MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 3: Solutions stationnaires de l équation de Schrödinger

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1 MCANIQU QUANTIQU Capitre : Solutions stationnaires de l équation de Scrödinger Pr. M. ABD-FDI Université Moaed V-V Agdal Faculté des Sciences Départeent de Pysique Année universitaire Filières SM-SMI SMI On a vu que l équation de Scrödinger dépendante du teps était donnée par: i ψ ( r, t t V( r, t ( ψ( r, t orsque le potentiel V est indépendant du teps V(r,tV(r, l'équation de Scrödinger devient: i ψ ( r, t t V( r ψ ( r, t Hψ( r, t H est appelé Hailtonien du systèe. les solutions de l'équation de Scrödinger seront dites solutions stationnaires. e systèe est dit conservatif et son énergie est constante.

2 On avu dans le TD n que la fonction d onde peut être écrite sous fore d un produit de fonction spatiale et de fonction teporelle u: ψ(x,t (x u(t On a ontré que: On a vu dans le TD n que la fonction d onde peut être écrite sous fore d un produit de fonction spatiale et de fonction teporelle u: ψ(x,t (x u(t On a ontré que: i t A diensions, on obtient: ψ(x,t A e ψ(r,t A e x (x i t (r a résolution de l équation de Scrodinger se réduit alors à A diension V(x (x (x

3 tude de quelques systèes unidiensionnels On se liitera à des fores de potentiel très siplifiées afin de pouvoir résoudre sans difficulté l'équation de Scrödinger. Bien que les fores du potentiel que nous allons étudier soient siples, ils correspondent à des applications très intéressantes. - Saut de potentiel - Barrière de potentiel - Puits de potentiel fini 4- Puits de potentiel infini 5- Particule dans une boite (D Il est défini par: - Saut de potentiel V(x V si x < si x > (x Ae région I région II énergie de la particule doit être positive afin que l onde incidente soit une onde de propagation. On supposera que a particule vient du coté négatif de l axe des abscisses x. Nous allons distinguer deux cas: x< et x>. - x< : l équation de Scrodinguer s écrit: d (x d (x (x (x où a solution générale est alors donnée par: A- > V Be i x i x

4 onde incidente est représentée par le tere exp(i x et qui correspond à une onde plane allant de gauce vers la droite. orsque la particule arrive en x, elle peut soit être réflécie, soit être transise. onde réflécie est représentée par le tere exp(-i x. - x> : l équation de Scrodinguer s écrit: d (x d (x V(x (x (x Avec: ( V a solution générale est alors donnée par: (x i x ix Ce De e preier tere en exp(i x correspond à une onde plane allant de gauce vers la droite: il représente donc l onde transise. Par contre le second tere représente une onde venant de l infini allant vers la gauce. Coe nous n avons pas de particule qui provient dans ce sens, nous poserons D ( x

5 Conditions aux liites: a fonction (x et sa preière dérivée (x doivent être continues en x. C B (A '( '( C B A ( ( On trouve: A C et A B Rearque: onde incidente et l onde réflécie interférent coe le ontre la figure précédente. ( ( ( x Cos A x Pour x<, la densité de probabilité ρ*(x (x est donnée par: Pour x>, la densité de probabilité ρ*(x (x est donnée par: [ ] 4 ( A C x

6 Déterination de la densité de courant de probabilité : dn/dt est le taux de coptage dans un détecteur de surface S exposé à un flux de particules dont la densité est jρ v. ρ étant la densité des particules et v leur vitesse. [ ] t r i 4 : transise : réflécie : incidente AA Onde AA Onde AA Onde ψ ψ ρ p v a probabilité de réflexion s exprie par: i r R a probabilité de transission s exprie par: ( i t 4 T On rearque que: T R Rearque: Dans une situation analogue en écanique classique, la particule serait toujours transise, alors qu en écanique quantique elle a une probabilité non nulle d être réflécie

7 B- < V - x< : l équation de Scrodinguer ne cange pas: d (x (x (x où (x Ae d (x Be i x - x> : l équation de Scrodinguer s écrit: i x d (x (x avec (V a solution générale est donnée par: (x x x Ce De exponentielle positive diverge et ne représente donc pas une solution pysique: C.Il reste: (x De tend vers à l infini: C est une onde évanescente. Il n y a pas d onde transise. x

8 (x (x Conditions aux liites: a fonction (x et sa preière dérivée (x doivent être continues en x. D i B A D B A ( ( ' ( ' ( ( On trouve: i D B et i D A

9 ψ ψ ρ p v Déterination de la densité de courant de probabilité coe dans la preière partie: D D i i D i r i On a le coefficient de réflexion R: R i r Rearques Rearques - Coe l équation de Scrödinger est linéaire, Coe l équation de Scrödinger est linéaire, la superposition de solutions du type présenté la superposition de solutions du type présenté est aussi une solution. On peut alors construire est aussi une solution. On peut alors construire une solution type paquet d ondes, qui seront en une solution type paquet d ondes, qui seront en partie réflécies et en partie transises. partie réflécies et en partie transises. - R dépend de la valeur de par rapport à V > < V Si V V V si R

10 lle est définie par: - Barrière de Potentiel (x V V si x < région si < x < a région si x > a région I II III V(x V Région I Région II Région III a - x< (région I: l équation de Scrodinguer s écrit: d (x d (x (x (x où a solution générale est alors donnée par: (x Ae Be i x i x - x> a (région III: l équation de Scrodinguer s écrit: a solution générale est alors donnée par: ( i x i x x Ce De Mais D, d où i x ( x Ce - <x< a (région II: l équation de Scrodinguer s écrit: d (x V (x (x

11 Dans cette zone <x< a, on distingue deux cas: a- <V : x x ( x Fe Ge avec (V b- >V : i x i x ( x Fe Ge avec ( V Classiqueent: si >U, la traversée de la barrière est possible. Par contre pour <U, il est ipossible. Qu en est il en écanique quantique? a

12 Conditions aux liites: a fonction (x et sa preière dérivée (x doivent être continues en x et en xa. ( ' ( ( ' ( et et ( a ' ( a ( a ' ( a On pourra ainsi déteriner les constantes B, C, F et G en fonction de A (A étant l aplitude de l onde incidente Pour déteriner cette probabilité, on calculera les densités de courant de probabilité: e coefficient de transission T est alors donné par: T i r t AA BB CC t i CC AA (x (x a

13 <V : sin ( a T 4 (V V >V : sin ( a T 4 ( V V Va Où a ( V T représente la probabilité de transission par effet tunnel. C est un pénoène très iportant en pysique.(microscope à effet tunnel, Électronique, Va Où a ( V T oscille en fonction de et devient totale seuleent pour certaines valeurs de celle-ci. e fait le plus rearquable est que êe pour <V, la particule à une certaine probabilité d être transise. Ce qui est contraire à la pysique classique. Ce pénoène est appelé FFT TUNN. V T dépend de la auteur de barrière V, de sa largeur a ainsi que de l énergie de la particule incidente. Pour >V, sin devient oscillant. Ce qui conduit à T oscillatoire aussi. a résonance T se produit seuleent pour quelques valeurs d énergie spécifiques. Pour d autres valeurs de, certaines particules sont réflécies êe pour >V : c est là la nature ondulatoire d une particule quantique.

14 xercice: Deux fils de cuivre sont séparés par une couce d oxyde isolante. On odélise cette couce par une auteur de barrière égale à V ev. - stier le coefficient de transission dans le<cas où énergie incidente de l électron est de 7 ev. On distinguera es deux cas: a 5 n et an Solution: - On utilisera la forule ci-dessous: sin ( a T 4 (V V Pour a 5 n: T,96-8 Pour a n: T,657-6 Baisser la largeur de 5 fois, conduit à une augentation de T de ordres de grandeurs - Si un courant électrique de A arrive sur le fil, quel sera le courant à l autre extréité du fil après avoir traversé la couce isolante d épaisseur a n Solution: A q t Ne N 6,5 t électrons N est le nobre d électrons dans la zone du fil. A correspond au courant dû aux électrons incidents et réflécis. Soit N transis N transis le nobre d électrons transis: N T 4, 7 I transis 65,7 pa

15 Microscope à effet Tunnel Il s'agit, pour siplifier, d'un palpeur, d'une pointe qui suit la surface de l'objet. a pointe balaie (scanne la surface à représenter, un ordinateur enregistre la auteur de la pointe, on peut ainsi reconstituer la surface. Pour cela, avec un systèe de positionneent de grande précision (réalisé à l'aide de piézoélectriques, on place une pointe conductrice en face de la surface à étudier et l'on esure le courant résultant du passage d'électrons entre la pointe et la surface par effet tunnel (les électrons libres du étal sortent un peu de la surface, si l'on se et très près sans pour autant la toucer, on peut enregistrer un courant électrique. Dans la plupart des cas, ce courant dépend très rapideent (exponentielleent de la distance séparant la pointe de la surface, avec une distance caractéristique de quelques dixièes de nanoètres. Ainsi, on fait bouger la pointe au dessus de l'écantillon avec un ouveent de balayage et on ajuste la auteur de celle-ci de anière à conserver une intensité du courant tunnel constante. On peut alors déteriner le profil de la surface avec une précision inférieure aux distances inter atoiques. Mais souvenons-nous que l'on a une iage de syntèse, pas une «potograpie» des atoes. (Preière réalisation en 98 par les cerceurs d IBM- Zuric. Ces auteurs ont reçu le prix Nobel en 986. «STM Scanning Tunneling Microscopy» AFM (Atoic Force Microscopy pour les écantillons non conducteurs. - Puits de potentiel fini Il est défini par: Région I Région I Région II Région III Ce cas sera traité dans l exercice IV du TD n

16 4- Puits de potentiel infini Zone I Zone II V(x Zone III a résolution de l équation de scrodinger nous donne en tenant copte du fait que: (( Pour x>a et x<, il est ipossible de trouver la particule (les parois du puits sont rigides: Ι (x ΙΙΙ (x Pour < x < (zone II d (x (x d ( x ( x où a solution est: II ( x Ae ix Be ix Conditions de raccordeents (de continuité: D où ( ( A B II ( II A B et I III ( Ae A(e e i i i Be i nπ n Z

17 Pour < x < nπ n(x C sin x n n π n (x Énergie du n ièe niveau: est quantifiée Fonction d onde du nièe niveau (où CCte de noralisation: avec C et a n( x (x δ (x n n x y z 5- Particule dans une boite (D xtension de l étude d une particule Dans une boite avec des urs rigides Boite avec des urs rigides: V est infini suivant les directions OX, Oy et OZ V pour <x,y,z <

18 équation de Scrödinger (D pour un potentiel indépendant du teps. On a: r x V( r ( r x i y j y z z H( r et ( r ( r (x, y, z ( x CX ( y Cy ( z Cz Or V pour <x,y,z <, équation de Scrödinger devient ( r H( r ( r Coe x,y et z sont indépendantes, on peut écrire: ( r (x, y, z (x (y (z n substituant dans l équation de Scrödinger ci-dessous et en divisant par (x,y,z, on obtient: (x (y (z ( ( ( (x x (y y (z z

19 Coe Constante, l expression n est vraie que si: (x (y (x (y x y Avec: (z (z z étant l énergie totale du systèe D. Caque tere resseble à celui qu on a vu dans le cas d un puits de potentiel infini. Par conséquent: ( x sinx ( y siny ( z sinz Conditions de raccordeent: i( sin i i nπ avec i n Z, et P a quantité de ouveent D a pour coposantes: π x n P y n x y P π z n z n, n et n π,,... énergie est donnée par: P (P P P n π,n, n (n n n

20 a fonction d onde (x,y,z est donnée par: x,y,z A sin x sin y sin z ( Où A est la constante de noralisation. a fonction d onde ψ(x,y,z est donnée par: ψ -i t ( x,y,z,t Asinx siny sinz e Déterination de A: A sin x ψ (x,y,z ψ(x,y,z Boite sin y dy sin dydz z dz On trouve: A ψ -i t ( x, y, z, t sin x sin y sin z e er état (fondaental:n n n èe état ( er état excité: π π er état excité 6 C est un état dégénéré: êe énergie pour états différents.

21 n Dégénérescence 4 Pas de dégénérescence / 9 6 Pas de dégénérescence