5 FILTRES A REPONSE IMPULSIONNELLE FINIE FILTRES RIF

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1 ENSI Caen - Informatique A 5 FILRES A REPONSE IMPULSIONNELLE FINIE FILRES RIF 8 9

2 ENSI Caen - Informatique A I. PROPRIEES... I.. FONCION DE RANSFER (RAPPELS):... I.. EXEMPLES :... I.3. FORME RECURSIVE :... II. FILRES A PHASE LINEAIRE... II.. INERE D UNE PHASE LINEAIRE :... II.. CONDIIONS D OENION D UNE PHASE LINEAIRE :...3 II.3. PREMIER CAS PARICULIER : ϕ, FILRES DE YPES I E II...4 Répone impulionnelle :...4 Répone fréquentielle type I :...4 Répone fréquentielle type II :...4 II.4. DEUXIEME CAS PARICULIER : ϕ -π/, FILRES DE YPE III E IV:...5 Répone impulionnelle :...5 Répone fréquentielle type III :...5 Répone fréquentielle type IV :...5 II.5. AVANAGE PRAIQUE :...6 III. SYNHESE PAR LA MEHODE DES FENERES...6 III.. PRINCIPE...6 III.. PROLEME GENERAL DE LA RONCAURE PAR UNE FENERE DE PONDERAION :...6 III.3. FENERE RECANGULAIRE :...7 III.4. AURES FENERES... Fenêtre triangulaire (artlett) :... Fenêtre de Hann (ou Hanning) :... Fenêtre de Hamming :... Fenêtre de lackman :...3 Fenêtre de Kaier :...4 IV. FILRES PASSE-HAU, PASSE-ANDE, COUPE-ANDE :...5 IV.. FILRE PASSE-OU :...5 IV.. FILRE PASSE-HAU :...5 IV.3. FILRE PASSE-ANDE :...5 IV.4. FILRE COUPE-ANDE :

3 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - FILRES A REPONSE IMPULSIONNELLE FINIE : FILRES RIF.( FIR en notation anglo-axonne) I.. Fonction de tranfert (rappel): I. PROPRIEES Un filtre RIF et un ytème linéaire invariant dicret dont le comportement entrée-ortie et caractérié par le coefficient {hi} de a répone impulionnelle. Le calcul de la ortie e fait grâce au produit de convolution dicret et la tranformée en Z permet de définir a fonction de tranfert H(). x(t) y(t) k x y n n δ(t k ) y δ(t n ) x(t) n max h x i i min ni et H() a) Y S max i hi i min y(t) La uite de {hi} et limitée par i [min,max]. Le calcul de la ortie yn conite à prendre le échantillon de x(t) dan une fenêtre de dimenion finie, de pondérer par le hi, pui d effectuer la omme :c et une moyenne pondérée. Cette opération e réalie à chaque intant tn et, pour paer à l intant uivant, on décale d une période d échantillonnage la fenêtre d acquiition :la moyenne pondérée et mobile. Cela jutifie le nom parfoi utilié de filtre à moyenne mobile ou de filtre MA (Mobile Average). Pôle et éro : En uppoant max> nou pouvon factorier -max dan l expreion de la fonction de tranfert : max maxi max hi max maxi i min H() hi. Cette forme montre que le eul pôle poible pour un filtre RIF max i min ont de pôle à l origine () et la conéquence importante et que ce filtre ont aurément table. I.. Exemple : h(t) h(t) h(t) t t t H() H() 3 3 H() I.3. Forme récurive : Pour certain filtre RIF, on peut trouver une forme récurive équivalente au calcul de la érie. Par exemple : m 3 m m H()... m m ( )

4 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - Cette forme fait apparaître ici un pôle en mai cela n et qu une apparence car celui-ci et compené par le éro en. Le forme récurive peuvent avoir un intérêt pratique lor de la programmation. Pour le filtre précédent en prenant par exemple m5, nou pouvon le programmer ou le deux forme : Forme directe : y n x n x n- x n- x n-3 x n-4 x n-5. x n-47 x n-48 x n-49 une omme de 5 terme. Forme récurive : y n x n -x n-5 y n- une omme de 3 terme. La forme récurive peut cependant avoir de inconvénient dû à la numériation et à l approximation ur le coefficient. Ce erreur e propagent et amplifient parfoi dangereuement avec la récurivité. II.. Intérêt d une phae linéaire : II. FILRES A PHASE LINEAIRE Le but du filtrage et d extraire d un ignal x(t) un autre ignal y(t) en enlevant une partie b(t) que nou pouvon appelé bruit. Lor de la tranmiion d un ignal par un SLI on peut raionner dan le domaine temporel par le produit de convolution : y(t)h(t) x(t) ou par l analye fréquentielle grâce à la tranformation de Fourier : Y(e jω ) H(e jω ).X(e jω ). Dan une approche fréquentielle, pour le compoante du pectre de b(t). nou devon avoir H(e jω ). Par ailleur il et ouhaité de retrouver intégralement le ignal y(t) avec le minimum de déformation et donc pour le fréquence de on pectre avoir une tranmittance H(e jω ). Pour un ignal x(t) dont on connaît le pectre X(e jω ) le filtrage par un ytème de tranmittance H(e jω ) e traduit mathématiquement par le équation : H(e y n jω ) A(e A(e jω jω ) e )e jϕ(f) jϕ(f) X(e Y(e jω jω )e ) H(e jπfn jω df ) X(e jω ) Si on e contente de filtrer au voiinage d une fréquence η la phae peut être approximée par un développement limité au premier ordre : dϕ ϕ(f) ϕ( η) π(f η). df f η dϕ jπ(f η). jω jω jϕ( η) df yn A(e ) X(e ) e e f η jϕ( η) jω jω jπ(f η) τ( η) jπfn e A(e ) X(e ) e e df jπfn e df Le filtre introduit un retard dϕ τ( η). Ce temp τ et le temp de groupe (ou retard de groupe) pour le df f η fréquence voiine de η.

5 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - 3 Si le ignal x(t) n a pa un pectre confiné aux alentour d une eule fréquence, le différent «groupe» de fréquence ont tranmi avec de retard différent ce qui donnera une ditorion lor de la recontitution de y n. Cet inconvénient et évité i le temp de groupe et indépendant de la fréquence oit la condition : dϕ τ( η) cte ϕ(f) ϕ πfτ df Il faut une phae linéaire. f η Une approche plu directe et moin phyique permet d aboutir au réultat : jω jϕ(f) jω jπfn jω jω j(πfn ϕ(f)) yn A(e ) e X(e ) e df A(e ) X(e ) e df ϕ(f) π jω ω j j f(n ) π jω jω jπf(n τ(f)) f A(e ) X(e ) e df A(e ) X(e ) e df ϕ(f) Il apparaît le terme de retard τ (f) qui n introduira pa de ditorion (retard identique quelque oit la πf fréquence) i τ(f)cte oit la condition de phae linéaire : ϕ( f) ϕ πfτ jϕ jω jπfτ jω jπfn y n e A(e ) e X(e ) e df II.. Condition d obtention d une phae linéaire : Deux hypothèe : Le filtre et à phae linéaire. Le filtre et réalié avec de coefficient {h n } réel. La phae linéaire ϕ( f) ϕ πfτ peut obtenir d une infinité de façon mai, en vue de la réaliation pratique, deux ca particulier ont important : ϕ et ϕ -π/. jϕ jω jπfτ jπfn h n e A(e ) e e df où A(e jω ) et le module de H(e jω ) et donc réel. Si on exprime h(tτ), le coefficient retent réel : jϕ jω jπfn h τ e A(e )e df n jϕ jω e A(e ) co(πfn ) df j e jϕ jω A(e ) in(πfn ) df

6 4 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - II.3. Premier ca particulier : ϕ, filtre de type I et II Répone impulionnelle : A(e jω ) étant réel, pour que h(tτ) le rete, le econd terme de la formule doit annuler et le premier terme et pair par rapport à t : h(tτ)h(-tτ). En prenant comme origine le premier échantillon (le ca général et une imple tranlation oit un déphaage additionnel), pour un filtre d'ordre N nou auron N échantillon. h(tτ)h(-tτ) le N échantillon de la répone impulionnelle ont réel et ymétrique par rapport à τ/ : la répone impulionnelle et réelle et paire. Ceci et obtenu dan le deux ca de figure uivant : h(t) τ h(t) τ ype I : nombre impair d échantillon {Ici N ; τ.n/5 } t ype II : nombre pair d échantillon {Ici N ; τ.n/4,5. } t Répone fréquentielle type I : N N H () h k k avec la propriété de ymétrie: N k N k hk h N k H() hk ( ) h N Cette répone en fréquence et générale car : pour le bae fréquence (f ) : N H() hk h N N k H( ) hk( ) () h N pour le haute fréquence (f /( ) -) : N( ) Répone fréquentielle type II : N H () N h k k avec la propriété de ymétrie: k hk h N k N k H () hk ( ) Cette répone en fréquence impoe une contrainte en haute fréquence : pour le bae fréquence (f ) : H () N h k pour le haute fréquence (f /( ) -) : H ( ) cette tructure ne peut convenir pour de filtre ayant un gain non nul en haute fréquence oit en particulier le filtre paehaut ou coupe bande

7 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - 5 II.4. Deuxième ca particulier : ϕ -π/, filtre de type III et IV: Répone impulionnelle : e -jπ/ -j A(e jω ) étant réel, pour que h(tτ) le rete, le premier terme de la formule doit annuler et le econd terme et impair par rapport à t : h(tτ)-h(-tτ). le N échantillon de la répone impulionnelle ont réel et antiymétrique par rapport à τ/ : la répone impulionnelle et réelle et impaire. Ceci et obtenu dan le deux ca de figure uivant : h(t) τ h(t) τ t t ype III : nombre impair d échantillon {Ici N ; τ.n/5. } et h N/ ype IV : nombre pair d échantillon {Ici N ; τ.n/4,5. } Répone fréquentielle type III : H () N h k k avec la propriété de ymétrie: hk hnk h N H () N k N k hk ( ) Cette répone en fréquence impoe de contrainte en bae et haute fréquence car : pour le bae fréquence (f ) : H () k N pour le haute fréquence (f /( ) -) : H( ) hk (-) ( ( ) ) N (N et pair) Cette tructure convient donc particulièrement aux filtre pae-bande uniquement. Répone fréquentielle type IV : N H () N h k k avec la propriété de ymétrie: k hk h N k N k H () hk ( ) Cette répone en fréquence impoe une contrainte en bae fréquence : pour le bae fréquence (f ) : H () pour le haute fréquence (f /( ) -) : N N k N k H ( ) hk (-) ( ( ) ) 4 hk (-) cette tructure ne peut convenir pour de filtre ayant un gain non nul en bae fréquence oit en particulier le filtre pae-ba ou pae-bande

8 6 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - II.5. Avantage pratique : Comme le révèlent le formule, dan tou le ca la ymétrie de parité ou d imparité de la répone impulionnelle permet en pratique de réduire de moitié le nombre de coefficient tocké en mémoire. Ceci et intéreant puique ce filtre RIF peuvent avoir pluieur centaine de coefficient. III. SYNHESE PAR LA MEHODE DES FENERES La ynthèe et menée ur le ca particulier du filtre pae-ba, le autre filtre pouvant en déduire par imple tranpoition. III.. Principe Le filtre pae-ba idéal et complètement défini par on gabarit fréquentiel idéal : jω f H(e ) rect f -f / -f H(e jω ) f f / f La répone impulionnelle du filtre peut e calculer : h n H(e jω ) e jπfn df f f e jπfn df e jπfn jπn f f in(πfn ) f πf n Le gabarit idéal demande un filtre avec de échantillon h n tel que n [-, ], ce qui n et pa une répone impulionnelle finie. Nou devon donc nou contenter d une approximation en ne retenant qu un nombre fini de coefficient : la répone impulionnelle finie et obtenue par troncature du réultat du ca idéal. La troncature imple et la troncature par fenêtre rectangulaire, d autre troncature peuvent être enviagée par pondération de échantillon. Nou omme confronté avec le problème du choix de la fenêtre de troncature et le deux ouci contradictoire : obtenir la meilleure approximation poible avec la fenêtre la plu imple poible. III.. Problème général de la troncature par une fenêtre de pondération : En notant h r (t) la répone impulionnelle finie obtenue par pondération et troncature de la répone idéale h(t) par une fenêtre fe(t) : h r (t)h(t).fe(t) H r (e jω )H(e jω ) Fe(e jω ) Pour un gabarit pae-ba idéal, H(e jω )et égal à pour f [-f,f ] d où : f f f f f f f jω H r(e ) Fe(f µ ) dµ Fe( η) dη Fe( η) dη Fe( η) dη f f f Nou appelon fonction intégrale de la fenêtre FI (a) a Fe( η) dη

9 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - 7 H (e r jω f f f f ) Fe( η)dη Fe( η)dη FI(f f) FI(f f) Le pectre du filtre RIF réel n et pa exactement le gabarit mai la différence entre deux fonction intégrale de la fenêtre. III.3. Fenêtre rectangulaire : C et la troncature imple où la fonction de fenêtre et une fonction rectangle, a tranformée de Fourier un inu cardinal et la fonction intégrale une uperpoition de inu intégral (SI) : π in( f ) rect( t π ϑ fe(t) ) F[fe(t)] Fe(f) ϑ θ πfϑ a in(u) FI( α) Par définition SI(a) du u παϑ in( πηϑ) d( πηϑ) SI( παϑ) πηϑ π H (f) r π F( η)dη in( πηϑ) ϑ dη πηϑ [ SI[ π(f f ) ϑ] SI[ π(f f ) ϑ] ] Le fonction inu cardinal et inu intégral ont rappelée ci-aprè et ont le propriété uivante : Sinu cardinal : inc() inc(πx) > x[,,3 ] parité : inc(-πx)inc(πx). Sinu Intégral : SI() x SI(πx) π/ parité : SI(-πx)-SI(πx). α α

10 8 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - La fonction fréquentielle réelle du filtre era donc : H r (f) f δ δf / δ f -f f REPONSE EN FREQUENCE DU FILRE RIF L examen de la répone en fréquence permet de mettre en évidence le point eentiel uivant : Une bande paante de largeur [,f - f/] avec de dépaement (ou «ocillation») en bande paante caractérié par leur maximum δ et leur reerrement δf. Une bande coupée de largeur [f f/ ;f /] avec de dépaement (ou «ocillation») en bande coupée caractérié par leur maximum δ et leur reerrement δf. Une bande de tranition de largeur f : [f - f/ ;f f/]. f et caractéritique de la «rapidité» de la coupure entre bande paante et bande coupée. Le filtre idéal ouhaité et tel que δ δ et f. Ce paramètre vont être une manière d évaluer la qualité de l approximation réaliée elon le choix de fenêtre effectué. Pour la fenêtre rectangulaire afin de conerver l échantillon en t et une ymétrie paire à la répone impulionnelle, nou choiiron un filtre contitué d un nombre impair N d échantillon. La largeur de la fenêtre de troncature et donc θn. Le paramètre de qualité de l approximation ont : Le dépaement δ et δ ont identique et correpondent au maximum de la fonction SI qui et indépendant du nombre d échantillon. Quelque oit N, ce dépaement ubiteron : c et le phénomène de Gibb lié au fait qu une érie peut converger en énergie ver une fonction an que l on aie la convergence uniforme. Leur importance et liée à la urface de lobe latéraux de Fe(f) tranformée de Fourier de la fonction de fenêtre de troncature. Pour le SI/π le premier dépaement vaut,9 oit δ δ d (exprimé poitivement par convention achant qu il agit bien d une atténuation). δf, le reerrement de dépaement en bande paante ou coupée, dépend de la ditance entre le maxima de la fonction SI et donc de la ditance entre le valeur qui annulent la fonction Fe(f). Pour le

11 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - 9 inu cardinal cela correpond à δxδ(fθ)δf.θ > δf/(n )(/N)(/ ). Si on élargit la fenêtre de troncature, N augmente et ce «ocillation» e reerrent. f, la largeur de la bande de tranition et caractériée par deux foi la ditance entre l origine et le premier maximum de la fonction SI : c et aui deux foi la ditance entre le maximum et le premier point nul de la fonction Fe(f) oit la largeur du lobe central. Pour le inu cardinal x (fθ) f.θ > f/θ/(n )(/N)(/ ). Augmenter le nombre de point améliorera aui ce paramètre. Le figure ci-deou montrent le divere étape de la conception d un filtre pae-ba avec fenêtre rectangulaire Largeur du lobe central /N Amplitude du premier lobe latéral 3d N5 f/n,4 f,5 δ δ d

12 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - III.4. Autre fenêtre Nou pouvon étudier le autre fenêtre poible comme étant une amélioration par rapport à la fenêtre rectangulaire. Comment agir ur le paramètre de qualité du filtre? L étude du ca de la fenêtre rectangulaire nou a donné de précieue indication qualitative : La largeur f de la bande de tranition et directement liée à la largeur du lobe central de Fe(f) tranformée de Fourier de la fonction de fenêtre. Le dépaement en bande paante ou coupée ont directement lié à l importance de lobe latéraux de la fonction Fe(f). Fenêtre triangulaire (artlett) : fe(t) ri( t ) rect( t ) rect( t ) θ θ θ in( π ) ( ) f f ϑ F[fe(t)] Fe(f) ϑ π ϑ La tranformée de Fourier fait intervenir le carré de la tranformée de Fourier d une fenêtre rectangulaire de largeur moitié > le lobe central era deux foi plu large et le lobe latéraux d amplitude plu faible. On aura moin d ocillation en bande paante au prix d une pente de coupure deux foi plu faible. Largeur du lobe central 4/N Amplitude du premier lobe latéral 6d

13 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - N5 f4/n,8 f,5 δ δ 5d Fenêtre de Hann (ou Hanning) : Fenêtre en «coinu» d allure proche de la fenêtre triangulaire : fe(t) F[fe(t)] [,5,5co( ] θ π t ) rect( θ t ) { [ ]} in( πfϑ Fe(f) δ(f) δ(f ) δ(f ) ϑ 4 θ θ ( πfϑ) π ϑ π ϑ ( ) ( ) ( ) ϑ in( πfϑ) in( (f ) ) in( (f ) ) ϑ θ ϑ θ πfϑ 4 π(f ) ϑ 4 π(f ) ϑ θ θ Une plu forte atténuation de lobe latéraux ce qui diminuera le dépaement en bande-paante. ) Largeur du lobe central 4/N Amplitude du premier lobe latéral 3d

14 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - N5 f4/n,8 f,5 δ δ 44d Fenêtre de Hamming : Devant le réultat trè atifaiant de la pondération avec fenêtre de Hanning, on peut rechercher une meilleure optimiation de e performance en choiiant : fe(t) [ α ( α)co( t ) ] rect( t ) θ π θ Le paramètre α et ajuté pour minimier le lobe latéraux en particulier le econd > α,54 > [,54,46co( t ) ] rect( t ) fe(t) θ π communément appelée «coinu rehaué». θ Largeur du lobe central 4/N Amplitude du premier lobe latéral 45d

15 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - 3 N5 f4/n,8 f,5 δ δ 53d Fenêtre de lackman : Elle pouruit l optimiation en ajoutant de terme upplémentaire à la fonction de fenêtre : fe(t) M a co( m t ).rect( t m ) m θ π θ M am m et θ M.,5co( t ) θ π,8co( 4 t ) rect( θ π θ t Ce qui, avec troi coefficient donne : fe(t) [,4 ] ) Le lobe latéraux de la tranformée de Fourier ont bien atténué au prix d un lobe central élargi. Largeur du lobe central 6/N Amplitude du premier lobe latéral 6d

16 4 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - N5 f6/n,43 f,5 δ δ 74d Remarque : ou le ca précédent peuvent être inclu dan celui-ci : Fenêtre rectangulaire : α ; βγ. Fenêtre de Hanning : αβ,5 ; γ. Fenêtre de Hamming : α,54 ; β,46 ; γ. Fenêtre de Kaier : Kaier utilie de fonction phéroïdale. Intervient un paramètre β d atténuation de lobe latéraux qui optimie le rapport de énergie du lobe central et du econd lobe qui 'exprime à partir du choix α d de l atténuation du premier lobe (en énergie) et f la largeur de la bande de tranition: N β α α > α 8,( 8,7) i 5 et 4,357 f, β,584( α ) 4,7886( α ) i < α < 5 Largeur du lobe central 5,6/N Amplitude du premier lobe latéral 58d

17 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - 5 N5 f6/n,44 f,5 δ 78d IV. FILRES PASSE-HAU, PASSE-ANDE, COUPE-ANDE : IV.. Filtre pae-tout : Un filtre pae-tout a une répone en fréquence H(f) quelque oit f. Sa répone impulionnelle et donc h(t)δ(t) oit h et h i. IV.. Filtre pae-haut : Il correpond à une répone en fréquence telle que H pae-haut/fc H pae-tout -H pae-ba/fc et donc la répone temporelle et telle que h pae-haut h pae-tout -h pae-ba. La fonction pae-tout étant imple et connue, la ynthèe du filtre pae-haut de fréquence de coupure f c e ramène à la ynthèe d un filtre pae-ba de fréquence de coupure f c dont il uffira de changer le igne de coefficient de la répone impulionnelle et d ajouter au coefficient h aini obtenu. H(f) -f / -f c f c f / f IV.3. Filtre pae-bande : Ce filtre poède deux fréquence de coupure f c et f c. Sa répone en fréquence et telle que : H pae-bande/fc/fc H pae-ba/fc -H pae-ba/fc. Sa ynthèe e ramène aini à celle de deux filtre pae-ba. H(f) -f / -f c -f c f c f c f / f

18 6 ENSI CAEN Informatique A - Le filtre RIF - IV.4. Filtre coupe-bande : Ce filtre poède deux fréquence de coupure f c et f c. Sa répone en fréquence et telle que : H coupe-bande/fc/fc H pae-tout -H pae-bande/fc/fc H pae-tout -H pae-ba/fc H pae-ba/fc. Sa ynthèe e ramène aini à celle de deux filtre pae-ba. H(f) -f / -f c -f c f c f c f / f