TD Master 2 Martingales et calcul stochastique

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1 Université d Orléans Master Recherche de Mathématiques 0- TD Master Martingales et calcul stochastique Corrigé des exercices du chapitre 6 Théorèmes de convergence Exercice 6. On considère le processus de Galton Watson Z n introduit dans l exercice Montrer que X n Z n /µ n converge dans L vers une variable aléatoire X d espérance égale à. Nous avons montré précédemment que E X σ E X m µ m+ σ µ m+ σ µµ <. Par la proposition 6.. du cours, E X n est uniformément bornée, donc X n converge dans L vers une variable aléatoire X. Comme X n converge à fortiori dans L, on a E X, et également P {X > 0} ρ.. On suppose p 0 > 0. A l aide de la loi 0 de Lévy, montrer que Z n converge presque sûrement vers une variable aléatoire Z : Ω {0, + }. Indications : Soit A {lim n Z n < } et B { n: Z n 0}. Montrer que dans A, on a lim n E B F n B, et en déduire que A B. Conclure en établissant que que Z dans A c et Z 0 dans B. S il y a Z n individus au temps n, alors Z n+ 0 si et seulement si chacun des Z n individus n a aucun descendant, ce qui arrive avec probabilité p Zn 0. Ceci montre que E {Zn+ 0} F n p Zn 0, et donc que E B F n p Zn 0. Or si ω A, alors il existe L Lω tel que Z n ω Lω pour tout n. Il suit que lim n E B F n ω p L 0 pour ces ω. Mais par la loi 0 de Lévy, cette limite vaut B ω. Par conséquent, B ω pour tout ω A, ou encore A B. D une part, par définition, Z dans A c. D autre part, B {lim n Z n 0} et donc Z 0 dans B. Ceci montre qu en fait A B {Z 0} et A c {Z }. Exercice 6. Un joueur dispose initialement de la somme X 0. Il joue à un jeu de hasard, dans lequel il mise à chaque tour une proportion λ de son capital, avec 0 < λ. Il a une chance sur deux de gagner le double de sa mise, sinon il perd sa mise. L évolution du capital X n en fonction du temps n est décrite par X n+ λx n + λx n ξ n n 0 où les ξ n sont i.i.d., avec P {ξ n } P {ξ n 0} /.. Montrer que X n est une martingale. Par construction, ξ n est indépendant de F n σξ 0,..., ξ n. Par conséquent E ξ n F n E ξ n, et il suit que E X n+ F n λx n + λx n X n.. Calculer E X n. Comme X n est une martingale, E X n E E X n F 0 E X 0.. Discuter la convergence presque sûre de X n lorsque n. X n étant une surmartingale positive donc X n une sous-martingale bornée supérieurement, elle converge presque sûrement vers une variable aléatoire intégrable X.

2 4. Calculer E X n par récurrence sur n. Comme ξ n est indépendante de F n, avec E ξ n et E ξ n, on obtient E X n+ + λ E X n donc E X n + λ n. 5. Que peut-on en déduire sur la convergence dans L de X n? La suite E X n diverge, donc la suite des X n ne converge pas dans L. 6. Déterminer le processus croissant X n. On a E X n+ X n F n λ X ne ξ n λ X n, d où X n n m0 E X m+ X m F m λ n m0 X m. 7. On suppose que le joueur mise à chaque tour la totalité de son capital, c est-à-dire λ. a Calculer explicitement la loi de X n. Comme X n+ X n ξ n, on vérifie par récurrence que X n Ω {0, n } avec P {X n n } n, b Déterminer la limite presque sûre de X n. P {X n 0} n. Comme P {X n 0} lorsque n et X n ω 0 implique X m ω 0 pour tout m n, X n converge presque sûrement vers X 0. c Discuter la convergence de X n dans L. Les X n sont-ils uniformément intégrables? On a E X n X E X n E X n pour tout n, donc X n ne converge pas dans L. Les X n ne peuvent donc pas être uniformément intégrables. On peut aussi le voir directement à partir de la définition d intégrabilité uniforme : on a E X n {Xn>M} n P { X n > M } { si n > M, 0 sinon. Par conséquent, sup n E X n {Xn>M} pour tout M. d Commenter ces résultats - est-ce que vous joueriez à ce jeu? Exercice 6. C est à vous de voir sachant que vous allez perdre votre mise presque sûrement. Toutefois, il y a une probabilité non nulle de gagner beaucoup d argent après tout nombre fini de tours. Un joueur mise sur les résultats des jets indépendants d une pièce équilibrée. A chaque tour, il mise une somme S 0. Si la pièce tombe sur Pile, son capital augmente de S, si elle tombe sur Face, le joueur perd sa mise et donc son capital diminue de S. Une stratégie populaire en France au XVIIIe siècle est appelée La Martingale. Elle est définie comme suit:

3 le joueur s arrête de jouer dès qu il a gagné la première fois dès le premier Pile; il double sa mise à chaque tour, c est-à-dire qu il mise la somme S n n au nième tour, tant qu il n a pas gagné. Soit Y n le capital du joueur au temps n après n jets de la pièce. On admettra que le capital initial est nul, et que le joueur a le droit de s endetter d une somme illimitée, c est-à-dire que Y n peut devenir arbitrairement négatif. Soit X n le capital au temps n d un joueur misant un Euro à chaque tour.. Montrer que la stratégie est prévisible, et écrire Y n sous la forme Y n H X n en fonction du processus {X n } n 0. On a Y n Y n + H n X n X n avec H n n {X,X,...,X n n} qui est clairement prévisible.. Montrer que {Y n } n 0 est une martingale. E Y n F n Y n + H n E X n X n F n Y n + H n E X n X n Y n.. Déterminer le processus croissant Y n. Calculer E Y n et discuter la convergence de Y n dans L. On a E Y n Y n F n H n donc Y n n H m. Comme E H m m P {X, X,..., X n n} m+, on obtient E Y n n m+ 4 n. Par conséquent, Y n ne converge pas dans L. 4. Déterminer l image de Y n, sa loi, et discuter la convergence presque sûre de Y n. Quelle est sa limite? Par inspection, on voit que Y n prend les valeurs et n, avec P {Y n n } n si l on a perdu n fois et donc P {Y n } n. On observe que E Y + n pour tout n, donc Y n converge presque sûrement vers une variable Y. L expression de la loi de Y n montre que Y presque sûrement, c est-à-dire qu on aura gagné un Euro avec probabilité. 5. Y n converge-t-elle dans L? Non, car E Y n 0 E Y. On suppose maintenant que la banque n admet pas que le joueur s endette de plus qu une valeur limite L on pourra supposer que L k pour un k. Par conséquent, le joueur est obligé de s arrêter dès que son capital au temps n est inférieur à L + n+. Notons Z n ce capital. 6. Soit N la durée du jeu le nombre de fois que le joueur mise une somme non nulle. Montrer que N est un temps d arrêt et donner sa loi. On a N inf{n : Z n n < L ou Z n }. C est un temps d arrêt puisqu il s agit d un temps de premier passage. Sa loi est donnée par P {N n} n pour n,..., k et P {N k} k. 7. Le processus Z n est-il une martingale? Oui car Z n Y n N est une martingale arrêtée. 8. Discuter la convergence presque sûre et dans L de Z n et commenter les résultats. Comme dans le cas de Y n, Z n est une martingale telle que E Z + n est bornée, donc elle converge vers une variable aléatoire Z. On trouve P {Z } k et P {Z k } k. En particulier, E Z 0 E Z n donc Z n converge dans L. Avec la contrainte de la banque, la grande probabilité de faire un petit gain est donc compensée par la petite probabilité de faire une grande perte!

4 Exercice 6.4 Soit X 0. On définit une suite {X n } n N récursivement en posant que pour tout n, X n suit la loi uniforme sur ]0, X n ] c-à-d X n U n X n où les U n sont i.i.d. de loi uniforme sur ]0, ].. Montrer que X n est une martingale. E X n F n E U n X n F n X n E U n F n X n E U n X n.. Calculer le processus croissant X n et discuter la convergence de X n dans L. On a E Xn F n E 4U n Xn F n 4X n E Un 4 X n. Par conséquent, le processus croissant est donné par Comme X n E Xm Xm F m E X n E Xm Xm. 4 m, on a X, donc la suite ne peut pas converger dans L on peut aussi observer directement que E X n diverge.. Discuter la convergence presque sûre de X n. X n est une surmartingale positive, donc elle converge presque sûrement on peut aussi observer que c est une sous-martingale telle que E X + n E X n n. 4. Déterminer la limite presque sûre de X n. Indication : Considérer Y n logx n ainsi que Z n Y n E Y n. Comme Y n Y n + log + logu n, on a E Y n E Yn + log + E logun E Y n [ log ], et donc E Y n n[ log ] tend vers lorsque n. On peut donc s attendre à ce que Y n converge vers, donc que X n converge vers 0 presque sûrement. Pour le montrer, nous devons contrôler les fluctuations de Z n Y n + n[ log ]. On peut l écrire sous la forme Z n V k où V k + logu k. k Nous allons montrer que pour n assez grand, Z n cn presque sûrement pour tout c ]0, [. En prenant 0 < c < log, cela montrera qu en effet Y n converge presque sûrement vers, et donc X n 0 p.s. Une première méthode consiste à écrire P { Z n > cn } P { e γzn > e γcn} e γcn E e γzn [ e γc E e γv ] n. Comme e γv e γ U γ, on a E e γv e γ x γ dx 4 0 eγ γ +.

5 Il suit donc que P { Z n > cn } [ e γc γ + pour tout γ > 0. La meilleure borne est obtenue pour γ c/ c, et a la forme ] n P { Z n > cn } [ e c c ] n. La série de terme général [e c c] n converge pour tout c ]0, [, donc le lemme de Borel Cantelli montre que lim sup n Z n n c presque sûrement. C est le résultat cherché. Une seconde méthode de montrer que Z n cn presque sûrement pour n assez grand consiste à écrire On a P { Z n > cn } P { Zn 4 > cn 4} cn 4 E Zn 4. Z 4 n On trouve facilement les moments i,j,k,l V i V j V k V l. E V i 0, E V i, E V i, E V 4 i 9. Comme les V i sont indépendants, les seuls termes contribuant à E Zn 4 sont ceux qui contiennent soit quatre indices identiques, soit deux paires d indices identiques. Un peu de combinatoire nous fournit alors E Zn 4 ne V nn Ceci implique P { Z n > cn } c 4 n, et le lemme de Borel Cantelli permet de conclure. 5. Discuter la convergence de X n dans L. E V n + 6n. Nous avons montré que X n 0 presque sûrement. Par conséquent, nous avons aussi X n 0 en probabilité. Comme par ailleurs, E X n pour tout n, le Théorème 6.4. du cours montre que X n ne peut pas converger dans L. Exercice 6.5 Soit U une variable aléatoire uniforme sur [0, ]. Soit f : [0, ] R une fonction uniformément lipschitzienne. Soit I k,n [k n, k + n [ et soit F n la tribu sur Ω [0, ] engendrée par les I k,n pour k 0,..., n. On pose X n k0 fk + n fk n n {U Ik,n }. 5

6 . Montrer que X n est une martingale par rapport à F n. Commençons par montrer que les X n sont intégrables. Si K dénote la constante de Lipschitz, on a fk + n fk n K n, d où E X n k0 K P { U I k,n } K. Pour calculer les espérances conditionnelles, on observe que chaque intervalle I l,n est la réunion disjointe des deux intervalles I l,n+ et I l+,n+ de même longueur. Par conséquent E {U Il,n+ } En séparant les termes pairs et impairs, on a l0 F n E {U Il+,n+ } F n {U I l,n }. E n [ X n+ fl + n+ fl n+ Fn n+ E {U Il,n+ } Fn l0 l0 X n. + fl + n+ fl + n+ n+ E ] {U Il+,n+ } F n fl + n+ fl n+ n+ {U I l,n } fl + n fl n+ n {U Il,n }. Montrer que X n converge presque sûrement. On note la limite X. On a E X + n E X n K, donc X n converge presque sûrement vers une variable aléatoire X.. Discuter la convergence de X n dans L. En bornant chaque fonction indicatrice par et en utilisant à nouveau le caractère lipschitzien, on voit que X n ω est borné par K pour tout ω. Par conséquent, { Xn >M} 0 pour M > K, donc les X n sont uniformément intégrables. Il suit que X n converge vers X dans L. 4. Montrer que pour tout 0 a < b, Pour tout n, on a X n {U [a,b]} E X {U [a,b]} fb fa. k0 fk + n fk n n {U Ik,n [a,b]} k : I k,n [a,b] fk + n fk n n {U Ik,n }. 6

7 Soient k n et k + n le plus petit et le plus grand k tel que I k,n [a, b]. Prenant l espérance, comme P {U I k,n } n on voit que E X n {U [a,b]} fk+ n + n fk n n. Lorsque n, on a k n n a et k + n + n b. 5. On suppose f de classe C. A l aide de 4., expliciter X ω si l on note Uω ω pour tout ω Ω. D une part, E X {U [a,b]} X ω {ω [a,b]} dω D autre part, par le théorème fondamental du calcul intégral, 0 b a X ω dω. On en conclut que fb fa b a X ω f ω. f ω dω. 7