Leçon Leçon n 10 : Modèle de l écoulement parfait d un fluide ; validité. Relation de Bernoulli ; limites et applications (PC).

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1 Leçon 0 97 Leçon n 0 : Modèle de l écoulement parfait d un fluide ; alidité Relation de Bernoulli ; limites et applications (C) Introduction Ecoulement parfait d un fluide Forces de contact Ecoulement parfait ; alidité Equation d Euler et théorème de Bernoulli Equation d Euler Relations de Bernoulli 3 Applications 3 Effet Venturi 3 Vidange d un réseroir ; formule de Torricelli Conclusion Introduction Nous commencerons par définir ce qu est un écoulement parfait Dans cette hypothèse, nous appliquerons le principe fondamental de la dynamique à un élément de fluide et nous établirons l équation d Euler qui régit localement le mouement du fluide our un écoulement stationnaire et un écoulement irrotationnel, l intégration de l équation d Euler nous donnera la relation de Bernoulli, traduisant l aspect énergétique de l écoulement En application, nous étudierons l effet Venturi et donnerons quelques exemples simples de sa manifestation dans dierses situations puis nous traiterons le problème de la idange d un réseroir et établirons ainsi la formule de Torricelli Ecoulement parfait d un fluide Forces de contact Considérons un élément de fluide à l intérieur d un fluide quelconque Les particules microscopiques extérieures à l élément de fluide, exercent sur celui-ci des forces de contact Notons df la force élémentaire qui s exerce sur la surface ds de l élément de fluide Dans le cas général, cette force possède une composante normale à ds que l on notera df N et une composante tangentielle df T Ainsi df = dfn + df T ds M ds df T La composante normale df N est la force élémentaire de pression Si la pression du fluide en M est ( M,t ), cette force s écrit : dfn = (M,t) ds Elle est dirigée ers l intérieur de l élément de fluide On peut montrer que le traail total des forces de pression à l intérieur du fluide est nul Ces forces ne génèrent donc pas de dissipation d énergie df N df La composante tangentielle df T est la force élémentaire de iscosité, également appelée force de cisaillement Elle est caractéristique des fluides réels isqueux au sens courant du terme Si les particules microscopiques extérieures à l élément de fluide ont une itesse supérieure aux particules microscopiques à l intérieur de l élément de fluide, elles ont entraîner les particules

2 98 Leçon 0 microscopiques à l intérieur de l élément de fluide dans leur mouement Cette force modélise donc un transfert de quantité de mouement Dans l étude de la statique des fluides isqueux, les seules forces de pression suffisent A l intérieur du fluide, ces forces de cisaillement s opposent aux déformations des éléments de fluide A la surface de l élément de fluide que nous aons considéré, la force de cisaillement s oppose au déplacement de cet élément de fluide par rapport au reste du fluide ar conséquent, le traail des forces de iscosité dans le fluide est négatif Il y a dissipation de l énergie C est pourquoi ces forces sont parfois appelées forces de frottement Il existe également des forces de tension superficielles à l interface entre deux fluides différents roche d une surface où il n y a plus isotropie de l espace, les particules sont attirées ers l intérieur du fluide par les autres particules, ce qui tend ainsi à réduire la surface au minimum Si l on eut augmenter une surface S de ds, il faut exercer une force qui s oppose à la force de tension superficielle et dont le traail est δ W = A ds, où A est le coefficient de tension superficielle caractéristique des deux fluides en contact Dans toute la suite, nous négligerons cette force, même s il est impératif d en tenir compte pour les systèmes de petites dimensions Ecoulement parfait ; alidité L écoulement d un fluide est parfait si les forces de iscosité sont nulles Les forces de contact se réduisent aux forces de pression et il n y a pas de déperdition d énergie dans le fluide en mouement Cette situation est bien sur un cas limite de l écoulement réel Au contact d un solide, même un fluide de très faible iscosité a une itesse nulle L écoulement n est pas rigoureusement parfait car il existe des forces de frottements entre le fluide et le solide Considérons deux plaques parallèles entre lesquelles s écoule un fluide réel en régime permanent Loin des parois intérieures, la itesse du fluide ne dépend pas des ariables d espace ar contre, proche des parois, cette itesse diminue et s annule sur les parois comme l indique la figure représentant le profil des itesses On définit ainsi deux zones : y δ couche limite x La zone centrale où = e x aec constant Dans cette zone, le profil des itesses d un fluide δ couche parfait serait le même que celui du fluide réel limite considéré La zone périphérique où = (y) e x que l on appelle la couche limite L épaisseur δ de cette couche limite est ariable et dépend de la itesse du fluide mais aussi de sa iscosité, de sa masse olumique et des dimensions caractéristiques de la conduite Dans cette zone, le profil des itesses d un fluide parfait serait différent La itesse du fluide parfait sur les parois serait non nulle et tangente aux plaques L écoulement d un fluide peut donc être considéré comme parfait dans la zone centrale, en dehors de la couche limite Equation d Euler et théorème de Bernoulli Equation d Euler Un élément de fluide de olume dτ et de masse dm est soumis à deux types de forces :

3 Leçon 0 99 Les forces olumiques qui s appliquent à toutes les particules de l élément de fluide : df = f dτ où f est la représentation olumique de ces forces En notant fluide, on peut également écrire : f dm df = = f m dm, = dm dτ la masse olumique du aec f m la représentation massique de ces forces Ainsi, pour les forces de pesanteur ; f = g et f g m = Les forces de contact qui se réduisent aux forces de pression dans le cas d un écoulement parfait Déterminons la résultante df des forces qui s exercent sur un élément de fluide parallélépipédique de côté dx, dy, dz z dz x,y,z + dx dy e z dz x,y,z dx dy e z y x La composante de df suiant l axe Oz, s écrit : dz dz dfz = x,y,z dx dy x,y,z dx dy dx dy dz + = z De même, suiant les directions Ox et Oy : df x = dx dy dz et dfy x = dx dy dz y Finalement : df = grad dτ

4 00 Leçon 0 Les équialents olumiques et massiques des forces de pression sont : f = grad et m grad f = Appliquons le principe fondamental de la dynamique, ou théorème de la résultante cinétique, à l élément de fluide de olume dτ et de masse dm On obtient l équation d Euler : D dm d d Dt = F + F, où D Dt est la dériée particulaire de la itesse de l élément de fluide, aec : L équation d Euler s écrit : D = + ( grad) = + grad + rot Dt t t grad + ( grad) = f m t ou encore : grad + grad + rot = f m t Les grandeurs inconnues sont la itesse (M,t), la pression (M,t) et la masse olumique (M,t), soit cinq inconnues scalaires La résolution du problème nécessite donc cinq équations scalaires Trois de ces relations scalaires sont données par l équation ectorielle d Euler, une par la relation traduisant la conseration de la masse et la dernière par une équation d état Mais l équation d état introduit une grandeur inconnue supplémentaire ; la température T(M,t) Une sixième relation scalaire est donc nécessaire Elle est donnée par la loi de l écoulement thermodynamique, par exemple isotherme, incompressible ou encore adiabatique Relations de Bernoulli Dans de nombreux cas, les forces massiques f m dérient d une énergie potentielle massique e pm, et donc fm = grad epm our les forces de pesanteur, e pm = gz Ecoulement stationnaire Lorsque l écoulement est stationnaire : = 0 t Multiplions scalairement l équation d Euler par le déplacement élémentaire dom = dt le long d une ligne de courant afin de faire disparaître le terme rot dans la deuxième expression de cette équation Il ient : grad pm dom grad + e dom + = 0,

5 Leçon 0 0 et : d d + e pm + = 0 Après intégration, le long d une ligne de courant, on obtient la relation de Bernoulli : d e pm + + = cte Faisons deux hypothèses sur le fluide : Le fluide est barotrope : = () Dans ce cas, la primitie de d () ne dépend que de On la note ϕ () La relation de Bernoulli, alable le long d une ligne de courant s écrit : e () cte pm + + ϕ = Le fluide est incompressible et homogène : courant, la relation de Bernoulli s écrit : = cte et ϕ = Toujours le long d une ligne de e pm + + = cte Rq : Si l on note H l enthalpie du fluide, U son énergie interne, sa pression, V son olume et m sa masse : H = U + V et dh = Vd + TdS La ariation infinitésimale d enthalpie massique h est : V TdS dh = d m + m Et donc pour un écoulement isentropique : d dh = La relation de Bernoulli s écrit : e h cte pm + + = Ecoulement irrotationnel Dans un écoulement irrotationnel, rot = 0 Il existe alors une fonction scalaire φ telle que = grad φ L équation d Euler s écrit : φ grad grad + + e pm + = 0 t Reprenons les deux hypothèses du paragraphe précédent :

6 0 Leçon 0 Le fluide est barotrope : = () et ϕ () = ϕ grad gradϕ = grad = () L équation d Euler prend la forme suiante : φ grad + + e pm + ϕ () = 0 t du uisque ϕ ne dépend que de la pression : (u) ar intégration, on obtient la relation de Bernoulli alable dans tout le fluide : φ + + e pm + ϕ () = cte(t) t 0 Le fluide est incompressible et homogène : tout le fluide, s écrit : = cte et ϕ = la relation de Bernoulli alable dans φ + + e + = pm cte(t) t Dans les deux cas, si l écoulement est en plus stationnaire : φ t = 0 3 Interprétation Nous enons de oir que dans le cas le plus simple, c est à dire pour un écoulement stationnaire et irrotationnel d un fluide incompressible homogène, la relation de Bernoulli, alable dans tout le fluide, s écrit : e pm + + = cte Cette relation traduit la conseration de l énergie mécanique dans un écoulement parfait est l énergie cinétique massique du fluide est l énergie potentielle massique associée aux forces massiques de pression fm = grad ( ) e pm est l énergie potentielle massique associée aux autres forces que les forces de pression f = grad e m pm La relation de Bernoulli s écrit également : + e + = cte pm homogène à une pression s appelle la pression dynamique e + est la pression statique pm La somme de ces deux pressions est la pression totale La relation de Bernoulli exprime le fait que cette pression soit constante

7 Leçon Applications La relation de Bernoulli, la plus simple, s applique dans le cadre très contraignant d un écoulement stationnaire, irrotationnel et incompressible Voyons dans quelle mesure nous pouons l appliquer à un fluide faiblement compressible, tel que Le coefficient de compressibilité isentropique du fluide s écrit : V χ = = V De, on déduit χ Appliquons La relation de Bernoulli + e pm + = cte entre deux points du fluide ; le premier où la itesse est minimum et la pression maximum et le deuxième où la itesse est maximum et la pression minimum On suppose que l énergie potentielle massique e pm ne arie pas entre ces deux points On obtient : = aec max min = et = max min uisque χ, on a : χ Or la itesse des ondes acoustiques dans les fluides est c = χ En supposant que min = 0, on déduit la condition : c max Nous pourrons donc appliquer la relation de Bernoulli relatie à un écoulement stationnaire et irrotationnel, à un fluide compressible, tant que sa itesse est très inférieure à celle du son dans ce fluide 3 Effet Venturi 3 rincipe de l effet Venturi Considérons un fluide homogène et incompressible en écoulement stationnaire et irrotationnel dans un tube de Venturi, c est à dire dans une conduite dont la section diminue (conergent) puis augmente (diergent) Cette conduite à une symétrie de réolution autour de l axe Oy et nous supposons que la itesse du fluide est uniforme dans une section droite de la conduite Dans ces conditions, la conseration du débit olumique le long d un tube de courant s écrit entre les sections S et S : S = S En appliquant la relation de Bernoulli entre S et S, aec e pm = gz, on a : + g z + = + g z + Mais le long de l axe Oy, z = z D où :

8 04 Leçon 0 et = +, S = + S Comme S > S, > et < Dans les régions de faible section, le fluide s écoule plus ite et sa pression est plus faible que dans les régions de grande section : c est l effet Venturi La figure montre l éolution de la pression statique, réduite à pour z = 0, et de la pression dynamique z S S 0 S y conergent diergent pression totale y 3 Expériences Feuilles de papier renons une feuille de papier format A4 en la tenant par ses extrémités et soufflons horizontalement au-dessus de cette feuille La itesse de l air étant plus rapide au-dessus de la feuille qu en dessous, il se crée une dépression qui soulèe la feuille air feuille de papier

9 Leçon 0 05 Le même phénomène se produit sur les ailes d aion Ces ailes étant inclinées, l air qui y circule audessus a plus ite que l air qui passe en dessous Il y a donc une dépression au-dessus des ailes et une surpression en dessous Ces deux effets indissociables s additionnent pour maintenir l aion en l air Faisons une autre expérience aec une feuille de papier posée sur une table On soulèe la feuille d un côté et on souffle entre la table et la feuille La feuille se soulèe légèrement pour laisser passer l air mais reste très proche de la table Entre la feuille et la table, la section est petite, donc la itesse est grande et la pression est faible La dépression maintient la feuille sur la table air table feuille Les oitures de course utilisent cet effet pour rester plaquer au sol L air qui passe sous la oiture traerse une faible section Sa itesse y est plus grande qu au-dessus de la oiture et la pression plus faible C est l effet de sol air Balle de ping-pong Soufflons dans un entonnoir et plaçons une balle de ping-pong sous cet entonnoir comme l indique la figure Entre l entonnoir et la balle, la itesse de l air est importante car la section est faible Il se crée une dépression qui aspire la balle dans l entonnoir balle entonnoir En utilisant un sèche-cheeux, il est possible de maintenir en l air, une balle de ping-pong Le sèche-cheeux crée un déplacement d air plus important d un côté de la balle que de l autre, et donc une pression plus faible du côté de l air en mouement La balle est en équilibre sous l action de trois forces : son poids, la force de pression de l air et la force due à la dépression Autres exemples La trompe à eau Le pulérisateur 33 Mesure d un débit aec un tube de Venturi D après le paragraphe 3, la itesse du fluide à traers la section S du tube de Venturi est : = ( ) S S our obtenir cette itesse et le débit olumique du fluide D = S il suffit de déterminer la ariation de pression Utilisons un tube en U rempli d un fluide de masse olumique 0, disposé comme l indique la figure

10 06 Leçon 0 z z z y z' z' z'' ' '' ' z z'' '' - Dans le tube en U, le fluide est en équilibre statique Il n y a pas de pression dynamique La relation de Bernoulli donne : ar soustraction il ient : = ( ) et '' ' g( z' z'' ) '' ' g z' z'' Or dans le tube en U on peut aussi écrire : = ( ) '' '' (' ' ) = g z' z' z'' z'' ( ) '' '' = g z'' z'' = g z 0 0 En reportant cette relation dans la précédente on obtient une première expression de ( ) ( ) ' ' = g z g z' z' 0 ' ' : - Dans le tube de Venturi, appliquons la relation de Bernoulli le long d une ligne de courant Sur l axe, puisque z = z = 0 : Au bord du tube : + = + ' + g z' + ' = ' + g z' + ' En supposant que = ' et = ', la soustraction des deux dernières équations permet d éliminer et et on obtient une deuxième expression de ' ' :

11 Leçon 0 07 ( ) ' ' = g z' z' En combinant les deux expressions on déduit : Et le dédit olumique : ( ) = g z 0 S ( ) S S 0 D = S = g z S 3 Vidange d un réseroir ; formule de Torricelli Considérons un réseroir de section S, contenant un fluide homogène et incompressible Un tube de idange de longueur L et de section s S, raccordé sur le fond du réseroir, permet d éacuer le fluide z h A section S 0 section s B Dans ce problème, nous cherchons à déterminer la itesse d éjection du fluide 3 Ecoulement stationnaire B au point B Supposons dans un premier temps que l écoulement soit parfaitement stationnaire Entre les points A et B d une ligne de courant, la relation de Bernoulli s écrit : A + g z A + A = B + g z B + B Mais lorsque le fluide s écoule, A = B et B A car S s et A S = B s Nous obtenons ainsi la formule de Torricelli : B = g h 3 Ecoulement en régime non stationnaire

12 08 Leçon 0 A l instant initial t = 0, le fluide commence de s écouler au point B On cherche ici à déterminer l éolution de la itesse d éjection du fluide au cours du temps Repartons de l équation d Euler, aec f = grad gz : m + grad + gz + + rot = 0 t rojetons cette équation sur le ecteur déplacement élémentaire dom = dt et intégrons le long d une ligne de courant entre les points A et B On obtient : B A dom + grad + gz + dom = 0 t En tenant compte du fait que A = B et B A car S s et A S = B s, la relation de Bernoulli s écrit : B A dom + gh = 0 t B De plus, aec les hypothèses précédentes, nous pouons considérer que l accélération du fluide dans le réseroir est négligeable par rapport à son accélération dans le tube de idange et que le module de la itesse du fluide est uniforme dans tout le tube de idange En notant, la itesse du fluide dans le tube et en particulier au point B : d L + gh = 0 dt La itesse tend ers une limite ; stationnaire Aec cette notation : = g h donnée par la formule de Torricelli en régime d = dt L En remarquant que : d d d = +, + l intégration de l équation différentielle conduit, aec la condition initiale (t = 0) = 0 à : 33 Autres applications t = = B th T Le tube de itot simple et double Le tube de randtl aec L T = Conclusion

13 Leçon 0 09 L écoulement parfait d un fluide est décrit par l équation locale d Euler qui relie le champ ectoriel des itesses, les champs scalaires des pressions et des masses olumiques La relation de Bernoulli est la taduction énergétique de l équation d Euler our un écoulement stationnaire, elle s applique le long d une ligne de courant et pour un écoulement irrotationnel, dans tout le fluide Cette relation a été établie dans le cas d un fluide barotrope et d un fluide incompressible homogène, mais son expression la plus simple obtenue pour un écoulement stationnaire et irrotationnel d un fluide incompressible homogène peut être appliquée à un fluide compressible dans la mesure où sa itesse d écoulement est très inférieure à la itesse du son dans ce fluide Ceci permet d expliquer de nombreuses situations où le fluide considéré est l air Bibliographie JM Brébec, H prépa Mécanique des fluides, Hachette supérieur, 004 J érez, Mécanique, Masson, 997