Limites et continuité de fonctions

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1 Limites et continuité de fonctions Limites. Limites en + Dénition Soit f une fonction réelle dénie sur un intervalle de la forme [A, + [.. Soit l R. On dit que f tend vers l en + et on note f() = l si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il eiste B tel que si > B, f() I. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi proches que l'on veut de l, à condition d'être assez proche de On dit que f tend vers + en + et on note f() = + si pour tout réel C, il eiste B tel que si > B, f() > C. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi grandes que l'on veut, à condition d'être assez proche de On dit que f tend vers en + et on note f() = si pour tout réel C, il eiste B tel que si > B, f() < C. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi petites que l'on veut, à condition d'être assez proche de +. Eemples. On rappelle les eemples classiques suivants :. Soit α R. α = 0 si α < 0, si α = 0, + si α > e = ln() = La fonction sin ne possède pas de ite en +. En eet, comme elle ne prend que des valeurs entre 0 et, elle ne peut tendre vers + ou. Supposons qu'elle ait une ite nie l. On choisit un intervalle ouvert I contenant l, mais qui, soit ne contient pas 0, soit ne contient pas. Pour tout n Z, sin(2nπ) = 0 et sin(2nπ + π/2) =. On ne peut donc trouver aucun B tel que si > B, sin() I. Donc sin ne tend pas non plus vers l. On dénit les ites en de la même manière : Dénition 2 Soit f une fonction réelle dénie sur un intervalle de la forme ], A].. Soit l R. On dit que f tend vers l en et on note f() = l si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il eiste B tel que si < B, f() I. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi proches que l'on veut de l, à condition d'être assez proche de. 2. On dit que f tend vers + en et on note f() = + si pour tout réel C, il eiste B tel que si < B, f() > C. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi grandes que l'on veut, à condition d'être assez proche de. 3. On dit que f tend vers en et on note f() = si pour tout réel C, il eiste B tel que si < B, f() < C. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi petites que l'on veut, à condition d'être assez proche de.

2 Eemples. On rappelle les eemples classiques suivants :. Soit n un entier strictement positif. De plus, n = e = 0..2 Limites en un réel n = { + si n est pair, si n est impair. On suppose maintenant que f est dénie sur un intervalle D et on prend un réel a, soit appartenant à D (et dans ce cas f est dénie en a), soit une etrémité de l'intervalle D (et dans ce cas f n'est pas nécessairement dénie en a). Dénition 3. Soit l R. On dit que f tend vers l en a et on note f() = l si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il eiste un intervalle ouvert J contenant a tel que si J D, f() I. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi proches que l'on veut de l, à condition d'être assez proche de a. 2. On dit que f tend vers + en a et on note f() = + si pour tout réel C, il eiste un intervalle ouvert J contenant a tel que si J D, f() > C. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi grandes que l'on veut de l, à condition d'être assez proche de a. 3. On dit que f tend vers en a et on note f() = si pour tout réel C, il eiste un intervalle ouvert J contenant a tel que si J D, f() < C. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi petites que l'on veut de l, à condition d'être assez proche de a. Eemples. On rappelle les eemples classiques suivants : sin(). = = +. Parfois, on doit distinguer les ites à gauche et à droite en a. Considérons par eemple les ites à droite. On suppose qu'il eiste un intervalle ]a, b[, avec a < b, sur lequel f est dénie. Dénition 4. Soit l R. On dit que f tend vers l à droite en a et on note + f() = l si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il eiste un intervalle ouvert J contenant a tel que si J D et > a, f() I. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi proches que l'on veut de l, à condition d'être assez proche de a et à droite de a. 2. On dit que f tend vers + à droite en a et on note f() = + si pour tout réel + C, il eiste un intervalle ouvert J contenant a tel que si J D et > a, f() > C. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi grandes que l'on veut de l, à condition d'être assez proche de a et à droite de a. 3. On dit que f tend vers à droite en a et on note f() = si pour tout réel + C, il eiste un intervalle ouvert J contenant a tel que si J D et > a, f() < C. Autrement dit, toutes les valeurs de f() sont aussi petites que l'on veut de l, à condition d'être assez proche de a et à droite de a. eemples. = + et =. 2

3 2 Opérations sur les ites Comme pour les suites, on obtient les résultats suivants sur les ites, le tableau suivant étant valable pour les ites en +,, a, a + et a. Si f et g sont dénies sur un même intervalle D : f() g() f() + g() l R l R l + l l R + + l R F I f() g() f()g() l R l R ll l > l > 0 l < 0 + l < ± F I Si de plus g ne s'annule pas sur D : f() g() f()/g() l R l 0 l/l l > l > 0 0 l < l < l R ± 0 + l > 0 ou l < 0 ou 0 + l > 0 ou l < 0 ou F I ± ± F I FI signie "forme indéterminée" : dans ce cas, il n'y a pas de théorème permettant de donner directement le résultat et il faut procéder à des calculs supplémentaires. Donnons enn le théorème de composition des ites. Théorème Soit f dénie sur un intervalle I et g dénie sur un intervalle J, avec f(i) J. Soit a un point ou une etrémité de I. On suppose que f() = l, où l est un point ou une etrémité de J. Alors : g f() = g(y). y l Ce théorème reste valable avec a ou l égal à + ou. Eemple. Calculons ln(2 + e ). On pose d'abord y =. 2 + e = 2 + y ey = 2. En posant z = 2 + e : ln(2 + e ) = ln(z) = ln(2). z 2 3

4 3 Théorèmes de comparaison Proposition Soient f et g deu fonctions dénies sur ]A, + [. On suppose que pour tout > A, f() g().. Si f() = l et g() = n + l, alors l l. 2. Si f() = +, alors g() = g() =, alors f() =. Preuve. (Esquisse).. Raisonnons par l'absurde. Supposons l < l. On choisit a < l' etl < b < l. Pour assez grand, g() ]a, b[, donc g() < b et par suite f() < b si est assez grand. L'intervalle ouvert ]b, l + [ ne contient donc pas les valeurs de f() pour assez grand : ceci contredit la dénition de la ite de f en +. Donc l l. 2. Soit A R. Si est assez grand, f() > A, donc g() f() > A : la ite de g en + est Preuve semblable. Donc Remarque. On peut formuler un résultat semblable avec les ites en, a, a + et a. Eemple. Pour tout R : + cos() +. + cos() = + et + cos() =. Théorème 2 (Des gendarmes ou du sandwich) Soient f, g et h trois fonctions dénies sur un intervalle ]A, + [ telles que pour tout > A, f() g() h(). On suppose que f() = h() = l. Alors g() = l. Preuve. (Esquisse). Soit I un intervalle ouvert contenant l. Si est assez grand, f() et h() sont dans I. Comme I est un intervalle et que f() g() h(), g() I également. Donc g tend elle aussi vers l. Remarque. On peut formuler un résultat semblable avec les ites en, a, a + et a. Eemple. Quelle est la ite en + de +cos()? Remarquons d'abord que +cos() pour tout, donc la ite de + cos() est +. Il s'agit d'une forme indéterminée /. Pour tout > 0 : = Par le théorème des gendarmes, +cos() 4 Croissances comparées + cos() + tend vers en +. Théorème 3 Soient α > 0 et n un entier > 0. = +. e α = +, ln() α = 0+, 0 α ln() = 0, + n e = 0. Preuve.. Soit f la fonction dénie sur R par f() = e. Elle est dérivable et pour tout R, f () = e. Donc f () 0 si 0 et f () 0 si 0. Les variations de f montrent 4

5 donc que f possède un minimum en 0. Pour tout R, f() f(0) = et donc e +. En conséquence, e / En élevant au carré, si 0, e 2 4 e 4. et nalement, si 0 : Par les critères de comparaison, e tend vers +. Par composition des ites : 2. Par multiplication par /α : e /α αe/α /α = e /α = +. = +. En posant y = e/α : e α = ( e /α ) α = y + yα = +. Posons y = α ln(). Par composition des ites : ln() α = α ln() α e α ln() = y y + α e y. Il s'agit d'une forme l/ +, avec l = /α. La ite est donc Posons y = /. La ite quand tend vers 0 + de y est +. Par composition de ites : ( ) α 0 α ln() = ln(/) = y + y α ln(y) ln(y) y + y α = Posons y =. La ite quand tend vers de y est +. Par composition de ites : n e = ( )n ( ) n e = yn ( )n y + e y. Il s'agit d'une forme l/ +, avec l = ( ) n. Cette ite est donc nulle. On peut remarquer au passage que le signe dépend de la parité de n. Eemple. Quelle est la ite en + de Par les croissances comparées, e 6 + ln() 2? e 6 + ln() 2 = e 6 + ( ln() 3 ) 2. Par composition des ites : e 6 = +, ln() 3 = 0. ( ln() 3 ) 2 = y 0 y2 = 0. Par produit : e 6 + ln() 2 = +. 5

6 5 Autres ites Théorème 4 sin() e cos() =, =, = 2. Preuve. Soit f la fonction dénie par f() = sin(). Alors : sin() = f() f(0). 0 Par dénition du nombre dérivé : f() f(0) = f (0) = cos(0) =. 0 0 La deuième ite se traite de la même façon, avec g() = e : e g() g(0) = = g (0) = e 0 = La troisième ite sera démontrée au chapitre suivant, à l'aide des développements ités. 6 Continuité Dénition 5 Soit f une fonction dénie sur un intervalle I.. Soit a I. On dit que f est continue en a si f() = f(a). 2. On dit que f est continue sur I si pour tout a I, f est continue en a. Eemples.. Les fonctions usuelles (polynômes, fonctions puissances, logarithmes, eponentielles, trigonométriques...) sont continues sur leur domaine de dénition. 2. Voici un eemple de fonction non continue en un point. La fonction sign, est dénie sur R par : is < 0, sign() = + is > 0,. 0 is = 0. Alors sign() =, sign() = +. Cette fonction n'admet donc pas de ite en 0 : elle n'est pas continue en La fonction partie entière E associe à tout nombre réel le plus grand entier relatif n tel que n. Par eemple, E(π) = 3 et E( 5) = 2. Si 0 est un nombre réel non entier, alors E est continue en 0. Si 0 est un entier relatif, alors : E() = 0, 0 E() = 0. 0 Donc E n'est pas continue en 0. En conclusion, E est continue en 0 si, et seulement si, 0 n'est pas un entier relatif. 4. Il eiste des fonctions dénies sur R qui ne sont continues en aucun point (voir Math4?). Théorème 5 (Théorème des valeurs intermédiaires) Soit f une fonction dénie sur un intervalle I, continue sur I,et soient a < b I. On suppose f(a) < f(b). Si f(a) < y < f(b), alors il eiste ]a, b[, tels que f() = y. 6

7 Nous n'allons pas démontrer ce théorème, mais nous allons donner un algorithme permettant d'approimer une valeur possible pour : la méthode de dichotomie. On dénit deu suites ( n ) n 0 et (y n ) n 0, qui convergent toutes deu vers un réel tel que f() = y. Cette suite est dénie par récurrence. On prend 0 = a et y 0 = b. Alors 0 < y 0 et f( 0 ) < y < f(y 0 ). Supposons n ety n construits, de sorte que n < y n et f( n ) < y < f(y n ). On considère d'abord c = n+yn 2 (milieu de l'intervalle [ n, y n ]). Si f(c) > y, on choisit alors n+ = n et y n+ = c. Si f(c) < y, on choisit alors n+ = c et y n+ = y n. Si f() = y, on prend = c. On admet que ces deu suites convergent vers une même ite. Comme f est continue en, f( n) = f(y n) = f(). n + n + D'autre part, pour tout n, f( n ) y f(y n ). Par les critères de comparaison de suites, f() y f(). Donc f() = y. Remarque. On a un résultat semblable si f(a) > f(b) : Il faut choisir f(b) < y < f(a). 7