÊÁÌÀÅË ÇÊ ÅÁÆÁÅÍÅ ËÍÅ¹Ç ¹ËÉÍ Ê Ë ÄÍËÌ ÊÁÆ ÔÖ ÒØ Ô Ö ÄÇÁË Ò Ð Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù ÔÐÑ È ÐÓ ÓÔ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÅÇÆÌÊ Ä Ì Ä ÇÊÁÌÀÅË ÇÊ ÅÁÆÁÅÍÅ ËÍÅ¹Ç ¹ËÉÍ Ê Ë ÄÍËÌ ÊÁÆ ÆÁ Ä ÄÇÁË È ÊÌ Å ÆÌ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë Ì ÆÁ ÁÆ ÍËÌÊÁ Ä ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ÅÇÆÌÊ Ä ÌÀ Ë ÈÊ Ë ÆÌ Æ ÎÍ Ä³Ç Ì ÆÌÁÇÆ Í ÁÈÄ Å ÈÀÁÄÇËÇÈÀÁ Ç ÌÇÊ È º ºµ Å

Plus en détail

Fermilab FERMILAB-THESIS-2003-15

Fermilab FERMILAB-THESIS-2003-15 Fermilab FERMILAB-THESIS-2003-15 ÈÈŹ̹¾¼¼ ¹¼ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ä Å ÁÌ ÊÊ Æ Á ¹Å ÊË ÁÄÄ ÁÁ ÍÄÌ Ë Ë Á Æ Ë ÄÍÅÁÆ ½ Ú ÒÙ ÄÙÑ ÒÝ ½ ¾ Å ÊË ÁÄÄ Ü ¼ Ê Æ ÌÀ Ë Ç ÌÇÊ Ì ËÔ Ð Ø È Ý ÕÙ Å Ø Ñ Ø ÕÙ È Ý ÕÙ È ÖØ ÙÐ Ø ÅÓ Ð Ø ÓÒ

Plus en détail

Æ Æ ³ÓÖ Ö ÍÒ Ú Ö Ø È ÊÁË ¹ Ò ÖÓØ Í Ê ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ Ë ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù ÔÐÑ Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ËÔ Ð Ø Å Ø Ó È Ý ÕÙ Ò Ì Ð Ø Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö Ö ÓÙÖ Ð Ñ Ö ¾¼¼½ ÇÆÌÊÁ ÍÌÁÇÆ Ä Ì ÊÅÁÆ

Plus en détail

a = OM = x(t) u x +y(t) u y +z(t) u z d u x dt = d u y dt d OM = dx u x +dy u y +dz u z r = OH = Ø Ò M г Ü (Oz) θ = ( Ox, OH) z = HM

a = OM = x(t) u x +y(t) u y +z(t) u z d u x dt = d u y dt d OM = dx u x +dy u y +dz u z r = OH = Ø Ò M г Ü (Oz) θ = ( Ox, OH) z = HM ij ÒØ Ð Ù ÓÙÖ Ò ÈÀ ËÁÉÍ ÄÝ Ù Ø Ú Ð ËÔ ÈÌ Ì Ð Ñ Ø Ö Å Ò ÕÙ ½º Ò Ñ Ø ÕÙ ¾º ÈÖ Ò Ô Ð ÝÒ Ñ ÕÙ º Ò Ö ³ÙÒ ÔÓ ÒØ Ñ Ø Ö Ð º ÅÓÙÚ Ñ ÒØ ³ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò ÙÒ ÑÔ Ð ØÖ ÕÙ ÓÙ Ñ Ò Ø ÕÙ º Ì ÓÖ Ñ Ù ÑÓÑ ÒØ Ò Ø ÕÙ º ÅÓÙÚ

Plus en détail

arxiv:math/ v1 [math.ag] 7 Dec 2004

arxiv:math/ v1 [math.ag] 7 Dec 2004 arxiv:math/0412152v1 [math.ag] 7 Dec 2004 ùÌÀ ÇÊÁ ÉÍÁÎ ÊÁ ÆÌ Ë ÌÇÍÊË ÇÌ̺ ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ü Ä ËÌÊÍ ÌÍÊ ÅÍÄÌÁÈÄÁ ÌÁÎ Ä Ã¹ÌÀ ÇÊÁ ÉÍÁÎ ÊÁ ÆÌ Ë Î ÊÁ Ì Ë Ê È Í Ô Ö Å ØØ Ù Ï ÐÐ Ñ Ì Ð Ñ Ø Ö ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒº º º º º

Plus en détail

Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition

Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition Université defranche-comté École doctorale Sciences Pour l Ingénieur et Microtechniques U.F.R. des Sciences et Techniques Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition THÈSE présentée

Plus en détail

Ä Ö Ò Ø ÓÒ Ð ¾ ÕÙ ÔÙ ÙÜ ÑÓ Ø Ö ÓÒÒ Ò ØÖ ÔÖÙ ÒØ Ò Ð Ó ÚÓ Ò Ù ÐÐ ÒØ Ô Ö Ó ÔÖÓÔÖ ÒØ Ò ÐÐ Ø ÔÖ Ô Ö ÒØ Ù ÓÑ Ø ÕÙ Ò ÙÒ Ô Ø Ø Ð Ô Ò Ö ÑÙ Ø ÓÙ ÖÓÙ ÐÐ Ø Ø Ö ÒØ

Ä Ö Ò Ø ÓÒ Ð ¾ ÕÙ ÔÙ ÙÜ ÑÓ Ø Ö ÓÒÒ Ò ØÖ ÔÖÙ ÒØ Ò Ð Ó ÚÓ Ò Ù ÐÐ ÒØ Ô Ö Ó ÔÖÓÔÖ ÒØ Ò ÐÐ Ø ÔÖ Ô Ö ÒØ Ù ÓÑ Ø ÕÙ Ò ÙÒ Ô Ø Ø Ð Ô Ò Ö ÑÙ Ø ÓÙ ÖÓÙ ÐÐ Ø Ø Ö ÒØ ÉÙ ÐÕÙ Ô ³À ØÓ Ö Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØØ Ð Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓ ÕÙ ÐÕÙ ÔÐÓÒ Ò Ð³À ØÓ Ö ÐÓÒ Ö ÒØ ÑÓ º ÚÓ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ú Ò Ñ ÒØ ØÓÖ ÕÙ ÒÐÙ Ò Ð³ ÒØÖ Ù ³ÙÒ ÖÓÑ Ò Ú Ð Ô ØÖ Ï Ø ÖÐÓÓ Å Ö Ð Ø Ð³ÓÙÔ Ø ÓÒ ÔÖÙ ÒÒ ½ ¼ Ò ÓÙÐ

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø È Ö º ÖÓØ È Ö µ ÓÐ ÓØÓÖ Ð ³ ØÖÓÒÓÑ Ø ³ ØÖÓÔ Ý ÕÙ ³ÁÐ Ö Ò Ç ÌÇÊ Ì Í Ê È Ý ÕÙ ËÔ Ð Ø ØÖÓÔ Ý ÕÙ Ø ÁÒ ØÖÙÑ ÒØ Ø ÓÒ Ó Â Ê ÅÁ ÇÁËËÁ Ê ØÙ ÓÑ Ø Ò ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Ñ ÐÐ Ñ ØÖ ÕÙ Ò ÐÝ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÑÓÐ ÙÐ Ë À ¾ Ë

Plus en détail

Ì ÖÖÝ ÅÓÝ ÙÜ ÖÓÙÔ Å Ë ÂÙ ÐÐ Ø ¾¼¼¾ Ì Ò ÕÙ ÑÙÐØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÙØ ÓÒ Ð³ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ò ÙÒ Ò ÐÓ Ø ÕÙ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ù ØÖ ÓÖ Ø Ö Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º Ö Ñ ¹ Ö Ó¹ Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º ËÓÔ ³ ÑÓÙÖ ÈÖÓ º ÖÒ Ö Ô Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓØÓÖ

Plus en détail

ÓÒ ÔØ ÓÒ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÙØ Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓØÓÓÐ Ø ÓÒ Ð ÑÙÐØ Ø ÃÅÈ ÃÓÙ Ò ¼»¼»¾¼¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½º½ ÓÒØ ÜØ Ò Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ö Ù Ø º º

Plus en détail

COURS D ANALYSE MATHEMATIQUE

COURS D ANALYSE MATHEMATIQUE COURS D ANALYSE MATHEMATIQUE Chapitre 4 Equations différentielles Version 2009 Année scolaire 2010-2011 Cours Auteurs de la Ressource Pédagogique Charnay Michel Dubois Gérard Table des matières 1 Introduction

Plus en détail

SUR LA CONVERGENCE D'UN SYSTÈME DIFFÉREN- TIEL DE PREMIER ORDRE, VECTORIEL, ORDINAIRE, LINÉAIRE NON-HOMOGÈNE ET NON-AUTONOME

SUR LA CONVERGENCE D'UN SYSTÈME DIFFÉREN- TIEL DE PREMIER ORDRE, VECTORIEL, ORDINAIRE, LINÉAIRE NON-HOMOGÈNE ET NON-AUTONOME --~ LABORATOiRE LYSE ET MODÉLiSA- TiON DE SYSTEMES POUR AIDE À LA DÉCISION. jlté DE RECHERCHE ASSOCIÉE CNRS ESA 7024. UNiVERSITE PARIS DAUPHINE PLACE DU \1' DE LATTRE DE TASS GNY F-75775 PARIS CEDEX 16.

Plus en détail

THÈSE. En vue de l obtention du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE. Présentée et soutenue par Mélanie SORIANO Le 30 septembre 2009

THÈSE. En vue de l obtention du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE. Présentée et soutenue par Mélanie SORIANO Le 30 septembre 2009 THÈSE En vue de l obtention du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE Délivré par : l Université Toulouse III - Paul Sabatier Discipline ou spécialité : Astérosismologie Présentée et soutenue par Mélanie

Plus en détail

Na +, - OOC COO -,NH 4. NH 4 +, - OOC COO -,Na + La chance ne sourit qu'aux esprits bien préparés Louis Pasteur

Na +, - OOC COO -,NH 4. NH 4 +, - OOC COO -,Na + La chance ne sourit qu'aux esprits bien préparés Louis Pasteur ÍÒ Ø ³ Ò Ò Ñ ÒØ Ä ¾¼ +, - -, 4 + 4 +, - -, + L chnc n sourit qu'ux sprits bin préprés Louis Pstur ÓÙÑ ÒØ ³ ÓÑÔ Ò Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ò ÕÙ ¾¼¼ µ ÈÖ Ñ Ö Ô ÖØ ËØÖÙØÙÖ Äº ÂÙÐÐ Ò ¾ ÈÖ Ñ ÙÐ ÓÙÑ ÒØ Ø Ò Ú Ò Öº ÁÐ Ò Ð Ö

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ê Ð ÌÓÙÖ ÓÐ ÓØÓÖ Ð Ë ÒØ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ ÒÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ö ¾¼¼¾¹¾¼¼ BLOIS CHINON ÌÀ Ë ÈÇÍÊ Ç Ì ÆÁÊ Ä Ê Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÌÇÍÊË ÔÐ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö Æ ÓÐ Ä ÊÇ À Ð Ñ Ö

Plus en détail

DÉVELOPPEMENT ET VALIDATION DE MÉTHODES DOSIMÉTRIQUES EN LIGNE POUR LE TRAITEMENT DU CANCER DE LA PROSTATE

DÉVELOPPEMENT ET VALIDATION DE MÉTHODES DOSIMÉTRIQUES EN LIGNE POUR LE TRAITEMENT DU CANCER DE LA PROSTATE DÉVELOPPEMENT ET VALIDATION DE MÉTHODES DOSIMÉTRIQUES EN LIGNE POUR LE TRAITEMENT DU CANCER DE LA PROSTATE THÈSE N O 3267 (2005) PRÉSENTÉE À LA FACULTÉ SCIENCES DE BASE Institut de physique de l'énergie

Plus en détail

¾ Ê Å Ê Á Å ÆÌË Å Ö Ñ Ö Ñ ÒØ ÚÓÒØ ³ ÓÖ ÑÓÒ ÔÓÙ ÒÒ ¹Ä ÙÖ Õ٠٠г Ð ÚÖ Ø Õ٠ѳ Ð Ö Ð Öº ÁÐ ÚÓÒØ Ò Ù Ø ÙÜ ÐÙ Ö Ñ Ð Ø ÒØ Ø ÓÐÐ ÓÖ Ø ÙÖ Ú Ð ÕÙ Ð Ô ÖØ Ð Ñ Ñ

¾ Ê Å Ê Á Å ÆÌË Å Ö Ñ Ö Ñ ÒØ ÚÓÒØ ³ ÓÖ ÑÓÒ ÔÓÙ ÒÒ ¹Ä ÙÖ Õ٠٠г Ð ÚÖ Ø Õ٠ѳ Ð Ö Ð Öº ÁÐ ÚÓÒØ Ò Ù Ø ÙÜ ÐÙ Ö Ñ Ð Ø ÒØ Ø ÓÐÐ ÓÖ Ø ÙÖ Ú Ð ÕÙ Ð Ô ÖØ Ð Ñ Ñ ½ ÄÁÎÊ Â Æ¹ Î Ë Ä ÄÄÇÍ Ä Á ÍÄÇÁË ÊÆ ÌË ÊÇÍÌ Æ Ê Æ Ê ÄÄ ¾ Ê Å Ê Á Å ÆÌË Å Ö Ñ Ö Ñ ÒØ ÚÓÒØ ³ ÓÖ ÑÓÒ ÔÓÙ ÒÒ ¹Ä ÙÖ Õ٠٠г Ð ÚÖ Ø Õ٠ѳ Ð Ö Ð Öº ÁÐ ÚÓÒØ Ò Ù Ø ÙÜ ÐÙ Ö Ñ Ð Ø ÒØ Ø ÓÐÐ ÓÖ Ø ÙÖ Ú Ð ÕÙ Ð Ô ÖØ Ð

Plus en détail

E(x, y, ω, t)p(ωt + φ(x, y, ω, t))dω. T = 1 ν = 2π ω. 1 x ]2kπ, π + 2kπ[ k Z P(t) = 1 x ]π + 2kπ, 2(k + 1)π[ k Z

E(x, y, ω, t)p(ωt + φ(x, y, ω, t))dω. T = 1 ν = 2π ω. 1 x ]2kπ, π + 2kπ[ k Z P(t) = 1 x ]π + 2kπ, 2(k + 1)π[ k Z Å Ø Ö Á Å Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ù Ò Ð Ú Î ÒÒÓØ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ Ä Ò ÙÜ ½º½ Æ ØÙÖ Ò ÙÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È Ö ÔØ ÓÒ Ò ÙÜ

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø Ð Å Ø ÖÖ Ò Ü¹Å Ö ÐÐ ÁÁ Ä ÓÖ ØÓ Ö Ù ÒØÖ È Ý ÕÙ È ÖØ ÙÐ Å Ö ÐÐ ØØ Ø ÒØ ØÙÐ ØÙ Ò Ø ÓÒ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ ËÝ Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ò ÐÐ ÁÊ ¹ ØÖ ÙØ ÁÒ Ö ØÖÙØÙÖ Û Ø Ê ÑÓØ ÒØ ÓÒØÖÓÐ ÔÖ ÒØ Ô Ö Î Ò ÒØ ÖÓÒÒ ÁÒ Ò ÙÖ Ê

Plus en détail

Représentation numérique de l information

Représentation numérique de l information Représentation numérique de l information 0 Représentation numérique de l information Durée 2h00 TP 1 : Représentation numérarique des nombres TP 2 : Représentation numériques des textes et des images

Plus en détail

ÇÆ ÈÌÁÇÆ Ì Ê ÄÁË ÌÁÇÆ ³ÍÆ ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ËÌÁÇÆ Ê Ë Í Ë ÇÅÈÇË ÆÌË Ê È ÊÌÁË Ô Ö ÅÓ Ñ Ö Þ Ñ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö Ñ ØÖ Ò ÅºËºµ ÍÄÌ Ë Ë Á Æ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ËÀ Ê ÊÇÇÃ

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des

Plus en détail

ËÓÙ ¹ÈÖÓ Ø ÓÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÕÙ ÔÖ ÙÚ Ì ØÖ ÁÒØ Ö ÒØÖ ÓÕ Ø Ä Æ Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ö Ø Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö ÓÒ Ð ÓÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÓÕ Ø Ä Æ Ø Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ð Ù Ö ÔÖ ÙÚ ³ Ð Ø Ô Ö Ö Ö ØÙÖ º ÙØ ÙÖ µ Ù ØÐ Ù ÐÚ Ö Ó È ÖÖ

Plus en détail

JW = 18,7cm Ø JC = 16,5cmº. RA = 10,9cm Ø AF = 6cmº. EY = 2,6cm Ø Y R = 1cmº. XG = 3cm Ø MG = 1,6cmº

JW = 18,7cm Ø JC = 16,5cmº. RA = 10,9cm Ø AF = 6cmº. EY = 2,6cm Ø Y R = 1cmº. XG = 3cm Ø MG = 1,6cmº È ½» Ö Ú ÓÒ Ð Exercice 1 ½º ËÓ Ø LRY ÙÒ ØÖ Ò Ð Ö Ø Ò Ð Ò R Ø Ð ÕÙ Y R = 10,5cm Ø LR = 5,6cmº ÐÙÐ Ö Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Y Lº ¾º ËÓ Ø WJ ÙÒ ØÖ Ò Ð Ö Ø Ò Ð Ò Ø Ð ÕÙ JW = 18,7cm Ø J = 16,5cmº ÐÙÐ Ö Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Wº Exercice

Plus en détail

ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ò Â Ú Ü Ò Ö Å ½ ÔØ Ñ Ö ¾¼½ Ì Ñ Ø Ö ½ ÆÓØ ÓÙÖ ¾ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º½º½ À Ó ÏÓÖ º º º

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø Ä ÙÐØ Ë Ò ÔÔÐ ÕÙ ÓÐÐ ÓØÓÖ Ø Ë Ò Ð³ÁÒ Ò ÙÖ Ö Ø ØÙÖ ÓÐÓ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ä Ú ÐÓÖ Ø ÓÒ Ê Ù ÖÓÝ Ø Å Ø ÐÐ ÕÙ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓ ÒØ Ö Ì ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö ÓØ ÙÖ Ò Ë Ò Ð³ÁÒ Ò ÙÖ Ô Ö È ÖÖ ¹ Ö ÒÓ Ê

Plus en détail

Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides:

Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides: Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides: méthode Optimisée d Orde 2. Caroline Japhet To cite this version: Caroline Japhet. Méthode de décomposition

Plus en détail

¹ËÁÊ ¹ Ê ÔÔÓÖØ Ø ÈÖÓ Ø Ä Ò Ø Ê Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ó Ò Æ Ó Ò Ö Ñ ÒØ ÀÙ ÖØ Æ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼¾ ¾ Ì Ð Å Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ Ø Ø Ð³ ÖØ ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Plus en détail

Études de cas en analyse des données

Études de cas en analyse des données Études de cas en analyse des données Bernard Colin (Éditeur) Départements de mathématiques et d informatique Faculté des Sciences Université de Sherbooke Rapport de recherche No 86 1 AVANT-PROPOS Ce rapport,

Plus en détail

4. Gestion des tâches

4. Gestion des tâches ÁÈ ¾ ÚÖ Ö ¾¼½¼ ½ Ü Ñ Ò Ý Ø Ñ Ø ÑÔ ¹Ö Ð È ÖØ Á ÙÖ ÓÒ ÐÐ ¼ Ñ Ò ÈÓÒ Ö Ø ÓÒ ½¼ ÔÓ ÒØ ÙÖ ¾¼ ÓÙÑ ÒØ ÓÙÖ Ø ÐÙÐ ØÖ ÙØÓÖ º Ä Ù Ø ³ ØÙ Ø Ð Ý Ø Ñ ³ ÜÔÐÓ Ø Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö Ð ÇË Ãº ÇÒ ÓÙÖÒ Ø ÙÒ Ö Ø ÜØ Ò ÝÒØ Ü Ó Ð ÔÓÙÖ

Plus en détail

Ä Ù Ù ÊÇÇÌ Ö ÔÓÙÖ Ä ÒÙÜ Ö ÙÑ Ö º ÙÑ Ä ÒÙܺ ͺÇÖ Ö º ÙÑ Ö Ò ÜºÓÖ Î Ö ÓÒ ¾º ¾½ Ë ÔØ Ñ Ö ½ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÈÖ Ñ ÙÐ ½ ½º½ À ØÓ Ö Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Plus en détail

Formules de Taylor. Applications.

Formules de Taylor. Applications. CAPES 27 Décembre 27 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette leçon est celui du Deug. Pré-requis. Continuité, dérivabilité, inégalité des accroissements finis,

Plus en détail

TUTORAT ELECTRONIQUE EN ANALYSE MATHEMATIQUE - TEAM

TUTORAT ELECTRONIQUE EN ANALYSE MATHEMATIQUE - TEAM TUTORAT ELECTRONIQUE EN ANALYSE MATHEMATIQUE - TEAM 2010 Année scolaire 2010-2011 Cours / Exercices Auteurs de la Ressource Pédagogique Charnay Michel Dubois Gérard Jai Mohammed Tutorat Electronique en

Plus en détail

IDIAP IDIAP. Martigny - Valais - Suisse

IDIAP IDIAP. Martigny - Valais - Suisse R E S E A R C H R E P O R T IDIAP IDIAP Martigny - Valais - Suisse ÁÆØ Ö Ø Ò ËÈ ÓÙ Ø Ò Ð Ò Ù Ø ÓÒ ÌÖ ÒØ Ð Ò ËÝ Ø Ñ Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÙÐ ÖÒ Ö À ÖÚ ÓÙÖÐ Ö Å ÖØ Ò Ê Ñ Ò Â Ò¹ Ö ÔÔ Ð Ö Á Á ÈßÊÊ ¹¾½ ÆÓÚ Ñ Ö ½ Ë Ð Ó

Plus en détail

Informatique et algorithmique avec le logiciel Python en CPGE scientifique. BÉGYN Arnaud

Informatique et algorithmique avec le logiciel Python en CPGE scientifique. BÉGYN Arnaud Informatique et algorithmique avec le logiciel Python en CPGE scientifique BÉGYN Arnaud 9 août 2015 2 Table des matières 1 Cours de première année 7 1 Structures de données en Python............................

Plus en détail

z x h ÙÖ ½ ÓÑØÖ Ù ÔÖÓÐѺ ½º ÁØÖÓÙØÓ ÁÐ Ø ÓÙ ÕÙ Ù ÓÙ Ó ÔÖÓÖ ÓØ Ý ØÑ Æ ÔÓÙÖ ÔÖ Ð³Ö ÚÙ Ð Ó ÂÖÐ ÂÖÐ ½½µ ÓØ ÐÖÑØ ÙØÐ ÔÓÙÖ ÑÓÖØÖ Ð ÐÔÓØ Ð ÔÓÖØ Ù ÔÖÓÖ ÓØ Ú ÓÑÑ Ý ØÑ ÔÖÓØØÓ ÓØÖ ÚÓÖ ÔÖ ÜÑÔÐ ÖÑ ² ÇÙÑÖ ½ ÓÙ ÐÙ ²

Plus en détail

Chapitre 11 DÉRIVÉES - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

Chapitre 11 DÉRIVÉES - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Chapitre DÉRIVÉES - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Mohamed TARQI 2 mars 2006 Table des matières Dérivabilité - Différentiébilité 2. Dérivée,dérivée à droite,dérivée à gauche................. 2.2 Différentiabilité

Plus en détail

Exercices de probabilités

Exercices de probabilités Exercices de probabilités EXERCICE 1 Dans un jeu de 32 cartes, on tire au hasard une première carte, on la remet dans le paquet puis on tire une deuxième carte. a) Déterminer le nombre d issues de l expérience.

Plus en détail

Programme et actes. 6 ème SYMPosium en Architectures nouvelles de machines Organisé conjointement avec RenPar'12 19-22 juin 2000, Besançon

Programme et actes. 6 ème SYMPosium en Architectures nouvelles de machines Organisé conjointement avec RenPar'12 19-22 juin 2000, Besançon ARP Sympa - Programme et actes Programme et actes 6 ème SYMPosium en Architectures nouvelles de machines Organisé conjointement avec RenPar'12 19-22 juin 2000, Besançon Pas d'utilisateur identifié Introduction

Plus en détail

Thèse présentée par. pour obtenir le titre de DOCTEUR de L UNIVERSITÉ D ÉVRY VAL D ESSONNE

Thèse présentée par. pour obtenir le titre de DOCTEUR de L UNIVERSITÉ D ÉVRY VAL D ESSONNE Thèse présentée par Ð Ñ ÒØ ÇÁÆ pour obtenir le titre de DOCTEUR de L UNIVERSITÉ D ÉVRY VAL D ESSONNE Spécialité : ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÍÒ Ñ Ø Ó Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ô ÖØ Ö Ô Ø ÓÒ Ð Ö ÕÙ Date de soutenance : lundi 9 juillet

Plus en détail

Le changement climatique: Comment estimer et réduire les incertitudes sur les projections?

Le changement climatique: Comment estimer et réduire les incertitudes sur les projections? Le changement climatique: Comment estimer et réduire les incertitudes sur les projections? Camille Risi Chercheuse CNRS au Laboratoire de Météorologie Dynamique (Paris) 29 aout 2012 Le changement climatique

Plus en détail

Introduction au cours Pipeline logiciel Fusion de boucles. Sans contraintes de ressources. Optimisations des durées de vie

Introduction au cours Pipeline logiciel Fusion de boucles. Sans contraintes de ressources. Optimisations des durées de vie Outline Introduction au cours 1 Introduction au cours Compilation et optimisations de codes Des p'tites boucles, toujours des p'tites boucles Exemples de spécicités architecturales 2 3 Intérêts et problèmes

Plus en détail

GeoProof. Manuel de référence. Copyright c 2006 Julien Narboux

GeoProof. Manuel de référence. Copyright c 2006 Julien Narboux GeoProof Manuel de référence Copyright c 2006 Julien Narboux Bienvenue dans le manuel de référence de GeoProof. Ce manuel est composé de neuf chapitres : 1. Le chapitre «Installation» décrit la procédure

Plus en détail

Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ Å ÑÓ Ö Å Ø Ö¾ ÙÜ ÓÖÐÓ ËÓÙ Ð Ö Ø ÓÒ È ØÖ ÓÙÝ Ö ØÆ ÓÐ Å Ö Ý ÙÝ Ð ÒÆ Ú ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ Ò Ö ÔÔÓÖØ ÒÓÙ ØÙ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø ³ÙÒ Ø Ø Ò Ð Ê ÙÑ Ú ÙÒ ÙÐ ÓÖÐÓ ºÆÓÙ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ³ Ð ØÆȹÓÑÔÐ ØÔÓÙÖÙÒ

Plus en détail

Exercices du bac et traduction pour Xcas. Renée De Graeve avec la participation de B. Parisse et G. Connan

Exercices du bac et traduction pour Xcas. Renée De Graeve avec la participation de B. Parisse et G. Connan Exercices du bac et traduction pour Xcas Renée De Graeve avec la participation de B. Parisse et G. Connan 14 mars 2007 Table des matières I - Sujet 1.....................................................

Plus en détail

Dérivabilité et convexité

Dérivabilité et convexité Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Dérivabilité et convexité Bernard Ycart D accord, vous n avez pas attendu ce chapitre pour dériver des fonctions Attention cependant à deux nouveautés

Plus en détail

Conseils aux futurs préparationnaires

Conseils aux futurs préparationnaires Conseils aux futurs préparationnaires Vous venez de terminer votre scolarité en Lycée et entrez maintenant dans l enseignement supérieur, en classe préparatoire ECS. À partir de septembre, c est près de

Plus en détail

Analyse approfondie - Plan du cours 2009

Analyse approfondie - Plan du cours 2009 Analyse approfondie - Plan du cours 2009 10 semaines, 2x1h30 heures par semaine Table des matières 1 Les suites 1 1.1 Convergence, divergence..................... 2 1.2 Construction des nombres réels.................

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Feuilles de TD du cours d Algèbre S4

Licence M.A.S.S. Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Université Paris I, Panthéon - Sorbonne Licence M.A.S.S. Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Jean-Marc Bardet (Université Paris, SAMOS) U.F.R. 7 et SAMOS (Centre d Economie de la Sorbonne, équipe MATISSE)

Plus en détail