Corrigé du Baccalauréat S Antilles-Guyane 23 juin 2009

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1 Corrigé du Baccalauréat S Antilles-Guyane 3 juin EXERCICE 4 points. On peut dénombrer les cas possibles à l aide d un tableau : Dé Dé A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD Les deux dés peuvent être supposés équilibrés, il y a donc situation d équiprobabilité et :. a. p(e = 6 ; p(e = 6 6 = 3 8 ; p(e = 6. Nombre de Nombre de faces «A» faces «A» er lancer ème lancer b. Il y a trois façons distinctes de gagner pour le joueur : il obtient deux faces «A» au premier lancer, ou bien il obtient une face «A» au premier lancer, et une face «A» au deuxième, ou bien il n obtient aucune face «A» au premier lancer, et deux faces «A» au second. À l aide de l arbre pondéré ci-dessus, la probabilité de gagner est donc égale à : = c. Notons X la variable aléatoire désignant le gain algébrique du joueur. X = 5 lorsque le joueur gagne, donc p(x = 5= X = lorsqu un seul dé repose sur la face «A», cela peut avoir lieu au premier ou au deuxième lancer, donc d après l arbre : p(x = = =

2 X = 5 lorsque le joueur n obtient aucune face «A», donc p(x = 5= 6 6 = On peut résumer la loi de X dans le tableau suivant : x 5 5 Total p(x = x L espérance mathématique de X est alors égale à : E(X = le jeu est donc défavorable au joueur = 6 56 <, EXERCICE Candidats ayant choisi l enseignement de spécialité 5 points Dans chacun des cas suivants, indiquer si l affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.. L écriture complexe de f est de la forme z = az+b avec a C et b C. D après le cours, f est donc une similitude directe. De plus : a= +i 3, donc a = +( 3 = et f a pour rapport. ( 3 a= + i = e i π 3, donc arg(a= π 3 (π et f a pour angle π 3. (+i 3 i + 3=i 3+ 3=i, donc f (A= A. La première affirmation est donc vraie.. On a : 3 (7. De plus 3 (7 et 3 3 (7 donc 3 6 (7. Comme = on en déduit que : 3 ( (7 c est-à-dire 3 ( (7, d où : 3 ( (7, soit : 3 (7. On a finalement (7. La deuxième affirmation est donc fausse. 3. Soit a et b deux entiers relatifs quelconques, n et p deux entiers naturels premiers entre eux. Supposons que a b (p, alors na nb (p par compatibilité de la multiplication avec les congruences. Réciproquement, supposons que na nb (p. Alors p divise na nb, c està-dire p divise n(a b. Comme n et p sont premiers entre eux, le théorème de Gauss entraîne que p divise a b, c est-à-dire que a b (p. L équivalence est donc démontrée. La troisième affirmation est donc vraie. 4. Soit M(x; y; z un point de l espace, alors : ( ( ( M S y = 3 et x + y = z y = 3 et x + = z. Dans le plan d équation y = 3, z = x + est l équation d une parabole. La quatrième affirmation est donc fausse. 5. Soit M(x; y; z un point de l espace à coordonnées entières appartenant à P et au plan (yoz. M = O vérifie ces conditions, puisque x=, + = 3 et Z. Supposons que M soit distinct de O. Alors x = car M (yoz. On a donc : y = 3z. Comme z (car sinon y serait nul et M serait confondu avec O, on obtient y z = 3, ce qui signifierait que y z est irrationnel (égal à ± 3, ce qui est faux, car y Z et z Z. L hypothèse «M est distinct de O» est donc absurde. Antilles - Guyane 3 juin

3 Le seul point vérifiant les conditions précédentes est donc le point O. La cinquième affirmation est donc vraie. EXERCICE 5 points Candidats n ayant pas choisi l enseignement de spécialité ( (. M E AM = B M. E est donc bien la médiatrice du segment [AB]. La première affirmation est vraie. c a ( c a (. b a = i entraîne que : arg = arg(i (π, c est-à-dire que : AB ; AC = b a π (π. Le triangle ABC est donc rectangle en A, ce qui entraîne que A appartient au cercle de diamètre [BC]. La deuxième affirmation est vraie. 3. Si z = e i π 7, alors z = e i π 7 = e 87iπ. Par conséquent : arg ( z = 87π (π, et comme 87 est impair, cela entraîne que z est un réel strictement négatif. La troisième affirmation est donc fausse. 4. D après le théorème de réduction : M A + MB + MC = 3MG. Donc : ( ( 3 ( =6 M F MG MG =. F est donc la sphère de centre G et de rayon. La quatrième affirmation est vraie. 5. La sphère S a pour rayon 5 et pour centre O(;;. + 5 La distance du point O au plan P est égale à + + = 5 = <, donc la sphère et le plan ne sont pas sécants, et leur intersection est vide. La cinquième affirmation est donc fausse. EXERCICE 3 PARTIE A. 7 points. f est solution de l équation différentielle y = y+, donc d après un théorème du cours, il existe une constante k telle que, pour tout t : f (t = ke t = ke t +. La condition f (= entraîne alors que k+ =, c est-à-dire k =. Finalement : f (t=e t +.. a. f est dérivable sur R + en tant que combinaison simple de fonctions qui le sont, et, pour tout t : f (t= e t < ; la fonction f est donc strictement décroissante sur R +. b. lim t = et t + lim e X =, donc par composition lim t X t + e =. On en déduit par opérations que lim f (t= ; ce qui signifie que la droite t + D d équation y = est asymptote horizontale à la courbe C au voisinage de+. Antilles - Guyane 3 3 juin

4 Baccalauréat S f (t en C C y = 56 4 D 3, t (en heures FIG. exercice 3, question c c. Voir figure. 3. a. Graphiquement, f (t=5 pour t = 3,8, soit 3 heures et 48 minutes environ. PARTIE B. b. Résolvons : f (t=5 e t + =5 e t = 3 e t = 3 t ( 3 = ln ( 3 t = ln On retrouve bien le résultat précédent. 3,7 à, près. a. À l aide de la calculatrice, au dixième près : d 78,7, d 47,7, d 8,. b. Comme lim t + que : lim d n =. n + f (t =, il est clair que lim f (n = lim f (n+ donc n + n + Antilles - Guyane 4 3 juin

5 . On déterminer à partir de quel entier naturel n on a d n 5. d n 5 e n e n+ 5 ( e n e 5 ( 4 e e n ln 4 e n ln 4 e n et comme ln 4 e 5,5 (au dixième près, la plus petite valeur de l entier n à partir de laquelle l abaissement de température est inférieur à 5 C est donc n= 6. Remarque : on pouvait aussi démontrer que la suite (d n est décroissante, puis calculer d 5 et d 6 et conclure. EXERCICE 4 4 points. a. La fonction f est dérivable sur R + comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et pour tout réel x : f (x= x+ = x >. La + x fonction f est donc strictement croissante sur R +, et pour tout x on a alors f (x f (, c est-à-dire x ln(+ x, d où : ln(+ x x. ( b. Soit n N, ln(u n = n ln + et n n R+, donc d après la question précédente : ln(u n n n, c est-à-dire ln(u n. c. Pour tout n N, ln(u n, donc u n e et la suite (u n est majorée par e, elle ne peut donc pas diverger vers+. (. a. v n = ln(u n = n ln +, en posant x= n n on a donc : v ln(+ x n =. x ln(+ x b. lim = d après une limite du cours. Quand n +, on a x, x x donc : lim v n =. n + c. v n = ln(u n, donc u n = e v n, et comme (v n converge vers, on en déduit que (u n converge vers e. Antilles - Guyane 5 3 juin