Probabilités Loi de probabilité à densité Exercices corrigés

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1 Probabilités Loi de probabilité à densité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité (fonction définie sur un intervalle) Exercice 2 : densité de probabilité (fonction définie sur une réunion d intervalles) Exercice 3 : loi de probabilité à densité Exercice 4 : variable aléatoire continue et calculs de probabilités Exercice 5 : variable aléatoire continue et calcul de probabilité conditionnelle Exercice 6 : espérance d'une variable aléatoire continue 1

2 Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Montrer que la fonction définie sur [ ] par est une densité de probabilité sur [ ]. Correction de l exercice 1 Retour au menu Rappel : Densité de probabilité Soit un intervalle. On appelle densité de probabilité sur toute fonction continue et positive sur telle que : Remarque : Pour tous réels et tels que, on a : Si [ ], alors Si [ [, alors Si ] ], alors Soit la fonction définie sur [ ] par. 1) Etudions la continuité de la fonction sur [ ]. est le produit du réel par la fonction carré, continue sur, donc continue sur [ ]. Par conséquent, est continue sur [ ]. 2) Etudions le signe de la fonction sur [ ]. Pour tout [ ],. Par conséquent, est positive sur [ ], comme étant le produit de deux nombres positifs. 3) Vérifions que [ ] De ces trois résultats, il découle que une densité de probabilité sur [ ]. 2

3 Exercice 2 (1 question) Niveau : moyen Préciser si la fonction définie par { [ ] est une densité de probabilité sur [ ]. ] ] Correction de l exercice 2 Retour au menu 1) Etudions la continuité de la fonction sur [ ]. D une part, sur [ [,. Sur cet intervalle, est une fonction affine ; elle est donc continue. D autre part, sur ] ],. Sur cet intervalle, est une fonction affine ; elle est donc continue. Par conséquent, est continue sur [ [ ] ]. Rappel : Continuité d une fonction en un point Soit une fonction définie sur et soit. est continue en si et seulement si a une limite en égale à, c est-à-dire si et seulement si. En particulier est continue en si et seulement si. Remarque : On note indifféremment la limite à gauche de la fonction en : ou. On note indifféremment la limite à droite de la fonction en : ou. Enfin, et. Par conséquent,. Autrement dit, est continue en. En définitive, est continue sur [ ]. 2) Etudions le signe de la fonction sur [ ]. D une part, sur [ ], est une fonction affine de taux d accroissement positif. Elle est donc croissante. Ainsi,, c est-à-dire. 3

4 D autre part, sur ] ], est une fonction affine de taux d accroissement négatif. Elle est donc décroissante. Ainsi,, c est-à-dire. En définitive, est positive sur [ ]. 3) Vérifions si Rappel : Relation de Chasles Soit une fonction continue sur un intervalle. Pour tous nombres réels, et de tels que, En utilisant la relation de Chasles, on a : [ ] [ ] ( ) Autrement dit, En tenant compte de ce dernier résultat, la fonction ne peut pas être une densité de probabilité sur [ ]. Remarque importante : On pouvait également représenter la fonction dans un repère orthonormé ( ) et observer que l aire du domaine situé entre la courbe représentative de, l axe des abscisses et les droites d équation et était supérieure à une unité d aire. Etape 1 : Etape 2 : 4

5 Etape 3 : Etape 4 : 5

6 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Indiquer, pour chacune des quatre fonctions de probabilité sur l intervalle donné. représentées ci-dessous, si elle peut être une fonction de densité 1) [ ] 2) [ ] 3) [ ] 4) [ ] Correction de l exercice 3 Retour au menu Rappel : Loi de probabilité à densité Soit une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle et soit une densité de probabilité sur. Dire que est la loi de probabilité de densité de signifie que, pour tout intervalle, la probabilité est égale à l aire du domaine { }. Remarque : Pour tous réels et tels que, on a : Si [ ], alors Si [ [, alors Si ] ], alors 6

7 1) La fonction représentée peut être une densité de probabilité sur [ ] car : est continue sur [ ] est positive sur [ ] Remarque : La fonction représentée est définie sur [ ] par { [ ] [ ]. 2) La fonction représentée peut être une densité de probabilité sur [ ] car : est continue sur [ ] est positive sur [ ] Remarque : La fonction représentée est définie sur [ ] par. 3) La fonction représentée ne peut pas être une densité de probabilité sur [ ] car : Même si est continue sur [ ] Et même si est positive sur [ ] Remarque : La fonction représentée est définie sur [ ] par. 7

8 4) La fonction représentée ne peut pas être une densité de probabilité sur [ ] car : Même si est continue sur [ ] n est pas positive sur [ ] Remarque : La fonction représentée est définie sur [ ] par. 8

9 Exercice 4 (3 questions) Niveau : moyen Soit la fonction définie sur [ [ par. 1) Montrer que est une densité de probabilité sur [ [. Soit une variable aléatoire telle que [ [ et dont la loi de probabilité admet comme densité. 2) Calculer. 3) Calculer. Correction de l exercice 4 Retour au menu 1) Montrons que est une densité de probabilité sur [ [. Rappel : Limite de la composée de deux fonctions, et désignent des réels, ou. et sont deux fonctions. Si et si, alors on a :. ( ) La fonction est la composée de la fonction, continue sur [ [, par la fonction, continue sur ([ [) [ [. Par conséquent, est continue sur [ [. Par ailleurs, pour tout [ [,. est donc le quotient de deux nombres positifs. Par conséquent, est positive sur [ [. Enfin, on a : [ ] ( ) Or, et donc, d après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions,. Par conséquent, par somme des limites,, c est-à-dire : De ces trois résultats, il vient que est une densité de probabilité sur [ [. 9

10 2) Calculons. [ ] 3) Calculons. Les événements et sont deux événements contraires. Par conséquent, il vient que : [ ] [ ] Remarque : On pouvait également utiliser la méthode suivante. [ ] ( ) Or, et donc, d après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions,. Par conséquent, par somme des limites,, c est-à-dire. 10

11 Exercice 5 (3 questions) Niveau : moyen est une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité définie sur [ ] par. 1) Déterminer la valeur du réel. 2) Montrer que est un nombre rationnel. 3) Calculer. Correction de l exercice 5 Retour au menu 1) Déterminons la valeur du réel. Tout d abord, remarquons que est une fonction continue sur [ ] comme étant le produit du réel par la fonction inverse, continue sur [ ]. Remarquons par ailleurs que est positive sur [ ] si et seulement si. Enfin, la variable aléatoire suit une loi de probabilité de densité définie sur [ ] si et seulement si : [ ] ( ) Finalement, suit une loi de probabilité de densité définie par sur [ ]. 2) Montrons que est un nombre rationnel. [ ] est bien un nombre rationnel. 3) Calculons. Rappel : Probabilités conditionnelles (conditionnement par un événement) Soit une loi de probabilité définie sur un ensemble. Soient et deux événements tels que. La probabilité de l événement sachant l événement, notée, est définie par : ( ) [ ] [ ] 11

12 Exercice 6 (2 questions) Niveau : moyen Soit un réel et soit la fonction définie sur [ ] par. 1) Déterminer de sorte que soit une densité de probabilité sur [ ]. est une variable aléatoire qui suit la loi de densité de probabilité. 2) Calculer l espérance de. Correction de l exercice 6 Retour au menu 1) Déterminons de sorte que la fonction, définie sur [ ] par, soit une densité de probabilité sur [ ]. Tout d abord, notons que la fonction est continue sur [ ] comme étant la composée de la fonction carré, continue sur, par la fonction affine, continue sur. Par ailleurs, pour tout [ ],. D où. Ainsi, si et seulement si. Enfin, est une densité de probabilité sur [ ] si et seulement si : [ ] ( ( )) Par conséquent, est une densité de probabilité sur [ ] si et seulement si. 2) Calculons l espérance de. Rappel : Espérance d une variable aléatoire continue L espérance d une variable aléatoire continue de densité sur un intervalle est le nombre réel : ( ) [ ] ( ( )) 12