Correction : Les fonctions sinus et cosinus

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1 Correctioneercices mars Correction : Les fonctions sinus et cosinus Rappels Eercice ) 5 ) 5) 7) 9) ) ) ) 8) Eercice ) sin = sin =sin ) = + k = 5 k Z + k 5 ) cos = cos =cos ) k = 5 k Z + k 5 5 ) cos)=cos + ) = + k = + k k Z 7 - ) sin + ) = sin ) = + k = 5 + k k Z ) cos = cos = cos =± + k = k Z ou + k + k = k Z + k ) cos +cos = on pose X= cos avec X, l équation devient : X + X = =9= d où X = ou X = On revient à : cos = ou cos = paul milan Terminale S

2 correction eercices + k = k Z ou + k =+k k Z Eercice ) sin < 5 = = 7 S I = 5 ; ; S J = ; 7 ) cos = S I = ; ; ; S J = ; ) sin = = 7 = 5 = S I = ; 5 ; ; S J = ; 7 ; ) cos > = = 7 S I = ; ; S J = ; 7 ; Eercice Résoudre dans ; : ) voir cours ) sin sin ) sin + ) On cherche les valeurs qui annulent les facteurs dans l intervalle ;. On pose f )= sin sin = sin = sin + = sin = = ou = = ou = On peut remplir le tableau de signes suivant : paul milan Terminale S

3 sin sin f ) + + On obtient la solution : S= ; ; ; ) On pose X= cos avec X, l équation devient : X X =, on calcule =5=5 on obtient X = impossible) et X = On revient à : cos = = ou = ) D après ), on peut en déduire le tableau de signes en X X X X + On veut X alors S= ; Étude de fonctions Eercice 5 ) D f =R car l équation +cos = n a pas des solution ) La fonction f est paire et périodique, en effet pour tout réel, f )= f +)= On étudiera les variations de f sur ; ) ) f sin )= de la forme = u +cos ) u u Sur ; +cos ) = +cos = f ) +cos+) = +cos = f ) f )= sin = = ou = Le signe de f ) est du signe de sin donc f ) ) Pour déterminer les variation de f sur ;, on utilise la symétrie de la courbe par rapport à l ae des ordonnées fonction paire) paul milan Terminale S

4 f ) f ) + On obtient alors la courbe dans l intervalle ;, en utilisant parité et périodicité. 5 Eercice ) La fonction f est paire etpériodique, en effet pour tout réel, f )=cos )+cos ) =cos )+cos) = f ) f +)=cos +)+cos+) =cos )+cos) = f ) ) On étudiera la fonction f, compte tenu de la symétrie et de la périodicité sur ) On dérive la fonction en cherchant à la factoriser. Sur ; : f )= sin ) cos sin = sin cos sin = sin cos +) ; f )= sin = ou cos += =, =, = Le signe de f ) est donné par le signe de cos car sin sur ; cos cos ;, ) Pour déterminer les variation de f sur,, on utilise la symétrie de la courbe par rapport à l ae des ordonnées fonction paire). paul milan Terminale S

5 f ) f ) On obtient alors la courbe dans l intervalle ;, en utilisant parité et périodicité. 5 Eercice 8 Vrai - Fau ) Proposition : Vraie En effet : I, sin et si Conclusion : I, f ) ) Proposition : Vraie ; alors ; f est dérivable sur I car produit et composition de fonction dérivables sur I f )= cos sin cos)+sin sin)) = sin) cos) sin sin) = sin)cos) sin = sin) sin sin ) = sin) sin ) donc cos) ) Proposition : Vraie Si ; alors ; donc sin) sin sin sin sin sin paul milan 5 Terminale S

6 Donc f ) donc la fonction f est décroissante sur ; ) Proposition : Fausse Deu possibilités d arguments : Si ; alors ; donc sin) sin sin sin Donc f ) donc la fonction f est croissante sur La fonction f est paire. En effet pour ; sin ; sin f )=sin ) cos )= sin ) cos)=sin cos)= f ) Comme l intervalle ; est symétrique par rapport à de l intervalle ;, comme d après la question ) f est décroissante sur ; alors f est croissante sur ; 5) Proposition 5 : Vraie Il faut déterminer les etremum de la fonction f. Il faut alors résoudre sur I : f )= sin = ou sin = = ou sin = ou sin = = ou = ou = D après les résultats des questions ) et ), on peut dresser le tableau de variation suivant : f ) f ) On a alors : I, f ) 8 paul milan Terminale S

7 Annales Eercice 9 Polynésie septembre 5 ) a) Comme cos R, la fonction f est donc encadrée par g) et g). b) lim + e = lim + e =, d après le théorème des gendarmes ) Pour déterminer les points communs àγet C, il faut résoudre f )=g) lim f )=. + f )=g) e cos)=e cos = =k =k Les coordonnées des points commun A k entreγet C sont : A k = k ) ; e k ) a) on a : u n = f n ) = e n = e n La suite u n ) est donc une suite géométrique de raison q=e et de prenier terme u = b) Comme <q<la suite u n ) est décroissante et converge vers. ) a) La fonction est dérivable sur ;+ car produit et composée de fonction dérivables sur ;+ f )= e cos)+e sin)= e cos)+ sin) b) Il faut calculer les nombres dérivée f k ) et g k ) f k ) = e k cos + sin = e k = g k ) Donc les courbesγet C ont même tangente en chacun de leurs points communs. ) 5) f = e, par ecès j = O ı y=. paul milan 7 Terminale S