TD 1: Calcul propositionnel

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1 Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne. L1 MIASHS -Fondement des mathématiques TD 1: Calcul propositionnel Exercice 1. Soit p la proposition il fait froid et q il pleut. Donner l énoncé en language naturel des propositions suivantes.: 1. p 2. p ^ q 3. p _ q 4. p, q 5. p ) q 6. q _ p 7. p ^ q 8. p, q 9. (p ^ q) ) p Exercice 2. Soit p la proposition ce chien est petit et q cechienest gris. écrire chacune des propositions suivantes sous forme symbolique en utilisant p et q. 1. ce chien est petit et gris 2. Ce chien est grand et gris 3. Il est faux que ce chien soit petit ou gris 4. Ce chien est petit ou il est grand et gris 5. Ce chien n est ni vêtit ni gris. 1

2 Exercice 3 (D après Tristan Bernard) Soit p il pleut, q ilvapleuvoir et r de Deauville on peut voir Le Havre. Donner un énoncé en language naturel qui traduit la proposition suivante: (r ) q) ^ ( r ) p). Exercice 4. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes: 1. Si = 7 alors = 8 2. Il est faux que = 5 si et seulement si = Paris est en Angleterre ou Venise n est pas en Italie/ 4. Il est faux que = 3 ou = 3 5. II est faux que si Paris est en Angleterre alors Londres est en France. Exercice 5. Déterminer la négation des propositions suivantes: 1. Il est grand et beau 2. Il n est ni riche ni heureux 3. Si elle vient elle parlera avec toi. 4. ni Marc ni Eric ne sont joyeux. 5. Si Marc est triste, alors Marie et Jean sont heureux. 6. Marc ou Eric sont élégants et Marie est grande. Exercice 6. Déterminer la table de vérité des propositions suivantes puis déterminer leur négation. 1. (p) ^ q 2. (q) ) (p) 3. (p ^ q) ) (p _ q) 4. (p ^ q) _ (p, q) 2

3 5. ( (p ^ q) ) r) ) (q ^ r) Exercice 7 Démontrer que les propositions suivantes sont des tautologies (i.e qu elles sont vraies indépendamment de la valeur de vérité des propositions constituantes): 1. (p ^ q) _ r, (p _ r) ^ (q _ r) 2. (p _ q) ^ r, (p ^ r) _ (q ^ r) 3. (p ^ q), p _ q 4. (p _ q), p ^ q 5. (p ) q), p ^ q 6. p ^ (q ^ r), (p ^ q) ^ r 7. p _ (q _ r), (p _ q) _ r Exercice 8. Démontrer que les propositions suivantes sont des tautologies (si non démontrées en cours): 1. Raisonnement par contraposée: [p ) q], [ q ) p] 2. Raisonnement par l absurde: [(p ) q) ^ q] ) p 3. Raisonnement par disjonction des cas: [(p_q)^(p ) r)^(q ) r)] ) r 4. Transitivité de l implication: [(p ) r) ^ (q ) r)] ) [p ) r] 5. Raisonnement par double implication: [(p ) q) ^ (q ) p)], [p, q] Exercice 9. Soit P, Q, R des propositions. Indiquer si les propositions suivantes sont toujours vraies, toujours fausses, ou si leur valeur dépend de celles de P, Q, R. 1. [P _ (Q ^ R)] ^ (Q _ R). 2. [Q ) P ] ^ (P, Q) ^ (R ^ P ). 3. ( P ) Q) _ (Q ) P ). 3

4 Exercice 10. Montrer que les propositions suivantes sont des tautologies 1. R ) (S ) R). 2. R ) [( R) ) S]. 3. (R ) S) ) [(S ) T ) ) (R ) T )]. 4. (R _ S), [(R ) S) ) S]. Exercice 11. On appelle forme propositionnelle, une application qui associe à un nombre fini de propositions (les variables) une nouvelle proposition. 1. Combien y-a-t-il de formes propositionnelles dépendant d une seule variable? de deux variables? 2. Démontrer par récurrence sur le nombre de variables (propositions) que toute forme propositionnelle peut s exprimer en fonction des trois connecteurs logiques _, ^ et 3. Démontrer que toute forme propositionnelle peut s exprimer en fonction des deux connecteurs logiques et ^. 4. Démontrer que toute forme propositionnelle peut s exprimer uniquement en fonction du connecteur logique (ou exclusif) dont la table p q p q de vérité est donnée par:

5 Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne. L1 MIASHS -Fondement des mathématiques TD 2: Calcul des prédicats Exercise 1. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes: 1. 9x 2 R x 2 2x +1=0 2. 9x 2 R x 2 + x +1=0 3. 9x 2 C x 2 + x +1=0 4. 8x 2 R x = x 5. 8x 2 R + x = x 6. 9x 2 R8y 2 R x y 7. 9x 2 R9y 2 R x y 8. 8x 2 R9n 2 N n>x8x2r +9n 2 N 1 <x n Exercise 2. Déterminer la négation des propositions précédentes. Exercise 3. Soit p(x, y, z)unprédicatsurr R R, déterminerlesrelations logiques entre les proposition suivantes: 1. 8x 2 R 8y 2 R 9z 2 R p(x, y, z) 2. 9z 2 R8x 2 R 8y 2 R p(x, y, z) 3. 8y 2 R8x 2 R 9z 2 R p(x, y, z) 4. 8x 2 R 9z 2 R 8y 2 R p(x, y, z) Exercise 4. Déterminer la négation des propositions suivantes. 1. 8x 2 R9y 2 R8z 2 R (x 2 [y, z] or z 2 [x, y]) 1

6 2. 9x 2 R 9n 2 N 8z 2 R (z n ) x apple z) Exercice 5. Ecrire les négations des phrases suivantes (on ne demande pas évidemment de simplement faire précéder la phrase d un ) : 1. 8" >0, 9` 2 R +, 8a 2 R, 9 2 [a, a + `], 8t 2 R, f(t + ) f(t) apple". 2. Tout triangle rectangle possède un angle droit. 3. Pour tout entier x, ilexisteunentiery tel que pour tout entier z, la relation z<yimplique la relation z<x+ 1. Exercice 6. On associe au nombre réel x 2 R la proposition: P (x) :=8y 2 R 9n 2 N x n y 1. Donner un exemple de réel x 2 R tel que P (x) soit vraie (justifier votre réponse). 2. Déterminer la négation Q(x)deP (x). Donner un exemple de réel x 2 R tel que Q(x) soitvraie(justifiervotreréponse). 3. Déterminer si les proposition suivantes sont vraies ou fausses (justifier vos réponses): (a) 9x 2 R P (x) (b) 8x 2 R P (x) (c) 8x 1 P (x) (d) x>1 ) P (x) (e) P (x) ) x 1 2. Exercice 7. Montrer que l assertion : 1. 8" >0, 9N 2 N, 8n N, 1 n 2. 9N 2 N, 8" >0, 8n N, 1 n apple " est vraie. apple " est fausse. 2

7 Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne. L1 MIASHS -Fondement des mathématiques TD 3: Théorie naïve des ensembles Exercice 1. Soient A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, etc = {3, 4, 5, 6}. Déterminer A[B, A [ C, B [ C et A [ A Exercice 2. Soient A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, etc = {3, 4, 5, 6}. 1. Déterminer A \ B, A \ C, B \ C anda \ A 2. Déterminer (A \ B) \ C and A \ (B \ C). Exercice {1, 2, 3, 4}\{x 2 N 9y 2 N x =2y} =? 2. {x 2 N x apple 40}\({x 2 N 9y 2 N x =3y}\{x 2 N 9y 2 N x = 4y}) =? Exercice 4. Dire si les a rmations ont un sens et sont justes, et si non, les corriger de sortes qu elles le deviennent : {1; 2} {1; 2} {{1}, 2}. 4. L ensemble ; azéroélément. 5. ; = {;}. 6. L ensemble {;, ;} aunélément. 1

8 Exercice 5. Soit un ensemble et A, B et C trois sous-ensembles de. 1. Démontrer que si A [ B A alors B A. 2. Démontrer que si A [ B = A \ C alors B A C. 3. Démontrer que si A [ B = A [ C et si A \ B = A \ C alors B = C. Exercice 6. Démontrer les propriétés suivantes (sauf celles déjà démontrées en cours) Idempotence: A [ A = A A\ A = A Associativité: (A[B)[C = A[(B[C) (A\B)\C = A\(B\C) Commutativité: A [ B = B [ A A\ B = B \ A Distributivité A[(B\C) =(A[B)\(A[C) A\(B[C) =(A\B)[(A\C) Elément neutre A [;= A A\ U = A Elément absorbant A [ U = U A\;= ; Lois du complémentaire A [ A c = U A\ A c = ; (A c ) c = A U c = ; 2

9 Lois de Morgan (A[B) c = A c \B c (A\B) c = A c [B c Exercice 8. On suppose que U est l ensemble de tous les ensembles et on pose A = {x 2 U x 62 x}. 1. Montrer qu on ne peut avoir A 2 A. 2. Montrer qu on ne peut avoir A 62 A. 3. Qu en déduisez-vous sur l ensemble de tous les ensembles? Exercice 8. Soient A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, etc = {3, 4, 5, 6}. Déterminer A/B, A/C, B/C anda/a Exercice 9. Soient A et B deux ensembles. Démontrer que: 1. (A B) \ B = ; 2. (A B) \ (B A) =; 3. (A B) \ (A \ B) =; 4. (A B) =(B A) ifandonlyifa = B Exercice 10 Soient U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} et A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, and C = {3, 4, 5, 6}. Déterminer les complémentaires dans U suivants: A c B c C c (A [ B) c and (A \ C) c Exercice 11 Quel est le complémentaire de l ensemble des entiers positifs pairs dans l ensemble des entiers positifs? Dans l ensemble des entiers relatifs? Exercice 12 Soient A et B deux ensembles. Montrer que A c B c = B A 3

10 Exercice 13 Soient A et B deux ensembles tels que A \ B = ;.Montrer que: A [ B c = B c Exercice Soit A = {0, 1}. Déterminer P(A) 2. Soit B = {x 2 R x 2 =0}. Déterminer P(B) 3. Déterminer P(;), P(P(;)), P(P(P(;))). Exercice 15. Soit E un ensemble tel que Card E = n, oùn 2 N. Démontrer par récurrence sur n que Card P(E) =2 n. Exercice 16 Soit E un ensemble et Q un sous-ensemble de P(E). Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes. 1. 8(A, B) 2Q 2, (A B 2Q,A\ B 2Q) 2. 8(A, B) 2Q 2, (A B 2Q,A[ B 2Q) 3. 8(A, B) 2Q 2, (A/B 2Q,A[ B 2Q) N.B: A/B est la di érence ensembliste et A A et B : A B := (A/B) [ (B/A). B la di érence symétrique de Exercice 17. Soient A = {a, b}, B = {2, 3}, C = {3, 4}. Déterminer: 1. A (B [ C) 2. (A B) [ (A C) 3. A (B \ C) 4. (A B) \ (A C) 4

11 Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne. L1 MIASHS -Fondement des mathématiques TD 4: Fonctions Exercice 1 On définit deux fonctions f,g :[0, 1]! [0, 1] par: ( 3x si x 2 [0, 1 f(x) = 3 ] 1 sinon ( 0 si x 2 [0, 2 g(x) = 3 ] 3x 2 sinon Déterminer f g et g f. Exercice 2 Déterminer si les applications suivantes sont injectives, bijectives, surjectives. f : N! N, n7! n +1 g : Z! Z, n7! n 1 h : R 2! R 2, (x, y) 7! (x + y, x y) Exercice 3. Déterminer si les applications suivantes sont injectives, bijectives, surjectives f : R! R x 7! x 3 g : [0, ]! [ 1, 1] x 7! sin(x) h : [0, ]! [0, 1] x 7! sin(x) i : [, ]! [ 1, 1] x 7! sin(x) 1

12 5. j : [ 2, ]! [ 1, 1] 2 x 7! sin(x) k : R! R x 7! x 2 +2x +1 ` : R +! [1, +1] x 7! x 2 +2x +1 Exercice 4. Déterminer (en utilisant les notations de l exercice précédent) les images inverses et réciproques suivantes: f([0, 1]),f 1 (R + ),f(r),i 1 [0, 1],k 1 (R + ), k(r + ). Exercice 5. On considère l application f : R 2! R définie par f(x, y) = x 2 + y. 1. Montrer que f n est pas injective. En déduire qu il n existe pas de fonction g : R! R 2 telle que g f = Id R Montrer que f est surjective, et que l application h : R 2! R 2 définie par h(x, y) =(x, x 2 + y) estunebijection. 3. Trouver une application g : R! R 2 telle que f g = Id R. Exercice 6 Soit f : A! B et g : B! C des applications. Montrer que g g f injective implique f injective. f surjective implique g surjective. Exercice 7 Soit f : N 2! N, (n, p) 7! 2 n (2p +1). Montrer que f est une bijection. Exercice 8 Soit f : X! Y. équivalentes : Montrer que les conditions suivantes sont 1. f est injective. 2

13 2. Pour tous A, B 2P(X), on a f(a \ B) =f(a) \ f(b) Exercice 9 Soit f : R! R définie par f(x) = 1. f est-elle injective? surjective? 2. Montrer que f(r) =[ 1, 1] 2x 1+x 2 3. Montrer que la restriction g :[ 1, 1]! [ 1, 1] est une bijection. Exercice 10 Déterminer les domaines et images sur lesquels les applications suivantes sont bijections et donner leur réciproque: 1. f(x) = p x 1 ( 3 x si x apple 1 2. g(x) = 2 3 2x si x>1 Exercice 11 Soient E un ensemble,et A et B deux parties de E. Onpose: f : : P(E)! : P(A) : P(B) X 7! (X \ A, X \ B) 1. Montrer que f est injective si et seulement si A [ B = E. 2. Montrer que f est surjective si et seulement si A \ B = ;. 3. Donner une condition nécessaire et su sante sur A et B pour que f soit bijective. Donner dans ce cas la bijection réciproque. Exercice 12 Déterminer toutes les applications h de E = {0, 1, 2, 3, 4} dans lui-même telles que pour tout x, y dans E on ait h(x + y) =h(x)+h(y). Exercice 13. Donner des exemples de familles d ensembles indicées par N, Z, R. Exercise 14. Soit (D n ) n2n la famille d ensembles indicée par N définie par D n =] 1, 2 [. Déterminer: n n 3

14 1. D 3 [ D 7 2. D s [ D t pour s, t 2 N 3. [ i2n D i 4. D 3 \ D D s \ D t pour s, t 2 N 6. \ i2n D i 4

15 Exercice 18. Représenter dans un repère cartésien l ensemble: {x 2 R 1 apple x apple 4} {x 2 R 2 apple x apple 3} Exercice 19. Démontrer que: A (B \ C) =(A B) \ (A C) Exercice 20. Donner un exemple de sous-ensemble de R 2 qui ne soit pas de la forme A B où A et B sont des sous-ensembles de R. 5

16 Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne. L1 MIASHS -Fondement des mathématiques TD 5: Relations Exercice 1 1. Dessiner le graphe des relations suivantes dans R :, apple,>,<. 2. De quell relation binaire dans R la droite y = x est-elle le graphe? 3. Graphiquement, quelle propriété a le graphe d une relationbinaire dans R qui est which is réflexive? symétrique? anti-symétrique? Exercice 2 Soit X = {1, 2, 3, 4}. Sur X on considère la relation dont le graphe est l ensemble G suivant : G = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}. Cette relation est-elle réflexive? symétrique? anti-symétrique? transitive? Exercice 3 1. Donner un exemple de relation à la fois symétrique et anti-symétrique. 2. Soit E un ensemble fini ayant n éléments. Combien y a -t-il de relations sur E qui soient à la fois symétriques et anti-symétriques? Exercise 4. Les relations suivantes sont elles réflexive? transitive? symétrique? anti-symétrique? 1. Dans N, arb si et seulement si a divise b 2. Dans P(E), la relation d inclusion. 3. Dans R, la relation xr si et seulement si x = y 4. Dans P(E), la relationarb si et seulement si A \ B = ; 1

17 5. Dans R, the relation xry si et seulement si u(x) >u(y) oùu : R! R. 6. Dans R, the relation xrysi et seulement si u(x) u(y) oùu : R! R. 7. Dans R, the relation xrysi et seulement si u(x) u(y) oùu : R! R est une fonction croissante. 8. Dans Z N {0}, la relation (a, b)r(c, d)si et seulement si ad bc =0 Exercise 5. Les relations précédentes sont-elles des relations d équivalence?desrelationsd ordre? Exercice 6 Déterminer lorsque cela est possible les bornes inférieures et supérieures, ainsi que les maxima et minima des sous-ensembles de R suivants : 1 A 1 =[ 1, 3]; A 2 =] 12, 3] [{1}; A 3 = n +( 1)n,n2N Exercise 7. Soient R et S deux relations d ordre totales sur E telles que 8(x, y) 2 E E xry ) xsy Montrer que 8(x, y) 2 E E xry, xsy Exercise 8. Soit (E) l ensembledespartitionsdee et R la relation dans (E) définiepar 1 R 2,8P P 2 2 2,P 1 P 2. Montrer que R est une relation d ordre. Quels sont les éléments minimaux et maximaux de R? Exercise 9. Les ensembles suivants ont-ils un minimum? un maximum? une borne supérieure? une borne inférieure? Subsets of R : 1. ]0, 1[ 2

18 2. [ n2n { n} 3. [0, 1] 4. { 1 } n n2n {0} 5. { 1} x x2r {0} Subsets of Q 1. {x 2 Q x>0} 2. {x 2 Q x> } Exercise 10. Soit A une partie non vide de R, onposeb = A := {b 2 R 9a 2 A, b = a}, c est-à-direb 2 B si et seulement si b 2 A. Montrer que A est majoré si et seulement si B est minoré. Montrer que A est minoré si et seulement si B est majoré. Montrer que est un minorant de A si et seulement si est un majorant de B. Exercise 11. Soit E un ensemble ordonné tel que tout sous ensemble majoré de E admet une borne supérieure. Montrer que tout ensemble minoré de E admet une borne inférieure. 3

19 Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne. L1 MIASHS -Fondement des mathématiques TD 6: Nombres entiers On rappelle les axiomes de Peano: Axiome: 1 (de Peano) Il existe un ensemble appelé ensemble des entiers naturels est noté N, un élément 0 2 N appelé zéro et une application s : N! N appelée successeur, vérifiant les propriétés suivantes: s(n) (0 n est le successeur d aucun entier). 2. s est injective (deux entiers ayant le même successeur sont égaux) 3. Si A N est telle que 0 2 A et 8n 2 As(n) 2 A alors A = N (principe de récurrence). Exercice 1 Quels axiomes de Peano l ensemble {0, 1, 2, 3}, muni de la fonction successeur s définie par s(0) = 1, s(1) = 2, s(2) = 3 et s(3) = 0 ne vérifie-t-il pas? Exercice 2 Donner un exemple d ensemble muni d une fonction successeur qui vérifie tous les axiomes de Peano sauf l axiome de récurrence. Exercice 3 On rappelle que la multiplication dans N est définie par les deux propriétés suivantes: 1. n 0=0 2. 8p 2 N n s(p) =(n p)+n 1

20 En s inspirant des preuves vues en cours pour l addition, montrer que la multiplication est associative et commutative. Exercice 4 Monter que tout entier est pair ou impair, i.e que 8n 2 N 9p 2 N (n =2 p _ n =2 p +1) Exercice 5 Soit n 1,. Déterminerlerestedansladivisioneuclidiennepar n de la somme des n premiers entiers. Exercice 6 Démontrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9. 2

21 Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne. L1 MIASHS -Fondement des mathématiques TD 6: Nombres réels Exercice 1 Déterminer l écriture décimale de la fraction 2/7 et vérifier qu elle devient périodique. Exercice 2 Déterminer la fraction correspond au développement décimal 22, Exercice 3 1. Montrer que pour tout réel x et pour tout rationnel y, x est rationnel si et seulement si x + y est rationnel. 2. En déduire que l ensemble {y + p 2,y2 Q} est infini. 3. En déduire que l ensemble des irrationnels est infini. Exercice 4 Soit A une partie non vide de R, onposeb = A := {b 2 R 9a 2 A, b = a}, c est-à-direb 2 B si et seulement si b 2 A. Montrer que A est majoré si et seulement si B est minoré. Montrer que A est minoré si et seulement si B est majoré. Montrer que est un minorant de A si et seulement si est un majorant de B. En déduire (en se basant sur l axiome de la borne supérieure) que si A est minoré, l ensemble des minorants de A possëde un plus grand é l é m e n t q u i s e r a n o t é i n f ( A). Montrer que inf A = sup B. 1

22 Exercice 5 Soit A une partie non vide de R, dontlaborneinfvaut. On suppose que /2 A, montrerqueane possëde pas de plus petit élément. Exercice 6 Soit A et B deux parties non vides de R telles que : 8(a, b) 2 A B, a apple b. Démontrer que sup A et inf B existent et que sup A apple inf B. Exercice 7 Soit A une partie bornée de R et 2 R. on pose B = A := {b 2 R 9a 2 A, b = a}. Montrer que lorsque 6= 0,b 2 B si et seulement si b/ 2 A. Expliciter B lorsque =0. Montrer que sup B = sup A si 0. On pourra distinguer ( =0). Montrer que sup B = inf A si <0. Exercice 8 Déterminer lorsque cela est possible les bornes inférieures et supérieures, ainsi que les maxima et minima des sous-ensembles de R suivants : 1 ln(x) A 1 =[ 1, 3]; A 2 =] 12, 3][{1}; A 3 = n +( 1)n,n2N et A 4 = x,x>0. Exercice 9 Soit A et B deux parties majorées et non vides de R. Ondéfinit A + B = {a + b, (a, b) 2 A B}. Montrer que A, B, A + B admettent des bornes supérieures dans R et que sup(a + B) = sup(a)+sup(b). Exercice 10 Soit X un ensemble non vide et f et g deux applications bornées de X dans R. Comparer sup X (f +g) etsup X f +sup X g.donnerunexemple où l inégalité est stricte. Montrer que sup X (f g) sup X f sup X g. A-t-on sup X (f g) sup X f sup X g Exercice 11 Soit A, B et C trois ensembles de réels, non vides et bornés, et soit f et g des applications bijectives telles que f : A! B et g : B! C. Déterminer sup g f en fonction de sup f et sup g. Exercice 12 Soient x, y 2 R, Démontrer les inégalités suivantes: 2

23 1. x + y apple x + y + x y xy 1 apple(1 + x 1 )(1 + y 1 ) 3. x+y 1+ x+y apple x 1+ x + y 1+ y 3

24 Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne. L1 MIASHS -Fondement des mathématiques TD 8: Complexes et Polynômes Exercice 1 Déterminer le module et l argument des nombres complexes suivants: i p z pour z = e i aves 2 [0, ] 3. 1+z + z 2 pour z = e i aves 2 [0, ] Exercice 2 Résoudre les équations suivantes 1. z 2 =3+4i 2. z 2 =8 6i 3. z 2 = p 3+i 4. z 5 = i 5. z 2 2iz 1+2i =0 Exercice 3 On veut montrer que si A, B 2 K[X] sont tels que D = pgcd(a, B) alorsilexisteu, V 2 K[X] telsqued = AU + BV. 1. Soit R 0 le reste dans la division de A par B. Montrer qu il existe U 0,V 0 2 K[X] telsquer 0 = AU 0 + BV Soit R 1 le reste dans la division de B par R 0 Montrer qu il existe U 1,V 1 2 K[X] telsquer 1 = AU 1 + BV On définit par récurrence R n comme étant le reste dans la division de R n 2 par R n 1. Montrer par récurrence qu il existe U n,v n 2 K[X] tels que R n = AU n + BV n. 1

25 4. Rappeler pourquoi il existe n 2 N tel que R n =pgcd(a, B) etconclure. Exercice 4 Calculer le quotient et le reste de la division de P par Q dans les cas suivants: 1. P (X) =X 4 + X 2 + X et Q(X) =X 2. P (X) =X 4 + X 2 + X et Q(X) =X P (X) =X 5 et Q(X) =X 3 +2X +1 Exercice 5 Déterminer les pgcd des couples de polynômes suivants: 1. A(X) =X 4 3X 3 + X 2 +4etB(X) =X 3 3X 2 +3X 2 2. A(X) =X 5 X 4 +2X 3 2X 2 +2X 1etB(X) =X 5 X 4 +2X 2 2X+1 Exercice 6 Décomposer les polynômes suivants en facteurs irréductibles dans R[X] 1. X X X 4 6X 3 +9X 2 2