Distance entre deux droites non coplanaires

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1 Distance entre deux droites non coplanaires Hédi Abderrahim Cette notion dans les programmes officiels et les manuels scolaires. Programmes officiels Les textes des programmes officiels stipulent:.. Section: Mathématiques Contenu disciplinaire (page : 48/79) Vecteurs de l espace, opérations, produit scalaire, produit vectoriel. Aptitudes à développer (page : 49/79) Exploiter les opérations sur les vecteurs de l espace Exploiter le produit scalaire et le produit vectoriel dans l espace pour calculer des grandeurs, déterminer des lieux géométriques et étudier des configurations géométriques.. Section: Sciences expérimentales Contenu disciplinaire (page : 56/79) Produit vectoriel dans l espace, propriétés, distance d un point à une droite, distance de deux droites, calcul de volumes. Aptitudes à développer (page : 56/79) Exploiter les opérations sur les vecteurs de l espace Exploiter les propriétés du produit vectoriel dans l espace pour calculer des grandeurs, déterminer des lieux géométriques et étudier des configurations géométriques...3 Section: Sciences techniques Contenu disciplinaire (page : 6/79) Produit vectoriel dans l espace, propriétés, distance d un point à une droite, distance de deux droites, calcul de volumes. Aptitudes à développer (page : 6/79) Exploiter les opérations sur les vecteurs de l espace Exploiter les propriétés du produit vectoriel dans l espace pour calculer des grandeurs, déterminer des lieux géométriques et étudier des configurations géométriques.

2 . Manuels scolaires.. Section: Mathématiques cours : La notion de distance entre deux droites n était jamais évoquée. Exercices : Aucun des 40 exercices de la fin du chapitre ne traite cette question... Section: Sciences expérimentales cours : La notion de distance entre deux droites n était jamais évoquée malgré qu elle est signalée explicitement dans le programme. Exercices : Aucun des 3 exercices de la fin du chapitre ne traite cette question...3 Section: Sciences techniques cours : - Une première activité (l activité 5 page 90) permet de mener les élèves, à partir d un exemple particulier, à vérifier l existence et l unicité de la perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires. (on aurait dû commencer cette activité par demander aux élèves de vérifier que les droites D et D, définies par leurs représentations paramétriques sont non coplanaires). - Une deuxième activité (l activité 6 page 90) permet de mener les élèves à démontre une formule de calcul de la distance entre deux droites non coplanaires. La question 3) de cette activité offre une occasion pour appliquer cette formule. Exercices : Aucun des 6 exercices de la fin du chapitre n offre une occasion d application de la formule établie dans le cours. Droites non coplanaires. Rappel D et D : droites de l espace non coplanaires coplanaires parallèles sécantes D = D D D = Φ Deux droites D et D de l espace sont dites non coplanaires s il n existe pas un plan qui les contient à la fois.. Exemple de deux droites non coplanaires Dans les deux figures ci-dessous, les droites (BI) et (DG) sont non coplanaires.

3 3 Distance entre deux droites non coplanaires 3. Définition On appelle distance entre deux droites non coplanaires, la plus petite distance qui sépare deux points respectivement pris sur chacune de ces deux droites. 3. Propriété caractéristique La distance entre deux droites non coplanaires est égale à la distance entre les points d intersection de leur perpendiculaire commune avec chacune d elles. 3.3 Phase expérimentale Soit D et D deux droites non coplanaires et M et M deux points qui varient respectivement sur D et D. Conjecture : La distance MM est minimale lorsque la droite (MM ) est perpendiculaire à D et D à la fois. 3.4 Exercice d application 3.4. Enoncés: Version - Public ciblé: élèves des sections Math et Sc.Ex L espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère la droite D passant par le point A (,, ) et de vecteur directeur u et la droite D passant par le point A (0,, ) et de vecteur directeur u. Déterminer une représentation paramétrique pour chacune de deux droites D et D. Montrer que D et D ne sont pas coplanaires. 3. Déterminer le point M de D et le point M de D tels que la droite (MM ) soit perpendiculaire à D et D. 4. En déduire la distance entre D et D. 3

4 3.4. Solution x = t. D : y = + t z = + t (t IR) x = t D : y = 3t z = + t (t IR). On a: * 3 = u et u ne sont pas colinéaires = D et D ne sont pas parallèles. * De plus, dans le système : t = t () + t = 3t () les équations () et (3) donnent t = t = 3 : + t = + t (3) ces valeurs ne vérifient pas l équation (), donc le système n a pas de solution et par suite D et D ne sont pas sécantes. Conclusion : D et D n étant ni parallèles ni sécantes alors elles sont non coplanaires. 3. } M D M( t, + t, + t) M D M (t, 3t, + t ) = t + t MM 3t t + 3 t t { (MM ) D MM. u = 0 (MM ) D MM. u = 0 par suite, M( 49, 7, 56 ) et M ( 44, 4, 57 ) { 7t + 6t = 8 4t + 7t = 3 4. La distance entre les droites D et D est égale à la distance MM et on a : (44 ) ( ) ( ) MM = + + = t = 3 5 t = Enoncés: Version - Public ciblé: élèves des sections Math et Sc.Ex L espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère la droite D passant par le point A (,, ) et de vecteur directeur u et la droite D passant par le point A (0,, ) et de vecteur directeur u. Déterminer une représentation paramétrique pour chacune de deux droites D et D. Montrer que D et D ne sont pas coplanaires. 3. Soit n = u u, P le plan contenant la droite D et une droite D de vecteur directeur n et P le plan contenant la droite D et une droite D de vecteur directeur n. Montrer que P et P se coupent suivant une droite dont on déterminera une représentation paramétrique. 4. Montrer que est la perpendiculaire commune à D et D. 5. En déduire la distance entre D et D. 4

5 3.4.4 Solution. Voir la solution proposée dans la version. Voir la solution proposée dans la version 3. On a: n = u 5 u = n 3 P est le plan qui contient la droite D et une droite D de vecteur directeur n alors P (A, u, n ) x 5 M(x, y, z) P y + 3 = 0 = P : 5x 4y + 3z 7 = 0 z et par suite 5 v 4 est un vecteur normal à P. 3 P est le plan qui contient la droite D et une droite D de vecteur directeur n alors P (A, u, ) n M(x, y, z) P x 5 y 3 3 z et par suite 0 v est un vecteur normal à P. 3 On a: * = v 4 et v 4 ne sont pas colinéaires 3 3 donc ils se coupent suivant une droite * : { 5x 4y + 3z 7 = 0 y + 3z 5 = 0 = 0 = P : y + 3z 5 = 0 = P et P ne sont pas parallèles d où une représentation paramétrique de : 4. On a: 5 0 * Le vecteur w est un vecteur directeur de et u 3 = w. u = = 0 = w u = D 5 * Le vecteur w est un vecteur directeur de et u = w. u = = 0 = w u = D x = 5k y = 5 3k z = k On déduit que : est la perpendiculaire commune à D et D. x = t 5. * D : y = + t z = + t (t IR) B (x, y, z) D t = 3 5 et k = 8 5 x = 5k : y = 3k + 5 z = k ( 7 = B 5, 5, 8 ) 5 (k IR) 5

6 x = t * D : y = 3t + z = t + (t IR) B (x, y, z) D t = et k = 57 x = 5k : y = 3k + 5 z = k = B ( 44, 4 5, 57 (k IR) ) * La distance entre les droites D et D est égale à la distance BB et on a : (44 ) ( ) ( ) BB = + + = Enoncés: Version 3 - Public ciblé: élèves de la section Sc.Techniques L espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère la droite D passant par le point A (,, ) et de vecteur directeur u et la droite D passant par le point A (0,, ) et de vecteur directeur u. Déterminer une représentation paramétrique pour chacune de deux droites D et D. Montrer que D et D ne sont pas coplanaires. 3. Calculer la distance entre D et D Solution. Voir la solution proposée dans la version. Voir la solution proposée dans la version 3. On a D(A, u) et D (A, u ) alors la distance entre D et D est le réel d défini par: d = ( u u ). AA u u Dans notre cas, nous avons: A (,, ) et A (0,, ) = AA 3 0 u 5 u 3 = u u = = et ( u u ). AA = = donc d = = Particularité de la section Sc. techniques: Contrairement à ceux de deux autres sections, les élèves de cette section ont vu dans le cours une formule qui permet le calcul direct de la distance entre deux droites non coplanaires, alors ils sont appelés à la connaître et savoir l appliquer. 6