Correction de la séance : ensembles de nombres Exercice 1 :

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1 Correction de la séance : ensembles de nombres Exercice 1 : 9 a.,14 0 sont des nombres rationnels décimaux. Un nombre décimal a plusieurs 125 écritures dont une écriture fractionnaire et une écriture à virgule finie. et sont des rationnels non décimaux. Un nombre rationnel a aussi deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule. Cette dernière est infinie et périodique. π et sont des nombres irrationnels. Ces nombres ne peuvent pas s écrire sous la forme d une fraction. Ils ont une écriture à virgule infinie et non périodique. b. La valeur arrondie de au centième près d un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie décimale composée de 2 chiffres maximum. En utilisant une calculatrice,, Sa valeur arrondie au centième près est donc,14. La valeur approchée par excès au dixième près de proche ayant un chiffre après la virgule. C est,2. La valeur approchée par défaut au millième près de ayant trois chiffres après la virgule. C est,142. La valeur arrondie de 2 au centième près est 0,6. est le nombre décimal supérieur le plus est le nombre décimal inférieur le plus proche La valeur approchée au dixième près de 2 par excès est 0,. La valeur approchée au millième près de 2 par défaut est 0,666. En utilisant une calculatrice, 1, La valeur arrondie de au centième près est 1,09. La valeur approchée au dixième près par excès de est 1,1. La valeur approchée au millième près par défaut de est 1,09. En utilisant une calculatrice π, La valeur arrondie de π au centième près est,14. La valeur approchée de π par excès au dixième près est,2. La valeur approchée de π par défaut au millième près est,141. En utilisant une calculatrice 2, La valeur arrondie de au centième près est 2,24. La valeur approchée par excès de au dixième près est 2,. La valeur approchée par défaut de au millième près est 2,26. c. Encadrement de à 10-2 près :,14 < <,15 Encadrement de à 10-2 près : 0,66 < < 0,6 Encadrement de à 10-2 près : 1,09 < < 1,1 Encadrement de π à 10-2 près :,14 < π <,15 Encadrement de à 10-2 près : 2,2 < < 2,24 d. Ces nombres sont 18,45 18,46 18,4 18,48 18,49 18, 51 18, 52 18,5 18, 54.

2 Exercice 2 : Exercice : 1. a) donc 10x = 9 + x b ) 10x = 9 + x donc 9x + x = 9 + x d où 9x = 9 soit x = 1 on a bien 2. s = 2,4.. Multiplions s par 1000 : s x 1000 = 24,.. Multiplions s par 10 : s x 10 = 24,. Calculons s x 1000 s x 10 de deux manières : s x 1000 s x 10 = s x ( ) = s x 990. s x 1000 s x 10 = 24, ,.= 241. On a donc s x 990 = 241 et s =.s est une fraction irréductible dont le dénominateur est 9x11x10, il ne peut pas s écrire comme produit de puissances de 2 et de puissances de 5 donc s n est pas un nombre décimal. A=5, A A=5,21 donc A= donc A=5,9 A est donc un nombre décimal. Exercice 4 : 1) Un nombre rationnel est décimal si son écriture sous la forme d une fraction irréductible a un dénominateur n ayant pas d autres diviseurs premiers que 2 ou 5. 1 est irréductible et est un nombre premier (autre que 2 ou 5) il n est pas décimal. 2 8 est irréductible et 8 = 2 a pour seul diviseur premier 2 il est décimal. 91 = 1 = 1 c est un nombre entier donc décimal. 42 est irréductible et 1 est un nombre premier autre que 2 ou 5 il n est pas décimal. 1 2) a) Le reste partiel 1 réapparaissant, la suite des quotients partiels, depuis l occurrence précédente du reste 1, va se répéter à l identique : 1 = 0, b) La période est composée de 6 chiffres, après 5 périodes, à partir de la 1 ème décimale commence une nouvelle période. La 2 ème décimale du développement périodique de 1 est donc 4 ) a) La 20 ème décimale de l écriture décimale de 42 est 5, donnée dans la cellule B22. 1 b) 42 = 2, c) Dans la division les restes partiels sont strictement inférieurs au diviseur. Dans le cas de 42 1, il y donc 1 restes possibles (de 0 à 16) or les 16 premiers restes (de A2 à A1) sont, dans le désordre, tous les entiers de 1 à 16, le suivant ne peut être 0 ( 42 n est pas un nombre décimal) c est donc l un des nombres de 1 à 16 déjà apparus. 1 1, 0 0 0,

3 4) a = 1, a = 12, a a = 12, 2 1, 2 d où 99 a = 122 donc a = Exercice 5 : a. Entre 0 et 0,1 il y a 9 nombres qui s écrivent avec deux chiffres après la virgule. On peut les représenter par des points situés sur une droite graduée : 0 0,01 0,02 0,0 0,04 0,05 0,06 0,0 0,08 0,09 0,1 Il est possible de graduer plus finement ce morceau de droite en considérant chaque segment compris entre deux graduations successives et en agrandissant l échelle pour le partager en 10 parties égales. Par exemple, si on procède de cette manière avec l intervalle [0 0,01], le segment d extrémité 0 et 0,01 de longueur sera partagé en 10 segments de mesure de longueur dix fois plus petite soit. Les extrémités de ces segments situées entre 0 et 0,01 représentent des nombres décimaux qui s écrivent avec chiffres après la virgule 0,001 0,002. 0,009. Il y en a 9. On pourrait faire le même raisonnement pour chacun des 9 intervalles suivants : [0,01 0,02].. [0,09 0 1]. Il y a donc 90 nombres ayant chiffres après la virgule compris entre 0 et 0,1. b. Il n est pas possible d écrire un tel nombre puisque entre deux nombres décimaux, il y en a une infinité d autres. Exercice 6 : a. A= = A= A= Cette fraction est irréductible car le numérateur n'est ni multiple de (la somme de ses chiffres est 1) ni multiple de 5 ni multiple de donc le numérateur et le dénominateur n'ont aucun multiple commun. b. B = = c. C = = En utilisant une calculatrice C,06194 On en déduit l encadrement suivant :,061 < C <,0614 Connaissant un encadrement de deux nombres, il faut encadrer leur différence afin de savoir quelles sont leurs distances minimales et maximales ce qui permet de répondre aux questions : Encadrement de C,061 < C <,0614 Encadrement de l'opposé de C -,0614 < -C < -,061 Encadrement de π :,1415 < π <,1416

4 Par addition membre à membre 0,0801 < π-c < 0,080 En élargissant l'intervalle : 0 < 0,0801 < π-c < 0,080 < 0,1 La distance entre π et C étant inférieure à un dixième, on peut dire que le nombre C est une valeur approchée de π à un dixième près. d. B = En utilisant une calculatrice, On en déduit l encadrement suivant :,1415 < B <,1416 Encadrement de π :,1415 < π <,1416 Ces deux nombres sont situés dans le même intervalle. La distance entre les deux bornes de l intervalle est de 0,0001. On en déduit que B est une valeur rationnelle de π approchée au dixmillième près. Exercice : a. F5 = b. F1 = = F1 est un nombre décimal puisque est irréductible et que son dénominateur s écrit sous la forme d un produit de puissance de 2 et de 5 : 2 = 2 1 x 5 0 On aurait aussi pu dire que = 1,5 et donc que c est un nombre décimal parce que son écriture à virgule est finie. F2 = = = = Pour les mêmes raisons, = 1,4 est un nombre décimal. F = = = = = est une fraction irréductible et 12 = x2². F n est donc pas un nombre décimal. F4 = = = = = = = = est une fraction irréductible et 29 n est pas un produit de puissance de 2 et de puissance de 5. F4 n est donc pas un nombre décimal c. F1 = 1,5 F2=1,4 F = 1,416 F4 1,418 d. 1,4142 En l utilisant pour calculer les différences avec les valeurs trouvées précédemment, on remarque que la suite des fractions ci-dessus se rapproche de plus en plus de 2 soit par excès, soit par défaut : F1-1,5-1,4142 0,0858

5 F2-1,4 1,4142-0,0142 F - 1,416-1,4142 0,0025 F4-1,418 1,4142-0,0004 Remarque Si on continuait avec les fractions F5, F6, F, F8, en utilisant des valeurs arrondies plus précises, on aurait les résultats suivants : F5-0, F , F - 0, F , On a le résultat suivant F2<F4<F6<F8< <F<F5<F<F1 Exercice 8 : Il y a 10 choix possibles pour le premier vers. Pour chacun de ces dix choix possibles pour le premier vers, il y a dix choix possibles pour le deuxième vers, soit 10x10 choix possibles pour les deux premiers vers. En continuant le raisonnement, on trouve alors 10x10x10x x10 (produit de 14 termes égaux à 10) choix possibles pour lire un poème. Ce nombre s écrit et vaut soit cent mille milliards. Le titre de l ouvrage est «Cent mille milliards de poèmes». Exercice 9 : a. A l issue de l étape a) le rectangle est composé de 2x feuilles de pâte. b. A l issue de l étape b) le rectangle est composé de 2xx feuilles de pâte. c. A la fin de la première répétition des deux étapes précédentes, on obtient un rectangle composé de (2xX) x feuilles. En réitérant une nouvelle fois ces deux étapes, on obtient un rectangle composé de (2xxxx)x x feuilles soit de 2 x 6 feuilles. Comme 2 x 6 = 1458, un mille feuilles a bien plus que mille feuilles. Exercice 10 = x = x 10 6 Exercice 11 a. = 0,02 Affirmation fausse car 0,2 x 0,2 = 0,04 donc = 0,2 b. = 10 Affirmation fausse car = (10 8 ) 2 donc = 10 8 c. La moitié de est égale à Affirmation vraie car =10 et = 5 d. ( - )² est égal à -2 Affirmation fausse car ( - )² = = 5-2 e. ( + ) ( - ) est égal à -2 Affirmation vraie en utilisant l identité remarquable : (a + b)(a b)= a² - b² f. - est égal à 10 Affirmation fausse car = = 2 5 g. est égal à 10. Affirmation vraie car

6 Exercice = (15 5 ) 2 donc le côté a pour longueur : 15 5 cm soit :59 5 cm. Exercice 1 a. = b. 1 = 1x x = c. = Exercice faux : contre exemple : 2. vrai x = 0. vrai c est vrai c est 5 = réponse b : car ( 2 )( 2 + ) = 4 = 1 Exercice 15 Le périmètre du carré est égal à 4 x ( + ) soit 4x +12 Celui du rectangle est 2(( ) + 2 ) = =2 2 ( + ) L aire du carré est égale à ( + ) 2 = L aire du rectangle est égale à ( ) 2 =(6x ) 2 = Exercice 16 a. 1 2 = 289 < 00 < 24 = 18 2 b. De l inégalité précédente, on déduit que 1 < < 18 = D où 1 < 10 x < 18 c. < < soit 1, < < 1,8

7 d = 00 x 100. Comme 1 2 = 289 < 00 < 24 = 18 2, on en déduit que 1² x 100 < < 18² x 100, soit 1² x 10² < < 18² x 10² soit 10² < < 180² En utilisant une calculette, il est possible d affiner cet encadrement : 1² = et 14² = 026 D où 1² < < 14² e. De l inégalité précédente, on déduit que 1 < < 14 = d où 1 < 100 x < 14 f. 0n en déduit que < < soit 1, < < 1,4 Exercice 1