26.1 Opérateurs de l analyse vectorielle

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1 CHAPITRE 6 ANALYSE VECTORIELLE L analyse vectorielle fait intervenir à la fois des outils analytiques dérivées partielles et du calcul vectoriel. Les notions de base de l analyse vectorielle sont indispensables en électrostatique, en électromagnétisme, en mécanique des fluides. Après avoir étudié ce chapitre, vous devez : A. Connaître les opérateurs de l analyse vectorielle nabla, gradient, divergence et rotationnel et savoir démontrer leurs propriétés. B. Savoir calculer des intégrales de surface simples. C. Connaître la définition du flux d un champ de vecteurs à travers une surface orientée, et savoir calculer des flux simples. D. Savoir ce qu est un champ à flux conservatif. E. Connaître les formules de Stokes et d Ostrogradski. F. Savoir ce qu est un angle solide. 6.1 Opérateurs de l analyse vectorielle L espace est rapporté à la base orthonormée directe i, j, k. On définit l opérateur aux dérivées partielles nabla par i + j + k. 6.1 x y z On notera que nabla est un opérateur aux dérivées partielles, et pas un vecteur. Il opère à gauche en utilisant les trois types de multiplication vectorielle. Par exemple, soit d abord U U M une fonction de trois variables fonc-

2 34 Chapitre 6 : Analyse vectorielle tion scalaire. On définit le gradient de U par gradu U i + j + x y z k U U x i + U y U j + k. z On retrouve Si E E M E x i + Ey j + Ez k un champ de vecteurs, on définit la divergence de E par div E. E et le rotationnel de E par rot E E x y z Ez y E y z x y z. E x E y E z E x E y E z E x x + E y y + E z z, 6. i Ez x E x z 6.3 j Ey + x E x k. y Remarque 6.1 L opérateur nabla est essentiellement une notation, très commode pour retenir les définitions du gradient, de la divergence et du rotationnel. On notera que gradu et rot E sont des vecteurs de R 3, alors que div E est un nombre réel, c est-à-dire un scalaire. Exemple 6.1 Soit k un paramètre. Considérons le champ newtonien défini en coordonnées sphériques [voir 3.17] par E E M k r er. Puisque r OM et e r OM, on a OM E k Il en résulte que div E k x OM OM 3 k x + y + z 3 x i + y j + z k. 6.4 [ x x + y + z 3 + y x + y + z 3 y + z z x + y + z 3 ].

3 Chapitre 6 : Analyse vectorielle 35 En utilisant la formule qui donne la dérivée d un produit, il vient x x x + y + z 3 x + y + z 3 3x x + y + z 5 x + y + z 5 x + y + z 3x x + y + z 5 x + y + z. Les dérivées partielles par rapport à y et z s obtiennent sans calcul en permutant les rôles de x et y et ceux de x et z respectivement. Ainsi div x + y + z + x y + z + x + y z E k. x + y + z 5 Un champ newtonien est à divergence nulle. Un calcul analogue montre qu on a aussi rot E exercice 6.1. Remarque 6.. Composons la divergence et le gradient : div gradu div U x i + U y j + U z k U x x + U y y + U z z U + U + U. x y z On introduit ainsi un nouvel opérateur, le laplacien : U div gradu U U x + U y + U z. 6.5 A partir des définitions, on peut démontrer des formules d analyse vectorielle. Les deux plus importantes, qui doivent être connues, sont rot gradu, div rot E. 6.6 Voir l exercice 6. pour leur démonstration. Les exercices 6.3 et 6.4 donnent d autres exemples de formules utiles. 6. Surfaces de l espace 6..1 Représentation d une surface Dans l espace rapporté au repère orthonormé direct O, i, j, k, une surface Σ est définie par une équation de la forme F x, y, z. Par exemple, l équation ax + by + cz + d est celle d un plan, tandis que l équation

4 36 Chapitre 6 : Analyse vectorielle x x Ω + y y Ω + z z Ω R est celle de la sphère de centre Ω de rayon R. Un troisième exemple important est le suivant. Exemple 6. Soient a, b, c R +. L équation cartésienne x a + y b + z c est celle d un ellipsoïde de centre O, d axes principaux Ox, Oy, Oz. Pour visualiser cette surface, coupons-la par un plan horizontal d équation z z, avec c < z < c. La section correspondante a pour équation x a + y b 1 z c x + a 1 z c y b 1 z c 1. Il s agit donc d une ellipse. Ainsi la section d un ellipsoïde par un plan horizontal est une ellipse. Il en est de même lorsqu on coupe l ellipsoïde par un plan x x ou y y. Ainsi un ellipsoïde a la forme d un ballon de rugby aplati, comme représenté figure 6.1. Si a b c R, l ellipsoïde est la sphère de centre O de rayon R. z θ M dσ y x Figure 6.1 Figure 6. ϕ Il est souvent commode d utiliser une représentation paramétrique d une surface. Puisqu une surface est un objet à deux dimensions, il est nécessaire d utiliser deux paramètres. Ainsi une représentation paramétrique d une surface est de la forme x f u, v, y g u, v, z h u, v. On parle alors de nappe paramétrée. Exemple 6.3 paramétrée par La surface de la sphère de centre O de rayon R peut être x R sin θ cos ϕ, y R sin θ sin ϕ, z R cos θ, 6.8 où θ varie entre et π, tandis que ϕ varie entre et π figure 6.. En effet, le paramétrage 6.8 n est pas autre chose que les formules de passage des

5 Chapitre 6 : Analyse vectorielle 37 coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes, avec r R formules 5.1, puisque le point M se déplace à la surface de la sphère. 6.. Vecteur normal à une surface Théorème 6.1 Un vecteur normal à la surface Σ d équation cartésienne F x, y, z au point M x, y, z est le vecteur N gradf M. Démonstration Déplaçons le point M d un déplacement infinitésimal dm en restant sur la surface Σ figure 6.3. Alors F reste égal à dans ce déplacement, de telle sorte que df. Or df grad F M. dm. Il en résulte que grad F M. dm pour tout déplacement dm sur Σ, c est-à-dire que grad F M et dm sont orthogonaux pour tout déplacement infinitésimal sur la surface de Σ à partir de M. Ainsi gradf M est bien normal à Σ au point M. grad f M n 1 Σ M dm Σ M n Figure 6.3 Figure 6.4 Exemple 6.4 Si P est le plan d équation ax+by +cz +d, un vecteur normal à P est N gradf F dx i + F y j + F z k a i + b j + c k. Le vecteur normal est indépendant de M et on retrouve le théorème 9.. Exemple 6.5 Soit M x, y, z un point de l ellipsoïde d équation cartésienne x + y + z 1. Un vecteur normal en M est a b c N gradf F dx i + F y j + F z k x a i + y b j + z c k. Dans le cas particulier de la sphère de centre O de rayon R, on voit que N R x i + y j + z k OM. R On retrouve ainsi que le rayon OM est orthogonal à la surface de la sphère, ce qui est évident géométriquement.

6 38 Chapitre 6 : Analyse vectorielle Remarque 6.3 Soit N un vecteur normal en un point M d une surface Σ. On peut définir deux vecteurs normaux unitaires en M figure 6.4 : n 1 N N et n N N n 1. Lorsqu on a choisi un des deux vecteurs normaux unitaires, on dit qu on a orienté la surface Σ. Ceci revient à définir un sens positif de traversée de Σ dans le sens du vecteur normal unitaire n choisi. Remarque 6.4 On dit qu une surface de l espace est fermée lorsqu elle délimite un intérieur et un extérieur. Par exemple une sphère ou un ellipsoïde sont des surfaces fermées. Par contre un plan n en est pas une. Par convention, une surface fermée est toujours orientée vers l extérieur, c est-à-dire que son vecteur normal unitaire est dirigé vers l extérieur. Ainsi la sphère de centre O de rayon R est orientée par le vecteur normal unitaire n OM OM 1 R x i + y j + z k Lignes de champs et surfaces équipotentielles Soit E un champ de vecteurs. On appelle ligne de champ toute courbe L telle que, en tout point M de L, le champ E en M est tangent à L. Par exemple, si E g k est le champ de pesanteur au voisinage du sol, les lignes de champ sont les droites verticales figure 6.5. Si E k r er est un champ newtonien d origine O, les lignes de champ sont les droites passant par O figure 6.6. g g g E E E g E E g Figure 6.5 Figure 6.6 Supposons maintenant que le champ E dérive d un potentiel scalaire V ; alors E grad V. On appelle surface équipotentielle toute surface où les points sont au même potentiel, c est-à-dire d équation V C, où C est une constante donnée.

7 Chapitre 6 : Analyse vectorielle 317 Ainsi, le flux du champ newtonien E k r er à travers Σ vaut φ kω. Montrons que la formule 6.17 généralise la définition géométrique lorsque la droite OM coupe Σ en un seul point M pour tout point M de Σ figure La surface fermée ABCDA B C D est alors un tube de champ pour le champ newtonien E 1 1 r er, puisque le champ est tangent à chacune des surfaces latérales ABB A, BCC B, CDD C et DAA D. Le champ newtonien étant à flux conservatif exemple 6.15, le flux entrant est égal au flux sortant, qui est, par 6.17, l angle solide Ω. En notant S la surface A B C D sur la sphère de centre O de rayon 1, nous avons donc Ω S 1 r er. n.dσ S dσ S, puisque au point N situé à la surface de la sphère, on a r 1 et e r n. L angle solide défini par Gauss comme le flux d un champ newtonien généralise bien la définition géométrique. Théorème 6.4 L angle solide sous lequel on voit une surface fermée Σ depuis un point O de l espace vaut 4π si le point M est intérieur à Σ, et si le point O est extérieur à Σ. Démonstration Si on regarde Σ depuis un point intérieur, on est complètement entouré par elle. L angle solide correspond donc à tout l espace, c est-à-dire 4π sr. Si on regarde la surface depuis un point extérieur, le flux de E 1 à travers Σ est nul, car E 1 est à flux conservatif dans Σ. Les basiques Exercices du chapitre 6 Exercice 6.1 A Calculer rot E, où E k r er est un champ newtonien. Exercice 6. A Démontrer que rot gradu et div rot E. Exercice 6.3 A Soit λ λm une fonction scalaire, E E M et F F M des champs de vecteurs. Démontrer les formules suivantes : 1 divλ E E. grad λ + λ div E. div E F F. rot E E. rot F. Exercice 6.4 A Transformer u rotλ E et v rot rot E.

8 318 Chapitre 6 : Analyse vectorielle Exercice 6.5 A Soit ω un vecteur constant, et soit V ω OM. Démontrer que ω 1 rot V. Exercice 6.6 B Calculer l intégrale de surface I S f M dσ, où f M f x, y, z z. Ici R > est fixé, et S est la demi-sphère d équation x + y + z R, z, Exercice 6.7 B Soit R > et a > et soit S est le cylindre d équation x + y R, z a. Calculer l intégrale de surface I S f M dσ, où f M f x, y, z z x +y. Exercice 6.8 C Soit R > et h >. Soit la portion Σ de cylindre d équation x + y R, z h, x, y. Déterminer le flux du champ de vecteurs E z i + x j 3y z k à travers Σ on précisera l orientation choisie. Exercice 6.9 A,C,E Soit R >, et soit S la demi-sphère d équation z, x + y + z R. Soit E y i + x 1 z j xy k. 1 Calculer rot E. En déduire le flux de rot E à travers S on précisera l orientation choisie. Retrouver ce résultat en utilisant la formule de Stokes. 3 Retrouver ce résultat en fermant la surface S par le disque de centre O de rayon R situé dans le plan Oxy, et en utilisant la formule d Ostrogradski. Exercice 6.1 C,D,E Soit R > donné, et soit S la demi-sphère d équation x + y + z R, z.en utilisant la formule d Ostrogradski, trouver le flux du champ constant E E k à travers S on précisera l orientation de S choisie. Exercice 6.11 C,D,F Soit R > et a >. Soit D le disque de la figure 6.19, centré sur Oy et perpendiculaire à Oy. 1 Calculer l angle solide sous lequel on voit ce disque depuis le point O. Calculer le flux du champ newtonien E k r er à travers D, orienté dans le sens des y croissants. z H R h O b a y M x D a Σ Figure 6.19 Figure 6.

9 Chapitre 6 : Analyse vectorielle 319 Les techniques Exercice 6.1 On se propose de calculer le flux du champ de vecteurs E xy i à travers la surface de la sphère S de centre O de rayon R orientée vers l extérieur, de deux manières différentes. 1 Calcul direct. a Calculer les intégrales I π sin ϕ cos ϕdϕ et J π sin5 θdθ. b Calculer E. n, puis le flux φ du champ E à travers S. Calcul par la formule d Ostrogradski. Calculer div E, en déduire φ. Exercice 6.13 Déterminer le moment d inertie d une sphère creuse homogène, de rayon R, de masse totale M, de masse surfacique µ, par rapport à un axe passant par son centre. Les exotiques et les olympiques Exercice 6.14 Soit Σ le rectangle x a, y b figure 6.. Soit H,, h, avec [ h >. 1 Calculer y y h + x + y ] 1. Montrer que l angle solide Ω suivant lequel on voit Σ du point H vaut Ω hb xa x dx h + x h + b + x. 3 Calculer Ω grâce au changement de variable x h + b tan t.

10 Solutions des exercices du module donc par un hyperplan de R 4. Soit Σ x la section correspondante. Il est clair que Σ x a pour équation y +z +t R x. Il s agit donc d une sphère dans l espace à trois dimensions Oyzt, de rayon ρ R x. L intégrale quadruple qui donne l hypervolume s écrit donc V xr x R au volume ordinaire intérieur à la sphère Σ x. Donc Σx dydzdt dx. Or l intégrale triple correspond R x 3 dx 8 3 π xr x R x 3 dx. V xr 4 x R 3 πρ3 dx 4 3 π xr x R On peut calculer cette intégrale grâce au changement de variable x R sin θ. Il vient V 8 π 3 πr4 cos4 θdθ. Cette dernière intégrale se calcule par linéarisation : cos 4 θ 1 16 e iθ + e iθ e 4iθ + 4e iθ e iθ + e 4iθ cos 4θ + 4 cos θ Il vient finalement V 1 π R 4. Solutions des exercices du chapitre 6 OM OM Exercice 6.1 On a E k k x + y + z 3 x i + y j + z k, d où 3 rot E x x x + y + z 3 E y y x + y + z 3 z x + y + z 3 z [ x z y + y + z ] [ 3 x y z + y + z ] 3 [ x x z + y + z ] [ 3 x z x + y + z ] 3 [ x y x + y + z ] [ 3 x x y + y + z ] 3 3zy x + y + z 5 + 3yz x + y + z 5 3xz x + y + z 5 + 3zx x + y + z 5 3yx x + y + z 5 + 3xy x + y + z 5 Exercice 6. 1 rot gradu gradu U yz U zy U zx U xz U xy U yx div rot E. rot E. E x y z. U x U y U z car U yz U... th. de Schwarz.. zy

11 818 Solutions des exercices du module 3 x x y z E z y. Ey z x y z + y Ex z E x E y E z Ez x + z x y z Ey x. E z y E x z E y x Ex y Ey z Ez x Ex y E z xy E y xz + E x yz E z yx + E y zx E x zy formule Exercice divλ E. λ E x y z. λe x λe y λe z x λe x + y λe y + z λe z. Par la règle de dérivation d un produit : divλ E λ λ E x x + Ey y x E x + λ Ex x + Ez z div E F. E F x E x y. E y E z z + λ x E x + λ + λ y E y + λ Ey y + λ z E z + λ Ez z y E y + λ z E z λdiv λ E + grad λ. E. F x F y F z x y z. E y F z E z F y E z F x E x F z E x F y E y F x x E yf z E z F y + y E zf x E x F z + z E xf y E y F x En utilisant de nouveau la règle de dérivation d un produit, il vient : div E F Ey x F F z + E z y x Ez x F F y E y z x + Ez y F F x + E x z y Ex y F F z E z x y + Ex z F F y + E y x z Ey z F F x E x y z F E z x y Fy z E Fx y z Fz Fy x Ez x Fx y E + F z x y Ey z + F Ex y z Ez Ey x + Fz x Ex y. On reconnaît alors des produits scalaires : div E F F x F y F z F. rot E E. rot F.. E z y E x z E y x Ey z Ez x Ex y E x E y E z. F z y F x z F y x Fy z Fz x Fx y Exercice rotλ E y λe z z λe y z λe x x λe z x λe y y λe x λ y E z + λ Ez y λ z E y λ Ey z λ z E x + λ Ex z λ x E z λ Ez x λ x E y + λ Ey x λ y E x λ Ex y

12 Solutions des exercices du module λ y E z λ z E y λ z E x λ x E z λ x E y λ y E x + λ E z y E x z E y x Ey z Ez x Ex y λ x λ y λ z On a donc finalement rotλ E grad λ E + λ. rot E. rot rot E Ey y x Ex y E z z y Ey z Ex x z Ez x y Faisons apparaître des laplaciens : rot rot E E x x x y z E x x E x x x div E y div E z div E Ex z z Ey x x Ex y E z y Ey z Ez x E y yx + E z zx + E x x E x x E x y E x z E z zy + E x xy + E y y E y x E y y E y z E x xz + E y yz + E z z + Ey y + Ey y + Ez z + Ez z + Ey y + Ez z E x E y E z E z x E x x E y x E z x E z y + E x y + E y y + E z y E x E y E z + λ. rot E. E y yx E x y E x z + E z zx E z zy E y z E y x + E x xy E x xz E z x E z y + E y yz E z z + E x z + E y z + E z z graddiv E E. Exercice 6.5 Posons ω ω x i +ωy j +ωz k, où ωx, ω y, ω z sont des constantes. Alors rot V ω x x x ω y z ω z y rot ω y y y ω z z ω z x ω x z ω x y ω y x y ω xy ω y x z ω zx ω x z z ω yz ω z y x ω xy ω y x x ω zx ω x z y ω yz ω z y On a donc rot V ω, d où ω 1 rot V. z ω x ω x ω y ω y ω z ω z Exercice 6.6 L élément de surface vaut dσ R sin θdθdϕ, et θ varie de à π, ϕ varie de à π, indépendamment l un de l autre figure 6.1. Puisque z R cos θ, il vient I S R 5 zdσ R 5 ϕπ ϕ θ π θ cos θ sin θdθ θ π θ cos θ 1 sin θdθ ϕπ ϕ dϕ 4π 3 R 5 dϕ [ cos θ 3 ] π ω x ω y ω z 4π 3 R 5..