Géométrie dans l'espace

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1 Terminale S Ch.8 PARTIE Géométrie dans l'espace Ú La perspective cavalière C'est un ensemble de règles permettant de représenter un volume dans un plan; ce n'est pas ce que nous voyons dans la réalité. En effet, en perspective cavalière : deux droites parallèles dans la réalité sont représentées par des droites parallèles ; les milieux des segments et les rapports de longueur sont conservés ; les longueurs et les angles ne sont en général pas conservés ; les arêtes cachées sont représentées en pointillés. I. Règles de base de la géométrie dans l'espace Ú Règle Il existe une et une seule droite de l'espace passant par deux points distincts. Ú Règle Il existe un et un seul plan de l'espace passant par trois points non alignés. Ú Théorème Si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite. exemple : le livre ouvert Ú Définition Quatre points (ou plus) appartenant à un même plan sont dits "coplanaires". Deux droites ou plus appartenant à un même plan sont dites "coplanaires". Ú Règle 3 Quand tous les éléments (points, droites,...) d'un problème de l'espace sont coplanaires, toutes les règles de géométrie plane s'appliquent (Thalès, Pythagore, etc...) On comprendra mieux les règle et définition en donnant les analogies dans le plan : Par deux points, il passe une droite et une seule. Trois points appartenant à une même droite sont dits "alignés". Exercice P est un plan. A,B,C sont trois points non alignés qui n'appartiennent pas à P. On suppose que ( AB ) coupe P en C, que ( AC ) coupe P en B et que ( BC ) coupe P en A. Montrer que les points A,B,C sont alignés. Solution A,B,C sont trois points non alignés n'appartenant pas à P donc (règle ), il existe un unique plan P contenant ces trois points. Comme AetB sont deux points de AB est contenue dans P. De la même façon, on peut affirmer que ( AC ) et ( ) P, alors la droite ( ) BC sont incluses dans P. A est un point commun à P et P donc l'intersection de ces deux plans est une droite passant par A (théorème). B et C étant communs à P et P, l'intersection de P et P est une droite passant par ces deux points. On en déduit que l'intersection de P et P est une droite passant par les trois points A,BetC qui sont donc alignés.

2 II. Positions relatives de droites et de plans de l'espace Ú Positions relatives de deux droites Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. Si elles sont coplanaires (dans un même plan), on distingue alors trois cas : elles peuvent être : sécantes strictement parallèles confondues Si elles sont non coplanaires, aucun plan ne les contient toutes les deux. elles ont un seul point elles n'ont aucun point leur intersection est vide commun commun Remarque Attention: dans l'espace, deux droites n'ayant aucun point commun ne sont donc pas toujours parallèles. Schématisation non coplanaires coplanaires sécantes parallèles confondues srictement parallèles Ú Positions relatives d'une droite et d'un plan Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants, soit parallèles. sécants parallèles d et P ont un point d'intersection : B d et P sont strictement parallèles, d est contenue dans P. leur intersection est vide.

3 Schématisation 3 la droite et le plan sont sécants la droite est parallèle au plan la droite est strictement parallèle au plan la droite est contenue dans le plan Ú Positions relatives de deux plans Deux plans de l'espace sont soit sécants, soit parallèles. sécants parallèles P et P ' ont une droite d'intersection : d P et P ' sont strictement parallèles, P et P ' sont confondus. leur intersection est vide. Ainsi, deux plans sont parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants. Schématisation sécants parallèles strictement parallèles confondus Exercice Dans le cube ABCDEFGH, on note I le milieu de [AB], J le milieu de [DH], K le milieu de [HG] et L le milieu de [EF]. Quelle est la nature de l'intersection des plans (IJK) et (BCL)? Solution Dans le plan (FGH) : K milieu de [HG] et L milieu de [FE]. Or HG = EF On en déduit que GK = FL. De plus comme (GH) // (FE) alors on a aussi (GK) // (FL) On peut donc conclure que GKFL est un parallélogramme; Ses côtés sont parallèles deux à deux d'où (KL) // (GF) De même, on justifie que (DA) // (IJ) Ainsi : (KL) // (GF) // (BC) // (DA) // (IJ)

4 Le plan (BCL) contient la droite passant par L et parallèle à (BC) : c'est (KL). De même, le plan (IJK) contient la droite passant par K et parallèle à (IJ) : c'est (KL) Les deux plans (BCL) et (IJK) n'étant pas confondus, l'intersection de ces deux plans est la droite (KL) 4 III. Parallélisme dans l'espace Ú Parallélisme de droites : propriétés admises P Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre. P Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre. Ú Parallélisme de plans : propriétés admises P3 Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre. P// P P// P P // P P4 Si deux droites sécantes d et d d'un plan P sont parallèles à un plan P, alors P et P sont parallèles. d P et d P d et d secantes d // P et d // P P// P P5 Si deux plans P et P sont parallèles, alors tout plan qui coupe P, coupe P et les droites d'intersection d et d sont parallèles. aussi P// P Π P = d Π P = d d// d Ú Parallélisme d'une droite et d'un plan : propriétés admises P6 Si une droite Δ est parallèle à une droite d contenue dans un plan P alors Δ et P sont parallèles. d//δ d P Δ//P P7 Si une droite d est parallèle à deux plans P et P sécants suivant une droite Δ, alors d et Δ sont parallèles. d//p et d// P P P = Δ d//δ

5 5 Théorème du toit d et d sont deux droites parallèles, d contenue dans P et d contenue dans P Si deux plans P et P sont sécants, alors leur droite commune Δ est parallèle à d et d. d P et d P d //d P P = Δ Δ//d et Δ//d IV. Orthogonalité dans l'espace / droites orthogonales Ú Définition Dans l'espace, dire que deux droites ( d ) et ( ) d sont orthogonales signifie qu'on peut trouver un point I tel que les parallèles à ces droites passant par I sont perpendiculaires. On écrit ( d ) ( d ) Ú Théorème (admis) Si deux droites sont parallèles alors toute orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre. ( d) //( d) ( d ) ( ) On écrit ( d ) ( d ) Δ ( d ) ( Δ ) / droites perpendiculaires à un plan Ú Définition ( ) sont perpendiculaires signifie que ( d ) est ( ) passant par I. I est l'intersection d'une droite ( d ) et d'un plan P Dire que ( d ) et P perpendiculaire à deux droites ( d ) et ( d ) de P Remarque On admet alors que ( d ) est perpendiculaire à toute droite ( Δ) de ( P) passant par I.

6 Ú Théorème Si une droite ( d ) est perpendiculaire à un plan P orthogonale à toute droite ( Δ ) contenue dans P ( ), alors ( ) d est 6 Démonstration Soit ( Δ ) une droite contenue dans le plan P ( d ) étant perpendiculaire à P I et parallèle à ( Δ ). ( Δ ) ( ) // Δ Ainsi : ( d ) ( Δ ) ( ) ( d ) Ú Théorème Δ ( ) alors ( ) On veut montrer que ( ) d est perpendiculaire à ( ) d est en particulier perpendiculaire à ( Δ ), droite de P ( d ) est donc orthogonale à ( Δ ). ( ) soient perpendiculaires, il faut et il suffit Pour qu'une droite ( d ) et un plan P que ( d ) soit orthogonale à deux droites sécantes de P Δ. ( ) sécante à ( ) d en Conséquences ( ), alors elles sont parallèles. ( d ) ( P) ( d ( d ) ( P) )//( d ) ( ) et ( P ) sont perpendiculaires à une même droite ( ) ( P ) ( d) ( P ( P ) ( d) )//( P ) / si deux droites sont perpendiculaires à même plan P / si deux plans P Exercice 3 ABCDEFGH est un cube. / Démontrer l'orthogonalité de la droite ( DA ) et du plan ( ) / En déduire que les droites ( DA ) et ( HC ) sont orthogonales. 3 / En déduire l'orthogonalité de la droite ( HC ) et du plan ( ) des droites ( HC ) et ( DF ). Solution DCH. DGA puis celle d, alors ils sont parallèles. / D est le point d'intersection des droites ( DH ) et ( DC ) qui sont deux droites du plan ( DCH ). Par définition du cube, ( DA ) est perpendiculaire aus droites ( DH ) et ( DC ). Par définition, ( DA ) est perpendiculaire au plan ( DCH ). / ( DA ) étant perpendiculaire au plan ( DCH ), ( DA ) est donc orthogonale à toute droite contenue dans ( DCH ) et en particulier à la droite ( HC ). 3 / ( HC ) est orthogonale aux deux droites ( DA ) et ( DG ) qui sont toutes deux contenues dasn le plan ( DGA ) et sécantes en D. Donc ( HC ) est perpendiculaire au plan ( DGA ). D et F sont deux points de ( DGA ) donc la droite ( DF ) est contenue dans ( DGA ). D'autre part, ( HC ) étant perpendiculaire au plan ( DGA ), elle est orthogonale à toute droite de ce plan et en particulier à la droite ( DF ).

7 7 PARTIE I. Vecteurs de l espace / Vecteurs colinéaires théorème Dire que les vecteurs u et v non nuls sont colinéaires signifie qu'il existe un nombre réel k tel que : v = k u. Dire que les points A, B, C sont alignés signifie que les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Il existe un réel k tel que : AC = k AB. définition Deux vecteurs AB sont parallèles. et CD sont colinéaires revient à dire que les droites ( AB) et ( CD) Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l'espace. / Vecteurs coplanaires définition On dit que les vecteurs u, v et w de l'espace sont coplanaires si et seulement si leurs représentants de même origine O ont des extrémités A, B, C telles que les quatre points O, A, B, C appartiennent à un même plan. Théorème Soient u, v et w trois vecteurs de l'espace tels que u et v ne sont pas colinéaires. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que w = x u + y v Démonstration Soit O, A, B, C tels que OA = u " ; OB = v " et OC = w ". Puisque u et v ne sont pas colinéaires, ces deux vecteurs dirigent le plan OAB Par définition " u, v et w coplanaires " signifie que C appartient au plan OAB deux réels x et y tels que OC = x u " + y v " soit : w = x u + y v ( ) ce qui revient à dire qu'il existe Conséquences Dire que quatre points sont coplanaires équivaut à dire que les vecteurs AB, AC, AD sont coplanaires. OU BIEN Dire que les droites AB, AC, AD sont coplanaires ( ) et ( CD) sont coplanaires équivaut à dire que les vecteurs AB Dire que deux plans sont parallèles équivaut à dire que deux vecteurs non colinéaires de l'un et deux vecteurs non colinéaires de l'autre, sont coplanaires.

8 exercice 4 : démontrer que quatre points sont coplanaires (Il s agit de démontrer que trois vecteurs sont coplanaires en écrivant l un en fonction des deux autres) 8 Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de AB ", E et F les points définis par AE tel que BCGD soit un parallélogramme. ) Exprimer les vecteurs IE ", IF " et IG " en fonction de AB, AC et AD. ) En déduire qu il existe deux réels α et β tels que IG " = α IE " + β IF ". 3) En déduire que les points I, E, G, F sont coplanaires. = 3 AC " et AF = 3 AD et G le point solution ) IE " = " IA + AE = AB + 3 AC " IG = IA + AD + DG = AB + AD + BC = AB " + AD + BA + AC ; IF " = IA " " + AF = AB " + 3 AD = 3 AB + AD + AC ) Dire qu il existe deux réels α et β tels que IG " = α IE " + β IF " signifie que : 3 AB α + AD + AC = AB α + 3 AC β AB β + 3 AD = α + β α AB + 3 AC β + 3 AD α + β = 3 α 3 = α = β = 3 β 3 = D où IG " = 3 IE " + 3 IF ". 3) On en déduit que les vecteurs IE ", IF " et IG " sont coplanaires, donc les points I, E, G et F sont coplanaires. Théorème 3 / Vecteurs non-coplanaires Soient u, v et w trois vecteurs non coplanaires de l'espace alors pour tout vecteur t, il existe un unique triplet a, b et c de réels tel que t = a u + b v + c w. Démonstration " Existence O est un point de l'espace et P le plan défini par O et les vecteurs non colinéaires u et v. On pose t """ = OM. La droite passant par M de vecteur directeur w et le plan P ne sont pas parallèles car u, v et w ne sont pas coplanaires. On note M leur point d'intersection. M appartient à P, donc il existe des nombres réels a et b tels que O M = a u " + b v ". D'autre part : OM = O M + M M. Or M M et w sont colinéaires, donc il existe un réel c tel que M M = c w ". Finalement, t """ = OM = a u + b v + c w

9 " Unicité On suppose qu'il existe deux triplets ( a, b c ) et ( a, b c ) de nombres réels tels que : t = a u + b v + c w = a u + b v + c w Si c c, alors w = a a u + b b v, or ceci est impossible puisque u, v et w sont non coplanaires. c c c c Donc c= c. On obtient alors a u + b v = a u + b v donc a= a et b= b car u et v sont non colinéaires. 9 II. Repérage dans l'espace / Repère et coordonnées Définition et propriété ( ) Un repère de l'espace noté O ; i ; j ; k est formé d'un point O et d'un triplet i ; j ; k de vecteurs non coplanaires. ( ) Pour tout point M de l'espace, il existe un unique triplet ( ; ; ) nombres réels tels que OM = x i " + y " j + z k ". x y z de ( x; y; z ) est le triplet de coordonnées du point M dans le repère O ; i ; j ; k Démonstration Les vecteurs i ; j ; k ne sont pas coplanaires donc d'après le théorème précédent, le vecteur OM façon unique en fonction des vecteurs i ; j ;et k. se décompose de Formulaire L'espace est muni d'un repère O ; i ; j ; k Pour deux points Ax ( ; y ; z ) et ( ; ; ) le vecteur AB A A A le milieu I du segment [ ] Si u x y z et v B x y z : B B B a pour coordonnées ( x x ; y y ; z z ) x y z ; B A B A B A xa + xb ya + yb za + zb AB a pour coordonnées ; ; ; alors u + x + x v y + y et pour tout réel λ, λ λx u λ y. z + z λz Exercice 5 ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre. I est le centre de la face ADHE, J est le centre de la face ABCD et K est le milieu du segment IJ. " L'espace est rapporté au repère A ; AB ; AD ; AE / Déterminer les coordonnées des points I ; J et K. / Les points A, K, G sont-ils alignés? Justifier.

10 0 Solution / I milieu de AH J milieu de AH donc : AI donc : AJ K milieu de IJ donc : = AH = AD + AE = AC = AB + AD x K = x I + x J y K = y I + y J z K = z I + z J = 4 = = 4 / A, K, G alignés λ réel tel que AG = λ AK. Or AG = AB + BG = AB + # AH = AB + AD + AE AD+ AE Sachant que K 4 ; ; 4 et G ;; On en déduit que A, K, G ne sont pas alignés. ; d'où I 0 ; ;. ; d'où J ; ; 0 d'où K 4 ; ; 4 d'où G( ;;). ( ), il n'existe pas de réel λ vérifiant AG = λ AK. / Représentation paramétrique d'une droite Propriété L'espace est muni d'un repère O ; i ; j ; k Soit D la droite passant par ( ; ; ) coordonnées ( x; y; z ). AxA ya z A et dirigée par le vecteur u a b c et soit M un point de l'espace de On a l'équivalence : M D il existe un réel t tel que x = xa + at y = ya + bt z = za + ct Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite D. Démonstration M D u et AM colinéaires il existe un réel t tel que AM = t u " x xa a y ya = t b ; on en déduit le résultat. z z A c

11 Exercice 6 L'espace est muni d'un repère O ; i ; j ; k. On donne les points ( ;3;) / Écrire une représentation paramétrique de la droite ( AB ). / Les points N ( 9;4;4) et ( ;;) P appartiennent-ils à cette droite? A et ( 5;; ) B. Solution / Soit M( x; y; z ) un point de l'espace. M ( AB) AM et AB colinéaires. t tel que AM = t AB x xa xb xa y ya = t yb ya z z A zb z A x + 5+ y 3 = t 3 z / " N ( 9;4;4) est un point de ( AB ) " revient à dire qu'il existe t réel tel que cad : P ( AB ) 9= + 7t 7t = 7 4= 3 t t = t = 4 3t = 3t = 3 t tel que AP = t AB Le système n'a pas de solution ; P ( AB).. D'où N ( AB). x= + 7t y = 3 t où t. z = 3t xn = + 7t yn = 3 t zn = 3t xp = + 7t = + 7t 4 = 7t t = yp = 3 t = 3 t = t t = zp 3t 3t 0 3t = = = t = 0