Td 3 : Produit scalaire

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1 Université Frnçois Rbelis de Tours Déprtement de Mthémtiques Td 3 : Produit sclire Algèbre Semestre 4 Exercice En utilisnt l inéglité de Cuch-Schwrz - on préciser l espce préhilbertien E;.,. dns lequel on trville et les vecteurs de E concernés - étblir les inéglités suivntes et en étudier les cs d églité :. x, x,..., x n R n, x + x x n n.x + x x n / ;. x, x,..., x n R + n, x + x x n n ; x x x n n + 3. k n. ; k= 4. M M n R, trm n.tr t M.M ; 5. Pour toute fontion f continue et strictement positive sur [, b], où < b R fxdx. fx dx b. Solution. On rppelle l inéglité de Cuch-Schwrtz. Soit E,, un espce euclidien. Alors x, E, x, x.. Soit E = R n muni du produit sclire usuel. On pose X = x,..., x n et Y =,...,. On lors X, Y = x i X = n x i Y = n = n En ppliqunt Cuch-Schwrz u couple X, Y, on trouve : X, Y = x i X Y = n n x i. On églité si et seulement si X = ou Y = λx, c est-à-dire x = x... = x n.. Soit E = R n muni du produit sclire usuel. On pose X = x,..., x n et Y =,...,. x xn On lors X, Y = X = Y = xi = n xi xi = xi = x i x i

2 En ppliqunt Cuch-Schwrz u crré u couple X, Y, on trouve : X, Y = n X Y = x + x x n. x + x x n Les deux vecteurs X et Y étnt non nul, on églité si et seulement si il existe λ R tel que X = λy. Or X = λy i, x i = λ xi i, x i = λ. On donc églité si et seulement si x = x =... = x n. 3. Soit E = R n muni du produit sclire usuel. On pose X =,..., n et Y =,...,. On lors X, Y = i X = n i = n i nn + = Y = n = n En ppliqunt Cuch-Schwrz u couple X, Y, on trouve : X, Y = i X Y = n n n + = n n + n + = n. Les deux vecteurs X et Y étnt non nul, on églité si et seulement si il existe λ R tel que X = λy ce qui est possible que lorsque n =. 4. Soit E = M n R muni du produit sclire usuel A, B = Tr t A B. Soit M M n R et I n l mtrice identité. On lors I n, M = TrM I n = TrI n = n M = Tr t M M En ppliqunt Cuch-Schwrz u crré u couple I n, M, on trouve : TrM = I n, M I n M = n Tr t M M. On églité si et seulement si il existe λ R tel que M = λi n. 5. Soit E l espce vectoriel des fonctions continues sur [, b] muni du produit sclire suivnt f, g = fxgxdx. Soit f E une fonction strictement positive sur E. Les fonctions f et continues sur [, b]. On lors f, f = f = = f fx fx dx = b fxdx fx dx f sont bien définies et

3 En ppliqunt Cuch-Schwrz u crré u couple f,, on trouve : f f, = b f b = f f fxdx fx dx. On églité si et seulement si il existe λ R tel que f = λ f, c est-à-dire si et seulement si f est une fonction constnte. Exercice Soit u =,,, et v = x, x, z, z.. Montrer que u, v =.. En utilisnt Cuch-Schwrz, résoudre dns R 4 l éqution : x + x + z + z = 4. Solution.. On u, v = x + x + z + z =.. En ppliqunt Cuch-Schwrz on obtient u, v u v c est-à-dire : 4 x + x + z + z x + x + z + z 4. De plus on églité si et seulement si il existe λ R tel que v = λu, c est-à-dire : x = λ = 4λ x = λ x = 3λ x = 3/4 = / z = λ = λ z = λ z = /4 z = λ L éqution donc une unique solution x,, z = 3/4, /, /4. Exercice 3 Soient E = R et, b, c, d R. Pour u = x, et v = x, on pose ϕu, v = xx + b + cx + dx A quelles conditions sur, b, c, d, -t-on ϕ un produit sclire sur R? c Solution. L mtrice de ϕ dns l bse cnonique est. Pour que ϕ soit smétrique on doit d b donc voir c = d. Pour que ϕ soit définie positive, on doit voir ϕ, = > et ϕ, = b >. On donc ϕu, u = x + b + cx = x + c + b c. Pour que b soit définie positive, on doit voir b c >. Réciproquement, si, b >, c = d et b c >, le risonnement ci-dessus montre que ϕ est smétrique et définie positive. C est donc un produit sclire. Exercice 4 Soit E = R.. Prouver que l forme bilinéire b représentée dns l bse cnonique B = e, e de E pr l mtrice B = est un produit sclire sur E.

4 . En déduire que : x, R, x x + x +. Solution.. L forme b est smétrique puisque s mtrice représenttive est smétrique. Soit u = x R. On et donc b est positive. De plus x bu, u = x, B = x + + x = x + + bu, u = x + + = { x + = = Ce sstème une unique solution x = = et donc b est définie positive.. Soit u = et v = x. On bu, v = x x = x + 3 bu, u = u = 5 bv, v = v = x + + x. En ppliqunt Cuch-Schwrz dns l espce E, b ux vecteurs u = donc pour tout x, R : Exercice 5 Soit E = C [, ], R. et v = bu, v u v x x + + x. Prouver que l ppliction b de E vers R définie pr : est un produit sclire sur E.. Définir l norme issue de b. bf, g = f g + 3. Prouver que pour tout f de E : f + f tdt Solution. Soient f.g, h C [, ], R et λ R. On bf + λg, h = f + λg h + = f h + λg h + f t g tdt f + λg t h tdt x f + f t dt. f t h t + λg t h tdt = f h + λg h + f t h tdt + λ = f h + f t h tdt + λ g h + = bf, h + λbg, h. De plus b est smétrique puis que bf, g = f g + f t g tdt = g f + g t h tdt g t h tdt g t f tdt = bg, f, on obtient

5 et donc b est bien une forme bilinéire smétrique. Montrons que b est définie positive : bf, f = f + f t dt. De plus, comme les deux termes sont positifs, bf, f = si et seulement si f = et f t dt =. Comme f t pour tout t [, ] et f est continue sur [, ], l intégrl vut si et seulement si f t = pour tout t [, ]. Ainsi f est constnte mis comme f =, on obtient que f est l fonction nulle.. Soit f E. On f = f + f t dt 3. Soit g E l fonction définie pr gt = t. On lors bf, g = f g + bg, g = g = g + f t g tdt = f + g t dt = f tdt En ppliqunt Cuch-Schwrz à f, g on obtient b f, g g f f + f tdt f + f t dt.

6 Exercice 6 On note E = l N; R l ensemble des suites réelles de crré sommble : E = {u = u n R N + u n n= converge}. Exercice 7. Soient u et v deux suites de E et n un entier nturel. Prouver que : n n n u n v n u n vn. n= b En déduire que l série de terme générl u n v n est bsolument convergente, puis que E est un espce vectoriel réel. n= n=. Prouver que l ppliction.,. de E dns R définie pr : u, v = sur E. L espce E;.,. est-il euclidien? + n= u n v n est un produit sclire 3. Ecrire l inéglité de Cuch-Schwrz dns E;.,. en précisnt ses cs d églité et définir l norme euclidienne ssociée à.,.. Soit E;.,. un espce préhilbertien réel. Exercice 8. Soient u et v deux vecteurs non nuls de E. Justifier l existence et l unicité de θ [, π] tel que : u, v = cosθ. u. v. On ppelle θ l mesure de l ngle géométrique des vecteurs u et v.. Une fmille u, u,..., u p de vecteurs de E est dite à ngles obtus ou obtusngle si et seulement si, pour tout i j on u i, u j <. Justifier l expression : "fmille à ngles obtus". 3. Soit u, u,..., u p une fmille à ngles obtus. Montrer que pour tout,,..., p R p on : p i.u i p i.u i. 4. Prouver que, dns un espce euclidien de dimension n, toute fmille à ngles obtus contient u plus n + vecteurs. [ Indiction : Prouver que si u,..., u n+ étit une fmille à ngles obtus, lors l fmille u,..., u n+ serit libre.] 5. Dns E = R muni du produit sclire usuel, construire une fmille de trois vecteurs unitires à ngles obtus. Soit E = R muni du produit sclire cnonique,. Soit f l endomorphisme de E défini pr f : E E x x = A x x Montrer que pour tout u, v E on Au, Av = u, v. x où A =.