Équations du second degré

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1 Équations du second degré Racines du trinôme et factorisation Soit le trinôme, avec. Transformation de l écriture de : ( ) [ ] [ ]. On a donc l égalité : [ ] pour tout réel. La factorisation éventuelle de dépend du signe de. Définition On appelle discriminant du trinôme, avec, le nombre réel. Remarque Le nombre est appelé discriminant car c est lui qui permet de différencier les différents cas possibles dans la résolution des équations du second degré. Propriété Si,, le trinôme s écrit [( ) ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ) [ ( )] [ ( )] est la forme factorisée du trinôme N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 1

2 Soit la fonction définie sur par. Déterminer le discriminant de, ses racines et sa forme factorisée. Si, le trinôme s écrit ( ) : ( ) est la forme factorisée de Soit la fonction définie sur par. Déterminer le discriminant de, sa racine double et sa forme factorisée. Si, alors et ( ) Comme n est pas nul, le trinôme n est jamais nul et donc n admet aucune racine réelle. Il n existe aucun réel tel que le trinôme se factorise par (sinon serait une racine). Soit la fonction définie sur par. Montrer que l on ne peut pas factoriser. N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 2

3 Théorème Solutions de l équation et factorisation du trinôme Solution(s) de l équation Pas de solution Une solution «double» : Deux solutions distinctes : Factorisation de Pas de factorisation par des termes du premier degré. ) s a) Résoudre dans l équation. C est une équation du type avec. On calcule le discriminant Comme, l équation a deux solutions distinctes : et b) Résoudre dans l équation c) Résoudre dans l équation N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 3

4 Théorème Signe de Étude du signe du trinôme Le trinôme est du signe de sauf entre les racines si elles existent. Plus précisément : Si Le polynôme a deux racines distinctes et. est du signe de à l extérieur des racines, c est-à-dire : C est une fonction du type avec. On calcule le discriminant, la fonction a deux racines distinctes : et Comme, on obtient le tableau de signes suivant : Exercice Si Le polynôme a une racine unique. est du signe de sauf en où il est nul, c est-à-dire : N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 4

5 C est une fonction du type avec. On calcule le discriminant Comme, la fonction a une racine double: Comme, on obtient le tableau de signes suivant : Exercice Si Le polynôme n a pas de racine. est du signe de, c est-à-dire : C est une fonction du type avec. On calcule le discriminant N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 5

6 , donc la fonction n a pas de racine. Comme, on obtient le tableau de signes suivant : Exercice... Application - Résolution d équations et d inéquations Résolution de l équation a) Déterminer les valeurs de pour lesquelles cette équation est définie. b) Résoudre l équation. c) En utilisant les résultats des questions précédentes résoudre l inéquation N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 6

7 Exercice Équations et inéquations se ramenant au second degré Résoudre les équations suivantes Exercice Avec un paramètre Soit un réel et la fonction définie sur par 1) Pour quelles valeurs de l équation est un polynôme de degré 2? 2) On suppose. Pour quelles valeurs de l équation a-t-elle une seule solution? Calculer alors cette solution. 3) Quel est l ensemble des nombres pour lesquels l équation a deux solutions distinctes? N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 7

8 4) Quel est l ensemble des nombres pour lesquels l équation pour tout nombre réel. 5) Vérifier les résultats sur Geogebra après avoir créé un curseur et une fonction Exercice Position relative de deux courbes Soit les fonctions définies sur par: et. On note et les courbes respectives de dans le repère orthogonal 1) a) Résoudre par le calcul l inéquation b) Résoudre par le calcul l inéquation 2) a) Résoudre par le calcul l équation. N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 8

9 b) Déterminer les coordonnées des points d intersection de et 3) a) Déterminer le signe de suivant les valeurs de. b) En déduire la position relative des courbes 4) Après avoir donné un tableau de valeurs pour chacune des courbes, tracer soigneusement les courbes et dans le repère Unités graphiques : 1cm sur l axe des abscisses et 0,25 cm sur l axe des ordonnées. N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 9