REVISIONS POUR LES VACANCES. Généralités sur les fonctions

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1 Année PCSI ( Baggio ) REVISIONS POUR LES VACANCES Vous devez connaître parfaitement tous les résultats donnés ici sur les généralités de fonctions, sur les fonctions exponentielles et logarithmes et comprendre les quelques démonstrations données dans ces cours. Il est très conseillé de faire les exercices donnés à la fin du poly. Tout ce qui concerne ce poly sera considéré en début d année comme acquis. Généralités sur les fonctions I. Ensemble de définition Définition : Soit f une fonction. L ensemble de définition de f est l ensemble des valeurs x pour lesquelles f(x) existe. On note D f cet ensemble. Pour trouver cet ensemble, on est amené à résoudre des équations et des inéquations si l expression de la fonction contient un dénominateur, une racine carrée, un logarithme, II. Représentation graphique d une fonction Définition : Dans un repère orthogonal, on appelle la courbe représentative de f l ensemble C f des points de coordonnées (x; f(x)) où x décrit D f. Propriétés : Courbes des fonctions associées à f Soit f une fonction définie sur R, soit C f sa courbe. La courbe de la fonction x f(x) + a est obtenue comme image de C f par translation de vecteur aj. La courbe de la fonction x f(x + a) est obtenue comme image de C f par translation de vecteur ai. La courbe de la fonction x f(a x) est obtenue comme image de C f par symétrie axiale par rapport à la droite d équation x = a 2. La courbe de la fonction x f(x) est obtenue comme image de C f par symétrie axiale par rapport à l axe des abscisses (xx ). Exemple : La courbe de la fonction x e x + 2 s obtient à partir de la courbe de la fonction exponentielle. Il suffit de translater la courbe de la fonction exponentielle de vecteur 2j. La courbe de la fonction x e x+3 s obtient à partir de la courbe de la fonction exponentielle en faisant une translation de la courbe de la fonction exponentielle de vecteur 3i

2 La courbe de la fonction x e 1 x est l image de la courbe exponentielle par une symétrie axiale par rapport à la droite d équation x = 1 2 III. Réduction du domaine d étude 1. Fonctions paires et impaires Définition : Soit f une fonction définie sur D f. On dit que f est une fonction paire si : x D f, x D f et f( x) = f(x). La courbe d une telle fonction est symétrique par rapport à l axe des ordonnées (yy ). On dit que f est une fonction impaire si : x D f, x D f et f( x) = f(x). La courbe d une telle fonction est symétrique par rapport à 0 l origine du repère. Conséquence : si f est paire ou impaire, on étudie f sur D f R Fonctions périodiques Définition : Soit f une fonction définie sur D f. On dit que f est périodique de période T si : x D f, x + T D f et f(x + T) = f(x). Pour tracer la courbe de f, il suffit de tracer la courbe sur un intervalle d amplitude T puis de répéter le motif. Exemple : On veut montrer que la fonction f est périodique de période π puis étudier sa parité si f(x) = sin 2 xcos(2x) On remarque tout de suite que D f = R. x R, x + π R et f(x + π) = sin 2 (x + π) cos(2x + 2π) Or cos(2x + 2π) = cos (2x) et sin(x + π) = sinx par propriétés trigonométriques donc f(x + π) = ( sinx) 2 cos(2x) = sin 2 xcos(2x) = f(x) Ainsi f est bien πpériodique. Pour la parité, x R, x R et f( x) = sin 2 ( x)cos ( 2x) Or la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire donc f( x) = ( sinx) 2 cos(2x) = sinx 2 cos(2x) = f(x). IV. Variations de f 1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est croissante sur I si : x 1 ; x 2 I, x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). f est strictement croissante sur I si : x 1 ; x 2 I, x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). f est décroissante sur I si : x 1 ; x 2 I, x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). f est strictement décroissante sur I si : x 1 ; x 2 I, x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ).

3 f est monotone sur I si f est croissante sur I ou si f est décroissante sur I. Application : On peut appliquer aux deux membres d une inégalité une fonction monotone en vérifiant que les 2 membres appartiennent bien à l intervalle sur lequel la fonction est monotone. 2. Monotonie et antécédents Propriété : Soit f une fonction définie sur I. Si x 1 et x 2 sont deux nombres de I tels que f(x 1 ) < f(x 2 ) alors si f est croissante sur I, on a : x 1 < x 2 et si f est décroissante sur I, on a : x 1 > x Variation et composée Si f est monotone sur I et g est monotone sur f(i) alors g f est monotone sur I suivant la règle suivante : Quand f et g ont le même sens de variation alors g f est croissante sur I, quand f et g ont des sens de variation différents alors g f est décroissante sur I. V. Propriétés des fonctions 1. Majorant et minorant Définition : Soit f une fonction définie sur I. f est majorée par M si : x I, f(x) M. f est minorée par m si x I, m f(x). 2. Fonctions bornées Définition : La fonction f est bornée sur I si elle est majorée et minorée sur I. Propriété : La fonction f est bornée ssi f est majorée. 3. Conséquence sur le graphe Si f est majorée par M sur I alors la courbe de f se situe en dessous de la droite d équation y = M. Si f est minorée par m sur I alors la courbe de f se situe au dessus de la droite d équation y = m.

4 Fonctions exponentielles ; logarithmiques et puissances I. Fonction exponentielle 1. Définition Théorème admis : Il existe une unique fonction dérivable f: R R telle que { f = f f(0) = 1. On appelle cette fonction la fonction exponentielle que l on note exp. On pose : x R, exp(x) = e x. 2. Propriétés algébriques Théorème : a; b R, e a+b = e a e b Cette propriété justifie l emploi de la notation e x. Démonstration : Soit la fonction g définie sur R par : g(x) = e a+b x e x. g est dérivable comme produit de fonction dérivable sur R et x R, g (x) = e a+b x e x + e a+b x e x = 0. Donc g est une fonction constante sur R. Or g(0) = e a+b. Donc x R, g(x) = e a+b. g(a) = ea+b En particulier, { g(a) = e a b d où l égalité. e Propriétés : ( conséquences du théorème ) : b R, e b = 1 e b a; b R, e a b = ea e b a R n Z, (e a ) n = e na Démonstration de la première propriété : On choisit dans le théorème précédent de prendre b = a. On obtient alors : e a a = e a e a c est-à-dire e a e a = e 0 = 1. Or e a 0 car sinon le produit précédent ne vaudrait pas 1 donc e a = 1 e a 3. Variation de la fonction exponentielle Théorème : La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur R. Démonstration : On pose : x R, f(x) = e x. On sait par la première définition que x R, f (x) = f(x) = e x = (e x 2) 2 grâce aux propriétés précédentes. Or un carré est toujours positif donc f 0. De plus x R, e x e x = 1 e x 0 donc f > 0.

5 Ce qui veut dire que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et strictement positive sur R. 4. Limites Théorème : Limites à connaître sur l exponentielle x + ex = + ; x ex = 0 e x 1 = 1 x 0 x e x x + x = + ; e x = + x + xn n N x xex = 0 ; x xn e x = 0 n N 5. Bijection La fonction f = exp est continue ( car dérivable ) et strictement croissante sur R donc f réalise une bijection de R dans f(r) = ]0; + [. Ainsi y ]0; + [, x R, l équation e x = y admet une unique solution dans R. Cette solution est x = lny. L application réciproque de la fonction exp est donc la fonction logarithme. On retiendra : y ]0; + [, x R, e x = y x = lny Courbes des fonctions ln et exp II. Fonction logarithme 1. Définition La fonction logarithme est l application réciproque de la fonction exponentielle. Cette fonction est définie sur ]0; + [ et à valeurs dans R. La fonction logarithme est dérivable sur ]0; + [.

6 x > 0, e lnx = x et y R, ln(e y ) = y ln1 = 0 2. Propriétés algébriques Théorème : a; b R +, ln(a b) = lna + lnb Propriétés : conséquences du théorème a R +, ln ( 1 a ) = lna a; b R +, ln ( a ) = lna lnb b a R + n Z, ln(a n ) = nlna Démonstration de la première propriété a; b R +, exp(ln(ab)) = ab = exp(lna) exp(lnb) = exp (lna + lnb) grâce à la propriété de bijection de la fonction exponentielle. Ce qui donne alors ln(a b) = lna + lnb 3. Variation de la fonction logarithme Théorème : x ]0; + [, (ln) (x) = 1 ; la fonction logarithme est strictement x croissante sur ]0; + [. 4. Limites Théorème : Limites à connaître sur le logarithme lnx = + ; lnx = x + h 0 x + x 0 x 0 ln(1 + h) lnx = 1 ; h x 1 x 1 = 1 lnx x = 0 ; lnx = 0 n N x + xn xlnx = 0 ; x 0 xn lnx = 0 n N III. Autres exponentielles et logarithmes Définition : On appelle fonction exponentielle de base 10 la fonction définie sur R par : exp 10 (x) = e xln10 = 10 x pour x R. Théorème : La fonction exponentielle de base 10 réalise une bijection de R dans ]0; + [. Son application réciproque est la fonction logarithme décimal définie sur ]0; + [ par log 10 (x) = log(x) = lnx ln10. Ainsi : x R, y ]0; + [, y = 10 x x = log (y) Propriétés : La fonction logarithme décimal est dérivable sur ]0; + [. x > 0, (log 10 ) (x) = 1 xln10 log 10 (1) = 0

7 x; y R + log 10 (xy) = log 10 (x) log 10 (y) IV. Croissances comparées entre les fonctions logarithmes, exponentielles et puissances Limites à connaître par cœur a R + ; α R, x + e ax xα = + a R + ; α R, x x α e ax = 0 α, β R +, x + (lnx) α x β = 0 α, β R +, x 0 x β (lnx) α

8 Tableau des principales dérivées Dérivée Intervalle de validité x n nx n 1 Si n N alors I = R Si n Z N alors I = ] ; 0[ ]0; + [ e x e x I = R e u u e u u une fonction dérivable sur un intervalle I ln (x) 1 I = ]0; + [ x ln (u) u u u une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I x 1 I = ]0; + [ 2 x u u 2 u u une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I Sin(x) Cos(x) I = R Sin(u) u cos (u) u une fonction dérivable sur un intervalle I Cos(x) Sin(x) I = R Cos(u) u sin (u) u une fonction dérivable sur un intervalle I Tan(x) 1 + tan 2 1 (x) = cos 2 (x) I = R { π + kπ ; k Z} 2 Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et λ un réel. (u + v) = u + v ; (λu) = λu ; (uv) = u v + uv Si on suppose de plus que v (x) 0 sur I alors 1 et u sont dérivables sur I v v ( 1 v ) = v v 2 (u v ) = u v uv v 2

9 Exercices sur ces chapitres Exercice 1 : Pour tout x R, on pose g(x) = e x x Etudier le sens de variation de cette fonction. 2. Calculer g(0) et en déduire que x R, e x x En utilisant le théorème de comparaison de ite, retrouver la ite de la fonction exponentielle en On pose X = x. Retrouver alors en faisant le changement de variable donné la ite de la fonction exponentielle en. Exercice 2 : Déterminer l ensemble de définition des fonctions suivantes : f(x) = ln(4x 3 x 5 ) ; g(x) = 1 xex ; h(x) = x 2 cos (2x) ; i(x) = 1 x x 2 4 ; j(x) = ln (ln(x)) Exercice 3 : Etudier la parité des fonctions suivantes après avoir déterminé l ensemble de définition f(x) = e2x 1 e 2x + 1 ; g(x) = 3 2sinx 1 ; h(x) = xln (1 x 1 + x ) i(x) = x + 2 2ln(e x + 1) ; j(x) = 2cosx 1 Exercice 4 : On rappelle que les formes indéterminées sont : ; 0 ; ; 0 0. Pour soulever une indétermination, il faut changer l écriture de la fonction : pour cela, on peut mettre des fractions au même dénominateur, on peut factoriser ou développer ; on peut utiliser les propriétés algébriques du logarithme ou de l exponentielle, on peut utiliser la quantité conjuguée pour transformer une écriture contenant des racines carrées. Calculer les ites suivantes : x + x 4 +x+1 x 3 1 ; x + x x ; 2 x+2 2 x 2 ; 2 2x 2 x+7 3 ; 2x 5lnx ; (2x + 1)e x ; + (lnx) 2 lnx + 1 ; + x 2 e 2x 1 ; 0 x 1 e 1 x x xln ( x ) ; + lnx 2 ; + ln(x 2 ) + 1 2e 2x 3 1 e x ; x+2 x 0 x 2 lnx ; x2 x ln ( ) ; x + x 1+e 1 x x 2.

10 Exercice 5 : Déterminer la dérivée de la fonction si : f 1 (x) = x 2 + 2x + 3 ; f 2 (x) = sin( x) ; f 3 (x) = xcos(2x) ; f 4 (x) = x x ; f 5 (x) = (x 4 + 1) 5 ; f 6 (x) = cos 3 (x) ; f 7 (x) = x3 x ; f 8(x) = (lnx) 5 ; f 9 (x) = tan 4 (x) f 10 (x) = sin2 (x) cos2x ; f 11 (x) = 1 x 4 ; f 12(x) = 1 sin 3 (x) Exercice 6 : Montrer que la fonction est dérivable sur l intervalle I et calculer la dérivée de la fonction si : f 1 (x) = ln (tan ( x 2 )) I = ]0; π[; f 2 (x) = ln(x + x 2 + 1) I = [0; + [ ; f 3 (x) = sinx + ln cos 2 (1+sinx ) I = [0; π [ (x) cosx 2 Exercice 7 : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e x ln (1 + e x ). 1) On pose pour t 0, g(t) = t ln (1 + t). Démontrer que t 0, g(t) 0. t+1 2) Etudier alors les variations de la fonction f. Exercice 8 : On note f l application définie par f(x) = x e x 1 si x 0 1) Justifier que f est dérivable sur ] ; 0[ et sur ]0; + [ et calculer f (x) pour x ] ; 0[ ]0; + [. 2) a.etudier les variations de l application u définie pour tout x R par u(x) = (1 x)e x 1. b.montrer que : x R, f (x) < 0. 3) Déterminer les ites de f en et +. 4) Dresser le tableau de variations de f. Exercice 9 : Soit la fonction f définie par f(x) = 2x 1 x 2. 1) Déterminer l ensemble de définition de f 2) Réduire l intervalle d étude en étudiant la parité de f. 3) Calculer f (x) et dresser le tableau de variation sur [0; 1]. Donner une équation des tangentes aux points remarquables du tableau de variations. 4) Donner l allure de la représentation graphique de f. 5) Résoudre graphiquement l équation : x 1 x 2 = 1 4. Exercice 10 : Soit la fonction f définie par f(x) = x(lnx) 2. 1) Déterminer son ensemble de définition.

11 2) Calculer la dérivée et dresser le tableau de variations en précisant la tangente au point d abscisse 0. 3) Trouver le point d inflexion de la courbe cad le point de la courbe qui a une dérivée seconde nulle. 4) Tracer la courbe de f. On donne e 2 0,135 Exercice 11 : Soit la fonction f définie par f(x) = ln ( x+1 1 x ). 1) Déterminer l ensemble de définition de la fonction. 2) Etudier la parité. 3) Dresser le tableau de variations de f.